不定积分 ∫ x/(x+1)(x+2)(x+3) dx 如何计算？
好的，咱们来一步一步地计算这个不定积分：
$$ int frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} dx $$
遇到这种分式函数的不定积分，尤其是分母是几个线性因式乘积的形式，我们通常会使用部分分式分解的方法。这是处理这类问题的标准套路。
第一步：部分分式分解
我们的目标是将被积函数 $frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ 写成若干个更简单的分式的和的形式。因为分母是三个不同的线性因式 $(x+1)$、$(x+2)$ 和 $(x+3)$ 相乘，所以我们可以将其分解为如下形式：
$$ frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} = frac{A}{x+1} + frac{B}{x+2} + frac{C}{x+3} $$
其中 $A$、$B$、$C$ 是待定系数，我们需要把它们求出来。
为了求出 $A$、$B$、$C$，我们可以将等式右边通分：
$$ frac{A}{x+1} + frac{B}{x+2} + frac{C}{x+3} = frac{A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)} $$
现在，由于等式两边的分母相同，分子也必须相等：
$$ x = A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2) $$
这个等式对于所有的 $x$ 都成立。我们可以利用这个特性来求解 $A$、$B$、$C$。有两种常用的方法：
方法一：代入特殊值法（也叫“覆盖法”）
这种方法利用了等式对于任意 $x$ 都成立的性质。我们选择代入能够使等式中某些项变为零的特殊值。
令 $x = 1$：
将 $x=1$ 代入上面的等式：
$$ 1 = A(1+2)(1+3) + B(1+1)(1+3) + C(1+1)(1+2) $$
$$ 1 = A(1)(2) + B(0)(2) + C(0)(1) $$
$$ 1 = 2A $$
所以，$$ A = frac{1}{2} $$
令 $x = 2$：
将 $x=2$ 代入上面的等式：
$$ 2 = A(2+2)(2+3) + B(2+1)(2+3) + C(2+1)(2+2) $$
$$ 2 = A(0)(1) + B(1)(1) + C(1)(0) $$
$$ 2 = B $$
所以，$$ B = 2 $$
令 $x = 3$：
将 $x=3$ 代入上面的等式：
$$ 3 = A(3+2)(3+3) + B(3+1)(3+3) + C(3+1)(3+2) $$
$$ 3 = A(1)(0) + B(2)(0) + C(2)(1) $$
$$ 3 = 2C $$
所以，$$ C = frac{3}{2} $$
方法二：比较系数法
另一种方法是将右边的多项式展开，然后比较等式两边同次幂的系数。
展开右边的表达式：
$x = A(x^2 + 5x + 6) + B(x^2 + 4x + 3) + C(x^2 + 3x + 2)$
$x = Ax^2 + 5Ax + 6A + Bx^2 + 4Bx + 3B + Cx^2 + 3Cx + 2C$
将同次幂的项合并：
$x = (A+B+C)x^2 + (5A+4B+3C)x + (6A+3B+2C)$
现在，比较等式两边同次幂的系数：
$x^2$ 的系数：
等式左边 $x^2$ 的系数是 0，右边是 $A+B+C$。
所以，$A+B+C = 0$ （方程 1）
$x$ 的系数：
等式左边 $x$ 的系数是 1，右边是 $5A+4B+3C$。
所以，$5A+4B+3C = 1$ （方程 2）
常数项：
等式左边的常数项是 0，右边是 $6A+3B+2C$。
所以，$6A+3B+2C = 0$ （方程 3）
我们现在有了一个由三个线性方程组成的方程组，需要解出 $A$、$B$、$C$。
将我们用方法一算出的结果代入检验一下是否满足这个方程组：
$A = 1/2$, $B = 2$, $C = 3/2$
方程 1: $(1/2) + 2 + (3/2) = 1/2 3/2 + 2 = 4/2 + 2 = 2 + 2 = 0$ （满足）
方程 2: $5(1/2) + 4(2) + 3(3/2) = 5/2 + 8 9/2 = 14/2 + 8 = 7 + 8 = 1$ （满足）
方程 3: $6(1/2) + 3(2) + 2(3/2) = 3 + 6 3 = 0$ （满足）
所以，我们的系数计算是正确的。
现在我们有了部分分式分解的形式：
$$ frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} = frac{1/2}{x+1} + frac{2}{x+2} + frac{3/2}{x+3} $$
第二步：进行积分
