伽马函数的这个性质?
关于伽马函数，有一个非常特别且重要的性质，那就是它的“递降”特性，或者更精确地说，是它的一种“乘法递降”规律。这个性质在很多数学领域，尤其是在积分学、复分析以及与组合数学相关的计算中，都扮演着至关重要的角色。
我们先来回顾一下伽马函数本身是如何定义的。对于一个实数 $z$，当 $ ext{Re}(z) > 0$ 时，伽马函数 $Gamma(z)$ 被定义为：
$$ Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt $$
这个定义告诉我们，伽马函数是将一个连续的实数变量 $z$ 映射到一个实数值。它在 $z > 0$ 的范围内是连续且可微的。我们知道，当 $z$ 是一个正整数 $n$ 时，伽马函数的值就等于 $(n1)!$。例如：
$Gamma(1) = int_0^infty t^{11} e^{t} dt = int_0^infty e^{t} dt = [e^{t}]_0^infty = 0 (1) = 1 = 0!$
$Gamma(2) = int_0^infty t^{21} e^{t} dt = int_0^infty t e^{t} dt = 1 = 1!$
$Gamma(3) = int_0^infty t^{31} e^{t} dt = int_0^infty t^2 e^{t} dt = 2 = 2!$
一般地，$Gamma(n) = (n1)!$ 对于正整数 $n$ 都成立。
那么，这个“乘法递降”的性质到底是什么呢？
它表达的是伽马函数满足以下关系：
$$ Gamma(z+1) = z Gamma(z) $$
对于所有复数 $z$，只要 $Gamma(z)$ 有定义（也就是 $z$ 不是非正整数 0, 1, 2, ...）。
让我们来深入理解一下这个性质是如何推导出来的，以及它为什么如此强大。
我们从伽马函数的积分定义出发，利用分部积分法来推导这个关系。分部积分法的基本公式是 $int u , dv = uv int v , du$。
为了推导 $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$，我们考虑 $Gamma(z+1)$ 的积分：
$$ Gamma(z+1) = int_0^infty t^{(z+1)1} e^{t} dt = int_0^infty t^z e^{t} dt $$
现在，我们尝试对这个积分进行分部积分。我们选择：
$u = t^z$
$dv = e^{t} dt$
那么，我们就可以得到：
$du = z t^{z1} dt$
$v = int e^{t} dt = e^{t}$
将这些代入分部积分公式 $int u , dv = uv int v , du$：
$$ Gamma(z+1) = left[ t^z (e^{t}) ight]_0^infty int_0^infty (e^{t}) (z t^{z1} dt) $$
现在，我们来处理第一项 $left[ t^z (e^{t}) ight]_0^infty$ 的极限。我们需要计算当 $t o infty$ 和 $t o 0$ 时的值。
极限情况分析：
1. 当 $t o infty$ 时： 我们有 $t^z e^{t}$。即使 $z$ 是正实数，指数函数 $e^{t}$ 的增长速度远超任何多项式 $t^z$（这里的 $t^z$ 可以看作是 $t$ 的某个指数幂）。所以，当 $t o infty$ 时，$t^z e^{t} o 0$。
如果你对这个极限不太直观，可以考虑使用洛必达法则。例如，如果 $z=1$，我们有 $t e^{t}$。洛必达法则一次：$lim_{t o infty} frac{t}{e^t} = lim_{t o infty} frac{1}{e^t} = 0$。如果 $z$ 是一个较大的正数，你需要多次应用洛必达法则，每次都对分子求导，直到分子变成一个常数。最终结果都是 0。
2. 当 $t o 0$ 时： 我们有 $t^z e^{t}$。
如果 $ ext{Re}(z) > 0$，那么 $t^z$ 在 $t=0$ 时趋于 0（例如 $t^1 o 0$）。$e^{t}$ 在 $t=0$ 时是 1。所以，当 $t o 0$ 时，$t^z e^{t} o 0 imes 1 = 0$。
因此，第一项 $left[ t^z (e^{t}) ight]_0^infty$ 的两端极限都是 0。
