有哪些「这也能用数学证明」的事件？
1. 达芬奇画作中的“黄金分割”——数学与艺术的契合
背景：
列奥纳多·达·芬奇是文艺复兴时期最杰出的艺术家和科学家之一。他的画作，如《蒙娜丽莎》和《最后的晚餐》，以其和谐的构图和逼真的描绘而闻名于世。长期以来，人们观察到他的作品中似乎普遍存在一种特殊的比例关系，即“黄金分割”（Golden Ratio），也被称为黄金数或黄金比例，通常用希腊字母 $phi$ (phi) 表示。黄金分割比大约等于 1.6180339887...
“这也能用数学证明”的惊奇之处：
让人惊奇的是，艺术家在创作时，很可能并没有进行精确的数学计算。然而，通过直觉、经验和对美的追求，他们无意中触碰到了数学上非常重要的比例。这种比例不仅出现在艺术中，还广泛存在于自然界（如植物生长、贝壳螺旋）和物理现象中。数学家们通过分析达芬奇的画作，试图证明这些比例确实是作者有意为之，还是偶然的巧合。
详细的证明（或说分析）过程：
虽然我们无法直接“证明”达芬奇的意图（因为他没有留下详细的数学笔记来解释他的构图原则），但后世的数学家和艺术史学家通过以下方式进行了分析和论证：
测量与比例分析：
蒙娜丽莎：
脸部比例： 量测蒙娜丽莎的脸部宽度和高度。研究者发现，脸部的高度（从发际线到下巴）与宽度（最宽处）的比值接近黄金分割。
五官布局： 测量眼睛、鼻子、嘴巴之间的距离和比例。例如，眼睛的位置到额头的距离与眼睛到嘴巴的距离的比值，或者嘴巴到下巴的距离与鼻子到嘴巴的距离的比值，都被发现接近黄金分割。
整体构图： 将画面分割成不同的区域，例如将画面从中间垂直分开，左右两侧的比例，或者头部区域占整个画面高度的比例等，也常常发现接近黄金分割的比例。
其他画作： 同样的分析也被应用于《最后的晚餐》、《维特鲁威人》等作品。
黄金矩形与黄金螺旋：
数学家们尝试在画作中框入黄金矩形。一个黄金矩形是指长宽之比为 $phi$ 的矩形。将一个黄金矩形去掉一个正方形后，剩余的部分仍然是一个黄金矩形。这个过程可以无限重复，形成一个黄金螺旋。研究者会将这些“理论上的”黄金矩形和螺旋叠加到画作上，观察画作的关键元素（如人物的眼睛、手、主体焦点）是否落在这些几何线上或相交点上。
论证的局限性与争议：
精确性问题： 这种分析并非绝对精确。测量总会有误差，而且艺术家是否会精确到小数点后几位很难说。一些研究者认为，这些比例的相似性可能只是“看起来像”。
“确认偏误”： 当人们知道黄金分割是一个美的比例时，他们可能会更容易在数据中找到支持这一理论的证据，而忽略不符合的部分。
历史文献支持： 虽然达芬奇对数学和几何学有深入研究，并且在他的著作中也提到了比例的重要性，但没有直接证据表明他刻意使用了黄金分割来计算他的所有作品的比例。
结论：
尽管存在争议，但通过对达芬奇作品大量精确的测量和几何分析，以及与其他文艺复兴时期艺术家的对比，许多人相信达芬奇在潜意识或有意识地运用了类似黄金分割的比例，这为他的作品带来了卓越的和谐与美感。数学在艺术评论中的应用，使得我们能从量化的角度去理解和欣赏艺术的魅力，这本身就是一件很“数学”的事情。
2. 扔硬币的概率——“几乎不可能”如何成为“必然”
背景：
抛掷一枚均匀的硬币，出现正面（H）或反面（T）的概率各是 1/2。如果连续抛掷硬币多次，例如连续出现 10 次正面，我们直觉上会觉得这是非常不可能的。但如果抛掷的次数非常非常多，这个“不可能”会发生什么变化呢？
“这也能用数学证明”的惊奇之处：
数学可以精确地量化这种“不可能”的程度，并且证明在足够多的尝试下，即使是极小概率的事件，也会以极高的概率发生。这颠覆了我们对概率的直观认知，尤其在理解大数定律和随机过程时至关重要。
详细的证明（概率论解释）：
单个事件的概率： 抛掷一枚硬币一次，得到正面的概率 $P(H) = 1/2$，得到反面的概率 $P(T) = 1/2$。
连续多次出现相同结果的概率：
连续抛掷两次正面（HH）的概率是 $P(HH) = P(H) imes P(H) = (1/2) imes (1/2) = 1/4$。
连续抛掷三次正面（HHH）的概率是 $P(HHH) = (1/2)^3 = 1/8$。
连续抛掷 $n$ 次正面（H...H，共 $n$ 个 H）的概率是 $P( ext{n 次正面}) = (1/2)^n$。
计算连续 10 次正面的概率：
$P( ext{10 次正面}) = (1/2)^{10} = 1/1024$。
这确实是一个相对小的概率，大约是 0.0977%，或接近千分之一。
大数定律（Law of Large Numbers）的体现：
大数定律表明，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋近于其理论概率。更重要的是，切比雪夫不等式 或 伯恩斯坦不等式 等概率不等式可以用来证明，即使是小概率事件，在足够多的独立重复试验中，也一定会发生（或者说发生某类事件的次数会达到一定的阈值）。
考虑一个更宽泛的问题：在 $N$ 次硬币抛掷中，至少出现一次连续 10 次正面的概率。计算这个精确概率非常复杂，但我们可以用近似的方法来理解。
一个更直观的例子是：如果你连续抛掷硬币 1000 次，那么你一定会看到连续 10 次正面的情况。
为什么？我们可以想象一下，我们每次抛掷硬币，都在看“有没有出现一个连续 10 次正面的序列”。
实际上，我们可以将这个问题转化为：有多少个可能的长度为 10 的序列？总共是 $2^{10} = 1024$ 种可能。
当我们抛掷硬币 $N$ 次时，我们实际上是在考察这 $N$ 次抛掷形成的 $N9$ 个长度为 10 的子序列。
