层次分析法确定权重。问卷中是对指标从0-10相对重要性逐个赋分。如何将这打分去构建指标两两比较的矩阵?
好的，我们来聊聊如何将问卷中对指标的相对重要性打分，转化为层次分析法（AHP）中构建判断矩阵的依据。这是一个很实际的操作问题，我们一步一步来捋清楚。
首先，要明确一点：问卷中“010的相对重要性打分”和 AHP 的“两两比较矩阵”在表达形式上是不一样的，但它们的目标是一致的——量化指标之间的相对优劣关系。AHP 采用的是“标度”和“比较”的方式来构建矩阵，而你问卷里的打分是一种“独立评估”后得出的数值。所以，我们需要一个桥梁来连接这两者。
核心思想：将独立打分转化为相对比较关系
AHP 的判断矩阵要求的是“在某一个准则下，比较两个指标的相对重要性”。例如，在“选择购车品牌”这个准则下，我们要比较“品牌知名度”和“车辆性能”哪个更重要，以及重要多少倍。而你问卷里的打分，可能是在问“您认为品牌知名度有多重要？”（给一个 010 的分数），“您认为车辆性能有多重要？”（再给一个 010 的分数），是独立打分，而不是直接比较。
所以，我们需要做的是：根据每个人填写的独立分数，推算出他们心中这两个指标的相对重要性比例，然后将这个比例体现在判断矩阵的对应位置上。
详细步骤和思考过程：
第一步：理解你的问卷设计和数据收集
1. 问卷设计： 首先，我们要清晰地知道问卷是如何设计的。
是“独立打分”还是“相对排序”？ 你提到的是“010相对重要性逐个赋分”。这通常意味着问卷是这样设计的：“请您评估以下指标的相对重要性（0表示完全不重要，10表示极其重要）”。每个指标都是独立给分的。
比较的层级： 你问的是如何构建“指标两两比较的矩阵”。这暗示着你可能有一个更高层级的准则（比如“选择购车标准”），然后下面有几个子指标（比如“品牌知名度”、“车辆性能”、“价格”、“油耗”、“售后服务”等）。你需要对这些子指标进行两两比较。
谁在打分？ 是专家，还是普通用户？这会影响到我们如何处理多人的评分。
2. 数据收集： 你收集到的是什么样的数据？是一份份问卷，还是汇总后的平均分？
假设我们有 N 个参与者（例如 N 位专家或用户），他们对 M 个指标（指标1, 指标2, ..., 指标M）在某个准则下进行了重要性打分（分数范围是 010）。
第二步：从独立分数到相对比例的转化
这是最关键的一步。我们需要把每个人独立给的 010 分转化为两两比较的比例。有几种方法可以考虑，各有侧重：
方法一：直接比例法（最常用、最直观）
原理： 假设一个人给指标 $i$ 打了分数 $S_i$，给指标 $j$ 打了分数 $S_j$。那么，在他心中，指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性是 $S_i / S_j$ 倍。
操作步骤：
1. 选择一个基准指标： 在计算每个参与者的判断矩阵时，可以先选取一个指标作为“基准”来计算相对比例。例如，选取指标1作为基准。
2. 计算相对比例： 对于参与者 k，他给指标 $i$ 的得分为 $S_{ki}$，给指标 $j$ 的得分为 $S_{kj}$。那么，他心中指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性比例可以表示为：
$Ratio_{kij} = S_{ki} / S_{kj}$
3. 填充判断矩阵： 对于参与者 k 的判断矩阵 $A_k$，矩阵的元素 $a_{kij}$ 就表示指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性。我们可以用这个比例来近似填充：
$a_{kij} approx S_{ki} / S_{kj}$
问题与改进：
0 分的问题： 如果某个指标得分为 0，那么作为分母会导致除以零。通常的做法是：
避免除以零： 如果 $S_{kj} = 0$，而 $S_{ki} > 0$，那么 $a_{kij}$ 应该是无穷大（表示指标 $i$ 极其重要）。在 AHP 标度中，这可以用 7 或 9 来表示。反之，如果 $S_{ki} = 0$ 而 $S_{kj} > 0$，则 $a_{kij}$ 为 0。
加上一个小的扰动： 另一种方法是，在计算比例时，给所有的分数加上一个非常小的正数（例如 0.001），以避免出现零。 $Ratio_{kij} = (S_{ki} + epsilon) / (S_{kj} + epsilon)$。但这会改变原始数据的相对关系，需谨慎使用。
忽略该比较项： 如果某个参与者对某个指标组合的评分都为零，可能需要排除该参与者，或者在汇总时忽略该项。
AHP 标度的限制： AHP 的判断矩阵要求使用 19 的标度（或其倒数）。你计算出的比例可能是任意正数。我们需要将这些比例映射到 AHP 的标度范围内。
方法二：标度映射法（更贴合 AHP 规范）
原理： 将每个人独立给的分数进行归一化处理，然后将归一化后的值映射到 AHP 的 19 标度。
操作步骤：
1. 对每个参与者的数据进行归一化： 对于参与者 k，计算所有 M 个指标分数的总和 $Sum_k = sum_{i=1}^{M} S_{ki}$。
2. 计算归一化权重： 指标 $i$ 的归一化权重为 $W_{ki} = S_{ki} / Sum_k$。这个 $W_{ki}$ 就是参与者 k 心中指标 $i$ 的相对重要性比例（总和为 1）。
3. 将归一化权重映射到 AHP 标度： 这是难点所在。我们希望 $a_{kij}$ 的值能够反映 $W_{ki}$ 和 $W_{kj}$ 的相对大小关系。
简单的映射思路： 我们知道 $W_{ki} / W_{kj} = S_{ki} / S_{kj}$。所以，我们实际上又要回到“比例”的概念。我们可以尝试用 $a_{kij} = ext{Round}(1 + 8 imes frac{S_{ki}}{S_{kj}})$（需要处理 S_kj 为 0 的情况）。这里的 1 是基准，8 是 AHP 最大标度（9）减去最小标度（1）的差值，需要根据你的比例映射方式调整。
更精细的映射： 可以尝试建立一个查找表或函数，将某个比例范围映射到一个 AHP 标度值。例如：
比例 1:1 映射到标度 1
比例 2:1 映射到标度 2
比例 3:1 映射到标度 3
...
