下列不定积分怎样解?

这道不定积分的求解，我们可以一步步来拆解。遇到不定积分，首要的思路就是观察被积函数，看它有什么特点，能否用我们已知的积分公式或者积分技巧来处理。

我们来看一下这个被积函数：[ int frac{x^2 1}{x^4 + 1} dx ]

一眼看过去，分母是 (x^4 + 1)，分子是 (x^2 1)。这是一个有理函数求积分的问题。对于有理函数积分，最常用的方法是进行部分分式分解。

第一步：处理分母

分母 (x^4 + 1) 是一个四次多项式，它不能直接因式分解成一次或二次因式的乘积。我们需要将其分解成实系数的一次或二次因式的乘积。

一种常用的技巧是配凑法：
(x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 2x^2 = (x^2 + 1)^2 (sqrt{2}x)^2)
这是一个平方差公式 (a^2 b^2 = (ab)(a+b)) 的形式，其中 (a = x^2 + 1)，$b = sqrt{2}x$。
所以，(x^4 + 1 = (x^2 + 1 sqrt{2}x)(x^2 + 1 + sqrt{2}x))
(x^4 + 1 = (x^2 sqrt{2}x + 1)(x^2 + sqrt{2}x + 1))

现在，我们得到了分母的二次因式分解。我们可以检查这两个二次因式在实数域内是否还能继续分解。对于二次三项式 (ax^2 + bx + c)，判别式为 (Delta = b^2 4ac)。
对于 (x^2 sqrt{2}x + 1)，判别式为 ((sqrt{2})^2 4(1)(1) = 2 4 = 2 < 0)。
对于 (x^2 + sqrt{2}x + 1)，判别式为 ((sqrt{2})^2 4(1)(1) = 2 4 = 2 < 0)。
因为判别式都小于零，这两个二次因式在实数域内是不可约的。

第二步：部分分式分解

现在我们可以将原被积函数写成部分分式的形式：
[ frac{x^2 1}{x^4 + 1} = frac{x^2 1}{(x^2 sqrt{2}x + 1)(x^2 + sqrt{2}x + 1)} = frac{Ax + B}{x^2 sqrt{2}x + 1} + frac{Cx + D}{x^2 + sqrt{2}x + 1} ]

为了求解系数 (A, B, C, D)，我们将右侧通分：
[ x^2 1 = (Ax + B)(x^2 + sqrt{2}x + 1) + (Cx + D)(x^2 sqrt{2}x + 1) ]
展开右侧：
[ x^2 1 = (Ax^3 + Asqrt{2}x^2 + Ax + Bx^2 + Bsqrt{2}x + B) + (Cx^3 Csqrt{2}x^2 + Cx + Dx^2 Dsqrt{2}x + D) ]
合并同类项：
[ x^2 1 = (A+C)x^3 + (Asqrt{2} + B Csqrt{2} + D)x^2 + (A + Bsqrt{2} + C Dsqrt{2})x + (B+D) ]

现在比较等式两边同次幂的系数：
1. (x^3) 的系数： (A + C = 0 implies C = A)
2. (x^2) 的系数： (Asqrt{2} + B Csqrt{2} + D = 1)
3. (x) 的系数： (A + Bsqrt{2} + C Dsqrt{2} = 0)
4. 常数项： (B + D = 1 implies D = 1 B)

将 (C = A) 和 (D = 1 B) 代入方程 2 和 3：

方程 2 变为：
(Asqrt{2} + B (A)sqrt{2} + (1 B) = 1)
(Asqrt{2} + B + Asqrt{2} 1 B = 1)
(2Asqrt{2} 1 = 1)
(2Asqrt{2} = 2)
(Asqrt{2} = 1)
(A = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2})

由于 (C = A)，所以 (C = frac{sqrt{2}}{2})。

方程 3 变为：
(A + Bsqrt{2} + (A) (1 B)sqrt{2} = 0)
(A + Bsqrt{2} A + (1 + B)sqrt{2} = 0)
(Bsqrt{2} + sqrt{2} + Bsqrt{2} = 0)
(2Bsqrt{2} + sqrt{2} = 0)
(2Bsqrt{2} = sqrt{2})
(2B = 1)
(B = frac{1}{2})

由于 (D = 1 B)，所以 (D = 1 (frac{1}{2}) = 1 + frac{1}{2} = frac{1}{2})。

综上，我们得到系数：
(A = frac{sqrt{2}}{2}), (B = frac{1}{2}), (C = frac{sqrt{2}}{2}), (D = frac{1}{2})

