伽罗瓦理论究竟讲了什么？为什么其中用到了群论的知识？
那么，多项式方程的根和群论，这两者乍一看似乎风马牛不相及，怎么会被联系起来呢？这正是伽罗瓦理论的精妙之处。
核心问题：什么方程能用根式求解？
在伽罗瓦理论诞生之前，数学家们已经发现了一系列关于求解多项式方程的规律。比如，一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根是 $frac{b pm sqrt{b^24ac}}{2a}$，这里面出现了根号 $sqrt{}$，也就是平方根。一元三次和四次方程也有类似的根式解法，虽然形式复杂得多。但是，到了五次及以上方程，情况就变得不一样了。阿贝尔证明了，一般的五次及以上方程是无法用根式来表示其根的。
这个问题就抛出了一个根本性的疑问：为什么有些方程可以，有些却不行？是什么根本性的区别让这道门槛如此难以逾越？伽罗瓦理论正是为了回答这个问题而诞生的。
伽罗瓦理论的思路：把“根”变成“对称性”
伽罗瓦的想法是这样的：一个多项式方程的根，它们之间并不是孤立存在的，它们之间存在着某种“对称性”。这种对称性体现在哪里呢？
想象一下一个多项式，比如 $x^2 2 = 0$。它的根是 $sqrt{2}$ 和 $sqrt{2}$。你可以看到，这两个根之间有一个简单的关系：它们互为相反数。如果我们把 $sqrt{2}$ 换成 $sqrt{2}$，方程依然成立。更重要的是，如果我们考虑一个包含 $sqrt{2}$ 的数（比如 $1+sqrt{2}$），我们也可以对它进行“变换”，即把 $sqrt{2}$ 换成 $sqrt{2}$，得到 $1sqrt{2}$。而这种变换，并不会影响多项式方程本身的形式。
伽罗瓦理论正是抓住了这种“不改变方程形式的根的重排”这个核心思想。
是什么样的“重排”？——域扩张与自同构群
要理解这个“重排”，我们需要引入一些更精确的概念：
1. 域 (Field): 在数学里，域是我们进行加减乘除运算的“算术系统”。最熟悉的域是实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$。我们考虑的多项式方程的系数通常来自某个域，例如有理数域 $mathbb{Q}$。
2. 域扩张 (Field Extension): 当我们考虑一个多项式方程的根时，我们往往需要比系数所在域“更大”的域来容纳这些根。例如，方程 $x^2 2 = 0$ 的系数是有理数（$mathbb{Q}$），但它的根是 $pm sqrt{2}$，这些根不在 $mathbb{Q}$ 中。我们必须进入一个更大的域，比如 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，这个域包含了所有形如 $a+bsqrt{2}$ 的数（其中 $a, b$ 是有理数）。这就是一个从 $mathbb{Q}$ 到 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 的域扩张。
3. 自同构 (Automorphism): 自同构可以理解为域内部的一种“重排”。一个域的自同构是一个保持域的加法和乘法运算（即保持域的结构）的，从这个域到它自身的双射（一一对应的映射）。
伽罗瓦理论的连接点：伽罗瓦群 (Galois Group)
现在，我们可以把这些概念串联起来了。对于一个多项式 $P(x)$，我们考虑它的“分裂域” (Splitting Field)。分裂域是包含该多项式所有根的最小的域。比如对于 $x^22$，分裂域就是 $mathbb{Q}(sqrt{2})$。
伽罗瓦理论的关键思想是考虑所有作用在分裂域上，但是“固定”了系数域（比如 $mathbb{Q}$）的自同构。也就是说，这些自同构可以重排分裂域中的元素，但当它们作用在有理数上时，有理数必须保持不变。
