伽马函数中，Γ(1/2)=√π 怎么来的？
伽马函数（Gamma function）是阶乘在复数域上的自然推广。对于正整数 $n$，我们知道 $n! = n imes (n1) imes dots imes 2 imes 1$。而伽马函数 $Gamma(z)$ 定义为：
$$Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$$
其中 $z$ 是一个复数，并且要求 $ ext{Re}(z) > 0$ 以保证积分收敛。
我们今天要探究的是伽马函数的一个非常特殊且重要的值：$Gamma(1/2) = sqrt{pi}$。这个结果的推导，虽然看起来不那么直观，但背后联系着概率论和高斯积分。
从基本性质出发：$Gamma(z+1) = zGamma(z)$
在我们尝试计算 $Gamma(1/2)$ 之前，先回顾一下伽马函数的一个核心性质：
$$Gamma(z+1) = zGamma(z)$$
这个性质可以通过分部积分法直接从定义推导出来：
$$Gamma(z+1) = int_0^infty t^{(z+1)1} e^{t} dt = int_0^infty t^z e^{t} dt$$
令 $u = e^{t}$，$dv = t^z dt$。
则 $du = e^{t} dt$，$v = frac{t^{z+1}}{z+1}$。
使用分部积分公式 $int u , dv = uv Big|_a^b int v , du$：
$$Gamma(z+1) = left[ frac{t^{z+1}}{z+1} e^{t} ight]_0^infty int_0^infty frac{t^{z+1}}{z+1} (e^{t}) dt$$
当 $t o infty$ 时，$frac{t^{z+1}}{z+1} e^{t} o 0$ （只要 $ ext{Re}(z+1) > 0$）。
当 $t o 0$ 时，$frac{t^{z+1}}{z+1} e^{t} o 0$ （只要 $ ext{Re}(z+1) > 0$）。
所以第一项为 0。
$$Gamma(z+1) = 0 int_0^infty frac{t^{z+1}}{z+1} (e^{t}) dt = frac{1}{z+1} int_0^infty t^{z+1} e^{t} dt$$
哎呀，这里好像有点不对劲。我们再审视一下分部积分的设置。
为了得到 $Gamma(z+1) = zGamma(z)$，我们应该这样设置：
令 $u = e^{t}$，$dv = t^z dt$。
那么 $du = e^{t} dt$，$v = frac{t^{z+1}}{z+1}$。
这好像没法直接得到 $zGamma(z)$。我们换一种思路，让 $u = t^z$，$dv = e^{t} dt$。
那么 $du = z t^{z1} dt$，$v = e^{t}$。
$$Gamma(z+1) = int_0^infty t^z e^{t} dt = left[ t^z (e^{t}) ight]_0^infty int_0^infty (e^{t}) (z t^{z1}) dt$$
边界项 $left[ t^z e^{t} ight]_0^infty$：
当 $t o infty$，$t^z e^{t} o 0$ （只要 $ ext{Re}(z) > 0$）。
当 $t o 0$，$t^z e^{t} o 0$ （只要 $ ext{Re}(z) > 0$）。
所以边界项为 0。
$$Gamma(z+1) = 0 int_0^infty (z t^{z1} e^{t}) dt = z int_0^infty t^{z1} e^{t} dt = z Gamma(z)$$
这个性质非常有用。比如，我们知道 $1! = 1$，那么 $Gamma(2) = 1Gamma(1) = 1$。
$Gamma(3) = 2Gamma(2) = 2 imes 1 = 2$。
$Gamma(n+1) = n!$ 对于正整数 $n$。
那么 $Gamma(1/2)$ 呢？
利用 $Gamma(z+1) = zGamma(z)$，我们可以写出：
$Gamma(1/2) = Gamma(1/2 + 1) / (1/2) = 2 Gamma(3/2)$。
$Gamma(3/2) = Gamma(1/2 + 1) / (1/2) = 2 Gamma(5/2)$。
这似乎没有直接帮助我们计算 $Gamma(1/2)$ 的值。
重点来了：高斯积分
$Gamma(1/2)$ 的计算，离不开著名的高斯积分（Gaussian integral）。高斯积分的计算结果是：
$$int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$$
这个积分的结果本身也是一个相当巧妙的证明过程。我们先假设这个结果是真的，然后看看如何利用它来计算 $Gamma(1/2)$。
将伽马函数积分形式与高斯积分联系起来
我们的目标是 $Gamma(1/2) = int_0^infty t^{1/21} e^{t} dt = int_0^infty t^{1/2} e^{t} dt$。
现在，我们对高斯积分 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx$ 做一个变量替换，让它看起来更像伽马函数的积分。
令 $u = x^2$。那么 $du = 2x , dx$。
因为 $x = sqrt{u}$（我们只考虑 $x ge 0$ 的部分，因为 $e^{x^2}$ 是偶函数，所以 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = 2 int_0^{infty} e^{x^2} dx$），所以 $dx = frac{du}{2x} = frac{du}{2sqrt{u}}$。
当 $x$ 从 $0$ 变化到 $infty$， $u$ 也从 $0$ 变化到 $infty$。
所以，
$$2 int_0^{infty} e^{x^2} dx = 2 int_0^{infty} e^{u} frac{du}{2sqrt{u}} = int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$$