现在我们来看第二项：
$$ int_0^infty (e^{t}) (z t^{z1} dt) = int_0^infty z t^{z1} e^{t} dt $$
由于 $z$ 是一个常数（相对于积分变量 $t$），我们可以把它提到积分号外面：
$$ z int_0^infty t^{z1} e^{t} dt $$
而积分 $int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$ 正是伽马函数 $Gamma(z)$ 的定义。
所以，我们得到了：
$$ Gamma(z+1) = 0 (0) + z Gamma(z) = z Gamma(z) $$
这个性质有什么意义呢？
1. 扩展了阶乘的定义： 我们知道对于正整数 $n$，$Gamma(n+1) = n!$。这个性质使得伽马函数能够“填充”整数之间的空白。例如，我们现在可以谈论 $Gamma(1/2)$ 的值，并通过这个性质计算出 $Gamma(3/2) = (1/2) Gamma(1/2)$。
2. 计算的工具： 很多复杂的积分可以通过这个性质转化为已知的伽马函数值或者更简单的伽马函数形式。它为计算那些无法直接求出原函数的积分提供了强大的支持。
3. 函数的解析延拓： 伽马函数的积分定义只对 $ ext{Re}(z) > 0$ 成立。但是，通过 $Gamma(z) = frac{Gamma(z+1)}{z}$ 这个关系，我们可以将伽马函数的定义域“向左”延伸到整个复平面（除了非正整数）。例如，我们可以用 $Gamma(z) = frac{Gamma(z+1)}{z}$ 来定义 $Gamma(z)$ 在 $1 < ext{Re}(z) le 0$ 的区域。接着，用 $Gamma(z) = frac{Gamma(z+2)}{z(z+1)}$ 来定义在 $2 < ext{Re}(z) le 1$ 的区域，依此类推。这被称为伽马函数的解析延拓。
4. 联系其他数学函数： 这个性质在贝塔函数、超几何函数等许多重要的特殊函数中都有体现，是理解这些函数行为的关键。
再举个例子来加深理解：
假设我们要计算 $Gamma(5)$。我们知道它等于 $4! = 24$。使用这个性质，我们可以这样计算：
$Gamma(5) = 4 Gamma(4)$
$Gamma(4) = 3 Gamma(3)$
$Gamma(3) = 2 Gamma(2)$
$Gamma(2) = 1 Gamma(1)$
$Gamma(1) = 1$ (这是我们知道的)
将这些式子代回去：
$Gamma(2) = 1 imes 1 = 1$
$Gamma(3) = 2 imes 1 = 2$
$Gamma(4) = 3 imes 2 = 6$
$Gamma(5) = 4 imes 6 = 24$
这与我们直接计算 $4!$ 的结果完全一致。
这个性质也揭示了伽马函数的一种“递归”或者“递降”的特性， 就像阶乘一样，每次向前（或向后）一步，数值都会乘以（或除以）相应的数。
一点点额外的细节：
这个性质也意味着伽马函数在负整数处是不连续的，并且存在极点。例如，在 $z=0$ 处，根据 $Gamma(z) = frac{Gamma(z+1)}{z}$，当 $z o 0^+$ 时，$Gamma(z+1) o Gamma(1) = 1$，所以 $Gamma(z) o +infty$。类似地，在 $z=1, 2, 3, ldots$ 这些点上，伽马函数都有简单的极点。
我们可以利用 $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$ 来推导另一个非常有名的性质：$Gamma(z) Gamma(1z) = frac{pi}{sin(pi z)}$。这是欧拉的补充公式，它将伽马函数与三角函数联系起来，并且在复分析中有极其重要的应用。
总而言之，伽马函数的 $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$ 这个性质是它最核心、最基础的性质之一。它不仅扩展了我们对阶乘的理解，使其能够处理实数和复数，更是整个伽马函数理论的基石，支撑着它在数学和物理科学中的广泛应用。这个“乘法递降”的模式，简洁却又蕴含深邃的数学结构。
我们先来回顾一下伽马函数本身是如何定义的。对于一个实数 $z$，当 $ ext{Re}(z) > 0$ 时，伽马函数 $Gamma(z)$ 被定义为：
