层次分析法（ahp）求得权向量（特征向量），为什么某一元素对另一元素重要程度高，而求得权重低呢？
你这个问题提得非常关键，也很容易让人产生困惑。层次分析法（AHP）在实际应用中，确实会出现我们直观感觉上“应该更重要”的那个元素，最终计算出来的权重反而不高，反之亦然。这背后其实涉及到 AHP 的几个核心逻辑和计算过程。咱们就掰开了揉碎了说，让你彻底明白其中的原因。
首先，咱们得明确 AHP 的核心目标：
AHP 的目标是将一个复杂的多准则决策问题分解为一系列的两两比较，并最终量化各个因素对整体目标的重要程度（即权重）。它的精髓在于“两两比较”和“结构化”。
为什么会出现“重要程度高，权重反而低”的情况？这背后有多重因素在起作用，咱们逐一分析：
1. “重要程度”的主观性 vs. 权重的“相对性”
直观感受中的“重要程度”： 当我们说“某一个元素对另一个元素重要程度高”时，我们通常是在一个相对孤立的环境下评估的。比如，在选择手机时，你可能会觉得“处理器性能”对“游戏体验”非常重要。这种判断可能是一种强烈的、局部的印象。
AHP 计算出的“权重”： AHP 计算出的权重，是在整个决策体系（层次结构）的框架下，经过多轮两两比较后，相对于所有其他因素的相对重要性。它不是一个绝对的数值，而是一个比例。
想象一下，你在选手机，你认为“处理器性能”对“游戏体验”重要，但同时你可能也认为“电池续航”对“日常使用”非常重要。AHP 会让你把“处理器性能”和“电池续航”在不同场景下进行比较，也会让你将它们与“拍照效果”、“屏幕显示”等其他因素进行比较。最终的权重，是所有这些比较权衡的结果。
举个例子：
假设你的决策目标是“选择一款适合学生使用的笔记本电脑”。
准则 A：价格
准则 B：性能
准则 C：便携性
在两两比较时，你可能会觉得：
“价格”比“性能”重要（比如，打分 3：价格比性能重要一点）
“价格”比“便携性”重要（比如，打分 5：价格比便携性明显重要）
但是，“性能”比“便携性”重要（比如，打分 2：性能比便携性重要）
如果你觉得“价格”对学生来说是压倒性的重要，你可能会给它很多“高分”。但是，如果“性能”虽然不如“价格”那么重要，但你对它也赋予了相当高的相对重要性，并且在后续的计算中，它与其他因素的组合效应显现出来，最终的权重分布可能会让“价格”不是最高，而是“性能”或者一个综合起来更具优势的因素获得更高的权重。
2. “重要程度”的单一维度 vs. 权重的“综合考量”
直观感受： 我们在评估某个因素的重要性时，往往会考虑它对某个特定方面的影响。
AHP 的权重： AHP 的权重是针对整个决策目标而言的。一个因素在某个子目标上可能非常重要，但在整体目标上，它可能因为其他因素的制约或权衡，最终的权重并没有想象中那么高。
继续上面的笔记本电脑例子：
假设我们要选择一款“适合学生使用的笔记本电脑”，最终的权重分布可能会是这样（假设的比例）：
价格：0.4
性能：0.35
便携性：0.25
在这个例子里，“性能”的权重（0.35）虽然没有“价格”高（0.4），但比“便携性”（0.25）要高。
但是，如果我们深入到“性能”这个层级，假设它的子准则有：
处理器
内存
显卡
你可能会认为“处理器”对“性能”来说非常非常重要，甚至比“内存”和“显卡”都要重要得多。在比较“处理器”和“内存”时，你可能给了“处理器”一个非常高的判断值（比如 7，表示处理器比内存强很多）。
然而，即使“处理器”在“性能”这个层级中获得了相对较高的权重（例如，在性能内部是 0.6 的权重），但是由于“性能”这个大准则本身在整个决策目标中的权重只有 0.35，那么“处理器”对整个决策目标的最终贡献权重就是 0.35 0.6 = 0.21。
而如果“便携性”（权重 0.25）的某个子项，比如“续航时间”，虽然你觉得它不如处理器重要（比如，在便携性内部只有 0.4 的权重），但它对整个决策目标的贡献就是 0.25 0.4 = 0.1。
在这个场景下，你可能直观觉得“处理器”对“性能”的“重要程度”远高于“续航时间”对“便携性”的“重要程度”，但最终算出来的对整个决策目标的贡献权重，却可能不如你预期的那么高，甚至可能低于那些在你看来“没那么重要”但有其独特价值的因素。