惊喜！ 积分的形式 $int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$ 正是 $Gamma(1/2)$ 的定义！
也就是说，
$$Gamma(1/2) = int_0^infty t^{1/2} e^{t} dt$$
而我们通过高斯积分的变量替换得到了：
$$2 int_0^{infty} e^{x^2} dx = int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$$
并且已知 $2 int_0^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$。
所以，
$$Gamma(1/2) = sqrt{pi}$$
验证高斯积分 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$
现在我们来看一下，这个高斯积分是如何算出来的。它的证明巧妙之处在于将一维积分转化为二维积分，再转化为极坐标下的积分。
设 $I = int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx$。
那么 $I^2 = left( int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx ight) left( int_{infty}^{infty} e^{y^2} dy ight)$。
我们可以用不同的变量来表示积分，而不改变积分值。
$$I^2 = int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx int_{infty}^{infty} e^{y^2} dy$$
将这两个积分合并成一个二维积分：
$$I^2 = int_{infty}^{infty} int_{infty}^{infty} e^{x^2} e^{y^2} dx dy$$
$$I^2 = int_{infty}^{infty} int_{infty}^{infty} e^{(x^2+y^2)} dx dy$$
现在，我们将笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换到极坐标 $(r, heta)$。
关系是 $x = r cos heta$，$y = r sin heta$。
那么 $x^2 + y^2 = r^2 cos^2 heta + r^2 sin^2 heta = r^2$。
积分的面积微元 $dx dy$ 在极坐标下变成 $r dr d heta$。
积分的区域是整个二维平面，在极坐标下，$r$ 的范围是从 $0$ 到 $infty$，$ heta$ 的范围是从 $0$ 到 $2pi$。
$$I^2 = int_0^{2pi} int_0^{infty} e^{r^2} r dr d heta$$
这是一个可以求解的积分。
先计算内层关于 $r$ 的积分：$int_0^{infty} e^{r^2} r dr$。
令 $u = r^2$，则 $du = 2r dr$，所以 $r dr = frac{1}{2} du$。
当 $r=0$ 时，$u=0$。当 $r o infty$ 时，$u o infty$。
$$int_0^{infty} e^{r^2} r dr = int_0^{infty} e^{u} frac{1}{2} du = frac{1}{2} int_0^{infty} e^{u} du$$
$$frac{1}{2} int_0^{infty} e^{u} du = frac{1}{2} left[ e^{u} ight]_0^{infty} = frac{1}{2} (0 (e^0)) = frac{1}{2} (0 (1)) = frac{1}{2}$$
所以，内层积分的结果是 $1/2$。
现在代回外层积分：
$$I^2 = int_0^{2pi} frac{1}{2} d heta$$
$$I^2 = frac{1}{2} int_0^{2pi} d heta = frac{1}{2} [ heta]_0^{2pi} = frac{1}{2} (2pi 0) = pi$$
所以，$I^2 = pi$。
由于 $I = int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx$，并且 $e^{x^2}$ 是一个非负函数，所以 $I$ 必须是正的。
因此，$I = sqrt{pi}$。
总结推导过程
1. 伽马函数定义: $Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$。
2. 目标: 计算 $Gamma(1/2) = int_0^infty t^{1/21} e^{t} dt = int_0^infty t^{1/2} e^{t} dt$。
3. 高斯积分: $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$。
4. 利用高斯积分: 将高斯积分的变量进行替换 $u=x^2$，得到 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = 2 int_0^{infty} e^{x^2} dx = int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$。
5. 联系: 发现 $int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$ 正是 $Gamma(1/2)$ 的定义形式。
6. 结论: 因此，$Gamma(1/2) = sqrt{pi}$。
这个结果虽然直接看起来有点“魔术”，但它是通过对高斯积分的巧妙处理，并利用变量替换将积分形式统一起来的。高斯积分本身的美妙证明，也揭示了数学中不同领域之间意想不到的联系。
