设有界函数在某一闭区间上的不连续点为{Xn}，且极限寻在，证明该函数在这个闭区间可积？

好的，我们来聊聊这个问题，尽量说得明白透彻些，让你感觉就像是和一位老朋友在探讨数学。

我们这里要证明的核心是：如果一个有界函数在一个闭区间上，它不连续的点构成了一个“不那么坏”的集合，那么这个函数在这个闭区间上就是可积的。

先来捋一捋我们手头有什么“工具”和“目标”：

目标： 证明函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可积。
已知条件 1（有界性）： 函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是有界的。这意味着存在一个常数 $M > 0$，使得对于 $[a, b]$ 中的任意 $x$，都有 $|f(x)| le M$。
已知条件 2（不连续点集）： 函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的不连续点构成的集合是 ${x_n}$。这个集合可以是一个有限集，也可以是一个无穷集。
已知条件 3（不连续点集的特性）： 这个不连续点集 ${x_n}$ 是一个“收敛”的集合，更准确地说，它是一个“列紧”的子集。这意味着，如果我们从这个集合里取出任何一个子集，它总能找到一个收敛的子列（极限点），而这些极限点都必须在这个集合内部或者边界上。我们这里的条件“极限存在”通常是指这些不连续点形成的序列本身会收敛到一个或有限个点，这隐含了 ${x_n}$ 的特殊结构。
已知条件 4（极限存在）： 这句话有点微妙。它不是说函数 $f(x)$ 在所有不连续点处都有极限，而是说构成不连续点集的序列 ${x_n}$ 本身存在极限（或者说，是收敛的）。一个更严谨且常用的说法是，不连续点集是一个“可数”且“没有聚点”（除了有限个例外）或者“满足特定收敛性质”的集合。这里的“极限存在”可以理解为 ${x_n}$ 形成的集合在某个意义下是“孤立”的，或者是有有限个“聚点”。我们先按最直接的理解来展开，后面我们会稍作澄清。

先做个铺垫：什么叫可积？

一个函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可积，通常我们会用黎曼积分的定义来衡量。简单来说，就是我们可以把 $[a, b]$ 分成很多小区间，在每个小区间里取个值（比如最小值或最大值），然后把这些值乘以小区间长度再加起来。当这些小区间越来越小时，这个“和”会趋近于一个固定的值，这个值就是积分。

更精确地说，可积意味着对于任意给定的 $epsilon > 0$，我们总能找到 $[a, b]$ 的一个分割 $P = {x_0, x_1, ldots, x_n}$（其中 $a = x_0 < x_1 < ldots < x_n = b$），使得：

$U(f, P) L(f, P) < epsilon$

其中 $U(f, P)$ 是上和（每个小区间上函数值的上确界乘以区间长度再求和），$L(f, P)$ 是下和（每个小区间上函数值的下确界乘以区间长度再求和）。

如果函数是连续的，那么它在闭区间上一定可积。我们的任务是处理不连续的情况。

“极限存在”在不连续点集上的含义

当你说“不连续点为 ${Xn}$ 且极限存在”时，这背后隐藏着一个非常重要的性质：不连续点集 ${X_n}$ 是一个“离散的”或者“只有有限个聚点”的集合。

有限个不连续点的情况： 如果 ${X_n}$ 是一个有限集合，比如 ${c_1, c_2, ldots, c_k}$，那么它显然是可积的。我们可以把这些点“小心地”避开，或者通过分割使得每个不连续点所在的区间非常小，它们的贡献就趋近于零。
无穷个不连续点的情况： 如果 ${X_n}$ 是一个无穷集，那么“极限存在”这句话通常是指这个序列 ${X_n}$ 本身收敛到一个或有限个点，或者说，这个集合是“可数的”且“没有极限点”（聚点）或者只有“有限个极限点”。
可数的离散集： 比如 ${1/n mid n in mathbb{N}}$ 在 $[0, 1]$ 上。这个集合的极限点是 0。
狄利克雷函数（Dirichlet function） 在 $[0, 1]$ 上的不连续点是所有有理数，这个集合是不可数的，而且在这个区间上到处稠密，它不是我们这里讨论的情况。
我们这里讨论的情况更接近于一个“好的”无穷不连续点集，比如，不连续点集是 ${1/n mid n in mathbb{N}} cup {0}$。这个集合是可数的，并且只有有限个“挤在一起”的点（即聚点0）。