为什么是群？
这些“固定系数域的自同构”构成了一个集合。有趣的是，这个集合本身具有群的结构：
封闭性: 两个这样的自同构连续作用，结果仍然是这样的自同构。
结合律: 自同构的复合作用满足结合律。
单位元: 恒等映射（什么都不做）是一个自同构。
逆元: 每一个自同构都有一个逆映射，这个逆映射也是一个保持系数域的自同构。
这个由这些自同构组成的群，就叫做这个多项式（或者更确切地说，是这个域扩张）的伽罗瓦群。
伽罗瓦对应 (Galois Correspondence)
伽罗瓦理论最核心的成果是“伽罗瓦对应”定理。它建立了一个“一一对应”的关系：
一方面是多项式方程的根的“对称性”，这些对称性由伽罗瓦群来描述。
另一方面是多项式方程“根式可解性”的性质。
具体来说：
根式可解性与伽罗瓦群的结构: 一个多项式方程可以由根式求解（即它的根可以用加减乘除和开方运算表示），当且仅当它的伽罗瓦群是一个可解群 (Solvable Group)。
什么是可解群？
群论中有一个概念叫做“可解群”。一个群如果可以通过一系列“正常子群”的嵌套分解，最终分解成只包含一个元素的平凡群，那么它就是可解群。这个概念听起来有点抽象，但它反映了一种“层层递进的结构性”。
举个例子，阿贝尔群（交换群）都是可解群。像 $x^22=0$ 这样的方程，它的伽罗瓦群只有一个元素，就是把 $sqrt{2}$ 变成 $sqrt{2}$ 的那个映射（如果我们把 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 看作是 $mathbb{Q}$ 在 $sqrt{2}$ 上的扩张）。这个群只有两个元素，而且是交换群，所以它是可解的，也就可以用根式求解。
而一般的五次及以上方程，它们的伽罗瓦群是“对称群 $S_n$” (n>=5)，这些对称群不是可解群。正是因为它们的伽罗瓦群不是可解群，所以一般的五次及以上方程无法用根式表示其根。
为什么会用到群论？
伽罗瓦理论之所以会用到群论，是因为群论提供了一套完美的语言和工具来描述和分析“对称性”。
1. 抽象化和系统化: 伽罗瓦发现，多项式方程的根之间的关系，可以被抽象为一种对称性的结构。而群论恰恰是研究对称性的数学理论。通过将根的重排看作群的元素，我们可以用群论的公理和定理来系统地研究这些关系，而不再局限于具体方程的细节。
2. 不变性: 群论的核心是研究在某种变换下保持不变的性质。在伽罗瓦理论中，这些“不变性”就是指在作用于分裂域的自同构下保持不变的有理数，以及这些自同构如何重排根。
3. 结构分析: 群论允许我们深入分析一个群的内部结构，例如它的子群、正规子群、商群等。这些结构信息，通过伽罗瓦对应，直接反映了多项式方程根的性质。例如，一个域扩张的中间域（在系数域和分裂域之间的域），就与伽罗瓦群的子群一一对应。这个对应关系，使得我们能够从群的子群结构来理解方程根的组合方式，以及它们是否可以通过根式运算层层构建出来。
4. 普遍性: 群论的抽象性使得伽罗瓦理论具有极强的普遍性。它不仅仅适用于一个具体的方程，而是为所有多项式方程提供了一个统一的分析框架。
总结一下：
伽罗瓦理论的核心在于，它将多项式方程的“根式可解性”问题，转化为其“伽罗瓦群”的结构问题。而群论，作为研究对称性的数学分支，为分析这些根之间的对称性关系提供了强有力的工具。
可以说，伽罗瓦是第一个深刻理解到“对称性是问题的关键”的数学家，并且用群论的语言将其完美地表达出来。他为我们展示了，隐藏在看似杂乱无章的方程根背后，存在着一种深刻而优美的对称结构，而这种结构可以用数学中最抽象、最强大的工具——群论——来精确描述。这不仅仅解决了“五次方程为什么不能用根式求解”这个经典难题，更开创了数学中联系代数（方程的根）和抽象结构（群）的一个重要方向，对近现代数学产生了深远的影响。