3. 权重计算过程的“数学平均”和“归一化”
两两比较的逻辑： AHP 的核心计算是基于特征向量的求解。简单来说，你输入的成对比较矩阵（例如，使用 Saaty 标度 19），代表了你对每个元素相对重要性的判断。
特征向量求解： 通过求解这个矩阵的特征向量，我们得到一个向量，这个向量的每个分量就是对应元素的权重。求解特征向量的过程，实质上是在寻找一个向量，使得它乘以判断矩阵后，得到的结果向量与原向量成比例（即 $mathbf{Aw} = lambda_{max}mathbf{w}$）。这个比例因子 $lambda_{max}$ 是矩阵的最大特征值。
权重的归一化： 求解出来的特征向量，还需要进行归一化（通常是让所有分量相加等于 1），得到最终的权重向量。
这里是关键所在：
“重要程度”的判断，是离散的、局部的、相对的。 你可能对某个元素的某方面评价非常高，比如 A 对 B 重要程度是 9。
权重计算，是将所有这些相对判断“平均”和“权衡”后得到的。 想象一个判断矩阵，你给了很多 7、8、9 的高分，表示你认为很多因素都非常重要。在这种情况下，即使某个因素的判断值很高，但因为它与其他“非常重要”的因素进行了“分享”相对重要性，其最终分摊到的权重就会被“稀释”。
举个形象的例子：
想象你分蛋糕。你有 10 块蛋糕（代表总权重 1），你需要分给 3 个人（代表 3 个因素）。
情景一： 你觉得 A 非常重要，B 一般，C 不重要。你给 A 9 分，B 3 分，C 1 分。
A 的相对重要性比 B 高 3 倍，比 C 高 9 倍。
经过归一化，A 可能会得到 0.6 的权重，B 0.3，C 0.1。
情景二： 你觉得 A 非常重要，B 也非常重要，C 还算重要。你给 A 7 分，B 7 分，C 3 分。
A 和 B 相对于彼此一样重要，但都比 C 重要得多。
这时，即使 A 的判断值“绝对”上来看（9 比 7 高），但最终的权重分配可能会是 A 0.45，B 0.45，C 0.1。
在情景二中，你可能觉得“A 的重要程度非常高”，但最终它获得的权重可能不如情景一中那个虽然评价没那么极端但其他因素“不那么争宠”的 A。
一致性指标（CI）和随机一致性比率（CR）： AHP 在计算权重时，还会计算一致性指标和随机一致性比率。如果 CR 值过高（通常大于 0.1），说明你的两两比较存在较大的不一致性，这意味着你的判断是混乱的，计算出的权重也就不那么可靠。这时，你可能需要回去重新审视你的判断。这种不一致性也可能导致你直观感觉上重要的因素，因为与其他判断的冲突，最终未能获得理想的权重。
4. 层次结构的设计和因素的分解
层级分解的影响： AHP 是分层进行的。一个因素在顶层（目标层）的重要性，会影响到它在下一层（准则层）或更底层的重要性。如果在较高层级，某个因素的权重就被限制住了，那么它在底层即使再怎么重要，其对整体目标的贡献也无法超越这个顶层限制。
“重要程度”的定义是否全面： 有时我们认为某个因素重要，可能是因为它在某个“单一维度”上表现突出。但 AHP 在计算权重时，会综合考虑该因素在所有被考虑维度上的表现以及这些维度与总目标之间的关系。
举个例子：
你选择一辆汽车。你可能觉得“加速性能”非常重要。但是，如果整个决策的目标是“家庭用车”，那么“空间”、“安全性”、“油耗”等因素，可能在整体权重的分配中占据更大的比例。
你觉得“加速性能”对“驾驶体验”可能非常重要，在“驾驶体验”这个子目标下，加速性能的权重很高。但如果“驾驶体验”这个子目标本身的权重对“家庭用车”这个总目标来说就不那么高，那么“加速性能”的最终权重自然也就受限了。
总结一下，为什么会出现“重要程度高，权重反而低”的情况：
1. 权重的相对性： AHP 的权重是相对于所有其他因素的相对重要性，是在整个体系中计算出来的，而不是孤立的。
2. 综合考量： 权重是基于所有层级、所有准则的综合评价，不仅仅是某个因素对某个特定方面的影响。