证明思路：控制上和与下和的差

我们的目标是证明 $U(f, P) L(f, P)$ 可以任意小。这个差值可以分解成两部分：

1. 在包含不连续点的那些小区间上的差值。
2. 在不包含任何不连续点的那些小区间上的差值。

第一步：处理不包含不连续点的区间

如果一个小区间的内部不包含任何不连续点，那么在这个小区间的闭合区间上，函数 $f(x)$ 是连续的。根据连续函数在闭区间上可积的性质，我们可以通过选择合适的分割 $P$，使得在所有不包含不连续点的区间上，$U(f, P) L(f, P)$ 的总和非常小。

具体来说，对于区间 $[x_{i1}, x_i]$，如果它内部不含任何不连续点，那么在 $[x_{i1}, x_i]$ 上，$f$ 是连续的。这意味着对于任意给定的 $eta > 0$，存在 $delta > 0$，使得当 $x, y in [x_{i1}, x_i]$ 且 $|xy| < delta$ 时，有 $|f(x) f(y)| < eta$。我们可以通过让分割的细度足够小来保证这一点。

第二步：处理包含不连续点的区间

现在是关键：如何处理那些包含不连续点的区间？

根据我们的已知条件，“不连续点集 ${X_n}$ 及其极限存在”意味着这个集合的“特殊性”。最常见的和我们这个条件比较贴近的情况是：

情况 A：不连续点集是可数的，并且只存在有限个聚点。

例如，不连续点集是 ${c_1, c_2, ldots, c_k}$（有限个）或者 ${c_1, c_2, ldots, c_k, p_1, p_2, ldots}$（可数个，且序列 ${p_j}$ 收敛到某个点）。更简洁的说法是，不连续点集是一个“零测集”或者一个“具有有限个聚点的可数集”。

这里的“极限存在”暗示了不连续点是“孤立”的，或者说它们非常稀疏。假设不连续点集合 $D = {x_n}$。

1. 有限个不连续点的情况： 如果 $D$ 是有限的，比如 $D={c_1, ldots, c_k}$。我们可以选取一个分割 $P$，使得每个 $c_i$ 都恰好落在某个小区间 $[x_{j1}, x_j]$ 的内部，并且每个区间 $(x_{j1}, x_j)$ 的长度都非常小，比如小于 $frac{epsilon}{k cdot 2M}$，其中 $M$ 是函数 $f$ 的界。那么，在这些包含不连续点的区间上，上和与下和的差值总和是：
$sum_{c_i in (x_{j1}, x_j)} (M_{j} m_{j})(x_j x_{j1})$
其中 $M_j = sup_{x in [x_{j1}, x_j]} f(x)$，$m_j = inf_{x in [x_{j1}, x_j]} f(x)$。
由于 $|f(x)| le M$，所以 $M_j m_j le 2M$。
因此，所有包含不连续点的区间上的差值总和最大为 $k cdot (2M) cdot frac{epsilon}{k cdot 2M} = epsilon$。

2. 无穷个不连续点，但这些点是“好的”的情况： 比如，不连续点集合 $D={x_n}$ 是可数的，并且每个点 $x_n$ 都被一个很小的区间 $I_n = (x_n delta_n, x_n + delta_n)$ 包裹。我们选择 $delta_n$ 使得这些小区间（在 $[a, b]$ 内的交集部分）的总长度很小。

更具体一点，设不连续点集为 $D = {x_n}_{n=1}^infty$。由于函数的有界性，对于每个小区间 $[x_{i1}, x_i]$，函数值的上确界 $M_i$ 和下确界 $m_i$ 之差 $M_i m_i le 2M$。

