这个用待定系数法，或者拼凑法怎么求不定积分？
好的，我们来聊聊如何用待定系数法或拼凑法来求解不定积分。这两种方法都是我们求不定积分时非常有用的“招式”，尤其是在直接套用公式不太好使的时候。别担心，我会把它们讲得明明白白，就像和你一起在书桌前讨论一样。
引入：为什么需要这些“招式”？
我们都知道，不定积分的本质是求导的逆运算。但是，不是所有函数都能轻易地找到它的“妈”（原函数）。很多时候，我们遇到的被积函数形式比较复杂，直接套用 ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C，∫sin(x) dx = cos(x) + C 等基本积分公式力不从心。
这时候，我们就需要一些“技巧”来“驯服”这些复杂的被积函数，让它们变得可以套用公式。待定系数法和拼凑法就是其中最常用、最经典的两种。
一、待定系数法：给未知的“系数”一个位置
核心思想： 把被积函数“拆解”成若干个我们知道如何积分的“基本单元”的和（或差），然后假设这些基本单元前面有未知系数，最后通过一些代数运算，把这些未知系数确定下来。
什么时候用？
当被积函数是一个有理函数（两个多项式的比），特别是分母可以分解成若干个一次因式或二次因式时。
当被积函数包含三角函数、指数函数等，可以转化成已知形式时。
具体步骤（以有理函数为例）：
假设我们要计算 ∫ R(x) dx，其中 R(x) = P(x) / Q(x)，P(x) 和 Q(x) 是多项式。
1. 因式分解分母： 这是关键的第一步。将分母 Q(x) 分解成一系列一次因式 (ax+b) 和二次因式 (ax²+bx+c) 的幂次和。
例如：(x1)², (2x+3)³, (x²+1), (x²+x+1)³ 等。
2. 构造待定系数的形式： 根据 Q(x) 的因式分解结果，将 R(x) 表示成若干个“基本分数”的和，每个分数前面都带有一个待定的系数。
对于形如 1/(ax+b) 的因式： 对应一个 A/(ax+b) 的项。
对于形如 1/(ax+b)ⁿ 的因式： 对应 A₁/(ax+b) + A₂/(ax+b)² + ... + Aₙ/(ax+b)ⁿ 的一系列项。
对于形如 (cx+d)/(ax²+bx+c) 的因式（其中 ax²+bx+c 不可再分解为实数根）： 对应 (Bx+C)/(ax²+bx+c) 的一项。
对于形如 (cx+d)/(ax²+bx+c)ⁿ 的因式： 对应 (B₁x+C₁)/(ax²+bx+c) + (B₂x+C₂)/(ax²+bx+c)² + ... + (Bₙx+Cₙ)/(ax²+bx+c)ⁿ 的一系列项。
3. 合并同类项，通分： 将构造好的待定系数形式合并成一个整体的分数。分母一定是原 Q(x)。
4. 比较系数： 令通分后的分子多项式等于原被积函数中的分子多项式 P(x)。由于两个多项式恒相等，则它们对应项的系数也必然相等。这就建立了一个关于待定系数（A, B, C...）的线性方程组。
5. 解方程组，求出系数： 解这个线性方程组，得到所有待定系数的值。
6. 积分： 将求出的系数代回待定系数的形式，然后逐项积分。这些基本分数形式的积分我们都是知道如何计算的。
举个例子：
计算 ∫ (x² + 1) / (x³ x²) dx
1. 因式分解分母：
Q(x) = x³ x² = x²(x 1)
2. 构造待定系数的形式：
分母包含 x² 和 (x1)。
所以，被积函数可以写成：
(x² + 1) / [x²(x 1)] = A/x + B/x² + C/(x 1)
3. 合并同类项，通分：
右边通分后得到：
[A x(x 1) + B (x 1) + C x²] / [x²(x 1)]
= [Ax² Ax + Bx B + Cx²] / [x²(x 1)]
= [(A+C)x² + (A+B)x B] / [x²(x 1)]
4. 比较系数：
令分子相等：x² + 1 = (A+C)x² + (A+B)x B
比较两侧 x 的同次幂的系数：
x² 项：1 = A + C