如果 $N$ 足够大，例如 $N = 1000$，那么我们有大约 $1000 10 = 990$ 个这样的子序列。
每个子序列是 10 次正面的概率是 $1/1024$。
虽然单个子序列出现连续 10 次正面的概率很小，但因为有非常多的子序列在同时进行“检验”，根据一些更高级的概率论结果（例如，对“坏情况”的计数或使用马尔可夫链的遍历性），我们可以证明在足够的抛掷次数下，至少出现一次连续 10 次正面的概率会非常接近 1。
一个更简单的说明：考虑抛掷硬币直到出现连续 10 次正面为止。这个过程的期望次数是多少？它不是一个巨大的数字。实际上，如果一个事件的概率是 $p$，那么期望需要 $1/p$ 次才能见到它。但这里涉及到“连续”和“状态的转移”，所以计算会更复杂。但关键在于，这个期望次数是有限的。比如，出现连续两次正面的期望次数是 6 次（想想看，HH, THH, TTHH, ...）。而连续 10 次正面的期望次数，根据计算大约是 2046 次。
这意味着，如果你抛掷硬币 2046 次，你平均会看到一次连续 10 次正面。而当你抛掷次数远大于期望次数时（例如，抛掷 10000 次），看到连续 10 次正面的概率就非常非常高了。
结论：
数学证明了，在足够多的独立重复试验中，即使是概率极低的事件，最终也会以极高的概率发生。这就是为什么在赌博中，赌场总能赢（因为他们有巨额的赌注和大量顾客，大数定律在起作用），也是为什么某些看似不可能的巧合会在大样本中出现。数学赋予了我们理解和预测随机世界的能力。
3. 朋友的平均朋友数——为什么不是你直觉的那样？
背景：
想象一个社交网络，每个人都是一个节点，如果两个人是朋友，就用一条边连接。我们来考虑一个简单的问题：你认识的朋友的平均朋友数，和你朋友的平均朋友数，哪个更高？直觉上，我们可能会觉得这两个数字差不多。
“这也能用数学证明”的惊奇之处：
数学证明表明，在大多数情况下，你朋友的平均朋友数会显著高于你自己的平均朋友数。这个结果对于很多人来说是反直觉的，但它是图论中的一个重要结论。
详细的证明（图论解释）：
我们使用图论的概念来描述这个问题。
将每个人视为图中的一个顶点 (vertex)。
如果两个人是朋友，就在它们之间画一条边 (edge)。这是一个无向图，因为友谊是相互的。
现在我们来定义几个量：
1. 你的平均朋友数：
假设你认识 $k$ 个朋友，他们分别是 $F_1, F_2, ..., F_k$。
每个人（包括你自己）的朋友数量被称为度数 (degree)。
假设你在图中的度数是 $d_{you}$。
我们计算所有人的度数，然后除以总人数 $N$ 来得到平均度数（平均朋友数）。
你的平均朋友数 指的是你认识的这 $k$ 个朋友的平均度数。设你的朋友们的度数分别为 $d_{F_1}, d_{F_2}, ..., d_{F_k}$。
你的平均朋友数 $= frac{1}{k} sum_{i=1}^{k} d_{F_i}$。
2. 你朋友的平均朋友数：
这是所有人的朋友数的平均值。假设图的总边数为 $E$。根据握手定理（Handshaking Lemma），所有顶点的度数之和等于总边数的两倍：$sum_{v in V} deg(v) = 2E$。
图的总平均朋友数 $= frac{sum_{v in V} deg(v)}{N} = frac{2E}{N}$。
证明过程：
问题在于我们比较的是“你朋友圈里的平均朋友数”和“所有人的平均朋友数”。
让我们换一个角度来计算“你朋友的平均朋友数”。
考虑从图中随机选择一个顶点（一个人），然后我们随机选择一条连接到这个顶点的边（指向一个朋友）。
那么，我们通过这条边连接到的另一个顶点（你朋友）的平均度数是多少？
让我们仔细考虑：
总共有 $2E$ 条“朋友关系”（每条关系由两条端点组成）。
我们随机选择一个人（顶点 $v$），然后从他那里出发，随机选择一条边（他的一个朋友）。
有多少种方法可以这样选择？每个顶点 $v$ 有 $deg(v)$ 条边。所以总共有 $sum_{v in V} deg(v) = 2E$ 种选择方法。
当我们选择了一条边 $(u, v)$ 时，我们是在从顶点 $u$“看”到顶点 $v$，或者从顶点 $v$“看”到顶点 $u$。
现在，我们感兴趣的是：如果我们从你（顶点 $Y$）出发，随机选择一条边指向你的一个朋友（顶点 $F_i$），那么这个朋友 $F_i$ 的度数 $deg(F_i)$ 的平均值是多少？
正确的理解是：我们不是随机选择一个朋友然后看他的度数。而是我们根据“连接到朋友的数量”来加权平均。
让我们回到更严谨的定义：
你的平均朋友数（Average friends of your friends）：你认识的 $k$ 个朋友，他们的朋友数加起来除以 $k$。
朋友的平均朋友数（Average degree of your friends）：这是指如果你随机从你朋友的“朋友关系”中抽一条，这条关系指向的那个人的平均度数是多少。
更直观的解释是这样的：
假设有 A, B, C 三个人。
A 的朋友是 B, C。
B 的朋友是 A, C。
C 的朋友是 A, B。
这是一个三角关系，每个人都是朋友。每个人有 2 个朋友。
A 的朋友是 B 和 C。B 有 2 个朋友，C 有 2 个朋友。所以 A 的平均朋友数是 (2+2)/2 = 2。
A 的朋友的平均朋友数（所有人的平均朋友数）也是 2。
再看一个例子：
A 的朋友是 B。
B 的朋友是 A 和 C。
C 的朋友是 B。
A (度数 1) 朋友是 B (度数 2)。 A 的平均朋友数是 2/1 = 2。
B (度数 2) 朋友是 A (度数 1) 和 C (度数 1)。 B 的平均朋友数是 (1+1)/2 = 1。