网友意见
伽罗瓦理论是现代数学的主要发端之一。当天才少年用自创理论解决了代数方程的悬案，人们才逐渐意识到数学结构本身所隐含的对称性和抽象关系竟然具有如此强大的威力。通过后继者对高阶抽象和逻辑结构关系的不断探索，如今数学大厦不仅纵向高耸入云而且横向相互支撑顺畅贯通。本文将带读者领略那发生在190年前的灵光闪现……
撰文 | 张和持
偶尔，当我被袁隆平院士喂得太饱的时候，会无聊地去想：若现代的知识穿越回古代，那将造成多么可怕的影响。那有可能是助诸葛亮北伐成功的100名火箭飞行兵，也可能是令赵国取胜长平之战的空降方便面。但要是真能穿越的话，希望不会把数学家送过去——等着他们的，可能是尼尔斯·阿贝尔和埃瓦里斯特·伽罗瓦的命运——他们二人的工作过于超前，以至于他们英年早逝十多年，后人才从尘封的论文中发现那惊人的价值。
在那个年代，数学家的工作主要还是围绕数字的。即使使用变量的代数，也是为了得到具体的数值结果。可想而知，即便是高斯那样的数学泰斗，面对伽罗瓦的满篇抽象符号，也打回了他的论文。据说伽罗瓦死前遭人暗算，不得不参加一场必死的决斗。生命和学术生涯即将在含苞中零落，绝望中的他奋笔疾书，在最后的时刻整理了自己的手稿，像海贼王一样把宝物留给了新的时代。
今天的我们，处处享受着他们的成果。计算机离不开代数，物理化学也离不开群论。或许在肃然起敬之余，你会望而却步。其实大可不必，今番我们便来还原一个简洁又优美的伽罗瓦理论。
伽罗瓦和阿贝尔想解决的问题看起来很简单。小学我们学过一元一次方程
ax+b=0
直接移项就可以得到
x=-b/a
后来我们学了一元二次方程
凑平方法也可以容易地得到
继续，一元三次方程呢？是否也能这么容易解出来呢？
十六世纪的数学家尼科洛·塔尔塔利亚首先得到了通用的公式，我们就把它列出来看看有多复杂
对于方程
有三个根：
人类的智慧的确可怕。不久之后，四次方程的公式也被人们发现了。四次方程的解如此复杂，以至于一页纸都不一定能写的下，这不禁让人怀疑，数学是否成为了繁琐和不便的代名词。
这也鞭策着那些相信努力就会收获的数学家，找出五次方程的解而扬名立万。可是令人费解的是，无论做多么精巧的代换，无论尝试怎样复杂的分解，总有一些方程死活解不出来。到了拉格朗日这一代，大多数人已经确信，五次方程是无法以现有方法解出来的了。他们发现，五次方程与四次，三次，二次方程是如此的不同，以至于之前管用的方法全都失效了。不过直到阿贝尔和伽罗瓦为止，都没有人能为这种似是而非的论断给出清晰又严格的证明。
这就是我们的问题：为什么有理系数的一元五次方程不能通过有限次的加、减、乘、除、开根号得到一般解？
为了搞清楚，为什么5以上的数字跟2，3，4 如此不同，我们先来看一看 1与 2，3，4 有何不同。对一元方程来说，要求解，只需要进行加减乘除运算即可，而加减乘除，并不会让有理数变成无理数。通常我们将有理数表示为 Q ，而有了对加减乘除封闭的性质，我们就可以把Q称为有理数域。域的定义你就可以直接理解为：集合元素对加减乘除封闭。大家熟知的实数，复数也都是域。
为什么我们要谈封闭性？很简单，因为方程里面只含有加减乘除，要是不封闭了，那 ax 就不是有理数，那这样 c 也就不是有理数了。显然，这是矛盾的。
那2,3,4 呢？
比如说方程
很容易求出它的两个解是
这个解很显然不在 Q 之内，那我们现在要把 Q 扩大，使新的域正好包含上面的根，又不至于太大，以至于包含太多其他东西，即最小扩张。那么我们最终得到的就是这样一个集合：
