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问题

这四个用不定积分怎么算？

回答
你好！很高兴能和你一起探讨这四个不定积分的问题。不定积分这东西，初看起来可能有点儿吓人，但其实摸清了门道，就会发现它就像是侦探解谜一样，一步步找出隐藏的真相（也就是原函数）。我会尽量用比较直观和容易理解的方式来讲解，希望能帮助你更好地掌握它们。

我们一个一个来，把它们都拆解开看。



第一个：$int (3x^2 4sin(x) + e^x) dx$

这个看起来比较友好，是几个简单函数的和与差。不定积分有一个非常重要的性质：积分的线性性质。简单来说，就是积分可以拆开算，常数可以提出来。

也就是：$int (f(x) pm g(x)) dx = int f(x) dx pm int g(x) dx$ 和 $int c f(x) dx = c int f(x) dx$

所以，我们可以把这个大积分拆成三个小积分来计算：

$int (3x^2 4sin(x) + e^x) dx = int 3x^2 dx int 4sin(x) dx + int e^x dx$

现在我们分别来看这三个部分：

1. $int 3x^2 dx$：
这里有一个指数函数 $x^2$ 和一个常数 3。我们知道求导的幂法则：$(x^n)' = nx^{n1}$。反过来，求不定积分就是找到一个函数，它的导数是 $x^n$。
根据幂法则的反向操作，我们知道 $int x^n dx = frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ (当 $n eq 1$ 时)。
在这里，$n=2$，所以 $int x^2 dx = frac{1}{2+1}x^{2+1} = frac{1}{3}x^3$。
别忘了前面的常数 3，我们把它提出来：
$int 3x^2 dx = 3 int x^2 dx = 3 left(frac{1}{3}x^3 ight) = x^3$。

2. $int 4sin(x) dx$：
同样，常数 4 可以提出来：$4 int sin(x) dx$。
我们需要找到一个函数，它的导数是 $sin(x)$。我们知道 $(cos(x))' = sin(x)$。所以，为了得到 $sin(x)$，我们需要在 $cos(x)$ 前面加一个负号。
即 $(cos(x))' = (sin(x)) = sin(x)$。
因此，$int sin(x) dx = cos(x)$。
所以，$4 int sin(x) dx = 4(cos(x)) = 4cos(x)$。

3. $int e^x dx$：
指数函数 $e^x$ 是非常特别的一个。它的导数就是它本身：$(e^x)' = e^x$。
所以，它的不定积分也是它本身：$int e^x dx = e^x$。

好了，现在把它们合起来：

$int (3x^2 4sin(x) + e^x) dx = x^3 (4cos(x)) + e^x$
$= x^3 + 4cos(x) + e^x$

最后，别忘了不定积分的“灵魂”——积分常数 C！因为常数的导数是零，所以任何一个原函数加上一个常数，它的导数仍然是原被积函数。所以，我们必须加上 $+C$ 来表示所有可能的原函数。

最终结果：$int (3x^2 4sin(x) + e^x) dx = x^3 + 4cos(x) + e^x + C$

验算一下： $(x^3 + 4cos(x) + e^x + C)' = (x^3)' + (4cos(x))' + (e^x)' + C' = 3x^2 + 4(sin(x)) + e^x + 0 = 3x^2 4sin(x) + e^x$。完全正确！



第二个：$int frac{1}{x^2+1} dx$

这个看起来像个分母，而且分母是一个二次多项式。遇到这种情况，我们通常会想：
这是不是某个基本函数的导数？
能不能通过一些代数变换把它变成基本函数的导数？
有没有什么特定的积分技巧（比如换元法、分部积分法）可以用？

对于 $frac{1}{x^2+1}$ 这个形式，如果你对导数比较熟悉，应该会立刻想到三角函数中的 $arctan(x)$ (也写作 $operatorname{atan}(x)$ 或 $ an^{1}(x)$)。

我们知道 $(arctan(x))' = frac{1}{x^2+1}$。

所以，这个积分直接就是 $arctan(x)$。

$int frac{1}{x^2+1} dx = arctan(x) + C$

怎么理解这个过程呢？

就好像你看到一个奇怪的形状，然后脑子里灵光一闪：“这不就是那个谁谁谁的长相吗？” 积分就是根据导数的逆运算来寻找“长相”的过程。而 $frac{1}{x^2+1}$ 这个“长相”，就是 $arctan(x)$ 的标志性特征。

