如何求这个复杂的函数的不定积分?

这道题的函数形式确实有些挑战性，它糅杂了多种元素，要想找到它的不定积分，我们需要一步一步来拆解，并运用一些常用的积分技巧。别担心，咱们一步一步来，把过程讲清楚，你很快就能掌握。

首先，让我们明确一下我们要处理的函数。我假设你说的“复杂的函数”是指类似这样的形式：

$$
int frac{P(x)}{Q(x)} cdot e^{f(x)} dx
$$

或者包含其他超越函数（如三角函数、对数函数）以及多项式组合的更复杂的积分。为了便于说明，我们以一个相对典型但又不至于过于简化的例子来讲解，比如：

$$
int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx
$$

看到这样的函数，我们首先要做的，是审视它的结构，并思考哪些积分技巧可能派上用场。常见的积分方法包括：

1. 换元积分法（Substitution Rule）
2. 分部积分法（Integration by Parts）
3. 三角换元法（Trigonometric Substitution）
4. 部分分式分解法（Partial Fraction Decomposition）
5. 特殊函数的积分公式

第一步：审视函数结构，寻找突破口

对于我们的例子 $int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$，我们可以看到它是由一个多项式 $(x^2 + 2x)$ 乘以一个指数函数 $e^{x^2}$ 组成的。

在处理这种“乘积型”的积分时，分部积分法常常是首选的工具。分部积分法的公式是：

$$
int u , dv = uv int v , du
$$

关键在于如何选择 $u$ 和 $dv$。通常，我们会选择一个求导后会变得更简单的函数作为 $u$，而把剩下的部分作为 $dv$，并确保 $dv$ 容易积分得到 $v$。

第二步：尝试分部积分法

如果我们直接对 $int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$ 应用分部积分法，我们有两个主要的选项：

选项 A： 设 $u = x^2 + 2x$，则 $du = (2x + 2) dx$；设 $dv = e^{x^2} dx$。
问题来了：$dv = e^{x^2} dx$ 无法用初等函数表示出它的不定积分！这是个大问题。遇到这种情况，我们通常需要换个思路。

选项 B： 设 $u = e^{x^2}$，则 $du = e^{x^2} cdot (2x) dx$；设 $dv = (x^2 + 2x) dx$。
这样的话，$v = int (x^2 + 2x) dx = frac{1}{3}x^3 + x^2$。
应用分部积分公式：
$$
int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx = (frac{1}{3}x^3 + x^2) e^{x^2} int (frac{1}{3}x^3 + x^2) cdot e^{x^2} cdot (2x) dx
$$
这个新积分 $int (frac{1}{3}x^3 + x^2) cdot e^{x^2} cdot (2x) dx$ 看起来比原来的更复杂了，指数项 $e^{x^2}$ 依然存在，并且被一个更高次的多项式乘以了 $2x$。这似乎也不是一个好的选择。

第三步：寻找“巧合”——换元积分法的潜质

当我们发现直接应用分部积分法遇到了困难，尤其是遇到那种不定积分无法表示的 $e^{f(x)}$ 或其他超越函数时，我们就要仔细审视函数中是否有“换元”的迹象。

观察我们的积分 $int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$。注意 $e^{x^2}$ 这个指数部分。它的导数是 $e^{x^2} cdot 2x$。
再看看多项式部分 $(x^2 + 2x)$。它和 $2x$ 之间有微妙的联系，但不是直接的。

等等，如果我们的多项式部分 恰好 是指数函数 内部 函数的导数乘以一个常数，那换元就会非常高效！

让我们重新审视我们的函数：$(x^2 + 2x) e^{x^2}$。
我们知道 $e^{x^2}$ 的导数是 $2x e^{x^2}$。
而我们的多项式部分是 $x^2 + 2x$。

关键点来了！ 我们能不能把积分写成这样的形式： $int g(f(x)) cdot f'(x) dx$？
如果能，我们就可以令 $u = f(x)$，则 $du = f'(x) dx$，积分就变成 $int g(u) du$，这通常是更容易处理的。

在我们这个例子中，我们看到 $e^{x^2}$。如果令 $u = x^2$，那么 $du = 2x dx$。
现在我们看看积分中剩余的部分： $(x^2 + 2x) dx$。
我们可以写成 $x(x+2) dx$。 这仍然不太匹配 $2x dx$。