因此，原被积函数可以写成：
[ frac{x^2 1}{x^4 + 1} = frac{frac{sqrt{2}}{2}x frac{1}{2}}{x^2 sqrt{2}x + 1} + frac{frac{sqrt{2}}{2}x frac{1}{2}}{x^2 + sqrt{2}x + 1} ]
[ frac{x^2 1}{x^4 + 1} = frac{1}{2} left( frac{sqrt{2}x 1}{x^2 sqrt{2}x + 1} frac{sqrt{2}x + 1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} ight) ]

第三步：对拆分后的项进行积分

现在我们需要积分这两个部分。

对第一项积分： ( int frac{sqrt{2}x 1}{x^2 sqrt{2}x + 1} dx )

注意到分母的导数是 (2x sqrt{2})。我们可以尝试将分子凑成导数的倍数再加上一个常数。
分子 ( sqrt{2}x 1 )。 我们可以写成 ( frac{sqrt{2}}{2} (2x) 1 )。 目标是凑出 (2x sqrt{2})。
( sqrt{2}x 1 = frac{sqrt{2}}{2} (2x sqrt{2}) + frac{sqrt{2}}{2}(sqrt{2}) 1 )
( sqrt{2}x 1 = frac{sqrt{2}}{2} (2x sqrt{2}) 1 1 )
( sqrt{2}x 1 = frac{sqrt{2}}{2} (2x sqrt{2}) 2 )

所以第一项的积分变成：
[ int frac{frac{sqrt{2}}{2} (2x sqrt{2}) 2}{x^2 sqrt{2}x + 1} dx = frac{sqrt{2}}{2} int frac{2x sqrt{2}}{x^2 sqrt{2}x + 1} dx 2 int frac{1}{x^2 sqrt{2}x + 1} dx ]

第一部分 ( frac{sqrt{2}}{2} int frac{2x sqrt{2}}{x^2 sqrt{2}x + 1} dx )： 这是一个 (int frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln|f(x)|) 的形式。
所以，( frac{sqrt{2}}{2} ln|x^2 sqrt{2}x + 1| )。
由于 (x^2 sqrt{2}x + 1) 的判别式小于零且二次项系数为正，它恒大于零，可以去掉绝对值符号：( frac{sqrt{2}}{2} ln(x^2 sqrt{2}x + 1) )。

第二部分 ( 2 int frac{1}{x^2 sqrt{2}x + 1} dx )： 这需要将分母配方成平方和的形式。
( x^2 sqrt{2}x + 1 = (x frac{sqrt{2}}{2})^2 (frac{sqrt{2}}{2})^2 + 1 )
( x^2 sqrt{2}x + 1 = (x frac{sqrt{2}}{2})^2 frac{2}{4} + 1 )
( x^2 sqrt{2}x + 1 = (x frac{sqrt{2}}{2})^2 + frac{1}{2} )
( x^2 sqrt{2}x + 1 = (x frac{sqrt{2}}{2})^2 + (frac{1}{sqrt{2}})^2 )

所以积分变成： ( 2 int frac{1}{(x frac{sqrt{2}}{2})^2 + (frac{1}{sqrt{2}})^2} dx )
这是一个 (int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{1}{a} arctan(frac{u}{a})) 的形式，其中 (u = x frac{sqrt{2}}{2})，$a = frac{1}{sqrt{2}}$。
积分结果是 ( 2 cdot frac{1}{frac{1}{sqrt{2}}} arctan(frac{x frac{sqrt{2}}{2}}{frac{1}{sqrt{2}}}) )
( 2 cdot sqrt{2} arctan(sqrt{2}(x frac{sqrt{2}}{2})) )
( 2sqrt{2} arctan(sqrt{2}x 1) )

所以第一项的积分是： ( frac{sqrt{2}}{2} ln(x^2 sqrt{2}x + 1) 2sqrt{2} arctan(sqrt{2}x 1) )

对第二项积分： ( int frac{sqrt{2}x + 1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} dx )

分母的导数是 (2x + sqrt{2})。我们尝试将分子凑成导数的倍数再加上一个常数。
分子 ( sqrt{2}x + 1 )。 目标是凑出 (2x + sqrt{2})。
( sqrt{2}x + 1 = frac{sqrt{2}}{2} (2x + sqrt{2}) + frac{sqrt{2}}{2}(sqrt{2}) + 1 )
( sqrt{2}x + 1 = frac{sqrt{2}}{2} (2x + sqrt{2}) + 1 + 1 )
( sqrt{2}x + 1 = frac{sqrt{2}}{2} (2x + sqrt{2}) + 2 )

所以第二项的积分变成：
[ int frac{frac{sqrt{2}}{2} (2x + sqrt{2}) + 2}{x^2 + sqrt{2}x + 1} dx = frac{sqrt{2}}{2} int frac{2x + sqrt{2}}{x^2 + sqrt{2}x + 1} dx + 2 int frac{1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} dx ]