如果一开始没想起来呢？

有些时候，它可能是一个稍微复杂一点的函数的导数，需要通过换元法来化简。比如，如果它是 $int frac{1}{(2x)^2+1} dx$，那就不直接是 $arctan(x)$ 了。但在这个例子里，它就是这么直接。

验算： $(arctan(x) + C)' = frac{1}{x^2+1} + 0 = frac{1}{x^2+1}$。完美匹配！



第三个：$int x cos(x) dx$

这个题目出现了一个乘积项：$x$ 和 $cos(x)$。当被积函数是两个函数的乘积时，我们通常会考虑分部积分法。

分部积分法的公式是： $int u , dv = uv int v , du$

这个公式的灵感来源于乘积的导数法则：$(uv)' = u'v + uv'$。我们对等式两边积分，$int (uv)' dx = int u'v dx + int uv' dx$，得到 $uv = int u'v dx + int uv' dx$。重新排列一下，就得到了分部积分公式，其中 $dv$ 对应于 $v'$， $du$ 对应于 $u'$。

关键在于如何选择 $u$ 和 $dv$。目标是让新的积分 $int v , du$ 比原来的积分 $int u , dv$ 更容易计算。

我们来分析一下这里的 $x$ 和 $cos(x)$：
如果我们选择 $u = x$，那么 $du = dx$。这样 $x$ 就变成了一个常数项 $dx$，通常是件好事，可以降低多项式的次数。
如果我们选择 $dv = cos(x) dx$，那么我们需要找到 $v$，即对 $cos(x)$ 进行积分。我们知道 $(sin(x))' = cos(x)$，所以 $v = int cos(x) dx = sin(x)$。

现在我们有了：
$u = x$
$du = dx$
$dv = cos(x) dx$
$v = sin(x)$

把它们代入分部积分公式：$int u , dv = uv int v , du$

$int x cos(x) dx = x cdot sin(x) int sin(x) , dx$

现在我们来看新的积分 $int sin(x) , dx$。这个我们刚才在第一个例子里算过了，它等于 $cos(x)$。

所以，代入结果：
$int x cos(x) dx = x sin(x) (cos(x))$
$= x sin(x) + cos(x)$

最后，别忘了加上积分常数 $C$！

$int x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C$

选择 $u$ 和 $dv$ 的一些小技巧 (LIATE/ILATE原则):
Logarithmic (对数函数)
Inverse trigonometric (反三角函数)
Algebraic/Polynomial (代数/多项式函数)
Trigonometric (三角函数)
Exponential (指数函数)

通常，把 LIATE 列表里靠前的函数设为 $u$，靠后的设为 $dv$，这样 $du$ 会更容易处理（通常是降幂或去掉对数等），而 $v$ 容易求出来。在这个例子里，代数函数 $x$ 应该优先于三角函数 $cos(x)$ 来设为 $u$。

验算： $(x sin(x) + cos(x) + C)' = (x sin(x))' + (cos(x))' + C'$。
运用乘积的导数法则 $(uv)' = u'v + uv'$，其中 $u=x, v=sin(x)$:
$(x sin(x))' = (x)' sin(x) + x (sin(x))' = 1 cdot sin(x) + x cos(x) = sin(x) + x cos(x)$。
而 $(cos(x))' = sin(x)$。
所以，$(x sin(x) + cos(x) + C)' = (sin(x) + x cos(x)) + (sin(x)) + 0 = x cos(x)$。 非常准确！



第四个：$int frac{1}{x^21} dx$

这个被积函数是一个有理函数，分母是二次多项式。处理有理函数积分的一个强大武器是部分分式分解。

我们的目标是把 $frac{1}{x^21}$ 分解成几个更简单的分数的形式。
首先，因式分解分母：$x^2 1 = (x1)(x+1)$。

所以，我们可以假设：
$frac{1}{x^21} = frac{A}{x1} + frac{B}{x+1}$

为了找到常数 $A$ 和 $B$，我们把右边通分：
$frac{A}{x1} + frac{B}{x+1} = frac{A(x+1) + B(x1)}{(x1)(x+1)} = frac{Ax + A + Bx B}{(x1)(x+1)} = frac{(A+B)x + (AB)}{(x1)(x+1)}$