x¹ 项：0 = A + B
x⁰ 项（常数项）：1 = B
5. 解方程组：
从常数项：B = 1
从 x¹ 项：A + (1) = 0 => A = 1
从 x² 项：1 = 1 + C => C = 2
6. 积分：
将系数代回：
∫ (x² + 1) / (x³ x²) dx = ∫ [1/x + (1)/x² + 2/(x 1)] dx
= ∫ (1/x) dx + ∫ (1/x²) dx + ∫ (2/(x 1)) dx
= ln|x| (1/x) + 2ln|x 1| + C
= ln|x| + 1/x + 2ln|x 1| + C
小贴士：
在比较系数时，除了按 x 的幂次来，还可以代入一些特殊的 x 值来简化计算，例如代入分母的根，或者 0, 1, 1 等。这叫做“取值法”，常常比解方程组更快捷。
在上面的例子中，我们知道 B = 1 (从常数项)。
我们也可以令 x = 1：(1² + 1) / [1²(1 1)] > 这里直接代入会分母为零，说明这种方法也要注意分母不为零。
令 x = 0： (0² + 1) / [0²(0 1)] > 同样是分母为零。
正确的取值法示例：
将 (x² + 1) = A x(x 1) + B (x 1) + C x²
令 x = 1: 1² + 1 = A 1(11) + B (11) + C 1² => 2 = C
令 x = 0: 0² + 1 = A 0(01) + B (01) + C 0² => 1 = B => B = 1
然后，我们至少还需要一个值。令 x = 2： 2² + 1 = A 2(21) + B (21) + C 2²
5 = 2A + B + 4C
5 = 2A + (1) + 4(2)
5 = 2A 1 + 8
5 = 2A + 7
2A = 2
A = 1
取值法通常能帮你快速求出一些系数，然后剩下的再通过比较系数来完成。
对于不可约二次因式 ax²+bx+c，在构造待定系数时，分子是 Bx+C。积分时，这部分通常需要拆成两部分：一部分是 ∫ Bx/(ax²+bx+c) dx，另一部分是 ∫ C/(ax²+bx+c) dx。前者通过凑微分项 Bx+b/2，后者通过配方变成 arctan 形式。
二、拼凑法：在“熟悉”的函数周围“搭桥”
核心思想： 通过添加、减去或乘以一些项，将复杂的被积函数“变形”成我们熟悉的原函数的导数形式。它的精髓在于“看着像”，然后“凑”出那个像。
什么时候用？
当被积函数的形式比较规律，一眼能看出它可能是某个已知函数（如 ln(u), arctan(u), arcsin(u), uⁿ, eᵘ 等）的导数，但内部的“u”又不是简单的 x 时。
当被积函数是复合函数，我们可以尝试通过凑“内层函数”的导数来简化。
具体步骤：
1. 识别可能的“内层函数”： 观察被积函数，看看有没有哪个部分看起来像是复合函数里的“u”。
2. 尝试凑微分： 假设被积函数是 f(g(x))g'(x) 的形式。如果它不是，我们就想办法通过加减乘除（保持原函数值不变）来“凑”出 g'(x)。
最常见的是凑 dx 的微分： 比如，我们想计算 ∫ f(g(x)) dx。我们希望有 ∫ f(g(x)) g'(x) dx 的形式。如果被积函数里只有 f(g(x))，我们就需要乘以 g'(x)，同时也要除以 g'(x) 来抵消影响。
乘除法： ∫ g(x) dx = ∫ g(x) (h'(x)/h'(x)) dx = ∫ (g(x)/h'(x)) h'(x) dx。这里的 h'(x) 就是我们“凑”出来的。
加减法： 有时需要对被积函数进行变形，比如 ∫ (g(x) + h(x) h(x)) dx。
3. 不断调整，直到出现已知形式： 这是一个反复尝试和调整的过程。你可能需要几次尝试才能找到正确的“拼凑”方式。
举个例子：
计算 ∫ sin(x²) x dx
1. 识别可能的“内层函数”： 看到 sin(x²)，我们很容易猜测 x² 是内层函数。
2. 尝试凑微分：