$$Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$$
其中 $z$ 是一个复数，并且要求 $ ext{Re}(z) > 0$ 以保证积分收敛。
我们今天要探究的是伽马函数的一个非常特殊且重要的值：$Gamma(1/2) = sqrt{pi}$。这个结果的推导，虽然看起来不那么直观，但背后联系着概率论和高斯积分。
从基本性质出发：$Gamma(z+1) = zGamma(z)$
在我们尝试计算 $Gamma(1/2)$ 之前，先回顾一下伽马函数的一个核心性质：
$$Gamma(z+1) = zGamma(z)$$
这个性质可以通过分部积分法直接从定义推导出来：
$$Gamma(z+1) = int_0^infty t^{(z+1)1} e^{t} dt = int_0^infty t^z e^{t} dt$$
令 $u = e^{t}$，$dv = t^z dt$。
则 $du = e^{t} dt$，$v = frac{t^{z+1}}{z+1}$。
使用分部积分公式 $int u , dv = uv Big|_a^b int v , du$：
$$Gamma(z+1) = left[ frac{t^{z+1}}{z+1} e^{t} ight]_0^infty int_0^infty frac{t^{z+1}}{z+1} (e^{t}) dt$$
当 $t o infty$ 时，$frac{t^{z+1}}{z+1} e^{t} o 0$ （只要 $ ext{Re}(z+1) > 0$）。
当 $t o 0$ 时，$frac{t^{z+1}}{z+1} e^{t} o 0$ （只要 $ ext{Re}(z+1) > 0$）。
所以第一项为 0。
$$Gamma(z+1) = 0 int_0^infty frac{t^{z+1}}{z+1} (e^{t}) dt = frac{1}{z+1} int_0^infty t^{z+1} e^{t} dt$$
哎呀，这里好像有点不对劲。我们再审视一下分部积分的设置。
为了得到 $Gamma(z+1) = zGamma(z)$，我们应该这样设置：
令 $u = e^{t}$，$dv = t^z dt$。
那么 $du = e^{t} dt$，$v = frac{t^{z+1}}{z+1}$。
这好像没法直接得到 $zGamma(z)$。我们换一种思路，让 $u = t^z$，$dv = e^{t} dt$。
那么 $du = z t^{z1} dt$，$v = e^{t}$。
$$Gamma(z+1) = int_0^infty t^z e^{t} dt = left[ t^z (e^{t}) ight]_0^infty int_0^infty (e^{t}) (z t^{z1}) dt$$
边界项 $left[ t^z e^{t} ight]_0^infty$：
当 $t o infty$，$t^z e^{t} o 0$ （只要 $ ext{Re}(z) > 0$）。
当 $t o 0$，$t^z e^{t} o 0$ （只要 $ ext{Re}(z) > 0$）。
所以边界项为 0。
$$Gamma(z+1) = 0 int_0^infty (z t^{z1} e^{t}) dt = z int_0^infty t^{z1} e^{t} dt = z Gamma(z)$$
这个性质非常有用。比如，我们知道 $1! = 1$，那么 $Gamma(2) = 1Gamma(1) = 1$。
$Gamma(3) = 2Gamma(2) = 2 imes 1 = 2$。
$Gamma(n+1) = n!$ 对于正整数 $n$。
那么 $Gamma(1/2)$ 呢？
利用 $Gamma(z+1) = zGamma(z)$，我们可以写出：
$Gamma(1/2) = Gamma(1/2 + 1) / (1/2) = 2 Gamma(3/2)$。
$Gamma(3/2) = Gamma(1/2 + 1) / (1/2) = 2 Gamma(5/2)$。
这似乎没有直接帮助我们计算 $Gamma(1/2)$ 的值。
重点来了：高斯积分
$Gamma(1/2)$ 的计算，离不开著名的高斯积分（Gaussian integral）。高斯积分的计算结果是：
$$int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$$
这个积分的结果本身也是一个相当巧妙的证明过程。我们先假设这个结果是真的，然后看看如何利用它来计算 $Gamma(1/2)$。
将伽马函数积分形式与高斯积分联系起来
我们的目标是 $Gamma(1/2) = int_0^infty t^{1/21} e^{t} dt = int_0^infty t^{1/2} e^{t} dt$。
现在，我们对高斯积分 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx$ 做一个变量替换，让它看起来更像伽马函数的积分。
令 $u = x^2$。那么 $du = 2x , dx$。
因为 $x = sqrt{u}$（我们只考虑 $x ge 0$ 的部分，因为 $e^{x^2}$ 是偶函数，所以 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = 2 int_0^{infty} e^{x^2} dx$），所以 $dx = frac{du}{2x} = frac{du}{2sqrt{u}}$。
当 $x$ 从 $0$ 变化到 $infty$， $u$ 也从 $0$ 变化到 $infty$。
所以，
$$2 int_0^{infty} e^{x^2} dx = 2 int_0^{infty} e^{u} frac{du}{2sqrt{u}} = int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$$
惊喜！ 积分的形式 $int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$ 正是 $Gamma(1/2)$ 的定义！