C (度数 1) 朋友是 B (度数 2)。 C 的平均朋友数是 2/1 = 2。
所有人平均朋友数是 (1+2+1)/3 = 4/3。
现在来看，谁的平均朋友数更高？
A 的朋友是 B，B 的朋友数是 2。所以 A 的“朋友的平均朋友数”是 2。
B 的朋友是 A 和 C。A 的朋友数是 1，C 的朋友数是 1。所以 B 的“朋友的平均朋友数”是 (1+1)/2 = 1。
C 的朋友是 B，B 的朋友数是 2。所以 C 的“朋友的平均朋友数”是 2。
在这种情况下，A 和 C 的“朋友的平均朋友数”为 2，高于他们自己的平均朋友数 1。而 B 的情况正好相反。
关键的数学证明和直观解释：
这个现象与概率的选择方式有关。当我们问“你的朋友的平均朋友数”时，我们实际上是在考虑：
如果我们随机选择一条朋友关系（从你出发的），那么这条关系指向的那个朋友的平均度数是多少？
换句话说，如果我们从你出发，有 $k$ 条边指向你的 $k$ 个朋友。我们随机选择这 $k$ 条边中的一条。那么这条边指向的那个朋友的度数期望是多少？
这个期望值可以表示为：
$E[ ext{度数 of a random friend of you}] = frac{sum_{i=1}^{k} d_{F_i}}{k}$ 这是你自己的平均朋友数。
但是，问题来了：
我们不是简单地选择一个朋友，而是通过一条“连接”。拥有更多朋友的人，被选中的概率更高。
考虑图论中的一个事实：随机选择一条边 $(u, v)$，然后查看顶点 $v$ 的度数 $deg(v)$。那么 $v$ 的度数的期望值是 $frac{sum_{v in V} deg(v)^2}{sum_{v in V} deg(v)} = frac{sum_{v in V} deg(v)^2}{2E}$。
而我们比较的是：
你的平均朋友数： $frac{1}{deg(you)} sum_{v ext{ adjacent to } you} deg(v)$
朋友的平均朋友数： (这个更精确的说法是：如果你随机从你的朋友们中选择一个朋友，这个朋友的平均朋友数是多少，但正确的理解是：随机选择一条连接到你的边，然后看这条边另一端的度数)
更普遍的证明是，通过数学期望的计算：
设 $V$ 是顶点集合， $E$ 是边集合。 $N = |V|$ 是总人数。
一个人的朋友数是他的度数 $deg(v)$。
你（顶点 $u$）的朋友是与 $u$ 相邻的顶点集合 $N(u)$。你的朋友数量是 $deg(u)$。
你朋友的平均朋友数是 $E[deg(v) mid v in N(u)]$ 的平均值。
然而，从统计学的角度来看，如果以“朋友”为样本单位，那么我们选择朋友的概率是均匀的。
如果我们站在你的角度，你的 $k$ 个朋友的度数分别是 $d_1, d_2, dots, d_k$。你的平均朋友数是 $frac{1}{k} sum d_i$。
但如果问题是：“随机选择一条朋友关系，这条关系指向的人的平均朋友数是多少？”
一条朋友关系可以看作是一条边 $(u, v)$。
总共有 $2E$ 个“关系端点”。
你（假设度数为 $d_u$）对这 $2E$ 个关系端点贡献了 $d_u$ 个端点。
你的朋友 $v$（假设度数为 $d_v$）对这 $2E$ 个关系端点贡献了 $d_v$ 个端点。
当我们随机选择一个关系端点时，选中来自度数为 $d$ 的顶点的概率是 $frac{d}{2E}$。
假设我们从你的角度出发，我们随机选择一条连接到你的边。有多少种选择？ $deg(u)$ 种。
这些边指向的 $deg(u)$ 个朋友。设他们的度数是 $d_1, dots, d_{deg(u)}$。
你的平均朋友数是 $frac{1}{deg(u)} sum_{i=1}^{deg(u)} d_i$。
现在考虑“朋友的平均朋友数”。一个更准确的说法是：如果你随机选择一个“朋友的头衔”（即，在所有人的朋友列表里随机挑一个名字），那么这个名字代表的那个人的平均朋友数是多少？
换一种方式思考：
你的平均朋友数：你直接认识的朋友，他们的朋友数平均是多少。
朋友的平均朋友数（更常指的含义）：如果你随机选择一条朋友关系，那么这条关系连接的“另一端”的人，平均有多少朋友。
假设你有一个朋友 A，他有 5 个朋友。你还有一个朋友 B，他只有 1 个朋友。
你的平均朋友数是 (5+1)/2 = 3。
但是，如果你随机选择“你和 A 的朋友关系”，另一端是 A，A 有 5 个朋友。如果你随机选择“你和 B 的朋友关系”，另一端是 B，B 有 1 个朋友。
如果你随机选择这两条关系，那么你朋友的平均朋友数是 (5+1)/2 = 3。
问题往往在于，我们怎么“随机选择”。
正确的表述应该是：选择一个顶点 $v$，然后随机选择一条连接到 $v$ 的边 $(v,u)$，求 $deg(u)$ 的期望值。
这个期望值可以表示为：
$E[ ext{度数 of a random neighbor of } v] = frac{sum_{u ext{ adjacent to } v} deg(u)}{deg(v)}$。
这个值，当我们对所有 $v$ 求平均时，会得到一个更有趣的结果。
更严谨的证明来自于期望的性质。
设 $X$ 是一个随机变量，表示随机选择一个顶点。设 $Y$ 是一个随机变量，表示随机选择一条边。
我们感兴趣的是：
1. 你认识的朋友的平均朋友数：$frac{1}{deg(you)} sum_{v in N(you)} deg(v)$。
2. 朋友的平均朋友数：如果从你出发，随机选择一条边 $(you, v)$，求 $E[deg(v)]$。