3. 数学计算的“平均”效应： 两两比较的评分，经过矩阵运算和归一化后，会产生一种“平均”和“分享”效应，使得即使某个评分很高，最终权重也可能被稀释。
4. 其他因素的竞争： 当有很多因素都被你认为是“非常重要”时，它们就会在权重分配上产生竞争。
5. 层次结构的设计： 在高层次被赋予较低权重的因素，即使在低层次非常重要，其对整体目标的贡献也会受限。
如何避免这种误解和保证结果的合理性？
清晰定义问题和目标： 确保你对决策目标和各层级准则的理解是清晰且一致的。
理性的两两比较： 在进行两两比较时，尽量做到基于事实和客观分析，而不是纯粹的主观印象。考虑清楚“相对于其他因素，它有多重要？”
检查一致性： 利用 AHP 提供的工具检查你的判断矩阵的一致性比率（CR）。如果 CR 过高，就需要重新审视你的判断。
多维度思考： 不要仅仅从一个角度去评估“重要程度”，要考虑该因素在整个决策体系中的全貌。
总而言之，AHP 的权重计算是一个严谨的数学过程，它将我们模糊的、局部的“重要程度”判断，转化为一个结构化、相对化的量化结果。理解这个转化过程中的数学逻辑和信息传递，就能明白为什么会出现我们直观感受与计算结果不符的情况。它考验的不仅是我们的判断能力，还有我们对整个决策结构和 AHP 方法本身的理解。
首先，咱们得明确 AHP 的核心目标：
AHP 的目标是将一个复杂的多准则决策问题分解为一系列的两两比较，并最终量化各个因素对整体目标的重要程度（即权重）。它的精髓在于“两两比较”和“结构化”。
为什么会出现“重要程度高，权重反而低”的情况？这背后有多重因素在起作用，咱们逐一分析：
1. “重要程度”的主观性 vs. 权重的“相对性”
直观感受中的“重要程度”： 当我们说“某一个元素对另一个元素重要程度高”时，我们通常是在一个相对孤立的环境下评估的。比如，在选择手机时，你可能会觉得“处理器性能”对“游戏体验”非常重要。这种判断可能是一种强烈的、局部的印象。
AHP 计算出的“权重”： AHP 计算出的权重，是在整个决策体系（层次结构）的框架下，经过多轮两两比较后，相对于所有其他因素的相对重要性。它不是一个绝对的数值，而是一个比例。
想象一下，你在选手机，你认为“处理器性能”对“游戏体验”重要，但同时你可能也认为“电池续航”对“日常使用”非常重要。AHP 会让你把“处理器性能”和“电池续航”在不同场景下进行比较，也会让你将它们与“拍照效果”、“屏幕显示”等其他因素进行比较。最终的权重，是所有这些比较权衡的结果。
举个例子：
假设你的决策目标是“选择一款适合学生使用的笔记本电脑”。
准则 A：价格
准则 B：性能
准则 C：便携性
在两两比较时，你可能会觉得：
“价格”比“性能”重要（比如，打分 3：价格比性能重要一点）
“价格”比“便携性”重要（比如，打分 5：价格比便携性明显重要）
但是，“性能”比“便携性”重要（比如，打分 2：性能比便携性重要）
如果你觉得“价格”对学生来说是压倒性的重要，你可能会给它很多“高分”。但是，如果“性能”虽然不如“价格”那么重要，但你对它也赋予了相当高的相对重要性，并且在后续的计算中，它与其他因素的组合效应显现出来，最终的权重分布可能会让“价格”不是最高，而是“性能”或者一个综合起来更具优势的因素获得更高的权重。
2. “重要程度”的单一维度 vs. 权重的“综合考量”
直观感受： 我们在评估某个因素的重要性时，往往会考虑它对某个特定方面的影响。
AHP 的权重： AHP 的权重是针对整个决策目标而言的。一个因素在某个子目标上可能非常重要，但在整体目标上，它可能因为其他因素的制约或权衡，最终的权重并没有想象中那么高。
继续上面的笔记本电脑例子：
假设我们要选择一款“适合学生使用的笔记本电脑”，最终的权重分布可能会是这样（假设的比例）：
价格：0.4
性能：0.35
便携性：0.25
在这个例子里，“性能”的权重（0.35）虽然没有“价格”高（0.4），但比“便携性”（0.25）要高。
但是，如果我们深入到“性能”这个层级，假设它的子准则有：
处理器
内存
显卡
你可能会认为“处理器”对“性能”来说非常非常重要，甚至比“内存”和“显卡”都要重要得多。在比较“处理器”和“内存”时，你可能给了“处理器”一个非常高的判断值（比如 7，表示处理器比内存强很多）。