第一部分 ( frac{sqrt{2}}{2} int frac{2x + sqrt{2}}{x^2 + sqrt{2}x + 1} dx )： 同样是 (int frac{f'(x)}{f(x)} dx) 的形式。
所以，( frac{sqrt{2}}{2} ln|x^2 + sqrt{2}x + 1| )。
因为 (x^2 + sqrt{2}x + 1) 恒大于零，可以去掉绝对值：( frac{sqrt{2}}{2} ln(x^2 + sqrt{2}x + 1) )。

第二部分 ( 2 int frac{1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} dx )： 配方分母。
( x^2 + sqrt{2}x + 1 = (x + frac{sqrt{2}}{2})^2 (frac{sqrt{2}}{2})^2 + 1 )
( x^2 + sqrt{2}x + 1 = (x + frac{sqrt{2}}{2})^2 + frac{1}{2} )
( x^2 + sqrt{2}x + 1 = (x + frac{sqrt{2}}{2})^2 + (frac{1}{sqrt{2}})^2 )

积分变成： ( 2 int frac{1}{(x + frac{sqrt{2}}{2})^2 + (frac{1}{sqrt{2}})^2} dx )
使用 (int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{1}{a} arctan(frac{u}{a})) 的形式，其中 (u = x + frac{sqrt{2}}{2})，$a = frac{1}{sqrt{2}}$。
积分结果是 ( 2 cdot frac{1}{frac{1}{sqrt{2}}} arctan(frac{x + frac{sqrt{2}}{2}}{frac{1}{sqrt{2}}}) )
( 2 cdot sqrt{2} arctan(sqrt{2}(x + frac{sqrt{2}}{2})) )
( 2sqrt{2} arctan(sqrt{2}x + 1) )

所以第二项的积分是： ( frac{sqrt{2}}{2} ln(x^2 + sqrt{2}x + 1) + 2sqrt{2} arctan(sqrt{2}x + 1) )

第四步：合并结果

别忘了我们对原被积函数做了因子 ( frac{1}{2} left( dots dots ight) )。

原积分等于：
[ frac{1}{2} left[ left( frac{sqrt{2}}{2} ln(x^2 sqrt{2}x + 1) 2sqrt{2} arctan(sqrt{2}x 1) ight) left( frac{sqrt{2}}{2} ln(x^2 + sqrt{2}x + 1) + 2sqrt{2} arctan(sqrt{2}x + 1) ight) ight] + C ]

[ = frac{1}{2} left[ frac{sqrt{2}}{2} (ln(x^2 sqrt{2}x + 1) ln(x^2 + sqrt{2}x + 1)) 2sqrt{2} (arctan(sqrt{2}x 1) + arctan(sqrt{2}x + 1)) ight] + C ]

使用对数和反正切的性质进行化简：
对数性质： (ln a ln b = ln frac{a}{b})
反正切性质： (arctan x + arctan y = arctan frac{x+y}{1xy}) （需要注意条件，但在这里可以使用）

[ = frac{sqrt{2}}{4} ln left| frac{x^2 sqrt{2}x + 1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} ight| sqrt{2} arctan left( frac{(sqrt{2}x 1) + (sqrt{2}x + 1)}{1 (sqrt{2}x 1)(sqrt{2}x + 1)} ight) + C ]

计算反正切的参数：
分子： ( (sqrt{2}x 1) + (sqrt{2}x + 1) = 2sqrt{2}x )
分母： ( 1 ((sqrt{2}x)^2 1^2) = 1 (2x^2 1) = 1 2x^2 + 1 = 2 2x^2 = 2(1 x^2) )

所以，反正切项是： ( arctan left( frac{2sqrt{2}x}{2(1 x^2)} ight) = arctan left( frac{sqrt{2}x}{1 x^2} ight) )

最终结果：

[ int frac{x^2 1}{x^4 + 1} dx = frac{sqrt{2}}{4} ln left| frac{x^2 sqrt{2}x + 1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} ight| sqrt{2} arctan left( frac{sqrt{2}x}{1 x^2} ight) + C ]

另一种更简洁的解法思路（针对分子为(x^2 pm 1)时）

对于形如 ( int frac{x^2 pm 1}{x^4 + 1} dx ) 的积分，我们还可以尝试一种更巧妙的变形。

对 ( int frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} dx ) （先算这个，为后面的步骤做准备）

将分子分母同除以 (x^2):
[ int frac{1 + frac{1}{x^2}}{x^2 + frac{1}{x^2}} dx ]
注意到 (x^2 + frac{1}{x^2} = (x frac{1}{x})^2 + 2)。
所以积分变成：
[ int frac{1 + frac{1}{x^2}}{(x frac{1}{x})^2 + 2} dx ]
令 (u = x frac{1}{x})，则 (du = (1 + frac{1}{x^2}) dx)。
[ int frac{1}{u^2 + (sqrt{2})^2} du = frac{1}{sqrt{2}} arctan(frac{u}{sqrt{2}}) = frac{1}{sqrt{2}} arctan(frac{x frac{1}{x}}{sqrt{2}}) = frac{1}{sqrt{2}} arctan(frac{x^2 1}{sqrt{2}x}) ]