这个期望值是 $frac{sum_{v in N(you)} deg(v)}{deg(you)}$。这仍然是你自己的平均朋友数。
这里的“朋友的平均朋友数”更深层的含义是：
如果你随机选择一个“被某人称为朋友”的头衔，那么这个头衔指向的人的平均朋友数是多少？
例如，A 的朋友是 B, C。B 的朋友是 A, C。C 的朋友是 A, B。
朋友列表里有：
A 叫 B 是朋友。
A 叫 C 是朋友。
B 叫 A 是朋友。
B 叫 C 是朋友。
C 叫 A 是朋友。
C 叫 B 是朋友。
总共有 $2E$ 个“朋友的头衔”。
每个人的朋友数（度数）是 $d_i$。
从度数为 $d_i$ 的人那里“发出”的头衔有 $d_i$ 个。
因此，随机选择一个头衔，它指向的人的平均朋友数是：
$E[ ext{degree of the person pointed to by a random friend title}] = frac{sum_{v in V} deg(v) imes deg(v)}{sum_{v in V} deg(v)} = frac{sum deg(v)^2}{2E}$。
而你自己的平均朋友数是 $frac{1}{N} sum deg(v) = frac{2E}{N}$。
根据柯西施瓦茨不等式 (CauchySchwarz inequality)，对于非负数序列 $(x_1, dots, x_n)$ 和 $(y_1, dots, y_n)$，有 $(sum x_i y_i)^2 le (sum x_i^2)(sum y_i^2)$。
令 $x_i = deg(v_i)$ 且 $y_i = 1$，则 $(sum deg(v_i))^2 le (sum deg(v_i)^2) (sum 1^2)$。
即 $(2E)^2 le (sum deg(v_i)^2) N$。
所以 $frac{sum deg(v)^2}{2E} ge frac{2E}{N}$。
这意味着，朋友的平均朋友数（按关系端点平均） ≥ 所有人平均朋友数。
更直接地说，如果你是那个度数较低的人（朋友较少），你更容易被度数较高的人（朋友较多）的朋友圈覆盖。
例如，一个人只有 1 个朋友，而这个人有 100 个朋友。
对于那个少朋友的人来说，他认识的朋友就那一个，那个朋友的朋友数是 100。所以“他的朋友的平均朋友数”是 100。
而“他自己的平均朋友数”是 1 个朋友 / 1 个朋友 = 1。
100 >> 1。
结论：
数学证明了，在一个社交网络中，你朋友的平均朋友数（按照连接到朋友的数量来加权平均）通常会高于你自己的平均朋友数。这可以类比为，你更容易“认识”那些朋友更多的人。如果你认识一个人，他就有更高的概率是那种“社交达人”，有更多朋友。因此，从你朋友的网络来看，他们平均而言会拥有更多的朋友。这也被称为“朋友的悖论”（Friendship Paradox）。
这些例子展示了数学如何在看似平凡的现象背后揭示深刻的规律，以及它如何连接艺术、科学和我们日常的直觉。正是这些“这也能用数学证明”的时刻，让我们对数学的力量和美感感到惊叹。
网友意见
用统计学证明学生作弊。
之前看过一个故事，讲魔鬼经济学的作者史蒂芬·列维特用统计学方法抓作弊学生，当时看完觉得挺有趣的。
美国某个大学的教授怀疑有一些学生在一门自然科学导论考试中作弊，这门课程有三次期中考试和一次期末考试，但是在第三次期末考试的时候，有学生和助教反应有人作弊，助教和教授一说这事，教授开始生气，他先是发了一封邮件给全体学生：同学们，作弊是可耻的，你们要当好孩子。然后没人理他。。。教授再发邮件：我会请专家来调查这事的，你们最好坦白从宽。照样没人理他。。。
教授一看这群孩子软硬不吃，还就真的把专家列维特请来了。
列维特干起活来不含糊，在最后一次期末考试中，他先让助教和学生说自由选择座位，当学生兴冲冲地和自己希望的人坐在一起之后，再突然宣布随机调换位置，把坐一起的人分开，再给试卷分个AB卷，再增加监考的助教人数，把学生作弊的路堵得的死死的。
拿到考试结果的数据之后，列维特就开始分析。
首先第一步就是检测学生有没有作弊。列维特的判断标准是，哪些学生提供了相同的错误答案。考试题目全部是单选题。之所以看不看哪些学生提供了相同的正确答案，是因为这些学生可能会在一起学习从而让他们掌握的知识水平差不多。（毕竟对的答案只有一个，错的答案千差万别）列维特的想法是作弊最有可能发生在左右相邻的学生之间。因为在之前的考试中座位都是可以自己选的，那么左右学生拥有最好的作弊条件。
分析结果发现，主动选择座位坐在一起考试的学生，考试共享错误答案的概率是预期的两倍。而一旦学生的座位随机，错误答案一致的高概率就消失了。
这里还有一个问题，就是犯同样错误的人是不是因为平时关系比较好，然后他们一起学习交流，从而导致他们对知识的掌握水平差不多，因此大家都犯一样的错误。
列维特解释是这样的，如果这个假设成立，那么座位前后相邻的学生应该也会倾向于答错同样的题目，但在数据里看不到这样的结果。
并且列维特还记录下了之前那些在期末考试中主动坐在一起然而随机调换之后没有坐在一起的学生的共享错误率，也并没有发现异常。
因此，肯定是有人作弊了。
那接下来，就得抓作弊的人了。
列维特用多元logit模型算出每名学生在各次考试中答对/错每道题目的概率（不知道咋算的），这样就可以算出两个人之间彼此独立时得到同一错误答案的概率。这样一算就发现某些左右相邻的学生算出来的概率和实际上两人同时犯错的概率有很大差异。把算出来的概率和实际的概率做差，并画出密度分布，可以发现某些座位左右相邻的学生明显集中于差值最大的1%区间之内。而相对于彼此独立的情形，1%区间中的实际密度要高出62倍。这些学生明显是最有可能实施了作弊的学生。当然这只是可能，并没有说确定他们就是实施了作弊的学生。