内层函数是 u = x²。
它的导数是 du/dx = 2x。
我们的被积函数里有 x dx，正好是 du/2。
所以，我们可以这样凑：
∫ sin(x²) x dx
= ∫ sin(x²) (1/2) (2x dx) （我们乘以了2，所以要乘以1/2来抵消）
= (1/2) ∫ sin(x²) (2x dx)
现在，设 u = x²，则 du = 2x dx。
积分就变成了：
(1/2) ∫ sin(u) du
这是一个基本积分：
(1/2) (cos(u)) + C
将 u 换回 x²：
(1/2) cos(x²) + C
再举一个稍微复杂点的例子：
计算 ∫ (eˣ + 1) / (e²ˣ 1) dx
1. 识别可能的“内层函数”： 看到 eˣ，我们感觉 eˣ 可能是个好对象。
2. 尝试变形和凑微分：
令 u = eˣ，则 du = eˣ dx。
被积函数可以写成：(u + 1) / (u² 1) (1/u) du = (u + 1) / [u(u² 1)] du
这里变成了有理函数积分，可以用待定系数法。
(u + 1) / [u(u² 1)] = (u + 1) / [u(u 1)(u + 1)]
如果 u ≠ 1，可以约掉 (u+1)：1 / [u(u 1)]
现在用待定系数法：
1 / [u(u 1)] = A/u + B/(u 1)
1 = A(u 1) + Bu
令 u = 1: 1 = B
令 u = 0: 1 = A => A = 1
所以，原积分变为：∫ [1/u + 1/(u 1)] du
= ln|u| + ln|u 1| + C
= ln|(u 1) / u| + C
代回 u = eˣ：
ln|(eˣ 1) / eˣ| + C
= ln|1 e⁻ˣ| + C
反思一下拼凑法的灵活性：
凑常数： 这是一个最基础的拼凑，比如 ∫ (2x + 3) dx。我们看到 2x，知道它是 x² 的导数，但缺个“2”。所以可以凑成 ∫ (1/2) (2x + 3) 2 dx （这里有点复杂，不如直接积）。更简单的是 ∫ x dx = ∫ (1/2) 2x dx = (1/2) ∫ 2x dx = (1/2)x² + C。
凑整体的导数： 比如 ∫ cos(x²) 2x dx。这里 2x dx 就是 d(x²)，所以是 ∫ cos(u) du 的形式。
变形成熟悉的积分形式： 比如 ∫ 1 / (x² + 4) dx。看到 x² + a² 的形式，可以联想到 arctan。要凑成 ∫ 1 / (x² + a²) dx = (1/a) arctan(x/a) + C。
∫ 1 / (x² + 4) dx = ∫ 1 / (x² + 2²) dx
这里 a = 2。我们需要凑出 1/(2) (1/2) 1 / (x² + 2²) dx
凑成：(1/2) ∫ 1 / (x² + 2²) (1/2) dx （这个方式不对）
正确的拼凑：(1/2) ∫ [1 / (x² + 2²)] 2 dx （凑了一个“2”，前面要补个“1/2”）
= (1/2) (1/2) arctan(x/2) + C
= (1/4) arctan(x/2) + C （这里又错了，细节很重要！）
再试一次 ∫ 1 / (x² + 4) dx：
我们知道 ∫ 1 / (u² + a²) du = (1/a) arctan(u/a) + C。
这里的 u 就是 x，a² 是 4，所以 a = 2。
我们需要凑出 1/(x² + 2²) 的形式，然后外面乘以 1/2。
∫ 1 / (x² + 4) dx = ∫ 1 / (x² + 2²) dx
= (1/2) ∫ [1 / (x² + 2²)] 2 dx （这里凑了一个“2”来代表 d(x²) 的导数“2x”，但我们这里被积函数是 1/(x²+4)，不是 2x/(x²+4)）
真正正确的拼凑思路是：
∫ 1 / (x² + 4) dx
= ∫ 1 / [4 (x²/4 + 1)] dx
= (1/4) ∫ 1 / [(x/2)² + 1] dx