对 ( int frac{x^2 1}{x^4 + 1} dx ) （我们要求的）

将分子分母同除以 (x^2):
[ int frac{1 frac{1}{x^2}}{x^2 + frac{1}{x^2}} dx ]
注意到 (x^2 + frac{1}{x^2} = (x + frac{1}{x})^2 2)。
所以积分变成：
[ int frac{1 frac{1}{x^2}}{(x + frac{1}{x})^2 2} dx ]
令 (v = x + frac{1}{x})，则 (dv = (1 frac{1}{x^2}) dx)。
[ int frac{1}{v^2 (sqrt{2})^2} dv ]
这是一个 (int frac{1}{x^2 a^2} dx = frac{1}{2a} ln|frac{xa}{x+a}|) 的形式。
所以，( frac{1}{2sqrt{2}} ln|frac{v sqrt{2}}{v + sqrt{2}}| )
代回 (v = x + frac{1}{x})：
( frac{1}{2sqrt{2}} ln|frac{x + frac{1}{x} sqrt{2}}{x + frac{1}{x} + sqrt{2}}| )
( frac{1}{2sqrt{2}} ln|frac{x^2 sqrt{2}x + 1}{x^2 + sqrt{2}x + 1}| )
这个结果和我们之前通过部分分式方法得到的对数项是吻合的。

现在该如何得到arctan项呢？

问题在于，我们不能直接将 ( int frac{x^2+1}{x^4+1} dx ) 和 ( int frac{x^21}{x^4+1} dx ) 的结果简单组合来得到目标积分，因为它们是针对不同的分子。

我们回到第一种方法的思路，那才是处理 (x^21) 这个分子最稳妥的方式。

再回顾一下第一种方法中关键的分割：

[ frac{x^2 1}{x^4 + 1} = frac{1}{2} left( frac{sqrt{2}x 1}{x^2 sqrt{2}x + 1} frac{sqrt{2}x + 1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} ight) ]

考虑第一个括号内的积分： ( int frac{sqrt{2}x 1}{x^2 sqrt{2}x + 1} dx )
我们将其分成两部分：
( frac{sqrt{2}}{2} int frac{2x sqrt{2}}{x^2 sqrt{2}x + 1} dx 2 int frac{1}{x^2 sqrt{2}x + 1} dx )
得到 ( frac{sqrt{2}}{2} ln(x^2 sqrt{2}x + 1) 2sqrt{2} arctan(sqrt{2}x 1) )

考虑第二个括号内的积分： ( int frac{sqrt{2}x + 1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} dx )
我们将其分成两部分：
( frac{sqrt{2}}{2} int frac{2x + sqrt{2}}{x^2 + sqrt{2}x + 1} dx + 2 int frac{1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} dx )
得到 ( frac{sqrt{2}}{2} ln(x^2 + sqrt{2}x + 1) + 2sqrt{2} arctan(sqrt{2}x + 1) )

将两者相减，乘以 (frac{1}{2})，我们得到了：
( frac{sqrt{2}}{4} ln left| frac{x^2 sqrt{2}x + 1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} ight| sqrt{2} arctan(sqrt{2}x 1) sqrt{2} arctan(sqrt{2}x + 1) )

然后合并反正切项：
( sqrt{2} [arctan(sqrt{2}x 1) + arctan(sqrt{2}x + 1)] )
使用 (arctan x + arctan y = arctan frac{x+y}{1xy})
( sqrt{2} arctan frac{(sqrt{2}x 1) + (sqrt{2}x + 1)}{1 (sqrt{2}x 1)(sqrt{2}x + 1)} )
( sqrt{2} arctan frac{2sqrt{2}x}{1 (2x^2 1)} )
( sqrt{2} arctan frac{2sqrt{2}x}{2 2x^2} )
( sqrt{2} arctan frac{sqrt{2}x}{1 x^2} )

所以，最终结果是：
[ frac{sqrt{2}}{4} ln left| frac{x^2 sqrt{2}x + 1}{x^2 + sqrt{2}x + 1} ight| sqrt{2} arctan left( frac{sqrt{2}x}{1 x^2} ight) + C ]

这个解法确实是比较严谨和完整的。整个过程涉及到有理函数的积分技巧，特别是部分分式分解和凑微分（导数）以及基本积分公式的应用，还有配方法处理二次项。步骤虽然繁琐，但逻辑是清晰的。

积分不是初等的：