这个域我们把它叫做 Q[ ] ，它是包含 在内的最小的域。你无聊可以验证一下，它对于加减乘除确实是封闭的。这里从Q到 Q[ ] 的过程，我们称之为域扩张。你可以把这里的域扩张理解为一个直角坐标，X 轴上仍然是有理数，单位是 1 ，而 Y 轴上就是 的倍数。这样平面上的每一点都可以代表 Q[ ] 中的一个数。这样扩张的维数就是平面相对于 X 轴的维数，记作
当我们谈到可以用根式解方程的时候，我们其实是在说：我们可以将类似于 , 这样整数的整次根，加入到 Q 中，以此作上述域扩张，使扩张后的域，包含方程的解。
那么到这里，问题就好理解了。从 1 到 2,3,4 的过程，其实用根式来扩张 Q 的过程。可以想见，要是 5 次以上的方程不能这样扩张，自然就不能用根式解了。
怎么才能证明扩张无法实现呢？目前我们还没有什么思路去直接证明，但阿贝尔和伽罗瓦迎难而上。他们不约而同地注意到，方程的根具有奇妙的对称性。一般来说，如果一个图形具有复杂的对称性，那图形本身也就较为复杂。这给了他们启示：根的对称性是否意味着域扩张的复杂性呢？果不其然，这种对称性揭示了域扩张与群的子群之间优美的对偶，使得我们可以通过研究群的可解性来回答方程解的性质。
还是回到之前的方程
那么
从形式不变可以看出，σ（x） 仍然是方程的解。但是这个方程一共就那两个解，所以 σ 这个函数正好就是我们之前说的置换根的函数。在这个例子中，σ 只有两种可能——一是交换 ， ，即 ，另一种是恒同变化 e ，即把任何数映射到自身。这些 σ 有非常良好的性质
- 无论它们怎么组合， σ 的复合仍然属于这个集合；
- 不管施加怎样的变换，总有另一个变换可以让根回到初始状态；
- 存在 e 这么一个无而治的变换。
方程 的三个根分别是
显而易见，这里的域扩张是
它对应的伽罗瓦群是 ，也就是图中 3 个数的所有置换，应该有 3!=6 个元素，分别为 (123)(132)(213)(231)(312)(321) ，这个群相当于是三角形的所有对称操作，也就是说，将三角形翻转或旋转后，与原图形重合的所有操作。
下表（称为凯莱表）列出了 的乘法规律
图片受Wikipedia 启发
另一种将群可视化的方法是凯莱图
图片受wikimedia 启发
G = S3, H = ⟨r⟩
我们圈出 H 的所有陪集，这里只有 和 H 自己
圈出陪集
这样，每一个陪集都是商群的元素
陪集收缩得到商群
即使我们不去严格分析，也能看出 没有正规子群：
例如，把红色线连接的小五边形看做子群（这是个5 阶循环群），如果它是正规的，那么从一个红色五边形出发的所有蓝色线段，都必须进入同一个陪集，也就是最邻近的另一个红色五边形。可惜这些蓝色线都进入了不同的红色五边形。
事实上，这种每个局部小多边形都尽量与其他小多边形连接的结构，会使整体结构非常稳定而坚固，对群除法这种结构拆解工作自然就不够友好。神奇的是，如果在上图中的每个圆圈处放一个碳原子，它们将组成稳定的足球形分子“巴基球”，这个名字来源于建筑学家巴克明斯特·富勒，此人建造了世界上最大的足球形建筑物。
富勒的作品
1999年，物理学家在奥地利的实验室中向双缝发射了“巴基球”的分子束，并观察到了干涉现象。这使得“巴基球”成为了人类实验能观测到双缝干涉的最大分子。
Buckminsterfullerene
再回到最初的问题。从以上的阐述，应该就能理解根式解不存在的原因了：根式的域扩张是有局限的。也就是说五次以上的方程其实并不是“无解”，只是根式扩张无法做到。那么是不是就应该有别的方法来进行域扩张呢？答案是肯定的。参见“雅可比 函数”。
注释
[1]Galois theory for non-mathematicians
[2]Emil Artin, Galois Theory
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