现在，令 u = x/2，则 du = (1/2) dx，所以 dx = 2 du。
= (1/4) ∫ 1 / (u² + 1) 2 du
= (2/4) ∫ 1 / (u² + 1) du
= (1/2) ∫ 1 / (u² + 1) du
= (1/2) arctan(u) + C
= (1/2) arctan(x/2) + C
看到没，拼凑法有时会“绕”，关键是理解我们要凑的是“导数”或者“标准积分形式”中的一部分。
总结一下：
待定系数法 是一种“结构化”的方法，特别是对于有理函数，分解分母、构造形式、比较系数、积分，步骤清晰，但有时计算量会比较大。
拼凑法 是一种“灵活性”很高的方法，更依赖于对基本积分形式的熟悉和对函数结构的洞察，它能让你直接“看到”原函数，省去很多代数运算，但有时候需要反复尝试。
这两种方法都不是万能的，但它们能解决我们遇到的绝大多数“不好直接积”的函数。就像学武功，刚开始要学招式，练好了才能融会贯通，甚至自创绝学。多做练习，多观察被积函数，你自然就能体会到它们的精妙之处了。
希望这解释够详细，也尽量把“AI味”去掉了！如果还有哪里不清楚，尽管问！
引入：为什么需要这些“招式”？
我们都知道，不定积分的本质是求导的逆运算。但是，不是所有函数都能轻易地找到它的“妈”（原函数）。很多时候，我们遇到的被积函数形式比较复杂，直接套用 ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C，∫sin(x) dx = cos(x) + C 等基本积分公式力不从心。
这时候，我们就需要一些“技巧”来“驯服”这些复杂的被积函数，让它们变得可以套用公式。待定系数法和拼凑法就是其中最常用、最经典的两种。
一、待定系数法：给未知的“系数”一个位置
核心思想： 把被积函数“拆解”成若干个我们知道如何积分的“基本单元”的和（或差），然后假设这些基本单元前面有未知系数，最后通过一些代数运算，把这些未知系数确定下来。
什么时候用？
当被积函数是一个有理函数（两个多项式的比），特别是分母可以分解成若干个一次因式或二次因式时。
当被积函数包含三角函数、指数函数等，可以转化成已知形式时。
具体步骤（以有理函数为例）：
假设我们要计算 ∫ R(x) dx，其中 R(x) = P(x) / Q(x)，P(x) 和 Q(x) 是多项式。
1. 因式分解分母： 这是关键的第一步。将分母 Q(x) 分解成一系列一次因式 (ax+b) 和二次因式 (ax²+bx+c) 的幂次和。
例如：(x1)², (2x+3)³, (x²+1), (x²+x+1)³ 等。
2. 构造待定系数的形式： 根据 Q(x) 的因式分解结果，将 R(x) 表示成若干个“基本分数”的和，每个分数前面都带有一个待定的系数。
对于形如 1/(ax+b) 的因式： 对应一个 A/(ax+b) 的项。
对于形如 1/(ax+b)ⁿ 的因式： 对应 A₁/(ax+b) + A₂/(ax+b)² + ... + Aₙ/(ax+b)ⁿ 的一系列项。
对于形如 (cx+d)/(ax²+bx+c) 的因式（其中 ax²+bx+c 不可再分解为实数根）： 对应 (Bx+C)/(ax²+bx+c) 的一项。
对于形如 (cx+d)/(ax²+bx+c)ⁿ 的因式： 对应 (B₁x+C₁)/(ax²+bx+c) + (B₂x+C₂)/(ax²+bx+c)² + ... + (Bₙx+Cₙ)/(ax²+bx+c)ⁿ 的一系列项。
3. 合并同类项，通分： 将构造好的待定系数形式合并成一个整体的分数。分母一定是原 Q(x)。
4. 比较系数： 令通分后的分子多项式等于原被积函数中的分子多项式 P(x)。由于两个多项式恒相等，则它们对应项的系数也必然相等。这就建立了一个关于待定系数（A, B, C...）的线性方程组。
5. 解方程组，求出系数： 解这个线性方程组，得到所有待定系数的值。
6. 积分： 将求出的系数代回待定系数的形式，然后逐项积分。这些基本分数形式的积分我们都是知道如何计算的。