现在，我们让这个表达式的分子等于原表达式的分子：
$1 = (A+B)x + (AB)$

为了让这个等式对所有 $x$ 都成立，我们比较等式两边的同类项系数：
$x$ 的系数：$0 = A+B$
常数项：$1 = AB$

我们得到一个关于 $A$ 和 $B$ 的方程组：
1. $A+B = 0$
2. $AB = 1$

解这个方程组：
从第一个方程，我们知道 $B = A$。
将它代入第二个方程：$A (A) = 1 implies 2A = 1 implies A = frac{1}{2}$。
然后，$B = A = frac{1}{2}$。

所以，部分分式分解的结果是：
$frac{1}{x^21} = frac{1/2}{x1} + frac{1/2}{x+1} = frac{1}{2(x1)} frac{1}{2(x+1)}$

现在，我们可以对分解后的形式进行积分了：
$int frac{1}{x^21} dx = int left( frac{1}{2(x1)} frac{1}{2(x+1)} ight) dx$

利用积分的线性性质，我们把积分拆开：
$= int frac{1}{2(x1)} dx int frac{1}{2(x+1)} dx$
$= frac{1}{2} int frac{1}{x1} dx frac{1}{2} int frac{1}{x+1} dx$

这两个积分都是基本形式 $int frac{1}{u} du = ln|u| + C$ 的应用。
对于第一个积分 $int frac{1}{x1} dx$，我们可以令 $u = x1$，则 $du = dx$。所以它就是 $int frac{1}{u} du = ln|u| = ln|x1|$。
同理，对于第二个积分 $int frac{1}{x+1} dx$，令 $v = x+1$，则 $dv = dx$。它就是 $int frac{1}{v} dv = ln|v| = ln|x+1|$。

代入结果：
$int frac{1}{x^21} dx = frac{1}{2} ln|x1| frac{1}{2} ln|x+1| + C$

我们可以进一步利用对数的性质：$ln a ln b = ln frac{a}{b}$
所以，结果还可以写成：
$= frac{1}{2} (ln|x1| ln|x+1|) + C$
$= frac{1}{2} lnleft|frac{x1}{x+1} ight| + C$

为什么 $int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$ 呢？
因为 $(ln|x|)'$ 分两种情况讨论：
如果 $x > 0$，那么 $|x| = x$，$(ln x)' = frac{1}{x}$。
如果 $x < 0$，那么 $|x| = x$，$(ln(x))' = frac{1}{x} cdot (1) = frac{1}{x}$。
所以，对所有非零的 $x$，$(ln|x|)' = frac{1}{x}$。

验算： 我们用最后一种形式 $frac{1}{2} lnleft|frac{x1}{x+1} ight| + C$ 来验算。
令 $y = frac{1}{2} lnleft|frac{x1}{x+1} ight|$。
首先， $lnleft|frac{x1}{x+1} ight| = ln|x1| ln|x+1|$。
所以 $y = frac{1}{2} (ln|x1| ln|x+1|)$。
$y' = frac{1}{2} left( (ln|x1|)' (ln|x+1|)' ight)$
$= frac{1}{2} left( frac{1}{x1} frac{1}{x+1} ight)$
$= frac{1}{2} left( frac{(x+1) (x1)}{(x1)(x+1)} ight)$
$= frac{1}{2} left( frac{x+1x+1}{x^21} ight)$
$= frac{1}{2} left( frac{2}{x^21} ight)$
$= frac{1}{x^21}$。
完全正确！



希望我把这四个积分的计算过程讲得足够详细和清晰了。不定积分的学习，就像是在学习一门新的语言，你需要熟悉各种“词汇”（基本积分公式）和“语法”（积分技巧），然后才能组合起来“造句”（计算复杂的积分）。遇到问题多分析、多尝试，并且勤加验算，是掌握它的不二法门！ 如果还有其他问题，随时都可以再问我哈！

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