这个函数的不定积分是初等函数吗？
首先，我们得明确什么是“初等函数”。简单来说，初等函数是指那些可以由常数和变量通过有限次的加法、减法、乘法、除法、幂运算（包括开方）、指数运算和对数运算组合而成的函数。常见的初等函数包括：多项式函数（如 $x^2+1$）、有理函数（如 $frac{x}{x+1}$）、指数函数（如 $e^x$）、对数函数（如 $ln x$）、三角函数（如 $sin x$）、反三角函数（如 $arctan x$）以及这些函数的有限次复合。
现在，我们回到你的问题：“这个函数的不定积分是初等函数吗？” 由于你没有具体给出函数本身，我无法给出一个直接的“是”或“否”的答案。不过，我可以告诉你判断这类问题的思路和一些著名例子，让你对这个问题有更深入的理解。
为什么不是所有函数的积分都是初等函数？
这是一个非常核心的问题。在微积分发展早期，数学家们发现了很多函数的积分都可以用初等函数来表示。比如，$int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（当 $n eq 1$），$int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$，$int sin x dx = cos x + C$ 等等。这些成功让人感觉似乎所有函数的积分都能找到一个初等的“形式”。
然而，事情并非如此简单。随着数学家们研究的深入，他们发现了一些看起来很简单的函数，它们的积分却无论如何也无法用初等函数来表示。这就好像我们知道怎么用基本乐器（加减乘除等）组合出很多美妙的旋律，但总有一些旋律，无论你怎么组合，就是弹不出来。
著名的“非初等积分”例子
为了说明这一点，我们来看几个非常经典的例子：
1. 误差函数 (Error Function, erf(x))：这个函数在概率论和统计学中非常重要，定义为：
$$ ext{erf}(x) = frac{2}{sqrt{pi}} int_0^x e^{t^2} dt $$
你看，这个函数本身就定义为一个积分！而数学家们已经证明了，这个积分无法用初等函数来表示。也就是说，无论你如何组合加减乘除、幂、指、对数、三角函数及其反函数，都得不到 $e^{t^2}$ 的不定积分。尽管我们知道它一定存在一个“值”或者说一个“函数”，但它不是一个“初等的”函数。为了能够方便地使用它，数学家们就专门给它定义了一个名字——误差函数。
2. 椭圆积分 (Elliptic Integrals)：这类积分出现在描述椭圆周长、摆的运动等很多物理问题中。一个典型的例子是：
$$ int frac{dx}{sqrt{1x^2}} = arcsin x $$
这是一个初等积分。但是，如果你稍微改变一下被积函数，比如：
$$ int frac{dx}{sqrt{1k^2 sin^2 x}} quad (0 < k < 1) $$
这就是所谓的第一类不完全椭圆积分。这个积分同样被证明了是非初等的。
3. 指数积分 (Exponential Integral, Ei(x))：
$$ ext{Ei}(x) = int_{x}^{infty} frac{e^{t}}{t} dt = int_{infty}^x frac{e^t}{t} dt $$
同样，这个积分也是非初等的。
如何判断一个函数的积分是否是初等函数？
这是一个非常困难的问题，更别说去判断一个具体但未知的函数了。直到20世纪，数学家们才在理论上建立起一套系统来回答这个问题。
刘维尔定理 (Liouville's Theorem)：在19世纪，Joseph Liouville 对这个问题进行了开创性的研究，并提出了一个关键的定理——刘维尔定理。这个定理提供了一个代数条件来判断一个函数是否可以被表示为初等函数的积分。
刘维尔定理的核心思想是，如果一个函数 $f(x)$ 的不定积分 $F(x)$ 是初等函数，那么 $F(x)$ 可以写成对数导数的形式，并且与 $f(x)$ 之间存在一个特定的代数关系。具体来说，如果 $f(x)$ 的不定积分 $F(x)$ 是初等函数，那么 $F(x)$ 必然可以写成以下形式：
$$ F(x) = sum_{i=1}^n c_i ln(g_i(x)) + P(x) $$
其中，$c_i$ 是常数，$g_i(x)$ 是初等函数，$P(x)$ 是一个初等函数。
更一般地说，刘维尔定理指出，如果 $f(x)$ 是一个初等函数，那么它的不定积分 $F(x)$ 也是初等函数当且仅当 $F(x)$ 可以写成 $f(x)$ 和一些其他初等函数的有理组合的形式。
Risch算法 (Risch Algorithm)：基于刘维尔定理的思想，Robert Risch 在20世纪60年代发展出了一套算法，可以用来判断一个代数函数（包含初等函数）的积分是否是初等函数。这个算法非常复杂，并且在计算机代数系统中得到了实现。如果你给计算机代数系统一个函数，它就可以运用 Risch 算法来判断这个函数的积分是否为初等函数。
回到你的问题：没有函数，无法判断！