也就是说，
$$Gamma(1/2) = int_0^infty t^{1/2} e^{t} dt$$
而我们通过高斯积分的变量替换得到了：
$$2 int_0^{infty} e^{x^2} dx = int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$$
并且已知 $2 int_0^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$。
所以，
$$Gamma(1/2) = sqrt{pi}$$
验证高斯积分 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$
现在我们来看一下，这个高斯积分是如何算出来的。它的证明巧妙之处在于将一维积分转化为二维积分，再转化为极坐标下的积分。
设 $I = int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx$。
那么 $I^2 = left( int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx ight) left( int_{infty}^{infty} e^{y^2} dy ight)$。
我们可以用不同的变量来表示积分，而不改变积分值。
$$I^2 = int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx int_{infty}^{infty} e^{y^2} dy$$
将这两个积分合并成一个二维积分：
$$I^2 = int_{infty}^{infty} int_{infty}^{infty} e^{x^2} e^{y^2} dx dy$$
$$I^2 = int_{infty}^{infty} int_{infty}^{infty} e^{(x^2+y^2)} dx dy$$
现在，我们将笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换到极坐标 $(r, heta)$。
关系是 $x = r cos heta$，$y = r sin heta$。
那么 $x^2 + y^2 = r^2 cos^2 heta + r^2 sin^2 heta = r^2$。
积分的面积微元 $dx dy$ 在极坐标下变成 $r dr d heta$。
积分的区域是整个二维平面，在极坐标下，$r$ 的范围是从 $0$ 到 $infty$，$ heta$ 的范围是从 $0$ 到 $2pi$。
$$I^2 = int_0^{2pi} int_0^{infty} e^{r^2} r dr d heta$$
这是一个可以求解的积分。
先计算内层关于 $r$ 的积分：$int_0^{infty} e^{r^2} r dr$。
令 $u = r^2$，则 $du = 2r dr$，所以 $r dr = frac{1}{2} du$。
当 $r=0$ 时，$u=0$。当 $r o infty$ 时，$u o infty$。
$$int_0^{infty} e^{r^2} r dr = int_0^{infty} e^{u} frac{1}{2} du = frac{1}{2} int_0^{infty} e^{u} du$$
$$frac{1}{2} int_0^{infty} e^{u} du = frac{1}{2} left[ e^{u} ight]_0^{infty} = frac{1}{2} (0 (e^0)) = frac{1}{2} (0 (1)) = frac{1}{2}$$
所以，内层积分的结果是 $1/2$。
现在代回外层积分：
$$I^2 = int_0^{2pi} frac{1}{2} d heta$$
$$I^2 = frac{1}{2} int_0^{2pi} d heta = frac{1}{2} [ heta]_0^{2pi} = frac{1}{2} (2pi 0) = pi$$
所以，$I^2 = pi$。
由于 $I = int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx$，并且 $e^{x^2}$ 是一个非负函数，所以 $I$ 必须是正的。
因此，$I = sqrt{pi}$。
总结推导过程
1. 伽马函数定义: $Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$。
2. 目标: 计算 $Gamma(1/2) = int_0^infty t^{1/21} e^{t} dt = int_0^infty t^{1/2} e^{t} dt$。
3. 高斯积分: $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$。
4. 利用高斯积分: 将高斯积分的变量进行替换 $u=x^2$，得到 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = 2 int_0^{infty} e^{x^2} dx = int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$。
5. 联系: 发现 $int_0^{infty} u^{1/2} e^{u} du$ 正是 $Gamma(1/2)$ 的定义形式。
6. 结论: 因此，$Gamma(1/2) = sqrt{pi}$。
这个结果虽然直接看起来有点“魔术”，但它是通过对高斯积分的巧妙处理，并利用变量替换将积分形式统一起来的。高斯积分本身的美妙证明，也揭示了数学中不同领域之间意想不到的联系。
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先给出Gamma函数的Hankel积分
计算积分，
也就是
令 便得到
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