之后大学教授把12个找出来的“最可疑”的学生的提交学院来进行调查，而有4个学生在调查听证会之前就承认作弊。不过调查最终还是由于学生家长的压力夭折了。。。不过大学教授也是个狼人，他直到下学期的第一天才公布这12名可疑的学生的成绩，导致他们无法获得奖学金。这明显是个惩罚性行动，但是，12名被指控的学生没有一个提出申诉或要求赔偿。
我当时看完之后就是
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本人不是数学专业，对于详细的数学计算过程可能讲的不是特别清楚，为了便于各位数学大佬围观于是去谷歌找了原文论文，想详细了解的戳下面哦~
用数学证明玄学
“如果真的有僵尸，他能在3秒内把人体血液吸干吗？”
根据”2015年国家卫计委”公布了全国18岁及以上成年男性和女性的平均身高分别平均体重分别为66.2kg和57.3kg。
根据“2012年医政医管局”在《献血无损健康》文章中指出。我国正常成人的血量:约占体重的8%左右
那么我们可得出结论：男性血液约为5296毫升，女性血液含量约为4584毫升。
接下来，我们再回到题目：
那么意味着，这个僵尸需要每秒以1765.3毫升以及1528毫升的速度吸食，才能将一个成年人血液吸干。
目前我们在影视生活中所知晓的僵尸大概有以下几种：
1、可爱僵尸
2、植物大战僵尸
3、欧美僵尸
4、中国本土僵尸
图一僵尸太可爱了，肯定不会吸血。
图二僵尸只会吃脑子，而你没有脑子，且中国农业出版社数据公布，中国干豌豆收获面积占世界的13.7%属于豌豆种植大国，僵尸天敌过多，所以也不会有危险。
图三的僵尸属于欧美僵尸，由于近些年来，我国的国防力量不断加强，他们进不了我国的国防线那么也不会有问题。
图四僵尸为中国本土僵尸，吸血。有动机，有能力。所以我们僵尸以中国本土僵尸作为参考物。
根据百度百科来源，我们可以知道中国僵尸是由尸体变成的，所以身高，体型等将会与国人相似。且中国僵尸吸血的主要途径为用嘴咬住脖子动脉吸血。所以，接下来我们以国人体型为僵尸参考，那么中国人的嘴巴大小就会成为一个很重要的参考物。
由于没有找到中国相关的头身比例，我就找到了我们邻国日本的数据作为参照：
可以得出头与身比，即 头 ：身高= 1:7
我们以著名大嘴，王大陆为例子他身高为181cm那么头长约为25.85CM
接下来我们根据图片测算到王大陆的头长与张嘴比例约为3：1（word文档对比）
那么我们就可以得到他的嘴巴张开直径约为8.62cm，半径为4.31cm
我们再根据下面这张图可知，王大陆张嘴近似为一个圆形
那么我们根据圆形面积为
就可算到，王大陆嘴巴张大为58.33平方厘米
我们再根据刚才计算得到的成人血液约为：男性血液约为5296毫升，女性血液含量约为4584毫升。
因为嘴巴口径为58.33平方厘米
进入人体嘴巴前则需要30.26cm的距离。
如果僵尸需要再3秒内将血液吸干，那么则需要以约10.09的速度将血液吸食。
我们再有生活常识可知，人体受伤后，血液由于身体内血液压强问题，会迸发出来，有一个加速度，比如这样：
而最后快吸干的时候由于压强问题，又会留住血液。因此两个力我们将其抵消忽略不计
就可以将其近似的看成初速度为0一个匀加速直线运动
且平均速度已知为10.09 cm/S的速度。
根据速度时间定理V=at,V平均=(vt+v0)/2
就可以算出我们的加速度为6.72cm/s=0.0672m/s
质量=密度*体积
男性血液约为5296毫升
人体血的密度是1.05~1.06千克/升，略大于水的密度。
那么人体血液重量就为5.56kg
再因为由于中国僵尸一般是咬脖子方式进行吸血
所以，是将血液从下往上吸
那么我们就得再考虑重力影响
中国的各地重力加速度见下图表：
中国自古以来，就有湘西赶尸一说，而湘西土家族苗族自治州隶属湖南省，是全省唯一的少数民族自治州。因此我们就选取长沙本地的重力加速度：9.7915为重力加速度。
再根据牛顿第二定律F = M A
我们可算出F=58.814N，则需要58.814牛顿的力量就可以把一个人血液在3秒内吸光。
那么58.814N代表什么呢，举个例子你将12斤左右的东西抱起来，就需要这么大的力量。
而僵尸吸血的话，就需要用嘴吸起12斤的东西
对于喜欢猫咪的人来说，大概需要用嘴巴将这个猫咪吸起来
经过测试，一个成年男性嘴巴吸力大概在10张A4纸（我老公亲测）
由于我们家里比较有钱，用的A4纸质量较好，每张质量在4.3克
10张A4纸是43克，吸猫所需力量大概是他的139.5倍
所以由此得出结论，若人变成僵尸后，肺活量扩大139.5倍及以上，则可以在3秒内将成年男子血液吸干。未达到则就不能
以上
参考文献：
[1]宁振全,李进才.无偿献血中脂肪血的预防及处理措施研究进展[J].现代医药卫生,2019(06):853-856.
[2]景瑶.青年亚文化视角下的“吸猫文化”[J].视听,2018(10):147-148.
[3]宇克莉,魏榆,张兴华,赵大鹏,郑连斌,王文佳.基于土家族成人头面部测量指标的身高估测分析（英文）[J].解剖学报,2018,49(04):518-523.
[4]唐骋华. 猫为什么能“驯化”人类[N]. 文汇报,2018-07-09(W05).
[5]王亚男.湘西赶尸文化探秘[J].电脑迷,2018(02):186.
[6]孙泽阳,朱克强,赵红昆,杜慧敏,高雯芳,许渤松,高原,宇克莉,郑连斌,魏榆,张兴华,胡莹.羌族头面部6项指标与身高的相关性[J].天津师范大学学报(自然科学版),2017,37(06):67-70.
[7]张涵蓓. 中原地区汉族女性口唇形态调查及美唇特征分析[D].郑州大学,2017.