举个例子：
计算 ∫ (x² + 1) / (x³ x²) dx
1. 因式分解分母：
Q(x) = x³ x² = x²(x 1)
2. 构造待定系数的形式：
分母包含 x² 和 (x1)。
所以，被积函数可以写成：
(x² + 1) / [x²(x 1)] = A/x + B/x² + C/(x 1)
3. 合并同类项，通分：
右边通分后得到：
[A x(x 1) + B (x 1) + C x²] / [x²(x 1)]
= [Ax² Ax + Bx B + Cx²] / [x²(x 1)]
= [(A+C)x² + (A+B)x B] / [x²(x 1)]
4. 比较系数：
令分子相等：x² + 1 = (A+C)x² + (A+B)x B
比较两侧 x 的同次幂的系数：
x² 项：1 = A + C
x¹ 项：0 = A + B
x⁰ 项（常数项）：1 = B
5. 解方程组：
从常数项：B = 1
从 x¹ 项：A + (1) = 0 => A = 1
从 x² 项：1 = 1 + C => C = 2
6. 积分：
将系数代回：
∫ (x² + 1) / (x³ x²) dx = ∫ [1/x + (1)/x² + 2/(x 1)] dx
= ∫ (1/x) dx + ∫ (1/x²) dx + ∫ (2/(x 1)) dx
= ln|x| (1/x) + 2ln|x 1| + C
= ln|x| + 1/x + 2ln|x 1| + C
小贴士：
在比较系数时，除了按 x 的幂次来，还可以代入一些特殊的 x 值来简化计算，例如代入分母的根，或者 0, 1, 1 等。这叫做“取值法”，常常比解方程组更快捷。
在上面的例子中，我们知道 B = 1 (从常数项)。
我们也可以令 x = 1：(1² + 1) / [1²(1 1)] > 这里直接代入会分母为零，说明这种方法也要注意分母不为零。
令 x = 0： (0² + 1) / [0²(0 1)] > 同样是分母为零。
正确的取值法示例：
将 (x² + 1) = A x(x 1) + B (x 1) + C x²
令 x = 1: 1² + 1 = A 1(11) + B (11) + C 1² => 2 = C
令 x = 0: 0² + 1 = A 0(01) + B (01) + C 0² => 1 = B => B = 1
然后，我们至少还需要一个值。令 x = 2： 2² + 1 = A 2(21) + B (21) + C 2²
5 = 2A + B + 4C
5 = 2A + (1) + 4(2)
5 = 2A 1 + 8
5 = 2A + 7
2A = 2
A = 1
取值法通常能帮你快速求出一些系数，然后剩下的再通过比较系数来完成。
对于不可约二次因式 ax²+bx+c，在构造待定系数时，分子是 Bx+C。积分时，这部分通常需要拆成两部分：一部分是 ∫ Bx/(ax²+bx+c) dx，另一部分是 ∫ C/(ax²+bx+c) dx。前者通过凑微分项 Bx+b/2，后者通过配方变成 arctan 形式。
二、拼凑法：在“熟悉”的函数周围“搭桥”
核心思想： 通过添加、减去或乘以一些项，将复杂的被积函数“变形”成我们熟悉的原函数的导数形式。它的精髓在于“看着像”，然后“凑”出那个像。
什么时候用？
当被积函数的形式比较规律，一眼能看出它可能是某个已知函数（如 ln(u), arctan(u), arcsin(u), uⁿ, eᵘ 等）的导数，但内部的“u”又不是简单的 x 时。
当被积函数是复合函数，我们可以尝试通过凑“内层函数”的导数来简化。
具体步骤：
1. 识别可能的“内层函数”： 观察被积函数，看看有没有哪个部分看起来像是复合函数里的“u”。
2. 尝试凑微分： 假设被积函数是 f(g(x))g'(x) 的形式。如果它不是，我们就想办法通过加减乘除（保持原函数值不变）来“凑”出 g'(x)。
