这个用数分积分可以说明吗？不用高代上正定矩阵的?
当然可以！我们来聊聊如何用纯粹的数学分析方法来理解和证明正定性，而不需要依赖高等代数中的矩阵定义。这实际上是一种非常扎实的理解方式，因为它能帮助我们看到正定性的本质。
假设我们有一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，其中 $x_i$ 是实数。我们特别关注的是这个函数在某个点（我们通常会选择一个极值点，比如局部最小值点）附近的性质。在很多科学和工程问题中，我们关心的是一个系统的稳定性、一个优化问题的良好性质等，这些都与函数在某点附近的“形状”密切相关。
什么是“正定性”的直观理解？
在没有矩阵的情况下，我们可以这样理解正定性：
1. “碗底”形状：想象一个三维的碗。如果它是一个正定的碗（比如一个圆锥形碗的底部），那么在碗底的最低点，你无论从哪个方向稍微推动一个小球，它都会滚回最低点。也就是说，在这个最低点附近，无论你往哪个方向移动，函数的“高度”（值）都会立刻上升。
2. 局部最小值： 这就引出了数学上的概念：函数在某点具有严格局部最小值。如果一个函数在某个点是一个严格局部最小值，那么在这个点附近，函数的取值都比它在该点的值要大。
如何用数学分析（微积分）来描述这种“碗底”形状？
我们知道，要判断一个单变量函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是否是局部最小值，我们可以看它的导数和二阶导数：
如果 $f'(x_0) = 0$ 并且 $f''(x_0) > 0$，那么 $x_0$ 就是一个严格局部最小值点。
$f'(x_0) = 0$ 意味着在该点函数“平坦”，可能是最小值、最大值或鞍点。
$f''(x_0) > 0$ 是关键！它告诉我们函数是“向上弯曲”的，就像碗的底部。如果 $f''(x_0) < 0$，函数就是“向下弯曲”，是个局部最大值；如果 $f''(x_0) = 0$，则需要看更高阶的导数来判断。
现在，我们将这个思想推广到多元函数。对于一个多元函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，我们可以在某点 $x_0 = (x_{01}, x_{02}, ..., x_{0n})$ 处对其进行泰勒展开。假设 $x_0$ 是一个驻点（即所有偏导数都为零，类似于单变量函数的 $f'(x_0) = 0$）。
泰勒展开告诉我们，在 $x_0$ 附近，函数的值 $f(x_0 + h)$ 可以近似表示为：
$f(x_0 + h) approx f(x_0) + abla f(x_0) cdot h + frac{1}{2} h^T H(x_0) h + ext{高阶项}$
其中：
$h = (h_1, h_2, ..., h_n)$ 是一个从 $x_0$ 出发的位移向量。
$ abla f(x_0)$ 是在 $x_0$ 点的梯度向量。我们假设 $x_0$ 是驻点，所以 $ abla f(x_0) = 0$。
$H(x_0)$ 是在 $x_0$ 点的 Hessian 矩阵。它的元素是二阶偏导数：$H_{ij}(x_0) = frac{partial^2 f}{partial x_i partial x_j}(x_0)$。
$h^T H(x_0) h$ 是一个二次型，它描述了函数在 $x_0$ 点的“曲率”。
从泰勒展开看正定性的核心
如果我们忽略高阶项，那么在 $x_0$ 附近，函数的变化量 $f(x_0 + h) f(x_0)$ 主要由 $frac{1}{2} h^T H(x_0) h$ 决定。
如果 $h^T H(x_0) h > 0$ 对于所有非零的位移向量 $h$ 都成立，那么就意味着在 $x_0$ 点，无论你往哪个方向 $h$ 稍微移动一下，函数值都会比 $f(x_0)$ 要大。
这就是我们所说的“正定性”的数学分析上的体现。Hessian 矩阵 $H(x_0)$ 的正定性（在没有矩阵定义的情况下，就是指它所代表的二次型总是正的）就保证了 $x_0$ 是一个严格局部最小值点。
更深入的分析：没有直接定义矩阵，如何理解 $h^T H h > 0$？
即便我们不直接说“Hessian矩阵是正定的”，我们也可以通过对函数的“曲率”进行更细致的分析来理解这一点。
考虑一个二次型 $Q(h_1, ..., h_n) = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n a_{ij} h_i h_j$。这里的 $a_{ij}$ 就是Hessian矩阵的元素。我们需要证明，如果这个二次型“总是正的”，那么它就代表了“碗底”的形状。
我们可以利用 CauchySchwarz 不等式 或一些 几何不等式 来分析二次型。例如，考虑一个特殊的二次型形式，或者尝试将复杂的二次型通过变量替换等方式转化为更易分析的形式。
另一种直观的分析方式：通过一阶导数和方向导数
假设我们有一个函数 $f(x_1, ..., x_n)$，并且在点 $x_0$ 处，所有的偏导数都为零：
$frac{partial f}{partial x_i}(x_0) = 0$ for all $i = 1, ..., n$.