然而，即使“处理器”在“性能”这个层级中获得了相对较高的权重（例如，在性能内部是 0.6 的权重），但是由于“性能”这个大准则本身在整个决策目标中的权重只有 0.35，那么“处理器”对整个决策目标的最终贡献权重就是 0.35 0.6 = 0.21。
而如果“便携性”（权重 0.25）的某个子项，比如“续航时间”，虽然你觉得它不如处理器重要（比如，在便携性内部只有 0.4 的权重），但它对整个决策目标的贡献就是 0.25 0.4 = 0.1。
在这个场景下，你可能直观觉得“处理器”对“性能”的“重要程度”远高于“续航时间”对“便携性”的“重要程度”，但最终算出来的对整个决策目标的贡献权重，却可能不如你预期的那么高，甚至可能低于那些在你看来“没那么重要”但有其独特价值的因素。
3. 权重计算过程的“数学平均”和“归一化”
两两比较的逻辑： AHP 的核心计算是基于特征向量的求解。简单来说，你输入的成对比较矩阵（例如，使用 Saaty 标度 19），代表了你对每个元素相对重要性的判断。
特征向量求解： 通过求解这个矩阵的特征向量，我们得到一个向量，这个向量的每个分量就是对应元素的权重。求解特征向量的过程，实质上是在寻找一个向量，使得它乘以判断矩阵后，得到的结果向量与原向量成比例（即 $mathbf{Aw} = lambda_{max}mathbf{w}$）。这个比例因子 $lambda_{max}$ 是矩阵的最大特征值。
权重的归一化： 求解出来的特征向量，还需要进行归一化（通常是让所有分量相加等于 1），得到最终的权重向量。
这里是关键所在：
“重要程度”的判断，是离散的、局部的、相对的。 你可能对某个元素的某方面评价非常高，比如 A 对 B 重要程度是 9。
权重计算，是将所有这些相对判断“平均”和“权衡”后得到的。 想象一个判断矩阵，你给了很多 7、8、9 的高分，表示你认为很多因素都非常重要。在这种情况下，即使某个因素的判断值很高，但因为它与其他“非常重要”的因素进行了“分享”相对重要性，其最终分摊到的权重就会被“稀释”。
举个形象的例子：
想象你分蛋糕。你有 10 块蛋糕（代表总权重 1），你需要分给 3 个人（代表 3 个因素）。
情景一： 你觉得 A 非常重要，B 一般，C 不重要。你给 A 9 分，B 3 分，C 1 分。
A 的相对重要性比 B 高 3 倍，比 C 高 9 倍。
经过归一化，A 可能会得到 0.6 的权重，B 0.3，C 0.1。
情景二： 你觉得 A 非常重要，B 也非常重要，C 还算重要。你给 A 7 分，B 7 分，C 3 分。
A 和 B 相对于彼此一样重要，但都比 C 重要得多。
这时，即使 A 的判断值“绝对”上来看（9 比 7 高），但最终的权重分配可能会是 A 0.45，B 0.45，C 0.1。
在情景二中，你可能觉得“A 的重要程度非常高”，但最终它获得的权重可能不如情景一中那个虽然评价没那么极端但其他因素“不那么争宠”的 A。
一致性指标（CI）和随机一致性比率（CR）： AHP 在计算权重时，还会计算一致性指标和随机一致性比率。如果 CR 值过高（通常大于 0.1），说明你的两两比较存在较大的不一致性，这意味着你的判断是混乱的，计算出的权重也就不那么可靠。这时，你可能需要回去重新审视你的判断。这种不一致性也可能导致你直观感觉上重要的因素，因为与其他判断的冲突，最终未能获得理想的权重。
4. 层次结构的设计和因素的分解
层级分解的影响： AHP 是分层进行的。一个因素在顶层（目标层）的重要性，会影响到它在下一层（准则层）或更底层的重要性。如果在较高层级，某个因素的权重就被限制住了，那么它在底层即使再怎么重要，其对整体目标的贡献也无法超越这个顶层限制。
“重要程度”的定义是否全面： 有时我们认为某个因素重要，可能是因为它在某个“单一维度”上表现突出。但 AHP 在计算权重时，会综合考虑该因素在所有被考虑维度上的表现以及这些维度与总目标之间的关系。
举个例子：