但是，思考一下：
我们有 $(x^2 + 2x) e^{x^2} dx$。
如果我们将 $2x$ 提取出来，也就是将其变成 $2x dx$，那么剩下的是 $frac{1}{2}(x+1) e^{x^2}$。这还是不直接匹配。

现在，让我们回到分部积分，但换一种选择 $u$ 的方式：

我们之前尝试了 $u = x^2+2x$ 和 $u = e^{x^2}$。
有没有可能把 $x$ 单独提出来？
$int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx = int x(x+2) e^{x^2} dx$

如果令 $u = x$ 呢？ $du = dx$。 $dv = (x+2) e^{x^2} dx$。积分 $dv$ 仍然困难。

如果令 $u = e^{x^2}$ 呢？ $du = 2x e^{x^2} dx$。 $dv = x(x+2) dx = (x^2+2x)dx$。 $v = frac{x^3}{3} + x^2$。
我们已经试过这个了，结果更复杂。

回到那个关键点： 很多复杂的指数函数积分，其关键在于看 被积函数中是否有某个函数及其导数的组合。
在 $int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$ 中，我们看到 $e^{x^2}$。 $x^2$ 的导数是 $2x$。
如果我们的多项式部分是 $2x$ 或者和 $2x$ 相关的，那么换元法或分部积分法可能会奏效。

让我们重新分配一下分部积分的项：

我们想要构造出 $f'(x) e^{f(x)}$ 的形式。
考虑 $frac{d}{dx} (e^{x^2}) = 2x e^{x^2}$。
我们积的函数是 $(x^2 + 2x) e^{x^2} dx$。

有没有办法从 $(x^2 + 2x) e^{x^2}$ 中“分离”出 $2x e^{x^2}$？
可以这样写：
$(x^2 + 2x) e^{x^2} = x^2 e^{x^2} + 2x e^{x^2}$

现在我们有两个积分：
$int x^2 e^{x^2} dx + int 2x e^{x^2} dx$

第二个积分 $int 2x e^{x^2} dx$ 正是我们可以用换元法解决的！
令 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$。
所以， $int 2x e^{x^2} dx = int e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C$。

这给了我们一个巨大的线索！我们成功解决了一部分。现在只剩下第一个积分： $int x^2 e^{x^2} dx$。

第四步：处理剩余的复杂部分——再次分部积分

对于 $int x^2 e^{x^2} dx$，它仍然是多项式乘以指数函数的形式。这次我们必须用分部积分了。

设 $u = x$ （因为求导后是 $1$，$x^2$ 求导是 $2x$，选择 $x$ 作为 $u$ 会让 $int v du$ 的多项式项次数降低）。
所以，设 $u = x$。则 $du = dx$。
剩下的部分设为 $dv = x e^{x^2} dx$。

现在我们要积分 $dv$ 来得到 $v$：
$v = int x e^{x^2} dx$
这个积分我们可以用换元法解决。令 $w = x^2$，则 $dw = 2x dx$，所以 $x dx = frac{1}{2} dw$。
$v = int e^w cdot frac{1}{2} dw = frac{1}{2} int e^w dw = frac{1}{2} e^w = frac{1}{2} e^{x^2}$。

现在我们将这些代入分部积分公式 $int u , dv = uv int v , du$：
$int x^2 e^{x^2} dx = u cdot v int v , du$
$= x cdot (frac{1}{2} e^{x^2}) int (frac{1}{2} e^{x^2}) dx$
$= frac{1}{2} x e^{x^2} frac{1}{2} int e^{x^2} dx$

第五步：识别“不可积”部分，并调整策略

到这里，我们遇到了一个问题： $int e^{x^2} dx$ 这个积分 无法用初等函数表示。这通常意味着我们之前的分解或选择可能不够理想，或者这是一个需要使用特殊函数（如误差函数 $ ext{erf}(x)$）来表达的积分。

难道我们的整个思路都错了？ 不一定。有时候，我们拆分函数的方式或者分部积分的选择，会导向一个“稍微”简单但仍然无法初等表示的积分。这提示我们 可能需要更巧妙地组合。

让我们回到最初的函数和分部积分的思路。
$int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$

我们知道 $frac{d}{dx} (e^{x^2}) = 2x e^{x^2}$。
如果我们能让多项式部分 直接 包含一个函数 $f(x)$ 和它的导数 $f'(x)$，那么分部积分就会有“结构性”的帮助。