比例 9:1 映射到标度 7 (可以根据你的问卷设计调整，比如 010 的分差决定标度)
比例 10:1 映射到标度 9
反向映射： 当比例小于 1 时，则使用倒数标度（例如 1:2 映射到 1/2，即 AHP 的 0.5，可以取其倒数 1/2 映射到 AHP 的 1/2 标度，或者直接按倒数关系映射）。
AHP 经典标度的启发： AHP 的标度本身就代表了一种相对重要性程度。1 表示同等重要，3 表示稍重要，5 表示明显重要，7 表示非常重要，9 表示极端重要。你的 010 分数也表达了程度。
一种尝试： 对于参与者 k，计算 $S_{ki}$ 和 $S_{kj}$。然后根据 $S_{ki}$ 和 $S_{kj}$ 的差值或比值来确定标度。
基于差值： $Diff = |S_{ki} S_{kj}|$.
$Diff = 0 ightarrow a_{kij} = 1$
$Diff = 1 ightarrow a_{kij} = 2$ 或 $3$ (这里需要主观判断)
$Diff = 2 ightarrow a_{kij} = 3$ 或 $4$
...
$Diff = 9$ 或 $10 ightarrow a_{kij} = 9$
基于比值（与方法一类似）： 假设 $S_{ki} > S_{kj}$。则 $a_{kij} = ext{MapToAHPScale}(S_{ki} / S_{kj})$。
例如，如果 $S_{ki} = 10, S_{kj} = 1$，比例是 10:1。这在 AHP 中对应 7 或 9。
如果 $S_{ki} = 6, S_{kj} = 4$，比例是 1.5:1。这在 AHP 中可能对应 2 或 3。
我们需要根据你的问卷得分含义来界定这个映射关系。比如，如果满分 10 分代表的是“绝对重要”，那么 9:1 的关系就应该是 AHP 的 7 或 9。
我的建议是优先考虑方法一的思路，然后映射到 AHP 标度。
具体实践中，针对你的“010相对重要性逐个赋分”问卷，最直接的转化方式是这样的：
假设你问卷的目标是让填答者对某个共同的决策目标（比如“选择一个最佳的软件供应商”）的各个评价指标（指标1：价格，指标2：技术能力，指标3：服务质量）的重要性进行打分（010）。
对于某一个填答者：
指标1（价格）得分为： $S_1$
指标2（技术能力）得分为： $S_2$
指标3（服务质量）得分为： $S_3$
我们要构建的判断矩阵是关于这三个指标的。
构建矩阵的元素 $a_{ij}$ (表示指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性)：
1. 计算相对比例：
对于 $a_{12}$ (价格 vs. 技术能力): 如果 $S_1 > S_2$，则比例是 $S_1 / S_2$。如果 $S_2 > S_1$，则比例是 $S_2 / S_1$，而 $a_{12}$ 的值为 $1 / (S_2 / S_1) = S_1 / S_2$。
通用公式：我们关心的是指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性。
如果 $S_i > S_j$，则 $a_{ij} = ext{MapToAHPScale}(S_i / S_j)$。
如果 $S_j > S_i$，则 $a_{ij} = 1 / ext{MapToAHPScale}(S_j / S_i)$。
如果 $S_i = S_j$，则 $a_{ij} = 1$。
2. 如何进行 MapToAHPScale？ 这是最需要你根据问卷含义来决定的主观部分，但也要有逻辑。
一种逻辑：将 010 分数理解为相对的“优势度”或“权重份额”。
假设一个填答者对三个指标的打分是 8, 6, 4。总分是 18。
价格的相对重要性约为 8/18，技术能力约为 6/18，服务质量约为 4/18。
现在要计算 $a_{12}$ (价格 vs. 技术能力)。比例是 $(8/18) / (6/18) = 8/6 approx 1.33$。
AHP 标度：1 (等), 3 (稍), 5 (显), 7 (强), 9 (极).