有了这个分解，我们就可以将原积分转化为三个简单的积分之和了：
$$ int frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} dx = int left( frac{1/2}{x+1} + frac{2}{x+2} + frac{3/2}{x+3} ight) dx $$
我们可以把常数系数提出来，然后对每一项分别积分：
$$ = frac{1}{2} int frac{1}{x+1} dx + 2 int frac{1}{x+2} dx frac{3}{2} int frac{1}{x+3} dx $$
我们知道积分的基本公式：$int frac{1}{u} du = ln|u| + C$。
在这里，我们可以令 $u = x+1$ (则 $du = dx$)，对于第二项令 $u = x+2$ (则 $du = dx$)，对于第三项令 $u = x+3$ (则 $du = dx$)。
因此，积分结果为：
$$ = frac{1}{2} ln|x+1| + 2 ln|x+2| frac{3}{2} ln|x+3| + C $$
其中 $C$ 是积分常数。
我们可以进一步利用对数的性质 $ln a + ln b = ln (ab)$ 和 $n ln a = ln (a^n)$ 来合并这些项，不过保留这种形式也是完全正确的。
例如，合并后的形式可以是：
$$ = ln|x+2|^2 + ln|x+1|^{1/2} + ln|x+3|^{3/2} + C $$
$$ = lnleft(frac{|x+2|^2}{|x+1|^{1/2} |x+3|^{3/2}} ight) + C $$
或者：
$$ = lnleft(frac{(x+2)^2}{sqrt{|x+1|} sqrt{|x+3|^3}} ight) + C $$
不过通常情况下，第一种形式（未合并的对数形式）是最常见且清晰的答案。
总结计算步骤：
1. 识别待积函数形式：分母是多个不同线性因子的乘积。
2. 部分分式分解：将原函数分解为 $frac{A}{xa} + frac{B}{xb} + dots$ 的形式。
3. 求解待定系数：通过代入特殊值或比较系数法求出 $A, B, dots$。
4. 积分：将分解后的各项分别积分，利用 $int frac{1}{ax+b} dx = frac{1}{a} ln|ax+b| + C$ 的公式。
5. 添加积分常数：不要忘记在最后加上积分常数 $C$。
希望这个详细的计算过程能帮到你！
$$ int frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} dx $$
遇到这种分式函数的不定积分，尤其是分母是几个线性因式乘积的形式，我们通常会使用部分分式分解的方法。这是处理这类问题的标准套路。
第一步：部分分式分解
我们的目标是将被积函数 $frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ 写成若干个更简单的分式的和的形式。因为分母是三个不同的线性因式 $(x+1)$、$(x+2)$ 和 $(x+3)$ 相乘，所以我们可以将其分解为如下形式：
$$ frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} = frac{A}{x+1} + frac{B}{x+2} + frac{C}{x+3} $$
其中 $A$、$B$、$C$ 是待定系数，我们需要把它们求出来。
为了求出 $A$、$B$、$C$，我们可以将等式右边通分：
$$ frac{A}{x+1} + frac{B}{x+2} + frac{C}{x+3} = frac{A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)} $$
现在，由于等式两边的分母相同，分子也必须相等：
$$ x = A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2) $$
这个等式对于所有的 $x$ 都成立。我们可以利用这个特性来求解 $A$、$B$、$C$。有两种常用的方法：
方法一：代入特殊值法（也叫“覆盖法”）
这种方法利用了等式对于任意 $x$ 都成立的性质。我们选择代入能够使等式中某些项变为零的特殊值。
令 $x = 1$：
将 $x=1$ 代入上面的等式：
$$ 1 = A(1+2)(1+3) + B(1+1)(1+3) + C(1+1)(1+2) $$
$$ 1 = A(1)(2) + B(0)(2) + C(0)(1) $$
$$ 1 = 2A $$
所以，$$ A = frac{1}{2} $$
令 $x = 2$：
将 $x=2$ 代入上面的等式：
$$ 2 = A(2+2)(2+3) + B(2+1)(2+3) + C(2+1)(2+2) $$
$$ 2 = A(0)(1) + B(1)(1) + C(1)(0) $$
$$ 2 = B $$
所以，$$ B = 2 $$
令 $x = 3$：