考虑一个更通用的形式： $int (ax^n + bx^{n1} + ...) e^{cx^m} dx$

关键的观察点（常常是解决这类问题的核心）： 能不能把被积函数写成某个函数 $g(x)$ 乘以 $e^{f(x)}$ 的形式，其中 $g(x)$ 的一部分恰好是 $f'(x)$ 的倍数？

重新审视 $int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$

我们已经知道 $int 2x e^{x^2} dx = e^{x^2}$。
如果我们能把 $(x^2+2x)e^{x^2}$ 凑成某个形式，比如 $frac{d}{dx} (h(x) e^{x^2})$，那就事半功倍了。

求导 $frac{d}{dx} (h(x) e^{x^2})$，使用乘积法则：
$frac{d}{dx} (h(x) e^{x^2}) = h'(x) e^{x^2} + h(x) cdot (2x e^{x^2})$
$= [h'(x) + 2x h(x)] e^{x^2}$

我们的目标是让 $[h'(x) + 2x h(x)] e^{x^2}$ 等于 $(x^2 + 2x) e^{x^2}$。
所以，我们需要找到一个 $h(x)$ 使得：
$h'(x) + 2x h(x) = x^2 + 2x$

这是一个一阶线性微分方程！
它的形式是 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $y = h(x)$。
在这里，$P(x) = 2x$， $Q(x) = x^2 + 2x$。

我们可以用积分因子法来解这个微分方程。积分因子是 $e^{int P(x) dx}$。
积分因子 $= e^{int 2x dx} = e^{x^2}$。

将方程两边乘以积分因子：
$e^{x^2} h'(x) + 2x e^{x^2} h(x) = (x^2 + 2x) e^{x^2}$

注意到左边正是 $frac{d}{dx} (h(x) e^{x^2})$。
所以， $frac{d}{dx} (h(x) e^{x^2}) = (x^2 + 2x) e^{x^2}$。

这把我们带回了原积分！ 这说明我们刚才尝试的那个思路 方向没错，但求解微分方程本身就是积分！ 也就是说，如果你能直接找到 $h(x)$ 使得 $h'(x) + 2x h(x) = x^2 + 2x$，那么原积分就是 $h(x) e^{x^2}$。

关键反思： 我们之前的分解 是正确的，但那个 $int e^{x^2} dx$ 的出现，提示我们 原函数可能并不是一个简单的初等函数组合，或者说它 本身就包含一个无法用初等函数表示的部分。

回到更基本的技巧：分部积分的巧妙选择。

很多这类积分的结构是这样的：$int (f'(x) + x f''(x)) e^{f(x)} dx$。
它的导数是 $frac{d}{dx} (x f'(x) e^{f(x)})$。
让我们展开试试：
$frac{d}{dx} (x f'(x) e^{f(x)}) = frac{d}{dx}(x f'(x)) cdot e^{f(x)} + x f'(x) cdot frac{d}{dx}(e^{f(x)})$
$= (f'(x) + x f''(x)) e^{f(x)} + x f'(x) cdot (f'(x) e^{f(x)})$
$= (f'(x) + x f''(x) + x (f'(x))^2) e^{f(x)}$

这也不是我们想要的。

让我们重新回到这个形式：
$int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$

我们知道 $frac{d}{dx}(e^{x^2}) = 2xe^{x^2}$。
观察被积函数： $(x^2 + 2x)e^{x^2}$。

能不能找到一个函数 $g(x)$ 使得 $int g(x) e^{x^2} dx$ 的结果是初等的，并且我们能够处理 $(x^2+2x)e^{x^2} g(x)e^{x^2}$ 这个差值？

另一个常见的结构是这样的：
$int (f(x) + f'(x)) e^{f(x)} dx$ 不是 $frac{d}{dx} (f(x) e^{f(x)})$。
$frac{d}{dx} (f(x) e^{f(x)}) = f'(x) e^{f(x)} + f(x) f'(x) e^{f(x)} = (f'(x) + f(x)f'(x)) e^{f(x)}$。

回到我们的例子 $int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$
我们看到的 $x^2$ 和 $2x$ 是 $x^2$ 的导数（$2x$）和 $x$ 的倍数。

一个非常重要的技巧是：将分部积分的 $u$ 和 $dv$ 分配得更“聪明”。
有时候，我们希望 $dv$ 部分的积分更容易，而 $u$ 部分的求导能抵消掉 $dv$ 部分中一些棘手的项。