1.33 这个比例，表示价格“稍稍”比技术能力重要。可以映射到 AHP 标度 2 或 3。
具体映射规则可以是你自己设定的一个对照表：
比例 1:1 => AHP 标度 1
比例 1.1:1 到 2:1 => AHP 标度 2
比例 2.1:1 到 3:1 => AHP 标度 3
比例 3.1:1 到 4:1 => AHP 标度 4
比例 4.1:1 到 5:1 => AHP 标度 5
比例 5.1:1 到 7:1 => AHP 标度 6
比例 7.1:1 到 9:1 => AHP 标度 7
比例 9.1:1 到 15:1 => AHP 标度 8
比例 15.1:1 及以上 => AHP 标度 9
你问卷中的 010 分制，本身就包含了一个相对的重要性程度。 我们可以尝试直接将分数差值或分数比值关联到 AHP 的标度。
方案A（基于比值映射）：
计算 $Ratio = S_i / S_j$ (假定 $S_i ge S_j$)
$a_{ij} = ext{round}( ext{logit}(Ratio) imes c + 1)$ （这个有点复杂，需要对比例进行转换，logistics函数）
更简单的方案A'： 预设一个映射表。例如，如果 $S_i=10, S_j=1$, 比例是10。这可以对应 AHP 的 7 或 9。如果 $S_i=6, S_j=4$, 比例是1.5。这可以对应 AHP 的 2 或 3。你需要定义这个映射表。
方案B（基于分数差值和比例的结合）：
如果 $S_i = S_j$： $a_{ij} = 1$。
如果 $S_i > S_j$：
考虑比例 $S_i / S_j$。同时考虑差值 $S_i S_j$。
例如，如果 $S_i = 7, S_j = 3$。比例是 2.33。差值是 4。
如果 $S_i = 10, S_j = 2$。比例是 5。差值是 8。
一种简单但粗略的映射：
$a_{ij} = ext{round}(1 + (S_i S_j) / (max(S) min(S)) imes 8)$。这里 $max(S)$ 和 $min(S)$ 是所有指标得分的最大最小值。
但这忽视了比例关系。
更好的映射：
当 $S_i > S_j$ 时，$a_{ij} = ext{round}(f(S_i, S_j))$，其中 $f$ 是一个函数，将分数对 $(S_i, S_j)$ 映射到 AHP 标度 19。
最直接的理解： AHP 标度 19 代表了相对重要性程度。你的 010 分数也是表达这种程度。
如果两人打分完全相同（比如都是 5），则为 1。
如果一人打 10，另一人打 1，这是一个很大的差距，对应 AHP 的 7 或 9。
如果一人打 6，另一人打 4，这是一个小的差距，对应 AHP 的 2 或 3。
所以，一个可行的映射是：
对于参与者 k，计算 $a_{kij}$：
如果 $S_{ki} = S_{kj}$，则 $a_{kij} = 1$。
如果 $S_{ki} > S_{kj}$：
比例 $P = S_{ki} / S_{kj}$。
$a_{kij} = ext{Round}(1 + (P 1) imes alpha)$，其中 $alpha$ 是一个调整因子，使得比例范围映射到 AHP 标度范围。
或者更简单：将比例 $P$ 放入预设的区间映射表。例如：
$P in [1, 1.5) ightarrow a_{kij} = 2$
$P in [1.5, 2.5) ightarrow a_{kij} = 3$
...
$P in [8, infty) ightarrow a_{kij} = 9$
你需要根据你的问卷得分的“含义”来制定这个映射表。 你的“010相对重要性”究竟代表什么程度？是指数级的？还是线性关系？
第三步：处理多位参与者的评分
如果你有 N 个参与者，你会得到 N 个独立的判断矩阵。AHP 的标准做法是：
1. 计算每个参与者的权重向量： 对每个参与者 k 的判断矩阵 $A_k$，使用 AHP 的方法（例如特征向量法）计算其权重向量 $w_k = (w_{k1}, w_{k2}, ..., w_{kM})^T$。这个权重向量就代表了该参与者心中各个指标的相对重要性（总和为 1）。
2. 汇总权重向量： 将所有参与者的权重向量进行汇总。最常用的方法是算术平均法：
最终权重向量 $w = frac{1}{N} sum_{k=1}^{N} w_k$。
这样得到的 $w$ 就是所有参与者综合起来的指标权重。
另一种处理多位参与者的方法（如果你想直接汇总判断矩阵）：
1. 汇总判断矩阵： 将 N 个参与者各自的判断矩阵 $A_k$ 汇总成一个平均判断矩阵 $A_{avg}$。
$a_{avg_ij} = frac{1}{N} sum_{k=1}^{N} a_{kij}$
注意： 直接平均 AHP 标度值通常不是最优的，因为 AHP 标度是非线性的。但它是一种简便的聚合方法。
2. 计算平均判断矩阵的权重： 使用 AHP 的方法（特征向量法）对这个平均判断矩阵 $A_{avg}$ 进行计算，得到最终的指标权重向量 $w$。
更推荐的方法： 是先计算每个人的权重，再汇总权重，而不是先汇总矩阵再计算权重。因为直接平均标度可能破坏矩阵的层次结构特征。
回到你的具体问题：如何将打分去构建指标两两比较的矩阵？
最精细的步骤是：
假设你有 M 个指标，N 个填答者。
1. 为每个填答者 k (k=1, ..., N) 构建一个 M x M 的判断矩阵 $A_k$：
对于矩阵 $A_k$ 中的元素 $a_{kij}$ (表示指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性)：
获取填答者 k 对指标 $i$ 的打分 $S_{ki}$ 和对指标 $j$ 的打分 $S_{kj}$。
定义一个映射函数 $f(S_i, S_j)$ 将分数对映射到 AHP 标度 19。 这是核心。
映射函数的设计可以基于你对 010 分数的理解：
简单理解： $S_i$ 代表指标 $i$ 的“重要程度级别”。
比例映射示例：
如果 $S_{ki} = S_{kj}$，则 $a_{kij} = 1$。
如果 $S_{ki} > S_{kj}$：
计算比例 $P = S_{ki} / S_{kj}$。
根据 $P$ 的大小，查找预设的映射表，得到 $a_{kij}$。
例如：
$P in [1.0, 1.5) ightarrow a_{kij} = 2$
$P in [1.5, 2.5) ightarrow a_{kij} = 3$
$P in [2.5, 3.5) ightarrow a_{kij} = 4$
...