你选择一辆汽车。你可能觉得“加速性能”非常重要。但是，如果整个决策的目标是“家庭用车”，那么“空间”、“安全性”、“油耗”等因素，可能在整体权重的分配中占据更大的比例。
你觉得“加速性能”对“驾驶体验”可能非常重要，在“驾驶体验”这个子目标下，加速性能的权重很高。但如果“驾驶体验”这个子目标本身的权重对“家庭用车”这个总目标来说就不那么高，那么“加速性能”的最终权重自然也就受限了。
总结一下，为什么会出现“重要程度高，权重反而低”的情况：
1. 权重的相对性： AHP 的权重是相对于所有其他因素的相对重要性，是在整个体系中计算出来的，而不是孤立的。
2. 综合考量： 权重是基于所有层级、所有准则的综合评价，不仅仅是某个因素对某个特定方面的影响。
3. 数学计算的“平均”效应： 两两比较的评分，经过矩阵运算和归一化后，会产生一种“平均”和“分享”效应，使得即使某个评分很高，最终权重也可能被稀释。
4. 其他因素的竞争： 当有很多因素都被你认为是“非常重要”时，它们就会在权重分配上产生竞争。
5. 层次结构的设计： 在高层次被赋予较低权重的因素，即使在低层次非常重要，其对整体目标的贡献也会受限。
如何避免这种误解和保证结果的合理性？
清晰定义问题和目标： 确保你对决策目标和各层级准则的理解是清晰且一致的。
理性的两两比较： 在进行两两比较时，尽量做到基于事实和客观分析，而不是纯粹的主观印象。考虑清楚“相对于其他因素，它有多重要？”
检查一致性： 利用 AHP 提供的工具检查你的判断矩阵的一致性比率（CR）。如果 CR 过高，就需要重新审视你的判断。
多维度思考： 不要仅仅从一个角度去评估“重要程度”，要考虑该因素在整个决策体系中的全貌。
总而言之，AHP 的权重计算是一个严谨的数学过程，它将我们模糊的、局部的“重要程度”判断，转化为一个结构化、相对化的量化结果。理解这个转化过程中的数学逻辑和信息传递，就能明白为什么会出现我们直观感受与计算结果不符的情况。它考验的不仅是我们的判断能力，还有我们对整个决策结构和 AHP 方法本身的理解。
网友意见
这种很正常，很正常。专业一点叫克星环。通俗一点叫形成了回路。
这个是要进行一致性校验的根源所在。
1、尔古打机的博士论文
论文名称 ：决策中成对比较矩阵的数据理论与方法
作者： 尔古打机
上面的博士论文可以快速的拉倒致谢部分。
感谢我的恩师 Thomas L Saaty 教授。在匹兹堡大学访学的这一年，我不仅领 略了他学术大师的风范和气度，而且深切感受到了他渊博的知识和对学术的敬业 精神。86 岁的他，每天坚持到办公室工作，他说他只想给世人多留下点知识财富， 这是一份多么值得我们所有人感动和学习的精神啊！感谢 Saaty 教授和他的夫人 Rozzan 女士，他们让我在异国他乡感受到了家庭般的温暖。
注意标黑的部分，这个人是ahp、anp的提出者。
2、 克星环
该论文多次提到了克星环，有114次使用了这个名词，整篇论文的核心也是基于这个概念提出了若干解决方案。什么叫克星环，如何消除这个偏差。
上面写了图论和克星环。所谓克星环就是回路。
3、ISM如何理解克星环
ISM是基于图论的。ISM的全名叫解释结构模型。2020年发展出AISM即对抗解释结构模型。
先不看图，我们想象下，有3个要素的系统即A、B、C三个。
A B
B C
C A
那么它就会形成一个回路。即首尾连接的一个菊花链。
上面是一个对抗解释结构模型。
我们参照问题中的例子
对角线全部变成0
然后其它大于等于1的输入为1，进行计算。
上面是原始矩阵。
得出 E4同E5是显著的克星环。
即两者是相同的。
如果把两边为1的赋值为0。
即如上。
结果如下，显然没有回路不存在克星环。即没有回路。
4、回路是广泛存在
复杂系统中，即要素一多的情况，只比较一半，n（n-1）形成的判断矩阵，非常容易出现回路。
这也是很多解决方案直指AHP的前提假设。
第一、是否一定要正反判断矩阵。
第二、一致性校验缺乏数理基础。
上述两样在古尔打机的博士论文都有提及。
当然，他的论文更多的是解决残缺矩阵的计算的问题。
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