让我们尝试分部积分，但这次是这样的选择：
设 $u = x$
设 $dv = (x + 2) e^{x^2} dx$ （还是积分 $dv$ 困难）

换个思路：
$int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$

我们可以将 $(x^2+2x)$ 看作是 $x cdot x + 2x$。
关键点： 很多涉及 $e^{x^2}$ 的积分，其关键在于 是否能出现 $x e^{x^2}$。
而 $x e^{x^2}$ 是 $e^{x^2}$ 的导数的一个因子（差一个常数）。

考虑 $int x e^{x^2} dx$。令 $u=x^2$, $du=2x dx$。 $int e^u frac{1}{2} du = frac{1}{2} e^{x^2}$.

现在，我们如何处理 $(x^2 + 2x) e^{x^2} dx$？
是不是可以这样凑：
$int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx = int x cdot (x e^{x^2}) dx + int 2x e^{x^2} dx$

我们已经知道 $int 2x e^{x^2} dx = e^{x^2}$。

现在只剩下 $int x cdot (x e^{x^2}) dx$。
这个形式看起来很适合分部积分！
设 $u = x$ (因为求导后是 $1$)
设 $dv = x e^{x^2} dx$ (我们知道它的积分是 $frac{1}{2} e^{x^2}$)

应用分部积分公式 $int u , dv = uv int v , du$:
$int x cdot (x e^{x^2}) dx = x cdot (frac{1}{2} e^{x^2}) int (frac{1}{2} e^{x^2}) dx$
$= frac{1}{2} x e^{x^2} frac{1}{2} int e^{x^2} dx$

再次遇到 $int e^{x^2} dx$！

这说明，在我们这个具体的例子中，如果目标是初等函数结果，那么我的原始函数设置可能过于简单了，或者它确实会导出一个包含误差函数的积分。

让我假设一个稍微不同的函数，它确实能得到初等函数结果，并且能展示更完整的技巧链条。

假设我们要积的函数是：
$$
int (2x + 1) e^{x^2+x} dx
$$

这个就太简单了！令 $u = x^2 + x$，则 $du = (2x+1) dx$。
$int e^u du = e^u + C = e^{x^2+x} + C$。

换一个更复杂的，能体现分部积分和换元结合的例子：
$$
int x e^{x^2} dx
$$
这个我们已经做了：令 $u=x^2$, $du=2x dx$, $int e^u frac{1}{2} du = frac{1}{2} e^{x^2} + C$.

再一个例子，展示分部积分如何“产生”一个更容易积分的项。
$$
int x^2 e^x dx
$$
设 $u = x^2$, $dv = e^x dx$
$du = 2x dx$, $v = e^x$
$int x^2 e^x dx = x^2 e^x int 2x e^x dx$

现在处理 $int 2x e^x dx$。再次分部积分：
设 $u = 2x$, $dv = e^x dx$
$du = 2 dx$, $v = e^x$
$int 2x e^x dx = 2x e^x int 2 e^x dx = 2x e^x 2e^x$

所以，原积分是：
$x^2 e^x (2x e^x 2e^x) + C = x^2 e^x 2x e^x + 2e^x + C = (x^2 2x + 2)e^x + C$

回到我的原始例子 $int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$

我的错误在于，在看到 $int e^{x^2} dx$ 这个不可积部分时，没有及时反思。
在很多高等数学问题中，如果遇到无法用初等函数表示的积分，通常有两种情况：
1. 这个函数积分后就是会用到特殊的数学函数（如误差函数、Gamma函数等）。
2. 我们之前的计算或拆分是错误的，或者存在一个更巧妙的组合方式。

对于 $int (x^2 + 2x) e^{x^2} dx$ 这种形式，如果 没有额外的提示或上下文（比如要求用初等函数表示），那么它的积分结果 确实 会包含一个误差函数的项。

误差函数（Error Function） 的定义是：
$ ext{erf}(x) = frac{2}{sqrt{pi}} int_0^x e^{t^2} dt$
或者，更相关的，我们有时会用到 $int e^{x^2} dx$ 的不定积分形式，记作 $ ext{erfi}(x)$ 的一个变种（这里的 $i$ 是虚数单位）。

我们积分的是 $e^{x^2}$。
$int e^{x^2} dx$ 可以表示为 $i cdot ext{erfi}(ix)$ 的形式，但这通常超出了初等积分的范畴。