假设我们有一个分割 $P$。令 $J$ 为所有包含至少一个不连续点的区间组成的集合。令 $K$ 为所有不包含任何不连续点的区间组成的集合。
$U(f, P) L(f, P) = sum_{i in J} (M_i m_i)(x_i x_{i1}) + sum_{i in K} (M_i m_i)(x_i x_{i1})$

对于 $i in K$， $[x_{i1}, x_i]$ 上不含不连续点，即在此区间（开区间意义下）函数是连续的。通过充分细化分割 $P$，我们可以使得 $sum_{i in K} (M_i m_i)(x_i x_{i1})$ 非常小。

现在处理 $i in J$ 的情况。假设不连续点集 $D$ 是可数的，并且我们已经对这些点进行了“良好”的组织。比如，我们可以用一系列互不重叠的小区间 $O_n = (x_n delta_n, x_n + delta_n)$ 来包围每一个不连续点 $x_n$。
我们选择 $delta_n$ 使得：
这些小区间 $O_n$ 在 $[a, b]$ 内的长度总和 $sum ell(O_n cap [a, b])$ 小于一个预设的小值，比如 $frac{epsilon}{4M}$。
对于被包围的每个不连续点 $x_n$，它所在的小区间 $[x_{i1}, x_i]$ 满足 $x_i x_{i1} < delta_n$。

在这些被包围的区间 $[x_{i1}, x_i]$ 上，函数值的最大差值 $M_i m_i$ 最多为 $2M$。因此，这些区间上的差值总和为：
$sum_{i in J} (M_i m_i)(x_i x_{i1}) le sum_{i in J} 2M (x_i x_{i1})$
我们可以选择分割 $P$ 使得所有包含不连续点的区间恰好是由我们预先设定的一组小区间 $O_n$ 构成其并集。这样，这些小区间总长度的和就由我们控制了。

一个更精确且通用的思路 (Baire 定理的思路)：

如果函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有界，且不连续点集 $D$ 是可数的，并且 $D$ 是一个“零测集”，那么 $f$ 在 $[a, b]$ 上是可积的。这里的“零测集”性质是关键。而你提到的“极限存在”通常就暗示了不连续点集是可数的并且是“相对孤立”的（有限个聚点）。

让我们假设不连续点集 $D = {x_n}_{n=1}^infty$ 是可数的。
我们可以构造一个分割 $P$ 如下：
1. 在每个不连续点 $x_n$ 的“附近”，取一个非常小的小区间 $I_n = [x_n delta_n, x_n + delta_n]$（当然要考虑边界情况，例如 $x_n$ 是端点）。
2. 选择 $delta_n$ 使得所有这些小区间在 $[a, b]$ 内的总长度小于 $epsilon / (4M)$。例如，可以选取 $delta_n = frac{epsilon}{2^{n+2} M}$。那么 $sum_{n=1}^infty (2delta_n) le frac{epsilon}{2M}$。
3. 在除了这些小区间以外的区域上，函数是连续的。我们将这些区域进一步分割得足够细。

设 $S = igcup_{n=1}^infty I_n cap [a, b]$ 是包含所有不连续点的“小区间”的并集。
分割 $P$ 将 $[a, b]$ 分成若干个小区间 $J_1, J_2, ldots, J_m$。
$U(f, P) L(f, P) = sum_{j=1}^m (M_j m_j) ell(J_j)$

我们将这些小区间分成两类：
包含不连续点的（或者说，与 $S$ 有交集的）小区间。
不包含任何不连续点的（即与 $S$ 的补集有交集的）小区间。

对于那些不包含任何不连续点的小区间，由于在它们的内部函数是连续的，我们可以通过不断细分分割，使得这些区间上的差值总和（$sum (M_j m_j) ell(J_j)$）变得任意小，小于 $epsilon/2$。