将 $x=3$ 代入上面的等式：
$$ 3 = A(3+2)(3+3) + B(3+1)(3+3) + C(3+1)(3+2) $$
$$ 3 = A(1)(0) + B(2)(0) + C(2)(1) $$
$$ 3 = 2C $$
所以，$$ C = frac{3}{2} $$
方法二：比较系数法
另一种方法是将右边的多项式展开，然后比较等式两边同次幂的系数。
展开右边的表达式：
$x = A(x^2 + 5x + 6) + B(x^2 + 4x + 3) + C(x^2 + 3x + 2)$
$x = Ax^2 + 5Ax + 6A + Bx^2 + 4Bx + 3B + Cx^2 + 3Cx + 2C$
将同次幂的项合并：
$x = (A+B+C)x^2 + (5A+4B+3C)x + (6A+3B+2C)$
现在，比较等式两边同次幂的系数：
$x^2$ 的系数：
等式左边 $x^2$ 的系数是 0，右边是 $A+B+C$。
所以，$A+B+C = 0$ （方程 1）
$x$ 的系数：
等式左边 $x$ 的系数是 1，右边是 $5A+4B+3C$。
所以，$5A+4B+3C = 1$ （方程 2）
常数项：
等式左边的常数项是 0，右边是 $6A+3B+2C$。
所以，$6A+3B+2C = 0$ （方程 3）
我们现在有了一个由三个线性方程组成的方程组，需要解出 $A$、$B$、$C$。
将我们用方法一算出的结果代入检验一下是否满足这个方程组：
$A = 1/2$, $B = 2$, $C = 3/2$
方程 1: $(1/2) + 2 + (3/2) = 1/2 3/2 + 2 = 4/2 + 2 = 2 + 2 = 0$ （满足）
方程 2: $5(1/2) + 4(2) + 3(3/2) = 5/2 + 8 9/2 = 14/2 + 8 = 7 + 8 = 1$ （满足）
方程 3: $6(1/2) + 3(2) + 2(3/2) = 3 + 6 3 = 0$ （满足）
所以，我们的系数计算是正确的。
现在我们有了部分分式分解的形式：
$$ frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} = frac{1/2}{x+1} + frac{2}{x+2} + frac{3/2}{x+3} $$
第二步：进行积分
有了这个分解，我们就可以将原积分转化为三个简单的积分之和了：
$$ int frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} dx = int left( frac{1/2}{x+1} + frac{2}{x+2} + frac{3/2}{x+3} ight) dx $$
我们可以把常数系数提出来，然后对每一项分别积分：
$$ = frac{1}{2} int frac{1}{x+1} dx + 2 int frac{1}{x+2} dx frac{3}{2} int frac{1}{x+3} dx $$
我们知道积分的基本公式：$int frac{1}{u} du = ln|u| + C$。
在这里，我们可以令 $u = x+1$ (则 $du = dx$)，对于第二项令 $u = x+2$ (则 $du = dx$)，对于第三项令 $u = x+3$ (则 $du = dx$)。
因此，积分结果为：
$$ = frac{1}{2} ln|x+1| + 2 ln|x+2| frac{3}{2} ln|x+3| + C $$
其中 $C$ 是积分常数。
我们可以进一步利用对数的性质 $ln a + ln b = ln (ab)$ 和 $n ln a = ln (a^n)$ 来合并这些项，不过保留这种形式也是完全正确的。
例如，合并后的形式可以是：
$$ = ln|x+2|^2 + ln|x+1|^{1/2} + ln|x+3|^{3/2} + C $$
$$ = lnleft(frac{|x+2|^2}{|x+1|^{1/2} |x+3|^{3/2}} ight) + C $$
或者：
$$ = lnleft(frac{(x+2)^2}{sqrt{|x+1|} sqrt{|x+3|^3}} ight) + C $$
不过通常情况下，第一种形式（未合并的对数形式）是最常见且清晰的答案。
总结计算步骤：
1. 识别待积函数形式：分母是多个不同线性因子的乘积。
2. 部分分式分解：将原函数分解为 $frac{A}{xa} + frac{B}{xb} + dots$ 的形式。
3. 求解待定系数：通过代入特殊值或比较系数法求出 $A, B, dots$。
4. 积分：将分解后的各项分别积分，利用 $int frac{1}{ax+b} dx = frac{1}{a} ln|ax+b| + C$ 的公式。
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希望这个详细的计算过程能帮到你！
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