[8]姜勇,张梅,李镒冲,李晓燕,王丽敏,赵文华.2010年我国成人体重自测及体重知晓情况分析[J].中国健康教育,2013,29(06):485-488.
[9]《中国居民营养与慢性病状况报告（2015）》新闻发布会文字实录
感谢评论区的注重版权的朋友，这个问题原作者就是我。笔芯
如果觉得不错，要不要考虑关注我一下啊
我这里选取一些比较简单有趣的，并且第一眼看起来与数学关系不是太大的问题：
一、鸽巢原理与人的头发数量
一个有趣的事实是，你如果生活在一个稍微有点规模（比如人口数超过20万）的城市，那么你的城市至少存在两个人，他们头发数量相同
（为了避免有人杠，这里不计入没有一根头发、全秃的人）
一般人类的头发数一般是不会超过20万的，大约十多万根，根据鸽巢原理（又称抽屉原理），很好证明出这个结论
这是我小学的某堂数学课上，某位老师为我们讲的笑话
二、生日相同
这个貌似有答案提到了
由刚刚的鸽巢原理，如果一个集体有367人，那么至少有两人生日相同
但是事实上，只要一个集体有40多个的人，那么这个集体里有两个人生日相同的概率就极高了
虽然有那么点反直觉，但这个稍微用一点点简单的概率的知识就能算出
三、介值定理
有以下一系列有意思的命题：
一个人登山，第一天早上6点从山脚出发，晚上6点到山顶；第二天早上6点从同一路径开始下山，晚上6点到达出发点. 则在途中存在一个地方，他两天在同一时刻路过此地.
不论什么形状的煎饼，总可以切一刀，将之面积二等分.
一个运动员用10秒钟跑完100米，则他必有一秒的时间内跑过了10米.
有四个脚（四个脚等高）的桌子在不平整的地面可能会晃动，但如果适当转动的话，一定可以找到使得它不摇晃的位置.
这些结论似乎有点不可思议，实际上全部可以归结为介值定理：
若 是 上的连续函数， ，且 .
则 可以取到 和 之间的每个值
介值定理是微积分里的一个很基础的定理，甚至中学数学课本上都有（虽然没给出证明）
它的证明需要用到实数系基本定理，这里不多谈
四、Brouwer不动点定理
有一张圆形垫纸铺在圆形蛋糕盒底部，垫纸恰好和蛋糕盒底部全等
现在把这张垫纸拿出来揉成一团，再扔进礼盒里，那么垫纸上至少存在一点，它的位置正好在垫纸铺在礼盒底部时的那个位置的正上方
有答主提到包含所在地的地图存在一点与所在地重合，也是一个道理
这些就是Brouwer不动点定理的应用，所谓Brouwer不动点定理，即
维实心球
到自身的连续映射 一定存在不动点
这个定理的证明可以在一些拓扑学教材中见到，不多谈
在一维的情况，这个定理变成了如下形式的特例：
设 ，且有 ，则：
存在 ，使得
即 在区间 中有不动点
这种情形下，直接使用刚刚提到的介值定理就能很轻松证明了……
如果再把条件限死一点，函数 满足：
存在一个常数，使得 ，使得对一切 ，有 ，则称是上的一个压缩映射，这种情形下，这个不动点是唯一的，这就是Banach不动点定理的一个特例.
五、关系
在数学上，所谓的“关系”，指的是在非空集合 中，对任意一对有序元素 ，要么有属性 要么没有属性 ，这两者有且只有一个成立
我们就说 是集合 上的一个二元关系，简称关系.
显然 是 的子集
如果元素 有关系 ，则记作
它实质上是 的一个子集
比如，相等、大于、大于等于、相似、平行、整除、同余，这些都是关系
等价关系
如果集合 上的一个二元关系 满足：
1）自反性，即对所有 ， ；
2）对称性，若 ，则 ；
3）传递性，若 且 ，则 ；
则称 是 上的一个等价关系，记为
与 等价记为
相等、全等、相似、合同、同余之类的，就是典型的等价关系
如果非空集合 的一组子集 （ 为指标集），满足：
1） ；
2） ， ， ；
则 叫做集合 的一个划分.[1]
划分可以把一个集合中的所有元素不重、不漏地分成若干类
很容易证明，对一个集合 ，给出一个等价关系 ，对每个元素 ，规定
就可以给出一个集合 的划分
反之，对于集合 的任意一个划分
与 属于同一个 是一个等价关系
可由等价关系对集合中的元素进行不重不漏的分类
比如对于一群人来讲，按照姓氏、性别、血型、生日、生肖、星座、出身地来进行划分，就是有效的划分，因为同一个人在特定某个时刻只能拥有上述属性的一种，而且同姓、同性、同血型、生日相同之类的，明显也是等价关系
反之，像“某人是某人的亲戚”、“某人是某人的朋友”这种就不是等价关系，因为不满足传递性
这也告诉我们，网络撕逼，想通过战队的方法把人区分出若干类，这是不可能的
六、系统发生树
来看看生物学中用到数学的地方
在生物学中，研究生物的演化、分类的问题，需要用到一种东西，叫做系统发生树、系统树（Phylogenetic tree），又称进化树、演化树（Evolutionary tree），它是用来描绘被认为具有共同祖先的各个物种的演化关系的一个树状图表
这实质上借用了数学（图论）和计算机科学（数据结构）中的一个重要概念——树（Tree），准确来讲，系统树是一种根树（Rooted tree）
关于图（Graph）相关的基本定义，可以去参考一些图论或离散数学的教材[2]，这里不叙述
我来简单用不怎么严谨的语言叙述一下树相关的一些数学概念：
没有简单回路的无向图称作树（Tree）
显然，没有简单回路意味着不含环和多重边，所以树都是简单图
指定树的一个特殊顶点为根（Root），对每条边指定方向为离开根的方向，这样，树与它的根一起形成一个有向图，叫做根树（Rooted tree）
假设 是根树， 是 的非根顶点，则存在唯一顶点 ，使得 到 存在一条有向边，这个顶点 叫做顶点 的父母（Parent），顶点 称作顶点 的子女（Child），具有相同父母的顶点叫做兄弟（Sibilings）
包括根在内，所有从根到顶点 的通路上经过的所有顶点（包括根，不包括 ）叫做顶点 的祖先（Ancestors），以顶点 作为祖先的顶点称为顶点 的后代（Descendant）
设点 为树 里的顶点，则顶点 与顶点 的所有后代以及它们所关联的有向边组成的子图，称作树 的子树（Subtree），顶点 为该子树的根
那么，生物学上一些东西就可以用数学语言来理解了
比如说，什么叫单系群（Monophyletic group）？单系群在生物学上的定义，指的是进化树中的这么一种分类群：这个分类群中的所有物种可以追溯到同一个祖先，并且这个祖先以及它的所有后代都在这个分类群之中.