最常见的是凑 dx 的微分： 比如，我们想计算 ∫ f(g(x)) dx。我们希望有 ∫ f(g(x)) g'(x) dx 的形式。如果被积函数里只有 f(g(x))，我们就需要乘以 g'(x)，同时也要除以 g'(x) 来抵消影响。
乘除法： ∫ g(x) dx = ∫ g(x) (h'(x)/h'(x)) dx = ∫ (g(x)/h'(x)) h'(x) dx。这里的 h'(x) 就是我们“凑”出来的。
加减法： 有时需要对被积函数进行变形，比如 ∫ (g(x) + h(x) h(x)) dx。
3. 不断调整，直到出现已知形式： 这是一个反复尝试和调整的过程。你可能需要几次尝试才能找到正确的“拼凑”方式。
举个例子：
计算 ∫ sin(x²) x dx
1. 识别可能的“内层函数”： 看到 sin(x²)，我们很容易猜测 x² 是内层函数。
2. 尝试凑微分：
内层函数是 u = x²。
它的导数是 du/dx = 2x。
我们的被积函数里有 x dx，正好是 du/2。
所以，我们可以这样凑：
∫ sin(x²) x dx
= ∫ sin(x²) (1/2) (2x dx) （我们乘以了2，所以要乘以1/2来抵消）
= (1/2) ∫ sin(x²) (2x dx)
现在，设 u = x²，则 du = 2x dx。
积分就变成了：
(1/2) ∫ sin(u) du
这是一个基本积分：
(1/2) (cos(u)) + C
将 u 换回 x²：
(1/2) cos(x²) + C
再举一个稍微复杂点的例子：
计算 ∫ (eˣ + 1) / (e²ˣ 1) dx
1. 识别可能的“内层函数”： 看到 eˣ，我们感觉 eˣ 可能是个好对象。
2. 尝试变形和凑微分：
令 u = eˣ，则 du = eˣ dx。
被积函数可以写成：(u + 1) / (u² 1) (1/u) du = (u + 1) / [u(u² 1)] du
这里变成了有理函数积分，可以用待定系数法。
(u + 1) / [u(u² 1)] = (u + 1) / [u(u 1)(u + 1)]
如果 u ≠ 1，可以约掉 (u+1)：1 / [u(u 1)]
现在用待定系数法：
1 / [u(u 1)] = A/u + B/(u 1)
1 = A(u 1) + Bu
令 u = 1: 1 = B
令 u = 0: 1 = A => A = 1
所以，原积分变为：∫ [1/u + 1/(u 1)] du
= ln|u| + ln|u 1| + C
= ln|(u 1) / u| + C
代回 u = eˣ：
ln|(eˣ 1) / eˣ| + C
= ln|1 e⁻ˣ| + C
反思一下拼凑法的灵活性：
凑常数： 这是一个最基础的拼凑，比如 ∫ (2x + 3) dx。我们看到 2x，知道它是 x² 的导数，但缺个“2”。所以可以凑成 ∫ (1/2) (2x + 3) 2 dx （这里有点复杂，不如直接积）。更简单的是 ∫ x dx = ∫ (1/2) 2x dx = (1/2) ∫ 2x dx = (1/2)x² + C。
凑整体的导数： 比如 ∫ cos(x²) 2x dx。这里 2x dx 就是 d(x²)，所以是 ∫ cos(u) du 的形式。
变形成熟悉的积分形式： 比如 ∫ 1 / (x² + 4) dx。看到 x² + a² 的形式，可以联想到 arctan。要凑成 ∫ 1 / (x² + a²) dx = (1/a) arctan(x/a) + C。
∫ 1 / (x² + 4) dx = ∫ 1 / (x² + 2²) dx
这里 a = 2。我们需要凑出 1/(2) (1/2) 1 / (x² + 2²) dx
凑成：(1/2) ∫ 1 / (x² + 2²) (1/2) dx （这个方式不对）
正确的拼凑：(1/2) ∫ [1 / (x² + 2²)] 2 dx （凑了一个“2”，前面要补个“1/2”）
= (1/2) (1/2) arctan(x/2) + C