$P in [8.0, infty) ightarrow a_{kij} = 9$
需要处理 $S_{kj} = 0$ 的情况： 如果 $S_{kj} = 0$ 且 $S_{ki} > 0$，则 $a_{kij}$ 应该是一个较大的值（如 7 或 9）。如果 $S_{ki} = 0$ 且 $S_{kj} > 0$，则 $a_{kij}$ 应该是一个很小的值（如 1/7 或 1/9）。如果两者都为 0，则 $a_{kij} = 1$。
如果 $S_{ki} < S_{kj}$：则 $a_{kij} = 1 / a_{jik}$。
对角线元素始终为 1： $a_{kii} = 1$。
这样就得到了一个完整的判断矩阵 $A_k$。
2. （可选但推荐）对每个矩阵 $A_k$ 进行一致性检验： 计算其最大特征值 $lambda_{max, k}$ 和一致性指标 $CI_k = (lambda_{max, k} M) / (M1)$，以及一致性比率 $CR_k = CI_k / RI$，其中 $RI$ 是平均随机一致性指标。如果 $CR_k > 0.1$，则说明该矩阵不一致，需要重新审视打分或调整映射规则。
3. 计算每个填答者 k 的权重向量 $w_k$：
使用特征向量法求解 $A_k w_k = lambda_{max, k} w_k$。
将得到的特征向量进行归一化（使各元素之和为 1）。
4. 汇总所有填答者的权重向量，得到最终权重：
最终权重向量 $w = frac{1}{N} sum_{k=1}^{N} w_k$。
关键点回顾和建议：
理解你的问卷设计和分数含义是首要的。 010 分数代表的是什么程度的“相对重要性”？是线性关系还是指数关系？
建立一个清晰的映射规则，将你问卷中的分数（或分数组合）映射到 AHP 的 19 标度。这个规则是你将问卷数据转化为 AHP 判断矩阵的关键。
比例法是基础。 指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性比例，基本上就是 $S_i / S_j$。你的挑战在于如何将这个比例“安放”到 AHP 的 19 标度上。
处理零值是必须的。
先计算个体权重再汇总权重，比汇总矩阵再计算权重更符合 AHP 的理论。
总结一下最核心的转化思路：
你的问卷提供了 M 个指标，每个参与者对这 M 个指标的“重要性”进行了 010 打分。
我们要构建的是指标之间的“相对重要性”的判断矩阵。
对于每个参与者，他给指标 $i$ 打了 $S_i$ 分，给指标 $j$打了 $S_j$ 分。
如果 $S_i = S_j$，说明在你心中，这两个指标同等重要。在判断矩阵中，对应位置为 1。
如果 $S_i > S_j$，说明指标 $i$ 比指标 $j$ 更重要。重要程度是多少倍呢？就取决于你的打分尺度如何定义这个“倍数”。一个朴素的想法是，重要性之比大约等于得分之比。所以，指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性，可以用 $S_i / S_j$ 来衡量其相对程度。
然后，你需要将这个比例 $S_i / S_j$ 映射到 AHP 的 19 标度。例如，如果 $S_i = 10, S_j = 1$，比例是 10。这在 AHP 中可能代表“极端重要”，就选 9。如果 $S_i = 6, S_j = 4$，比例是 1.5。这可能代表“稍重要”，就选 2 或 3。
这个映射过程是连接你问卷数据和 AHP 判断矩阵的桥梁，需要你根据问卷的具体含义来精心设计。
首先，要明确一点：问卷中“010的相对重要性打分”和 AHP 的“两两比较矩阵”在表达形式上是不一样的，但它们的目标是一致的——量化指标之间的相对优劣关系。AHP 采用的是“标度”和“比较”的方式来构建矩阵，而你问卷里的打分是一种“独立评估”后得出的数值。所以，我们需要一个桥梁来连接这两者。
核心思想：将独立打分转化为相对比较关系
AHP 的判断矩阵要求的是“在某一个准则下，比较两个指标的相对重要性”。例如，在“选择购车品牌”这个准则下，我们要比较“品牌知名度”和“车辆性能”哪个更重要，以及重要多少倍。而你问卷里的打分，可能是在问“您认为品牌知名度有多重要？”（给一个 010 的分数），“您认为车辆性能有多重要？”（再给一个 010 的分数），是独立打分，而不是直接比较。
所以，我们需要做的是：根据每个人填写的独立分数，推算出他们心中这两个指标的相对重要性比例，然后将这个比例体现在判断矩阵的对应位置上。
详细步骤和思考过程：
第一步：理解你的问卷设计和数据收集
1. 问卷设计： 首先，我们要清晰地知道问卷是如何设计的。
是“独立打分”还是“相对排序”？ 你提到的是“010相对重要性逐个赋分”。这通常意味着问卷是这样设计的：“请您评估以下指标的相对重要性（0表示完全不重要，10表示极其重要）”。每个指标都是独立给分的。
比较的层级： 你问的是如何构建“指标两两比较的矩阵”。这暗示着你可能有一个更高层级的准则（比如“选择购车标准”），然后下面有几个子指标（比如“品牌知名度”、“车辆性能”、“价格”、“油耗”、“售后服务”等）。你需要对这些子指标进行两两比较。