$$ Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt $$
这个定义告诉我们，伽马函数是将一个连续的实数变量 $z$ 映射到一个实数值。它在 $z > 0$ 的范围内是连续且可微的。我们知道，当 $z$ 是一个正整数 $n$ 时，伽马函数的值就等于 $(n1)!$。例如：
$Gamma(1) = int_0^infty t^{11} e^{t} dt = int_0^infty e^{t} dt = [e^{t}]_0^infty = 0 (1) = 1 = 0!$
$Gamma(2) = int_0^infty t^{21} e^{t} dt = int_0^infty t e^{t} dt = 1 = 1!$
$Gamma(3) = int_0^infty t^{31} e^{t} dt = int_0^infty t^2 e^{t} dt = 2 = 2!$
一般地，$Gamma(n) = (n1)!$ 对于正整数 $n$ 都成立。
那么，这个“乘法递降”的性质到底是什么呢？
它表达的是伽马函数满足以下关系：
$$ Gamma(z+1) = z Gamma(z) $$
对于所有复数 $z$，只要 $Gamma(z)$ 有定义（也就是 $z$ 不是非正整数 0, 1, 2, ...）。
让我们来深入理解一下这个性质是如何推导出来的，以及它为什么如此强大。
我们从伽马函数的积分定义出发，利用分部积分法来推导这个关系。分部积分法的基本公式是 $int u , dv = uv int v , du$。
为了推导 $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$，我们考虑 $Gamma(z+1)$ 的积分：
$$ Gamma(z+1) = int_0^infty t^{(z+1)1} e^{t} dt = int_0^infty t^z e^{t} dt $$
现在，我们尝试对这个积分进行分部积分。我们选择：
$u = t^z$
$dv = e^{t} dt$
那么，我们就可以得到：
$du = z t^{z1} dt$
$v = int e^{t} dt = e^{t}$
将这些代入分部积分公式 $int u , dv = uv int v , du$：
$$ Gamma(z+1) = left[ t^z (e^{t}) ight]_0^infty int_0^infty (e^{t}) (z t^{z1} dt) $$
现在，我们来处理第一项 $left[ t^z (e^{t}) ight]_0^infty$ 的极限。我们需要计算当 $t o infty$ 和 $t o 0$ 时的值。
极限情况分析：
1. 当 $t o infty$ 时： 我们有 $t^z e^{t}$。即使 $z$ 是正实数，指数函数 $e^{t}$ 的增长速度远超任何多项式 $t^z$（这里的 $t^z$ 可以看作是 $t$ 的某个指数幂）。所以，当 $t o infty$ 时，$t^z e^{t} o 0$。
如果你对这个极限不太直观，可以考虑使用洛必达法则。例如，如果 $z=1$，我们有 $t e^{t}$。洛必达法则一次：$lim_{t o infty} frac{t}{e^t} = lim_{t o infty} frac{1}{e^t} = 0$。如果 $z$ 是一个较大的正数，你需要多次应用洛必达法则，每次都对分子求导，直到分子变成一个常数。最终结果都是 0。
2. 当 $t o 0$ 时： 我们有 $t^z e^{t}$。
如果 $ ext{Re}(z) > 0$，那么 $t^z$ 在 $t=0$ 时趋于 0（例如 $t^1 o 0$）。$e^{t}$ 在 $t=0$ 时是 1。所以，当 $t o 0$ 时，$t^z e^{t} o 0 imes 1 = 0$。
因此，第一项 $left[ t^z (e^{t}) ight]_0^infty$ 的两端极限都是 0。
现在我们来看第二项：
$$ int_0^infty (e^{t}) (z t^{z1} dt) = int_0^infty z t^{z1} e^{t} dt $$
由于 $z$ 是一个常数（相对于积分变量 $t$），我们可以把它提到积分号外面：
$$ z int_0^infty t^{z1} e^{t} dt $$