所以，如果你想知道“这个函数”的不定积分是否是初等函数，你必须给出具体的函数。
如果是像 $x^2$、$e^x$、$sin x$ 这样的基本初等函数，它们的积分通常也是初等函数。
但如果函数结构稍微复杂一些，比如包含了一些特殊函数或者是特殊函数的复合（即使你看上去它很简单），那么它的积分就有可能是非初等的。
一个直观的理解
你可以这样想：初等函数是“标准零件”，你可以用它们来拼装很多东西。而积分运算就像是将这些零件进行“拆解”或“重组”。有些拆解操作，无论你怎么努力，都无法用你手头的“标准零件”来表达拆解的结果。这时，我们就说这个结果是一个“新的”、“非标准”的零件，需要给它起个新名字（比如误差函数），以便我们能够引用和使用它。
总结
判断一个函数的积分是否是初等函数是一个数学上很深刻的问题。虽然很多我们熟悉的函数的积分都是初等函数，但存在大量看似简单的函数，它们的积分却无法用初等函数表示。这并非是由于我们能力不足或计算错误，而是这些积分在数学上就被证明了具有“非初等性”。要准确判断，需要依赖于像刘维尔定理和 Risch 算法这样的数学工具。
所以，下次当你遇到一个函数，不妨先尝试计算它的积分。如果计算过程顺利，得到了一个我们熟悉的初等函数形式，那么很可能就是初等的。但如果计算遇到瓶颈，或者被积函数本身就很复杂，那么就需要警惕它可能是一个非初等积分的情况了。
网友意见
这个煞笔答主坏掉了，若有疑问请先给他寄点钱（寄个妹子什么的也行
（强迫症的答主回来悄悄打补丁
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首先限定范畴为复数域上的函数。对初等函数的初等原函数存在性，有一只很强的Liouville/Ostrowski定理如下：
“设f属于某微分域K，E是K的初等扩域，若存在g∈E使得D(g)=f，则f是K中的Liouville和。”
*解释几个名词：
微分域：域K上的一个运算：D:K→K，若满足1)D(u+v)=D(u)+D(v)；2)D(uv)=D(u)v+D(v)u，则称D为K上的导子/导数运算，域K连同其导子D构成一个微分域。这里的微分域当然就是指某个一元函数空间与一般的求导运算构成的微分域。
以下一律以D(f)指对f求导。
微分扩域：若E是K的扩域，E上导子是K上导子的延拓，且{f∈E|D(f)=0} = {f∈K|D(f)=0}，则称E为K的微分扩域。
指数和对数：若D(v)=D(u)/u，则称v是u的对数，u是v的指数。
初等扩域：称E是K的初等扩域，若存在E的一系列子域满足，其中要么是的有限维代数扩域，要么存在是中某元素的指数或对数，使得。
Liouville和：在微分域K中，将能够表示成如下形式的元素f称为K中的Liouville和：，其中。
对于一般的一元函数研究对象，取微分域K为分式函数域C(X)。任何初等函数都可以由指数函数、对数函数和幂函数经过有限次四则运算和复合得到（三角函数和反三角函数可由指数函数和欧拉公式复合而成），如果将指数函数对应指数，对数函数对应对数，幂函数对应有限维代数扩域，四则运算对应域运算，复合操作对应域扩张，则C(X)的所有初等扩域可以涵盖复数域上所有初等函数。
对于一个初等函数f，它一定属于C(X)的一个微分扩域K'。显然，K'的初等扩域包括C(X)的初等扩域，因此任一初等函数亦包含在K'的某个初等扩域中。因此，这个定理在一元函数的情形下可以表示为：若f属于C(X)的某个初等扩域K'，且f有初等原函数，则f是K'中的Liouville和 ----- 推论①。
由于一般问题都是对于确定的f讨论其初等原函数的存在性，此时K'是可求的，因此这个定理实际上把难以描述的整个初等函数空间中的一件事限制在了确定、直观的K'中，大大缩小了研究范畴。
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回到原问题，显然，这属于Liouville/Ostrowski定理较简单的应用情形。由推论①不难得到一个推论②（Liouville判别法）：
“设f(x)为分式函数（以下在不引起混淆的情况下简称分式），则f(x)e^x有初等原函数当且仅当存在分式g使得f=D(g)+g。 称f=D(g)+g为Liouville判别式。”
证明留做习题。那么，对于题给函数的初等原函数存在性，直接套刘氏判别法，给出一个推导栗子（分割线以下）：
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假设存在初等原函数，则存在分式g使得。设，其中P、Q为多项式且互质。代入通分得
于是x|Q。考虑一个多项式T具有非零系数的最小次项的次数，记为λ(T)。
设λ(P)=m，λ(Q)=n，则由x|Q可知n≥1，又由P、Q互质可知m=0。于是
由(1)式，2n=n，故n=0，与n≥1矛盾。故不存在初等原函数。
对于形如的函数，用反证法和数学归纳法结合不定积分和上述结论易知其同样不存在初等原函数。
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