谁在打分？ 是专家，还是普通用户？这会影响到我们如何处理多人的评分。
2. 数据收集： 你收集到的是什么样的数据？是一份份问卷，还是汇总后的平均分？
假设我们有 N 个参与者（例如 N 位专家或用户），他们对 M 个指标（指标1, 指标2, ..., 指标M）在某个准则下进行了重要性打分（分数范围是 010）。
第二步：从独立分数到相对比例的转化
这是最关键的一步。我们需要把每个人独立给的 010 分转化为两两比较的比例。有几种方法可以考虑，各有侧重：
方法一：直接比例法（最常用、最直观）
原理： 假设一个人给指标 $i$ 打了分数 $S_i$，给指标 $j$ 打了分数 $S_j$。那么，在他心中，指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性是 $S_i / S_j$ 倍。
操作步骤：
1. 选择一个基准指标： 在计算每个参与者的判断矩阵时，可以先选取一个指标作为“基准”来计算相对比例。例如，选取指标1作为基准。
2. 计算相对比例： 对于参与者 k，他给指标 $i$ 的得分为 $S_{ki}$，给指标 $j$ 的得分为 $S_{kj}$。那么，他心中指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性比例可以表示为：
$Ratio_{kij} = S_{ki} / S_{kj}$
3. 填充判断矩阵： 对于参与者 k 的判断矩阵 $A_k$，矩阵的元素 $a_{kij}$ 就表示指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性。我们可以用这个比例来近似填充：
$a_{kij} approx S_{ki} / S_{kj}$
问题与改进：
0 分的问题： 如果某个指标得分为 0，那么作为分母会导致除以零。通常的做法是：
避免除以零： 如果 $S_{kj} = 0$，而 $S_{ki} > 0$，那么 $a_{kij}$ 应该是无穷大（表示指标 $i$ 极其重要）。在 AHP 标度中，这可以用 7 或 9 来表示。反之，如果 $S_{ki} = 0$ 而 $S_{kj} > 0$，则 $a_{kij}$ 为 0。
加上一个小的扰动： 另一种方法是，在计算比例时，给所有的分数加上一个非常小的正数（例如 0.001），以避免出现零。 $Ratio_{kij} = (S_{ki} + epsilon) / (S_{kj} + epsilon)$。但这会改变原始数据的相对关系，需谨慎使用。
忽略该比较项： 如果某个参与者对某个指标组合的评分都为零，可能需要排除该参与者，或者在汇总时忽略该项。
AHP 标度的限制： AHP 的判断矩阵要求使用 19 的标度（或其倒数）。你计算出的比例可能是任意正数。我们需要将这些比例映射到 AHP 的标度范围内。
方法二：标度映射法（更贴合 AHP 规范）
原理： 将每个人独立给的分数进行归一化处理，然后将归一化后的值映射到 AHP 的 19 标度。
操作步骤：
1. 对每个参与者的数据进行归一化： 对于参与者 k，计算所有 M 个指标分数的总和 $Sum_k = sum_{i=1}^{M} S_{ki}$。
2. 计算归一化权重： 指标 $i$ 的归一化权重为 $W_{ki} = S_{ki} / Sum_k$。这个 $W_{ki}$ 就是参与者 k 心中指标 $i$ 的相对重要性比例（总和为 1）。
3. 将归一化权重映射到 AHP 标度： 这是难点所在。我们希望 $a_{kij}$ 的值能够反映 $W_{ki}$ 和 $W_{kj}$ 的相对大小关系。
简单的映射思路： 我们知道 $W_{ki} / W_{kj} = S_{ki} / S_{kj}$。所以，我们实际上又要回到“比例”的概念。我们可以尝试用 $a_{kij} = ext{Round}(1 + 8 imes frac{S_{ki}}{S_{kj}})$（需要处理 S_kj 为 0 的情况）。这里的 1 是基准，8 是 AHP 最大标度（9）减去最小标度（1）的差值，需要根据你的比例映射方式调整。
更精细的映射： 可以尝试建立一个查找表或函数，将某个比例范围映射到一个 AHP 标度值。例如：
比例 1:1 映射到标度 1
比例 2:1 映射到标度 2
比例 3:1 映射到标度 3
...
比例 9:1 映射到标度 7 (可以根据你的问卷设计调整，比如 010 的分差决定标度)
比例 10:1 映射到标度 9
反向映射： 当比例小于 1 时，则使用倒数标度（例如 1:2 映射到 1/2，即 AHP 的 0.5，可以取其倒数 1/2 映射到 AHP 的 1/2 标度，或者直接按倒数关系映射）。
AHP 经典标度的启发： AHP 的标度本身就代表了一种相对重要性程度。1 表示同等重要，3 表示稍重要，5 表示明显重要，7 表示非常重要，9 表示极端重要。你的 010 分数也表达了程度。
一种尝试： 对于参与者 k，计算 $S_{ki}$ 和 $S_{kj}$。然后根据 $S_{ki}$ 和 $S_{kj}$ 的差值或比值来确定标度。
基于差值： $Diff = |S_{ki} S_{kj}|$.