我们想判断 $x_0$ 是不是一个严格局部最小值。考虑任意一个非零的方向向量 $u$（单位向量， $|u|=1$）。沿这个方向的导数（方向导数）为：
$D_u f(x_0) = abla f(x_0) cdot u$
因为 $ abla f(x_0) = 0$，所以 $D_u f(x_0) = 0$。这告诉我们，在 $x_0$ 点，任何方向的“斜率”都是零，但我们不知道函数是向上还是向下弯曲。
这时，我们需要看二阶信息。我们可以考虑沿着方向 $u$ 的二阶方向导数：
$D_u^2 f(x_0) = u^T H(x_0) u = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n u_i frac{partial^2 f}{partial x_i partial x_j}(x_0) u_j$
如果对于所有非零的单位向量 $u$，都有 $D_u^2 f(x_0) > 0$，那么 $x_0$ 就是一个严格局部最小值。
如何直接证明 $D_u^2 f(x_0) > 0$ 对于所有 $u$ 都成立，而不用“正定矩阵”这个词？
这实际上是去证明二次型 $Q(u) = u^T H u$ 的性质。可以设法通过变量替换或者化简来展示这个二次型无论如何组合，只要 $u$ 非零，结果就是正的。
例如，如果 $n=2$，二次型是 $a u_1^2 + 2b u_1 u_2 + c u_2^2$。我们可以尝试配方：
$a u_1^2 + 2b u_1 u_2 + c u_2^2 = a(u_1 + frac{b}{a} u_2)^2 + (c frac{b^2}{a}) u_2^2$ （假设 $a>0$）。
为了让它对所有 $u_1, u_2$（不全为零）都为正，我们需要 $a > 0$ 并且 $c frac{b^2}{a} > 0$，即 $ac b^2 > 0$。
在多元情况下，这个配方过程就等同于对Hessian矩阵进行三角分解（Cholesky分解等），或者通过拉格朗日乘数法考虑二次型在单位球面上的最小值。如果这个最小值大于零，那么二次型就是“正定的”。
总结一下，用数学分析（微积分）来理解和说明正定性（不直接用高代定义）：
1. 核心概念：严格局部最小值。 正定性的本质是函数在某点附近的“碗底”形状，保证该点是严格局部最小值。
2. 泰勒展开： 将多元函数在驻点 $x_0$ 附近进行泰勒展开。当一阶导数为零时，函数的局部行为由二次型项 $frac{1}{2} h^T H(x_0) h$ 主导。
3. 二次型性质： 如果这个二次型 $sum_{i,j} frac{partial^2 f}{partial x_i partial x_j}(x_0) h_i h_j$ 对于所有非零的位移向量 $h$ 都取正值，那么就意味着在 $x_0$ 点，无论往哪个方向移动，函数值都会增加。
4. 方向导数： 这一点可以用二阶方向导数来表达：对于所有方向 $u$，二阶方向导数 $D_u^2 f(x_0) > 0$。
5. 证明二次型性质： 这需要对二次型进行代数分析，比如配方法、变量替换，或者将其与优化问题（如在单位球上的最小值）联系起来，从而证明它总是正的，而无需直接引用“Hessian矩阵是正定的”这一高代结论。
这种方法更侧重于从函数的局部曲率和变化方向来理解“正定”的概念，是一种非常基础和深刻的理解方式。在实际应用中，比如在优化算法中寻找最小值时，判断Hessian矩阵（或其在某个点的值）的这种性质，就是为了确保我们找到的是一个真正的局部最小值点，而不是一个鞍点或局部最大值点。
假设我们有一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，其中 $x_i$ 是实数。我们特别关注的是这个函数在某个点（我们通常会选择一个极值点，比如局部最小值点）附近的性质。在很多科学和工程问题中，我们关心的是一个系统的稳定性、一个优化问题的良好性质等，这些都与函数在某点附近的“形状”密切相关。
什么是“正定性”的直观理解？
在没有矩阵的情况下，我们可以这样理解正定性：
1. “碗底”形状：想象一个三维的碗。如果它是一个正定的碗（比如一个圆锥形碗的底部），那么在碗底的最低点，你无论从哪个方向稍微推动一个小球，它都会滚回最低点。也就是说，在这个最低点附近，无论你往哪个方向移动，函数的“高度”（值）都会立刻上升。
