层次分析法中，建立判断矩阵时，可不可以用1——5这五个数字表示两两比较的重要程度？
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一个非常实用的决策工具，它能够将复杂的决策问题分解为一系列更易于管理的子问题，并通过两两比较来量化各要素的重要性，最终得出最优方案。在建立判断矩阵这一关键步骤时，你提出的关于使用15数字表示两两比较重要程度的问题，答案是：不建议单纯使用15这五个数字来表示两两比较的重要程度，尤其是在严格的层次分析法应用中。
让我来详细地解释一下原因，并说明为什么传统的标度方法更具科学性和实用性。
层次分析法的核心：两两比较与标度方法
层次分析法的精髓在于将决策者对不同因素之间重要性或偏好的感知，转化为定量的数值。这通过两两比较来实现，即在同一层级的两个元素之间，比较它们对上一层级目标的重要性或对下一层级方案的影响程度。
而如何将这种“重要”的程度量化，就依赖于标度方法。标准的层次分析法中，Saaty教授提出的九标度法是应用最为广泛和被接受的标度方法。
Saaty教授提出的九标度法（及其倒数）
这个标度方法是用整数1, 3, 5, 7, 9 来表示元素之间的重要性程度，并用它们之间的偶数2, 4, 6, 8 来表示折衷的中间值。同时，还会用到这些整数的倒数来表示反向的重要性比较。
1：表示两个元素同等重要。
3：表示一个元素比另一个元素稍微重要。
5：表示一个元素比另一个元素明显重要。
7：表示一个元素比另一个元素强烈重要。
9：表示一个元素比另一个元素绝对重要。
2, 4, 6, 8：表示上述两个判断之间的折衷值。
倒数 (1/3, 1/5, 1/7, 1/9)：表示当元素j比元素i重要时，反过来比较，元素i比元素j的重要性程度。 例如，如果i比j重要程度为3，那么j比i的重要性程度就为1/3。
为什么15的标度方法不适合层次分析法？
现在让我们回到你的问题，为什么15的数字不合适：
1. 标度区间过窄，信息损失大： Saaty的九标度法提供了9个正值和4个中间值，共13个可能的值（加上倒数）。这使得决策者能够更精细地表达“重要”的程度。如果只使用15，你只有5个值（1, 2, 3, 4, 5）。这会迫使决策者将很多细微的差别都归结为这几个数字，从而损失了大量潜在的信息。例如，在九标度法下，你可以区分“稍微重要” (3) 和“明显重要” (5)，但在15标度下，这两种情况可能都被归为“3”或“4”，无法准确捕捉决策者的真实想法。
2. 数学一致性与权重计算受影响： 层次分析法的核心是利用矩阵的特征值来计算权重。这个计算过程依赖于判断矩阵的一致性。Saaty的标度法在数学上具有良好的性质，能够保证在一定范围内计算出的权重是具有意义的。而如果随意使用15的标度，可能会导致：
难以满足一致性检验（Consistency Test）： 层次分析法有一个重要的步骤是一致性比率（CR）的检验。这个检验是为了确保决策者的判断不会出现明显的逻辑矛盾（例如，A比B重要，B比C重要，但C比A更重要）。使用更宽泛的标度能够更好地容纳决策者可能存在的细微判断差异，使其更容易通过一致性检验。如果标度太窄，决策者在有限的选择中可能更容易出现不一致的判断。
权重计算的准确性降低： 即使通过了（或忽略了）一致性检验，过窄的标度也会使得计算出的权重更鲁棒性不足，一点点的判断变动就可能导致权重发生较大变化，失去其代表性。
3. 标度含义不清晰，易产生歧义： 15的标度虽然直观，但其“意义”不够明确。
“1”表示同等重要，这很好理解。
“5”最高级，表示“非常非常重要”。
但“2”、“3”、“4”的区分度在哪里？它们分别代表什么样的“重要程度”？决策者在进行比较时，很容易因为对这些数字的理解不一致而产生不同的判断，这会增加主观性的引入。而九标度法中，每个数字都有相对明确的含义，更容易让多个决策者在理解上达成一致。
4. 缺乏反向比较的便利性： 九标度法允许使用倒数来表示反向比较。例如，如果A比B重要程度是3，那么B比A重要程度就是1/3。这在矩阵填写的过程中非常方便，可以保证矩阵的对称性（$a_{ij} = 1/a_{ji}$）。如果只用15，你很难自然地表示反向比较，除非你再引入负数或者其他符号，这又增加了复杂性。
那有没有15标度法的变种呢？
在某些简化或非标准的层次分析法的应用中，可能会遇到使用15标度的情况。通常，这是一种牺牲精度换取易用性的做法，特别是在教学演示、或者面对一些非常简单、且决策者对重要程度感知差异不大的场景。
如果确实需要使用15标度，可以尝试对其赋予更明确的含义，例如：
1: 同等重要
2: 略微重要
3: 一般重要
4: 比较重要
5: 非常重要
但是，即便如此，你仍然会遇到上面提到的信息损失和一致性检验的问题。 在这种情况下，最好在报告中明确说明使用的是简化的15标度法，并解释其含义，同时要对最终结果的精确度有心理准备。更严谨的做法是，在允许的情况下，还是应该遵循经典的九标度法。
总结一下：
在标准的、严谨的层次分析法中，不建议单纯使用15这五个数字来表示两两比较的重要程度。原因是这种标度区间太窄，信息损失大，可能导致计算出的权重不准确，并且难以满足一致性检验的要求，标度的含义也相对模糊。
更推荐的做法是采用Saaty教授提出的九标度法，它提供了更精细的表达能力，并且在数学上具有良好的支持，能够更科学、更准确地反映决策者的判断，并进行有效的权重计算。如果你确实因为某些原因需要简化，务必谨慎使用，明确标度含义，并认识到其局限性。