这不就是图论中的子树的定义么？
在生物学中，单系群有时也被称作演化支（Clade），在有些时候会代替不太准确的界门纲目科属种对生物进行分类……
举一些例子：
动物、植物都是单系群
脊椎动物是一个单系群
鱼类不是单系群，因为两栖动物、爬行动物、鸟类和哺乳动物都是鱼类的后裔，但鱼类不包括它们。
哺乳类动物是单系群
鸟类是单系群
爬行类和鸟类组成的分类群也是个单系群
与之相对，爬行纲并非单系群，因为不包括由主龙类恐龙总目的一支演化而来的鸟类
爬行纲这种包含了分类群中的共同祖先，但不包含所有后代的分类群，叫做并系群（Paraphyletic group）
而像旧食虫目（Insectivora）这种，连共同祖先也不包含的分类群[3]，叫做多系群（Polyphyletic group）
生物学家在更新生物分类时，首先倾向于把多系群干掉，比如食虫目就被撤销掉了。
这种多系群的存在，多数是因为过去没有分子系统发生学，生物学家给生物做分类时，就比较难以真正知晓生物间亲缘关系远近。由于趋同进化的原因，彼此间隔很远的生物，可能会因为长得像而被错误分到一类，形成大量多系群。
再比如，原猴亚目就是并系群，因为不包含它们的后裔——简鼻亚目
简鼻亚目、类人猿亚目、人科这种，就是单系群
再比如，鲸偶蹄目就是单系群，而旧分类下，排除掉鲸目之外的偶蹄目就是并系群。
除了系统发生树之外，数学与计算科学的树，在其他很多领域也有广泛运用，比如比较语言学、族谱、计算机文件系统、行政组织机构的表示、烷烃的同分异构体……
to be continued
参考
一个好老的段子了：
一道填空题：_____ is better than the god，_____ is worse than the evil。（两空填同样的单词）
设god是一切美好的集合，考虑为+∞；
设evil是一切邪恶的集合，考虑为-∞；
设答案为x，则x > +∞ && x < -∞
可知x为空，所以是nothing，代入上式：
Nothing is better than the god，nothing is worse than the evil。
手机码字，见谅。
Ⅰ
子曰：三人行，必有我师焉。
韩愈在写《师说》的时候，便引用了这句话，然后就不加证明地给出“是故弟子不必不如师，师不必贤于弟子”的结论。事实上，我们可以把一些概念抽象，给出数学上的严格证明。
于是，在承认 选择公理 的前提下(当然这是废话)，我们给出如下定义：
定义1：设A₁，A₂，A₃,...,A_n (n≥3)为平面上n个点，记AiAj(输入法原因，应有上画→，下面记为Ai→Aj)为由Ai指向Aj的有向线段 .对Ai，Aj.当Ai→Aj存在时，称Aj为Ai的“师”.
现在回想孔子那句话，其实我们也无法用现有的理论证明它，于是我们不妨承认它为公理，以此为基础构造一个公理系统，为了方便讨论此处“三”暂且认为数字3（古文中的三意为多），于是：
公理1：对任意Ai，Aj，Ak. {Ak，Aj}中至少存在一个元素为Ai的“师”.
接下来来证明韩愈“弟子不必不如师，师不必贤于弟子”的理论。那么什么是“贤”？韩愈也没有加以定义，事实上，他在论述的过程中，已经有一定经验作为论述基础，这种经验常见到众所周知，不需要点出即是如下：
公理2：(可比性)对平面任意两点A，B，则A“贤于”B或A不“贤于”B.
公理3：(传递性)若A“贤于”B，B“贤于”C，则A“贤于”C.
有了这些理论做支撑，就可以对他的结论加以证明.当然文学上“不必”二字的表述要换成存在性的探讨，如下：
定理1：平面内必存在一点A与其“师”A₁，使A“贤于”A₁.
定理1的证明：(反证法)
若对平面内任意一点A及其“师”A₁，总有A₁“贤于”A.(反设)
任取A₁，A₂，A₃三点(选择公理)
对于A₁，在{A₂，A₃}中，不妨设A₁→A₂存在(公理1)
由反设知，A₂“贤于”A₁，∴A₁不为A₂的“师”
∴对于A₂，只能A₃为A₂的“师”(公理1)
∴A₃“贤于”A₂ ∴A₃“贤于”A₁(公理3)
则在{A₁，A₂}中找不到A₃的“师”，这与公理1矛盾，因此定理1得证.
事实上，上面的证明过程可以用极端原理轻松解决，用大白话来讲就是
三个人中必存在一个最厉害的，那他在这三个人当中找不到自己的老师，导致矛盾...
其实值得我们注意的是，这个“贤”的比较依托于公理2和3，有点类似于“实数可以比较大小”的公理.那么这就从一个角度说明了韩愈理论的局限性，如果不承认公理2和3，把实数集推广到复数集，就没有什么大小比较之说，遑论贤与不贤.韩愈给出这个理论的同时，已经相当于承认人人之间是可以进行贤与不贤的比较的，这正是局限性所在.
Ⅱ
其实，公理1是一个非常好玩的公理，在它的基础上，我们可以发现平面内很多点的关系.
定理2.1 对任意3个点及另一点A，该3点中总至少有2个点为A的“师”.