2. 局部最小值： 这就引出了数学上的概念：函数在某点具有严格局部最小值。如果一个函数在某个点是一个严格局部最小值，那么在这个点附近，函数的取值都比它在该点的值要大。
如何用数学分析（微积分）来描述这种“碗底”形状？
我们知道，要判断一个单变量函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是否是局部最小值，我们可以看它的导数和二阶导数：
如果 $f'(x_0) = 0$ 并且 $f''(x_0) > 0$，那么 $x_0$ 就是一个严格局部最小值点。
$f'(x_0) = 0$ 意味着在该点函数“平坦”，可能是最小值、最大值或鞍点。
$f''(x_0) > 0$ 是关键！它告诉我们函数是“向上弯曲”的，就像碗的底部。如果 $f''(x_0) < 0$，函数就是“向下弯曲”，是个局部最大值；如果 $f''(x_0) = 0$，则需要看更高阶的导数来判断。
现在，我们将这个思想推广到多元函数。对于一个多元函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，我们可以在某点 $x_0 = (x_{01}, x_{02}, ..., x_{0n})$ 处对其进行泰勒展开。假设 $x_0$ 是一个驻点（即所有偏导数都为零，类似于单变量函数的 $f'(x_0) = 0$）。
泰勒展开告诉我们，在 $x_0$ 附近，函数的值 $f(x_0 + h)$ 可以近似表示为：
$f(x_0 + h) approx f(x_0) + abla f(x_0) cdot h + frac{1}{2} h^T H(x_0) h + ext{高阶项}$
其中：
$h = (h_1, h_2, ..., h_n)$ 是一个从 $x_0$ 出发的位移向量。
$ abla f(x_0)$ 是在 $x_0$ 点的梯度向量。我们假设 $x_0$ 是驻点，所以 $ abla f(x_0) = 0$。
$H(x_0)$ 是在 $x_0$ 点的 Hessian 矩阵。它的元素是二阶偏导数：$H_{ij}(x_0) = frac{partial^2 f}{partial x_i partial x_j}(x_0)$。
$h^T H(x_0) h$ 是一个二次型，它描述了函数在 $x_0$ 点的“曲率”。
从泰勒展开看正定性的核心
如果我们忽略高阶项，那么在 $x_0$ 附近，函数的变化量 $f(x_0 + h) f(x_0)$ 主要由 $frac{1}{2} h^T H(x_0) h$ 决定。
如果 $h^T H(x_0) h > 0$ 对于所有非零的位移向量 $h$ 都成立，那么就意味着在 $x_0$ 点，无论你往哪个方向 $h$ 稍微移动一下，函数值都会比 $f(x_0)$ 要大。
这就是我们所说的“正定性”的数学分析上的体现。Hessian 矩阵 $H(x_0)$ 的正定性（在没有矩阵定义的情况下，就是指它所代表的二次型总是正的）就保证了 $x_0$ 是一个严格局部最小值点。
更深入的分析：没有直接定义矩阵，如何理解 $h^T H h > 0$？
即便我们不直接说“Hessian矩阵是正定的”，我们也可以通过对函数的“曲率”进行更细致的分析来理解这一点。
考虑一个二次型 $Q(h_1, ..., h_n) = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n a_{ij} h_i h_j$。这里的 $a_{ij}$ 就是Hessian矩阵的元素。我们需要证明，如果这个二次型“总是正的”，那么它就代表了“碗底”的形状。
我们可以利用 CauchySchwarz 不等式 或一些 几何不等式 来分析二次型。例如，考虑一个特殊的二次型形式，或者尝试将复杂的二次型通过变量替换等方式转化为更易分析的形式。
另一种直观的分析方式：通过一阶导数和方向导数
假设我们有一个函数 $f(x_1, ..., x_n)$，并且在点 $x_0$ 处，所有的偏导数都为零：
$frac{partial f}{partial x_i}(x_0) = 0$ for all $i = 1, ..., n$.