$Diff = 0 ightarrow a_{kij} = 1$
$Diff = 1 ightarrow a_{kij} = 2$ 或 $3$ (这里需要主观判断)
$Diff = 2 ightarrow a_{kij} = 3$ 或 $4$
...
$Diff = 9$ 或 $10 ightarrow a_{kij} = 9$
基于比值（与方法一类似）： 假设 $S_{ki} > S_{kj}$。则 $a_{kij} = ext{MapToAHPScale}(S_{ki} / S_{kj})$。
例如，如果 $S_{ki} = 10, S_{kj} = 1$，比例是 10:1。这在 AHP 中对应 7 或 9。
如果 $S_{ki} = 6, S_{kj} = 4$，比例是 1.5:1。这在 AHP 中可能对应 2 或 3。
我们需要根据你的问卷得分含义来界定这个映射关系。比如，如果满分 10 分代表的是“绝对重要”，那么 9:1 的关系就应该是 AHP 的 7 或 9。
我的建议是优先考虑方法一的思路，然后映射到 AHP 标度。
具体实践中，针对你的“010相对重要性逐个赋分”问卷，最直接的转化方式是这样的：
假设你问卷的目标是让填答者对某个共同的决策目标（比如“选择一个最佳的软件供应商”）的各个评价指标（指标1：价格，指标2：技术能力，指标3：服务质量）的重要性进行打分（010）。
对于某一个填答者：
指标1（价格）得分为： $S_1$
指标2（技术能力）得分为： $S_2$
指标3（服务质量）得分为： $S_3$
我们要构建的判断矩阵是关于这三个指标的。
构建矩阵的元素 $a_{ij}$ (表示指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性)：
1. 计算相对比例：
对于 $a_{12}$ (价格 vs. 技术能力): 如果 $S_1 > S_2$，则比例是 $S_1 / S_2$。如果 $S_2 > S_1$，则比例是 $S_2 / S_1$，而 $a_{12}$ 的值为 $1 / (S_2 / S_1) = S_1 / S_2$。
通用公式：我们关心的是指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性。
如果 $S_i > S_j$，则 $a_{ij} = ext{MapToAHPScale}(S_i / S_j)$。
如果 $S_j > S_i$，则 $a_{ij} = 1 / ext{MapToAHPScale}(S_j / S_i)$。
如果 $S_i = S_j$，则 $a_{ij} = 1$。
2. 如何进行 MapToAHPScale？ 这是最需要你根据问卷含义来决定的主观部分，但也要有逻辑。
一种逻辑：将 010 分数理解为相对的“优势度”或“权重份额”。
假设一个填答者对三个指标的打分是 8, 6, 4。总分是 18。
价格的相对重要性约为 8/18，技术能力约为 6/18，服务质量约为 4/18。
现在要计算 $a_{12}$ (价格 vs. 技术能力)。比例是 $(8/18) / (6/18) = 8/6 approx 1.33$。
AHP 标度：1 (等), 3 (稍), 5 (显), 7 (强), 9 (极).
1.33 这个比例，表示价格“稍稍”比技术能力重要。可以映射到 AHP 标度 2 或 3。
具体映射规则可以是你自己设定的一个对照表：
比例 1:1 => AHP 标度 1
比例 1.1:1 到 2:1 => AHP 标度 2
比例 2.1:1 到 3:1 => AHP 标度 3
比例 3.1:1 到 4:1 => AHP 标度 4
比例 4.1:1 到 5:1 => AHP 标度 5
比例 5.1:1 到 7:1 => AHP 标度 6
比例 7.1:1 到 9:1 => AHP 标度 7
比例 9.1:1 到 15:1 => AHP 标度 8
比例 15.1:1 及以上 => AHP 标度 9
你问卷中的 010 分制，本身就包含了一个相对的重要性程度。 我们可以尝试直接将分数差值或分数比值关联到 AHP 的标度。
方案A（基于比值映射）：
计算 $Ratio = S_i / S_j$ (假定 $S_i ge S_j$)
$a_{ij} = ext{round}( ext{logit}(Ratio) imes c + 1)$ （这个有点复杂，需要对比例进行转换，logistics函数）
更简单的方案A'： 预设一个映射表。例如，如果 $S_i=10, S_j=1$, 比例是10。这可以对应 AHP 的 7 或 9。如果 $S_i=6, S_j=4$, 比例是1.5。这可以对应 AHP 的 2 或 3。你需要定义这个映射表。
方案B（基于分数差值和比例的结合）：
如果 $S_i = S_j$： $a_{ij} = 1$。
如果 $S_i > S_j$：
考虑比例 $S_i / S_j$。同时考虑差值 $S_i S_j$。
例如，如果 $S_i = 7, S_j = 3$。比例是 2.33。差值是 4。
如果 $S_i = 10, S_j = 2$。比例是 5。差值是 8。
一种简单但粗略的映射：
$a_{ij} = ext{round}(1 + (S_i S_j) / (max(S) min(S)) imes 8)$。这里 $max(S)$ 和 $min(S)$ 是所有指标得分的最大最小值。
但这忽视了比例关系。
更好的映射：
当 $S_i > S_j$ 时，$a_{ij} = ext{round}(f(S_i, S_j))$，其中 $f$ 是一个函数，将分数对 $(S_i, S_j)$ 映射到 AHP 标度 19。
最直接的理解： AHP 标度 19 代表了相对重要性程度。你的 010 分数也是表达这种程度。
如果两人打分完全相同（比如都是 5），则为 1。
如果一人打 10，另一人打 1，这是一个很大的差距，对应 AHP 的 7 或 9。
如果一人打 6，另一人打 4，这是一个小的差距，对应 AHP 的 2 或 3。
所以，一个可行的映射是：
对于参与者 k，计算 $a_{kij}$：
如果 $S_{ki} = S_{kj}$，则 $a_{kij} = 1$。
如果 $S_{ki} > S_{kj}$：
比例 $P = S_{ki} / S_{kj}$。
$a_{kij} = ext{Round}(1 + (P 1) imes alpha)$，其中 $alpha$ 是一个调整因子，使得比例范围映射到 AHP 标度范围。
或者更简单：将比例 $P$ 放入预设的区间映射表。例如：
$P in [1, 1.5) ightarrow a_{kij} = 2$
$P in [1.5, 2.5) ightarrow a_{kij} = 3$
...