= (1/4) arctan(x/2) + C （这里又错了，细节很重要！）
再试一次 ∫ 1 / (x² + 4) dx：
我们知道 ∫ 1 / (u² + a²) du = (1/a) arctan(u/a) + C。
这里的 u 就是 x，a² 是 4，所以 a = 2。
我们需要凑出 1/(x² + 2²) 的形式，然后外面乘以 1/2。
∫ 1 / (x² + 4) dx = ∫ 1 / (x² + 2²) dx
= (1/2) ∫ [1 / (x² + 2²)] 2 dx （这里凑了一个“2”来代表 d(x²) 的导数“2x”，但我们这里被积函数是 1/(x²+4)，不是 2x/(x²+4)）
真正正确的拼凑思路是：
∫ 1 / (x² + 4) dx
= ∫ 1 / [4 (x²/4 + 1)] dx
= (1/4) ∫ 1 / [(x/2)² + 1] dx
现在，令 u = x/2，则 du = (1/2) dx，所以 dx = 2 du。
= (1/4) ∫ 1 / (u² + 1) 2 du
= (2/4) ∫ 1 / (u² + 1) du
= (1/2) ∫ 1 / (u² + 1) du
= (1/2) arctan(u) + C
= (1/2) arctan(x/2) + C
看到没，拼凑法有时会“绕”，关键是理解我们要凑的是“导数”或者“标准积分形式”中的一部分。
总结一下：
待定系数法 是一种“结构化”的方法，特别是对于有理函数，分解分母、构造形式、比较系数、积分，步骤清晰，但有时计算量会比较大。
拼凑法 是一种“灵活性”很高的方法，更依赖于对基本积分形式的熟悉和对函数结构的洞察，它能让你直接“看到”原函数，省去很多代数运算，但有时候需要反复尝试。
这两种方法都不是万能的，但它们能解决我们遇到的绝大多数“不好直接积”的函数。就像学武功，刚开始要学招式，练好了才能融会贯通，甚至自创绝学。多做练习，多观察被积函数，你自然就能体会到它们的精妙之处了。
希望这解释够详细，也尽量把“AI味”去掉了！如果还有哪里不清楚，尽管问！
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好的，我们来聊聊如何用待定系数法或拼凑法来求解不定积分。这两种方法都是我们求不定积分时非常有用的“招式”，尤其是在直接套用公式不太好使的时候。别担心，我会把它们讲得明明白白，就像和你一起在书桌前讨论一样。 引入：为什么需要这些“招式”？我们都知道，不定积分的本质是求导的逆运算。但是，不是所有函数都能............. -
德川幕府给予天皇和京都朝廷的“五万石”俸禄，这可不是一个小数目，背后牵扯着一段复杂而微妙的政治平衡和历史演变。要理解这笔钱的去向和退位天皇的待遇，咱们得把时间拨回江户时代，一点点掰开了说。首先，关于这“五万石”的归属，可以明确地说，这笔俸禄并非仅仅供给天皇一个人享用。更准确地说，这笔钱是给了天皇和整.............
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听到你这么说，我能体会到那种失落和迷茫。当你在一个团队里投入了时间和精力，却发现大家似乎都不太喜欢你，那种滋味肯定不好受。这不仅仅是工作上的挑战，更是一种情感上的打击。首先，我们得承认，没有哪个管理者是靠被所有人喜欢来获得成功的。但如果“不喜欢”的程度已经影响到团队的正常运作，甚至让你觉得工作起来举.............
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百里守约，这名字在王者荣耀的战场上，似乎总是伴随着一句无奈的叹息，或是刺耳的谩骂。他就像一个难以融入集体的小孩，无论他如何努力，似乎总得不到大家的喜爱。为什么这位拥有“百里挑一”之名的射手，在玩家群体中却如此“百里不招人待见”呢？咱们就掰开了揉碎了，好好说道说道。首先，我们得承认，百里守约的定位和操.............