而积分 $int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$ 正是伽马函数 $Gamma(z)$ 的定义。
所以，我们得到了：
$$ Gamma(z+1) = 0 (0) + z Gamma(z) = z Gamma(z) $$
这个性质有什么意义呢？
1. 扩展了阶乘的定义： 我们知道对于正整数 $n$，$Gamma(n+1) = n!$。这个性质使得伽马函数能够“填充”整数之间的空白。例如，我们现在可以谈论 $Gamma(1/2)$ 的值，并通过这个性质计算出 $Gamma(3/2) = (1/2) Gamma(1/2)$。
2. 计算的工具： 很多复杂的积分可以通过这个性质转化为已知的伽马函数值或者更简单的伽马函数形式。它为计算那些无法直接求出原函数的积分提供了强大的支持。
3. 函数的解析延拓： 伽马函数的积分定义只对 $ ext{Re}(z) > 0$ 成立。但是，通过 $Gamma(z) = frac{Gamma(z+1)}{z}$ 这个关系，我们可以将伽马函数的定义域“向左”延伸到整个复平面（除了非正整数）。例如，我们可以用 $Gamma(z) = frac{Gamma(z+1)}{z}$ 来定义 $Gamma(z)$ 在 $1 < ext{Re}(z) le 0$ 的区域。接着，用 $Gamma(z) = frac{Gamma(z+2)}{z(z+1)}$ 来定义在 $2 < ext{Re}(z) le 1$ 的区域，依此类推。这被称为伽马函数的解析延拓。
4. 联系其他数学函数： 这个性质在贝塔函数、超几何函数等许多重要的特殊函数中都有体现，是理解这些函数行为的关键。
再举个例子来加深理解：
假设我们要计算 $Gamma(5)$。我们知道它等于 $4! = 24$。使用这个性质，我们可以这样计算：
$Gamma(5) = 4 Gamma(4)$
$Gamma(4) = 3 Gamma(3)$
$Gamma(3) = 2 Gamma(2)$
$Gamma(2) = 1 Gamma(1)$
$Gamma(1) = 1$ (这是我们知道的)
将这些式子代回去：
$Gamma(2) = 1 imes 1 = 1$
$Gamma(3) = 2 imes 1 = 2$
$Gamma(4) = 3 imes 2 = 6$
$Gamma(5) = 4 imes 6 = 24$
这与我们直接计算 $4!$ 的结果完全一致。
这个性质也揭示了伽马函数的一种“递归”或者“递降”的特性， 就像阶乘一样，每次向前（或向后）一步，数值都会乘以（或除以）相应的数。
一点点额外的细节：
这个性质也意味着伽马函数在负整数处是不连续的，并且存在极点。例如，在 $z=0$ 处，根据 $Gamma(z) = frac{Gamma(z+1)}{z}$，当 $z o 0^+$ 时，$Gamma(z+1) o Gamma(1) = 1$，所以 $Gamma(z) o +infty$。类似地，在 $z=1, 2, 3, ldots$ 这些点上，伽马函数都有简单的极点。
我们可以利用 $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$ 来推导另一个非常有名的性质：$Gamma(z) Gamma(1z) = frac{pi}{sin(pi z)}$。这是欧拉的补充公式，它将伽马函数与三角函数联系起来，并且在复分析中有极其重要的应用。
总而言之，伽马函数的 $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$ 这个性质是它最核心、最基础的性质之一。它不仅扩展了我们对阶乘的理解，使其能够处理实数和复数，更是整个伽马函数理论的基石，支撑着它在数学和物理科学中的广泛应用。这个“乘法递降”的模式，简洁却又蕴含深邃的数学结构。
网友意见
错了，这是 公式，正确的版本如下：
证明需要用到：
Bohr-Mollerup定理：若 在 上是正值函数，且满足
则
- 条件 的证明
事实上，只需证明
将等式最右侧的函数记为 则
于是条件 成立.
- 条件 的证明
由余元公式，有
进而可得到
注意到如下事实：
令 则得
所以有
- 条件 的证明
由 公式，有
此即
简单的计算表明：
命题已明.
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