$P in [8, infty) ightarrow a_{kij} = 9$
你需要根据你的问卷得分的“含义”来制定这个映射表。 你的“010相对重要性”究竟代表什么程度？是指数级的？还是线性关系？
第三步：处理多位参与者的评分
如果你有 N 个参与者，你会得到 N 个独立的判断矩阵。AHP 的标准做法是：
1. 计算每个参与者的权重向量： 对每个参与者 k 的判断矩阵 $A_k$，使用 AHP 的方法（例如特征向量法）计算其权重向量 $w_k = (w_{k1}, w_{k2}, ..., w_{kM})^T$。这个权重向量就代表了该参与者心中各个指标的相对重要性（总和为 1）。
2. 汇总权重向量： 将所有参与者的权重向量进行汇总。最常用的方法是算术平均法：
最终权重向量 $w = frac{1}{N} sum_{k=1}^{N} w_k$。
这样得到的 $w$ 就是所有参与者综合起来的指标权重。
另一种处理多位参与者的方法（如果你想直接汇总判断矩阵）：
1. 汇总判断矩阵： 将 N 个参与者各自的判断矩阵 $A_k$ 汇总成一个平均判断矩阵 $A_{avg}$。
$a_{avg_ij} = frac{1}{N} sum_{k=1}^{N} a_{kij}$
注意： 直接平均 AHP 标度值通常不是最优的，因为 AHP 标度是非线性的。但它是一种简便的聚合方法。
2. 计算平均判断矩阵的权重： 使用 AHP 的方法（特征向量法）对这个平均判断矩阵 $A_{avg}$ 进行计算，得到最终的指标权重向量 $w$。
更推荐的方法： 是先计算每个人的权重，再汇总权重，而不是先汇总矩阵再计算权重。因为直接平均标度可能破坏矩阵的层次结构特征。
回到你的具体问题：如何将打分去构建指标两两比较的矩阵？
最精细的步骤是：
假设你有 M 个指标，N 个填答者。
1. 为每个填答者 k (k=1, ..., N) 构建一个 M x M 的判断矩阵 $A_k$：
对于矩阵 $A_k$ 中的元素 $a_{kij}$ (表示指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性)：
获取填答者 k 对指标 $i$ 的打分 $S_{ki}$ 和对指标 $j$ 的打分 $S_{kj}$。
定义一个映射函数 $f(S_i, S_j)$ 将分数对映射到 AHP 标度 19。 这是核心。
映射函数的设计可以基于你对 010 分数的理解：
简单理解： $S_i$ 代表指标 $i$ 的“重要程度级别”。
比例映射示例：
如果 $S_{ki} = S_{kj}$，则 $a_{kij} = 1$。
如果 $S_{ki} > S_{kj}$：
计算比例 $P = S_{ki} / S_{kj}$。
根据 $P$ 的大小，查找预设的映射表，得到 $a_{kij}$。
例如：
$P in [1.0, 1.5) ightarrow a_{kij} = 2$
$P in [1.5, 2.5) ightarrow a_{kij} = 3$
$P in [2.5, 3.5) ightarrow a_{kij} = 4$
...