我们想判断 $x_0$ 是不是一个严格局部最小值。考虑任意一个非零的方向向量 $u$（单位向量， $|u|=1$）。沿这个方向的导数（方向导数）为：
$D_u f(x_0) = abla f(x_0) cdot u$
因为 $ abla f(x_0) = 0$，所以 $D_u f(x_0) = 0$。这告诉我们，在 $x_0$ 点，任何方向的“斜率”都是零，但我们不知道函数是向上还是向下弯曲。
这时，我们需要看二阶信息。我们可以考虑沿着方向 $u$ 的二阶方向导数：
$D_u^2 f(x_0) = u^T H(x_0) u = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n u_i frac{partial^2 f}{partial x_i partial x_j}(x_0) u_j$
如果对于所有非零的单位向量 $u$，都有 $D_u^2 f(x_0) > 0$，那么 $x_0$ 就是一个严格局部最小值。
如何直接证明 $D_u^2 f(x_0) > 0$ 对于所有 $u$ 都成立，而不用“正定矩阵”这个词？
这实际上是去证明二次型 $Q(u) = u^T H u$ 的性质。可以设法通过变量替换或者化简来展示这个二次型无论如何组合，只要 $u$ 非零，结果就是正的。
例如，如果 $n=2$，二次型是 $a u_1^2 + 2b u_1 u_2 + c u_2^2$。我们可以尝试配方：
$a u_1^2 + 2b u_1 u_2 + c u_2^2 = a(u_1 + frac{b}{a} u_2)^2 + (c frac{b^2}{a}) u_2^2$ （假设 $a>0$）。
为了让它对所有 $u_1, u_2$（不全为零）都为正，我们需要 $a > 0$ 并且 $c frac{b^2}{a} > 0$，即 $ac b^2 > 0$。
在多元情况下，这个配方过程就等同于对Hessian矩阵进行三角分解（Cholesky分解等），或者通过拉格朗日乘数法考虑二次型在单位球面上的最小值。如果这个最小值大于零，那么二次型就是“正定的”。
总结一下，用数学分析（微积分）来理解和说明正定性（不直接用高代定义）：
1. 核心概念：严格局部最小值。 正定性的本质是函数在某点附近的“碗底”形状，保证该点是严格局部最小值。
2. 泰勒展开： 将多元函数在驻点 $x_0$ 附近进行泰勒展开。当一阶导数为零时，函数的局部行为由二次型项 $frac{1}{2} h^T H(x_0) h$ 主导。
3. 二次型性质： 如果这个二次型 $sum_{i,j} frac{partial^2 f}{partial x_i partial x_j}(x_0) h_i h_j$ 对于所有非零的位移向量 $h$ 都取正值，那么就意味着在 $x_0$ 点，无论往哪个方向移动，函数值都会增加。
4. 方向导数： 这一点可以用二阶方向导数来表达：对于所有方向 $u$，二阶方向导数 $D_u^2 f(x_0) > 0$。
5. 证明二次型性质： 这需要对二次型进行代数分析，比如配方法、变量替换，或者将其与优化问题（如在单位球上的最小值）联系起来，从而证明它总是正的，而无需直接引用“Hessian矩阵是正定的”这一高代结论。
这种方法更侧重于从函数的局部曲率和变化方向来理解“正定”的概念，是一种非常基础和深刻的理解方式。在实际应用中，比如在优化算法中寻找最小值时，判断Hessian矩阵（或其在某个点的值）的这种性质，就是为了确保我们找到的是一个真正的局部最小值点，而不是一个鞍点或局部最大值点。
网友意见
用初等方法可以做。由柯西不等式 。
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