让我来详细地解释一下原因，并说明为什么传统的标度方法更具科学性和实用性。
层次分析法的核心：两两比较与标度方法
层次分析法的精髓在于将决策者对不同因素之间重要性或偏好的感知，转化为定量的数值。这通过两两比较来实现，即在同一层级的两个元素之间，比较它们对上一层级目标的重要性或对下一层级方案的影响程度。
而如何将这种“重要”的程度量化，就依赖于标度方法。标准的层次分析法中，Saaty教授提出的九标度法是应用最为广泛和被接受的标度方法。
Saaty教授提出的九标度法（及其倒数）
这个标度方法是用整数1, 3, 5, 7, 9 来表示元素之间的重要性程度，并用它们之间的偶数2, 4, 6, 8 来表示折衷的中间值。同时，还会用到这些整数的倒数来表示反向的重要性比较。
1：表示两个元素同等重要。
3：表示一个元素比另一个元素稍微重要。
5：表示一个元素比另一个元素明显重要。
7：表示一个元素比另一个元素强烈重要。
9：表示一个元素比另一个元素绝对重要。
2, 4, 6, 8：表示上述两个判断之间的折衷值。
倒数 (1/3, 1/5, 1/7, 1/9)：表示当元素j比元素i重要时，反过来比较，元素i比元素j的重要性程度。 例如，如果i比j重要程度为3，那么j比i的重要性程度就为1/3。
为什么15的标度方法不适合层次分析法？
现在让我们回到你的问题，为什么15的数字不合适：
1. 标度区间过窄，信息损失大： Saaty的九标度法提供了9个正值和4个中间值，共13个可能的值（加上倒数）。这使得决策者能够更精细地表达“重要”的程度。如果只使用15，你只有5个值（1, 2, 3, 4, 5）。这会迫使决策者将很多细微的差别都归结为这几个数字，从而损失了大量潜在的信息。例如，在九标度法下，你可以区分“稍微重要” (3) 和“明显重要” (5)，但在15标度下，这两种情况可能都被归为“3”或“4”，无法准确捕捉决策者的真实想法。
2. 数学一致性与权重计算受影响： 层次分析法的核心是利用矩阵的特征值来计算权重。这个计算过程依赖于判断矩阵的一致性。Saaty的标度法在数学上具有良好的性质，能够保证在一定范围内计算出的权重是具有意义的。而如果随意使用15的标度，可能会导致：
难以满足一致性检验（Consistency Test）： 层次分析法有一个重要的步骤是一致性比率（CR）的检验。这个检验是为了确保决策者的判断不会出现明显的逻辑矛盾（例如，A比B重要，B比C重要，但C比A更重要）。使用更宽泛的标度能够更好地容纳决策者可能存在的细微判断差异，使其更容易通过一致性检验。如果标度太窄，决策者在有限的选择中可能更容易出现不一致的判断。
权重计算的准确性降低： 即使通过了（或忽略了）一致性检验，过窄的标度也会使得计算出的权重更鲁棒性不足，一点点的判断变动就可能导致权重发生较大变化，失去其代表性。
3. 标度含义不清晰，易产生歧义： 15的标度虽然直观，但其“意义”不够明确。
“1”表示同等重要，这很好理解。
“5”最高级，表示“非常非常重要”。
但“2”、“3”、“4”的区分度在哪里？它们分别代表什么样的“重要程度”？决策者在进行比较时，很容易因为对这些数字的理解不一致而产生不同的判断，这会增加主观性的引入。而九标度法中，每个数字都有相对明确的含义，更容易让多个决策者在理解上达成一致。
4. 缺乏反向比较的便利性： 九标度法允许使用倒数来表示反向比较。例如，如果A比B重要程度是3，那么B比A重要程度就是1/3。这在矩阵填写的过程中非常方便，可以保证矩阵的对称性（$a_{ij} = 1/a_{ji}$）。如果只用15，你很难自然地表示反向比较，除非你再引入负数或者其他符号，这又增加了复杂性。
那有没有15标度法的变种呢？
在某些简化或非标准的层次分析法的应用中，可能会遇到使用15标度的情况。通常，这是一种牺牲精度换取易用性的做法，特别是在教学演示、或者面对一些非常简单、且决策者对重要程度感知差异不大的场景。
如果确实需要使用15标度，可以尝试对其赋予更明确的含义，例如：
1: 同等重要
2: 略微重要
3: 一般重要
4: 比较重要
5: 非常重要
但是，即便如此，你仍然会遇到上面提到的信息损失和一致性检验的问题。 在这种情况下，最好在报告中明确说明使用的是简化的15标度法，并解释其含义，同时要对最终结果的精确度有心理准备。更严谨的做法是，在允许的情况下，还是应该遵循经典的九标度法。
总结一下：
在标准的、严谨的层次分析法中，不建议单纯使用15这五个数字来表示两两比较的重要程度。原因是这种标度区间太窄，信息损失大，可能导致计算出的权重不准确，并且难以满足一致性检验的要求，标度的含义也相对模糊。
更推荐的做法是采用Saaty教授提出的九标度法，它提供了更精细的表达能力，并且在数学上具有良好的支持，能够更科学、更准确地反映决策者的判断，并进行有效的权重计算。如果你确实因为某些原因需要简化，务必谨慎使用，明确标度含义，并认识到其局限性。
网友意见
可以啊…但是最后要进行一致性检验，如下图ahp的作者Satty那段说的：
ahp本来就不是特别严谨的数学方法，太纠结于这些意义不是很大。
原书：姜启源《数学模型》第三版
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