所以，如果严格要求初等函数结果，我们可能需要一个不同的被积函数结构。

正确的处理思路总结（针对可能产生初等函数结果的复杂函数）：

1. 识别基本元素： 多项式、指数、对数、三角函数。
2. 尝试换元： 寻找复合函数的形式 $f(g(x))$，看能否令 $u=g(x)$，使得积分变成 $int f(u) du$ 的形式，并要求 $g'(x)$ 能够被整合到积分的其他部分。
3. 尝试分部积分： 使用 $int u , dv = uv int v , du$。精心选择 $u$ 和 $dv$。
选择 $u$ 的原则： LIATE (Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential) 的顺序是选择 $u$ 的常用指导。求导后变得更简单的作为 $u$。
选择 $dv$ 的原则： $dv$ 部分必须能积分得到 $v$。
4. 组合技巧：
拆分被积函数： 将复杂的被积函数拆分成几个可以分别积分的部分。
凑微分： 在分部积分过程中，观察 $v , du$ 项，看能否将其凑成一个简单的积分形式，或者能够与 $uv$ 项组合。
识别关键结构： 对于指数函数，特别是 $e^{f(x)}$，要特别留意 $f'(x)$ 是否出现在被积函数中。例如，$int g(x) e^{f(x)} dx$，如果 $g(x)$ 恰好是 $f'(x)$ 的某个形式，就很有希望。

举例说明一个能巧妙处理的复杂函数：
$$
int (x^3 + x) e^{x^2} dx
$$
我们看到 $e^{x^2}$。它的导数是 $2x e^{x^2}$。
被积函数是 $(x^3 + x) e^{x^2} = x(x^2 + 1) e^{x^2}$。
这里没有 $2x$ 这个因子出现。

但是，我们可以 凑出 $x e^{x^2}$。
$int x(x^2 + 1) e^{x^2} dx = int (x^3 e^{x^2} + x e^{x^2}) dx$
$= int x^3 e^{x^2} dx + int x e^{x^2} dx$

第二个积分 $int x e^{x^2} dx$ 可以换元：$u = x^2$, $du = 2x dx$。
$int e^u frac{1}{2} du = frac{1}{2} e^{x^2}$。

现在处理 $int x^3 e^{x^2} dx$。
我们可以写成 $int x^2 cdot (x e^{x^2}) dx$。
这个形式非常适合分部积分！
设 $u = x^2$ ($u$ 求导后次数降低)
设 $dv = x e^{x^2} dx$ ($dv$ 的积分已知为 $frac{1}{2} e^{x^2}$)
$du = 2x dx$
$v = frac{1}{2} e^{x^2}$

应用分部积分：
$int x^2 cdot (x e^{x^2}) dx = u v int v , du$
$= x^2 cdot (frac{1}{2} e^{x^2}) int (frac{1}{2} e^{x^2}) (2x dx)$
$= frac{1}{2} x^2 e^{x^2} int x e^{x^2} dx$

我们又得到了 $int x e^{x^2} dx$！ 并且我们知道它的结果是 $frac{1}{2} e^{x^2}$。
所以， $int x^3 e^{x^2} dx = frac{1}{2} x^2 e^{x^2} frac{1}{2} e^{x^2}$。

将两个部分加起来：
原积分 $= (frac{1}{2} x^2 e^{x^2} frac{1}{2} e^{x^2}) + frac{1}{2} e^{x^2} + C$
$= frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C$

你看，这就是一个完整的例子：拆分、换元、分部积分，并且最终得到了初等函数结果。

总结核心思路：

当面对复杂的积分时，不要慌张。首先 审视结构。看看是否是乘积、复合、分数等形式。然后根据函数的特点，有策略地应用换元法和分部积分法。关键在于选择合适的 $u$ 和 $dv$，或者合适的换元变量。很多时候，一个复杂的积分需要 多次应用 这些基本技巧，或者 巧妙地组合 它们。如果一个直接的尝试导向了不可积的项，这常常是一个信号：需要重新审视你的分解或选择，或者寻找一个更“对称”或能利用导数关系的结构。

希望这个详细的过程，特别是最后那个能得出初等函数结果的例子，能帮助你理解如何处理这类复杂的积分问题。关键在于练习和对各种积分技巧的熟练掌握。

先令 然后就好求了：

令

分母变成：

分子变成：

参考如下：