现在来看那些包含不连续点（或者与 $S$ 有交集）的小区间。
这些小区间覆盖的区域 $S$ 的总长度（在 $[a, b]$ 内）可以通过我们选择 $delta_n$ 的方式来控制。我们选择 $delta_n$ 使得 $sum_{n=1}^infty ell(I_n cap [a, b]) le frac{epsilon}{4M}$。
那么，包含不连续点的那些小区间本身所覆盖的总长度也不会超过 $frac{epsilon}{2M}$（考虑了重叠，但即使不考虑重叠，我们也能控制它）。

所以，对于这些区间，差值总和为：
$sum_{ ext{包含不连续点的 } J_j} (M_j m_j) ell(J_j)$
因为 $M_j m_j le 2M$，所以这个总和 $le sum_{ ext{包含不连续点的 } J_j} 2M ell(J_j)$。
而这些小区间 $J_j$ 的并集包含了 $S$。我们可以让这些 $J_j$ 恰好是用来包围 $x_n$ 的那些小区间 $I_n$ 的细分。
通过巧妙的分割，我们可以让这些“包含不连续点”的小区间的总长度不超过 $frac{epsilon}{2M}$。
那么这一部分的贡献就是 $le 2M imes frac{epsilon}{2M} = epsilon$。

总结一下这个思路的关键：

1. 控制不连续点集的影响： 你说的不连续点集“极限存在”，并且函数有界，意味着这个不连续点集是一个“不太坏”的集合。通常这意味着它是一个可数的集合，并且在某个意义下是“稀疏”的，或者说它是一个“零测集”。
2. 分割策略： 我们构造一个分割 $P$。在不连续点周围，我们取非常小的小区间。在其他地方，我们取足够小的区间以保证函数在那里“接近”连续。
3. 分解差值： 将上和与下和的差值分解为“包含不连续点的小区间”上的差值总和，以及“不包含不连续点的小区间”上的差值总和。
4. 控制每一部分：
不包含不连续点的小区间：因为在这些小区间（的内部）函数是连续的，通过足够细的分割，可以使得这一部分的差值总和小于 $epsilon/2$。
包含不连续点的小区间：这些小区间覆盖的区域总长度可以通过对不连续点周围的“保护区间”的长度进行控制，使得 $2M$ 乘以这个总长度小于 $epsilon/2$。

结论：

通过这样的分割，我们可以使得 $U(f, P) L(f, P) = ( ext{在不连续点附近的差值}) + ( ext{在连续点附近的差值}) < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon$。
因为 $epsilon$ 可以是任意小的正数，所以函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是可积的。

这里的“极限存在”是多么重要？

如果没有“极限存在”这个条件，比如函数是不连续点集是实数集上的所有有理数（狄利克雷函数），那么不连续点集在这个区间上稠密。无论你怎么分割，每个小区间里都包含有理数和无理数。在有理数点上函数值为 1，在无理数点上函数值为 0。那么在任何小区间上，上确界都是 1，下确界都是 0。上和下和差值永远是 $(ba)$，除非 $(ba)=0$。所以它不可积。

所以，“极限存在”这个条件本质上是限制了不连续点集的“密度”和“规模”，使其成为一个“可控”的集合，这个集合不会“破坏”掉积分的定义。通常数学上会要求这个不连续点集是一个“零测集”，或者说它是一个可数的集合且只有一个有限的聚点集（甚至没有聚点）。

希望这样详细的解释能够让你理解这个证明的思路和关键所在。这是一个非常经典且重要的定理，它告诉我们，绝大多数函数（包括那些有有限个或某些特殊无穷个不连续点的函数）在实际中都是可积的。

勒贝格定理啊，不连续点的集合的测度为零。

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更初等的做法：

假设我们只知道有有限个不连续点的函数可积。设数列 的极限是 。则不连续点都聚在点 的附近，也就是说，任意取一个点 的邻域，这个邻域之外函数都是可积的。而我们知道函数Riemann可积的判据 。这样我们自然把区间分成三个部分，左右两个可积的部分这个和当然可以任意小，中间不知道的部分只要区间长度很短也可以充分小。这就是解法的思路。