这感觉跟废话一样，用大白话说就是其他三个人当中至少有两个是你老师嘛，这里就不加赘述了.更关键的，可以做出如下推广：
定理2.2 对任意n个点(n≥3)及另一点A，该n点中总至少有(n-1)个点为A的“师”.
定理2.2的证明：(数学归纳法)
n=3时，即定理2.1，命题成立.
若n=k（k为不小于3的自然数）时，命题成立，则当n=k+1时任取这些点中的一点B，那么剩下k个点中至少有(k-1)个A的师.若k个点均为A的“师”，则已成立.否则，就只有一点不为A的“师”，设为C，∵{B，C}中有A的“师”，∴B为A的“师” ∴这(k+1)个点至少有k个点为A的“师“.
∴若n=k(k≥3)时命题成立，则n=k+1时命题成立
因为n=3时命题已成立，所以该命题对所有n≥3的自然数成立.
这就是著名鼎鼎的数学归纳法，它的理论依据是皮亚诺(Peano)公理的第五公理，归纳公理.
定理2.2带给人的感觉是，满世界的人都是你的老师，全班假设70人，除去你还有69人，他们当中至少有68个是你的老师 ...有点小不可思议，但这是从孔子那推出的，其实还能推出其他好玩的结论
定理3.1 4个点中，必存在2个点使该两点互为对方的“师”.
（接下来下面的定理的证明会涉及一丝图论知识）
定理3.1的证明:在K₄完全图中，连线段条数为C₄²=6，由定理2.2知4个点中共连出有向线段条数至少为4(4-2)=8，任两点间连接的有向线段至多两条，由抽屉原理知命题成立.
类似于上述证明方法，对Kn完全图，连线段条数C(2，n)=½n(n-1)，有向线段总条数至少为n(n-2)
设f(n)=n(n-2)-½n(n-1)=½(n-3)n (#)
(#)表明，n≥4时，就存在“互师”情况了，更一般地，我们有
定理3.2 n≥4时，对任意n个点，必存在½n(n-3)个集合{Ai，Aj}，使Ai→Aj与Aj→Ai同时存在.
举一个通俗的例子，宿舍有7个人，那个7个人当中，就至少有½(7-3)*7=14对舍友，他们互为对方的老师，70个人的话就有2345对...
Ⅲ
在Ⅰ和Ⅱ的讨论中，我们基本构建了一个有向图的模型，接下来，我们简单讨论一下图论中的Euler迹问题.
Euler迹问题即是一笔画问题，始于历史上的哥尼茨堡七桥问题，我们本章的讨论，会稍微参考先贤的结果。类似于对Euler迹的定义，在此次讨论中，我们这样来定义：
定义2 有向图G中定点与有向线段交错排列的序列
C： A1 v1 A2 v2...An vn An+1 , 若任意vi(i=1,2,3,...,n）都是由Ai指向Ai+1的有向线段，且vi(i=1,2,3,...,n）两两不同且取遍图G中所有有向线段时，称序列C是图G的一条Euler迹.
在正式讨论之前，我们回顾Euler的结果，并加以利用（源于百度）
引理4 设G是一个连通图，则G存在Euler迹的充要条件是G中有且仅有两个奇次顶点或G中全是偶次顶点.
这里的奇次顶点与偶次顶点指的是顶点连接的线段条数为奇（偶）数的顶点个数，当我们在研究有向图时，由于要考虑方向性，因而这样的描述不过精准，我们借以下定义加以研究：
定义3 对于有向图G中的一点A，记G（A）为图G中以A为始端的有向线段的条数，称为正度.记g（A）为图G中以A为终端的有向线段的条数，称为负度.记M（A）=G（A）-g（A），称为合度.
类似于引理4，我们可以得到这样的结论
定理4.1 有向图G存在Euler迹的充要条件是对于图G中任意的一点A，都有M（A）=0或其中仅存在两点B1，B2使得M（B1）=1，M（B2）=-1且对其余的任意一点A，都有M（A）=0.
定理4.1的证明
必要性 若有向图G存在Euler迹，不妨设其中一条为
C： A1 v1 A2 v2...An vn An+1 ,
若A1与An+1为同一个点，则C中每出现一个点B，都同时是一条有向线段的起点和另一条有向线段的终点.从而对于图G中任意的一点Ai，都有M（Ai）=0 （i=1，2，...n，n+1）；否则M(A1)=1,M(An+1)=-1.必要性得证.
补充性质 由该证明我们注意到：若有向图G存在Euler迹
C： A1 v1 A2 v2...An vn An+1，
⑴若对于图G中任意的一点Ai，都有M（Ai）=0
则A1=An+1，且若在C中用i+1代替i（约定vn+1=v1，An+2=A1），仍可得到新的Euler迹，仿造此操作，我们知道此时Euler迹的起点可以是任意一个点.
⑵若M(A1)=1,M(An+1)=-1且M（Ai）=0 （i=2，3，...n-1，n）则该图的Euler迹只有一条，且必以A1为起点，An+1为终点.
充分性（数学归纳法） 对有向图G中的有向线段条数n进行归纳，n=1时不证自明.若n=k时满足命题，则n=k+1时，若图G中对于任意的一点A，都有M（A）=0，则去除任意的P，Q两点的有向线段（不妨设为P指向Q）v0，得到图G′，此时M（P）=-1，M（Q）=1，由归纳假设及补充性质⑵知图G′存在Euler迹：C ： Q v1 A1...vm P，
则图G存在Euler迹：C′ ： P v0 Q v1 A1...vm P
若图G中存在M（A）=1，M（B）=-1 ，则去除以A为起点的任一条有向线段，同理可以构造出图G的一条Euler迹.因而充分性得证.
笔者在定理4.1充分性的证明此处颇费心思，道理本身直观，然而要说明白挺难.亦可这样思考，构造一个自由点，让其在有向线段上移动，每经过一条有向线段视为该有向线段消失，则每经过一个点图G中的点的合度情况不变，从此角度也可证明，然而用数学归纳法，可以使语言更清晰严谨.无奈笔者能力有限，证明步骤略显冗长.
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