$P in [8.0, infty) ightarrow a_{kij} = 9$
需要处理 $S_{kj} = 0$ 的情况： 如果 $S_{kj} = 0$ 且 $S_{ki} > 0$，则 $a_{kij}$ 应该是一个较大的值（如 7 或 9）。如果 $S_{ki} = 0$ 且 $S_{kj} > 0$，则 $a_{kij}$ 应该是一个很小的值（如 1/7 或 1/9）。如果两者都为 0，则 $a_{kij} = 1$。
如果 $S_{ki} < S_{kj}$：则 $a_{kij} = 1 / a_{jik}$。
对角线元素始终为 1： $a_{kii} = 1$。
这样就得到了一个完整的判断矩阵 $A_k$。
2. （可选但推荐）对每个矩阵 $A_k$ 进行一致性检验： 计算其最大特征值 $lambda_{max, k}$ 和一致性指标 $CI_k = (lambda_{max, k} M) / (M1)$，以及一致性比率 $CR_k = CI_k / RI$，其中 $RI$ 是平均随机一致性指标。如果 $CR_k > 0.1$，则说明该矩阵不一致，需要重新审视打分或调整映射规则。
3. 计算每个填答者 k 的权重向量 $w_k$：
使用特征向量法求解 $A_k w_k = lambda_{max, k} w_k$。
将得到的特征向量进行归一化（使各元素之和为 1）。
4. 汇总所有填答者的权重向量，得到最终权重：
最终权重向量 $w = frac{1}{N} sum_{k=1}^{N} w_k$。
关键点回顾和建议：
理解你的问卷设计和分数含义是首要的。 010 分数代表的是什么程度的“相对重要性”？是线性关系还是指数关系？
建立一个清晰的映射规则，将你问卷中的分数（或分数组合）映射到 AHP 的 19 标度。这个规则是你将问卷数据转化为 AHP 判断矩阵的关键。
比例法是基础。 指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性比例，基本上就是 $S_i / S_j$。你的挑战在于如何将这个比例“安放”到 AHP 的 19 标度上。
处理零值是必须的。
先计算个体权重再汇总权重，比汇总矩阵再计算权重更符合 AHP 的理论。
总结一下最核心的转化思路：
你的问卷提供了 M 个指标，每个参与者对这 M 个指标的“重要性”进行了 010 打分。
我们要构建的是指标之间的“相对重要性”的判断矩阵。
对于每个参与者，他给指标 $i$ 打了 $S_i$ 分，给指标 $j$打了 $S_j$ 分。
如果 $S_i = S_j$，说明在你心中，这两个指标同等重要。在判断矩阵中，对应位置为 1。
如果 $S_i > S_j$，说明指标 $i$ 比指标 $j$ 更重要。重要程度是多少倍呢？就取决于你的打分尺度如何定义这个“倍数”。一个朴素的想法是，重要性之比大约等于得分之比。所以，指标 $i$ 相对于指标 $j$ 的重要性，可以用 $S_i / S_j$ 来衡量其相对程度。
然后，你需要将这个比例 $S_i / S_j$ 映射到 AHP 的 19 标度。例如，如果 $S_i = 10, S_j = 1$，比例是 10。这在 AHP 中可能代表“极端重要”，就选 9。如果 $S_i = 6, S_j = 4$，比例是 1.5。这可能代表“稍重要”，就选 2 或 3。
这个映射过程是连接你问卷数据和 AHP 判断矩阵的桥梁，需要你根据问卷的具体含义来精心设计。
网友意见
这个问题问得很业余，但是问卷一词很关键。问卷意味着有很多人打分。
构建指标两两比较的矩阵很简单，即打 n(n-1)次，沿着对角线的另外一边取倒数即可。
1、层次分析法什么情况容易被问得哑口无言。
ahp是一个很基础的，最常见的求权重方法，它是主观法。
几乎是100%的论文，最少也是90%的论文，实际处理是自己一个人拍脑袋打分的。
然后在论文中就假模假样的说，是请了10个专家，或者是20个专家打分的。
或者吹牛说用了问卷打分的。
10个人打分，每个人打分，能合成出那么规整的判断矩阵吗？
怎么就能合成出互为倒数的正反判断矩阵？
如果题主的指标有10个
然后给出问卷是一个列表型的问卷诸如如下方式。
| 问卷 |
|---|
| 指标1 重要性 请勾选 |
| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
| …… |
| …… |
| 指标10 重要性 请勾选 |
| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
这种问卷是不行的。
不能合成出AHP的两两互为倒数的判断矩阵的
这样的论文有不少，是典型的瞎掰的。
然后有人根据平均值再两两比较取值，这是错误的。
2、多人打分如何处理？
AHP多人打分一般是如下三种处理。
n个人，算n次，然后把符合一致性校验的权重，再求一次平均。
第二种：清晰化处理，进行清晰化合成，具体算法有很多。
这里介绍一种类似的方法。
上面是流程。
（1）、每位专家打分为E共n个专家
（2）、每个打分可以拆解我上界与下界两个值。
（3）、下界的值相加求平均值（不求亦可以）得到 min 直接影响矩阵， 上界的值相加求平均值（不求亦可以）得到 Max直接影响矩阵
然后就是一个看着复杂的清晰化过程。
强调下，这只是一种清晰化合成的方法。
第三种，最实用，最适合AHP有互为倒数强迫症的人。
（1）、判断打分的方向
上面的三角形表示大于等于一的值。圆圈里的表示小于1的值。具体含义很好理解。
然后就可以转化成上面的矩阵。其中三角形块的就是专家要打分的地方，而且是打
1到9这么几个值。
到了上面这步大家应该理解了。另外一边就是对角线对称的位置求倒数而已。
（2）、专家在一个方向上打分
……
（3）、求平均分
如下面的方式
对应的位置求倒数。
得到的就是判断矩阵了。
上面的方法简单实用。
不过有人会问，如果方向出现相左怎么办？
那就不是AHP/ANP的思路了。
3、如果不为倒数的判断矩阵怎么处理？
判断矩阵，是互为倒数的。这是一个基本假设。
不为倒数才是常态。
这种假设存在的问题是，如果无法比较，出现为0的时候就无法计算下去。
上面有4种主观法的求权重方法。
其中D-ANP的适用性最强。
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