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理解你对民警和辅警待遇差异问题的关注。这是一个非常现实且复杂的问题，背后涉及体制、法律、社会分工以及历史沿革等诸多因素。我试着从几个角度来剖析一下这个问题，希望能更全面地理解它。首先，我们得承认，“体制原因”是造成这种待遇差异最根本的因素。简单来说，民警是国家公务员序列，是国家公职人员。他们纳入的是.............
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我曾几何时，也算得上是“小粉红”或者说“自干五”群体里的一员。那时候，我大概是二十出头，血气方刚，加上那时候网络环境和信息的传播方式，很容易让人觉得祖国强大了，我们就要自信，就要为国家发声。接触这个圈子，大概也是在一些国内的论坛和社交媒体上，看到大家对一些国际事件的讨论，尤其是西方国家对中国的一些批.............
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嘿，说到这个，《江南百景图》啊，最近我也琢磨了琢磨。你说那个游戏，画面倒是不错，古色古香的挺吸引人。但是吧，我最近发现，它好像有点儿太“肝”了。你看啊，它那个经营的节奏，时不时就需要点一下，材料生产也得看着，建筑升级更是不能耽误。我呢，本来就有点儿工作狂，要是再往游戏里投太多精力，感觉自己的生活节奏.............
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傅里叶级数？哦，这可是个好东西，尤其是在处理周期性信号或者想把一个复杂的函数拆成简单的正弦余弦波时。你想怎么用它呢？一般来说，我们用傅里叶级数做事情，无非就是这几件事：1. 信号分析：看看一个信号里到底藏着多少种不同频率的成分，以及它们的“量”有多大。这就像给一个乐队里的每种乐器单独录音，然后分析.............
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当然可以！我们来聊聊如何用纯粹的数学分析方法来理解和证明正定性，而不需要依赖高等代数中的矩阵定义。这实际上是一种非常扎实的理解方式，因为它能帮助我们看到正定性的本质。假设我们有一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，其中 $x_i$ 是实数。我们特别关注的是这个函数在某个点（我们通.............
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您好！看到您在求一个积分时遇到了困难，并且排除了分部积分法，这说明您很可能遇到的积分确实比较棘手，并非常规的套路。首先，为了能给出最准确的建议，能否请您 提供一下具体的积分表达式 呢？积分的形式千变万化，不同的表达式需要不同的解决思路。不过，既然您已经排除了分部积分，我先根据一些常见的、不适合分部积.............
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这个问题很有意思，因为它触及了许多不同的解决方法。具体用什么方法，很大程度上取决于“这个”指的是什么。假设我们面临的是一个需要解决某个问题的情况。那么，我们首先需要做的，是深入理解问题的本质。这就像一个侦探，需要仔细观察现场，收集所有相关的线索，弄清楚到底发生了什么。不能只看到表面现象，要挖掘其背后.............
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圆周率 π 的一个有趣表示：正切半角无穷级数展开式我们都知道圆周率 $pi$ 是一个神秘而迷人的数字，它的出现贯穿于数学的许多分支，尤其是在几何和分析学中。除了我们熟知的 $pi approx 3.14159$ 之外，数学家们也为它找到了许多精妙的表达方式，其中一个尤其引人注目的是通过正切函数的半角.............
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这个问题很有意思，也很实在！问“为什么”的时候，我们是在探究事物的本质和根源，而不是简单地记住一个公式。三角函数之所以在很多地方出现，而且如此有用，其实是因为它本质上是对“旋转”和“周期性”最自然的数学描述。咱们慢慢来聊，把话说透了。1. 你是怎么“看见”三角函数的？最开始，人们研究三角函数，是为了.............
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您好！很高兴能为您解答关于留数定理的问题。要回答您的问题“这个能用留数做吗？”，我需要知道“这个”具体指什么。 留数定理是一种强大的复变函数积分工具，但它并不是万能的，它主要用于计算复变函数的围道积分。所以，请您告诉我您想要计算的具体积分是什么。在您提供具体积分之前，我先为您详细讲解一下留数定理以及.............
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