不定积分∫dx/(2 + sinx)在x = π+2kπ处，为何会这样？这是不定积分的某种“特性”吗？
你提出的问题很有意思，涉及到不定积分在特定点处的性质，以及由此可能引发的一些“看似奇怪”的行为。我们不妨一步步来剖析。
首先，我们来回顾一下 ∫dx/(2 + sinx) 这个不定积分。
这个不定积分并没有一个简单的初等函数形式来表示。它的计算通常需要一些技巧，比如三角代换（例如万能代换 $t = an(x/2)$）。通过万能代换，我们可以将积分转化为关于 $t$ 的有理函数积分，然后进行计算。
计算结果大致会是长这个样子：
$∫ frac{dx}{2 + sin x} = frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{2 an(x/2) + 1}{sqrt{3}} ight) + C$
（这里的 $C$ 是积分常数，表示不确定性。）
现在，我们关注你提到的 x = π + 2kπ 这个点。
让我们仔细看看上面的积分结果，以及我们熟悉的三角函数。
sin(x) 在 x = π + 2kπ 处的值：
当 $x = pi + 2kpi$ 时，$sin(x) = sin(pi) = 0$。
所以，在这些点上，被积函数 $1/(2 + sin x)$ 的值为 $1/(2 + 0) = 1/2$。
从被积函数的角度来看，在 $x = pi + 2kpi$ 处，函数是有定义且连续的，甚至导数值也是确定的。
万能代换 $t = an(x/2)$ 的问题：
这是我们进行积分计算时引入的关键。
请注意，当 $x/2 = pi/2 + npi$（即 $x = pi + 2npi$）时，$ an(x/2)$ 是无定义的。
换句话说，你选择的积分计算方法（万能代换）在 $x = pi + 2kpi$ 这些点上，本身就不适用了。
为什么会“这样”？这是一种不定积分的“特性”吗？
与其说是不定积分的“特性”，不如说这是不定积分表示形式和它所代表的原函数族在某些点上的行为所展现出的复杂性。
1. 不定积分的本质是“所有原函数”的集合：
一个不定积分 ∫f(x)dx 的结果不是一个单一的函数，而是一族函数，这些函数都满足 F'(x) = f(x)。它们之间只相差一个常数。
$F(x) = G(x) + C$
其中 $G(x)$ 是 $f(x)$ 的一个特解。
2. 分段定义和积分常数：
当被积函数 f(x) 的定义域被分成若干个区间，并且原函数在这些区间的“连接点”处存在不连续性（或者如我们这里的万能代换在某些点无定义），那么我们通常需要在每个区间上独立地定义积分常数 $C$。
回到我们的例子：$F(x) = frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{2 an(x/2) + 1}{sqrt{3}} ight) + C$
万能代换 $t = an(x/2)$ 的定义域是 $x/2 eq pi/2 + npi$，即 $x eq pi + 2npi$。
这意味着，函数 $ an(x/2)$ 在 $x = pi + 2kpi$ 这些点处是“断开”的。
因此，我们的原函数 $F(x)$，实际上也可能在这些点处“断开”，并且不同区间上的积分常数 $C$ 可以是不同的。
3. $arctan$ 函数的性质：
$arctan$ 函数的导数是 $1/(1+u^2)$，这是处处有定义的。但是 $arctan(u)$ 本身是一个单调递增的函数，它的值域是 $(pi/2, pi/2)$。
让我们看看 $frac{2 an(x/2) + 1}{sqrt{3}}$ 这个表达式在 $x$ 趋近于 $pi + 2kpi$ 时的行为：
当 $x o (pi^+ + 2kpi)$ 时，$x/2 o (pi/2^+ + kpi)$，$ an(x/2) o infty$。
当 $x o (pi^ + 2kpi)$ 时，$x/2 o (pi/2^ + kpi)$，$ an(x/2) o +infty$。
这意味着，$arctan$ 中的参数趋于无穷大（正负）。
$lim_{u o +infty} arctan(u) = pi/2$
$lim_{u o infty} arctan(u) = pi/2$
所以，我们的原函数 $F(x)$ 在 $x = pi + 2kpi$ 两侧的极限值会跳跃：
当 $x$ 从小于 $pi + 2kpi$ 的方向趋近时，$arctan(dots)$ 趋近于 $pi/2$。
当 $x$ 从大于 $pi + 2kpi$ 的方向趋近时，$arctan(dots)$ 趋近于 $pi/2$。
这意味着，如果我们在 $x = pi + 2kpi$ 处强行定义一个“整体”的原函数，那么这个函数在这些点上不是连续的（除非通过不同选择的积分常数 $C$ 来“弥补”这种跳跃）。
总结一下“为何会这样”：
计算方法的局限性： 万能代换 $t = an(x/2)$ 在 $x = pi + 2kpi$ 处失效，这表明直接将代换得到的表达式“硬套”到这些点上是不妥的。
原函数的不连续性/分段性： 尽管被积函数 $1/(2+sin x)$ 在 $x = pi + 2kpi$ 处是连续且有定义的，但由特定方法计算出的原函数表达式可能在这些点上存在不连续的“跳跃”。这种跳跃可以通过在不同区间选择不同的积分常数 $C$ 来“修正”，使原函数在局部保持连续。
数学上，“原函数”的定义本身就允许这种分段常数。 当一个函数 $f(x)$ 在某个区间内可积，其不定积分 $F(x) = int f(x) dx$ 也可以被看作是在其定义域的每个连通分量上独立选择积分常数的集合。
它是一种不定积分的“特性”吗？
可以说，这是不定积分在处理周期性函数、或者通过特定方法（如换元）将积分转化为有理函数时，需要特别注意其定义域和可能出现的“断点”的一种表现。
不是所有不定积分都有这种“问题”： 如果一个不定积分 $∫f(x)dx$ 的原函数 $F(x)$ 在 $f(x)$ 的整个定义域内都是连续光滑的，那么就不会出现你说的这种情况。例如 $∫2x dx = x^2 + C$，在任何点都没有这种“跳跃”。
是“形式”带来的问题： 你看到的“这样”，更多是由于我们找到的那个具体的函数形式（包含 $arctan( an(x/2))$）在这些点上行为怪异，而不是不定积分本身“坏了”。
更直观的理解：
想象一下，你要给一条弯弯曲曲的山路找到一个“高度”函数。这条山路可能在某个地方有一个“大断崖”，虽然断崖两边的地势是连续的，但你无法用一个简单的公式来统一描述整个山的高度，因为在断崖处，高度“跳”了一下。你只能分别描述断崖左边的和断崖右边的部分，并且在连接处，你需要“定义”好高度的相对关系（也就是积分常数）。
在 $x = pi + 2kpi$ 处，这个“断崖”并不是由被积函数 $1/(2+sin x)$ 造成的，而是由我们用来表示原函数的工具——万能代换和$arctan$函数——在这些点上的固有属性造成的。
所以，你观察到的现象，是计算方法和原函数表达式在特定点上的行为相互作用的结果，提醒我们在进行不定积分计算并写出其形式时，要理解其背后可能存在的“分段性”以及积分常数的选择自由度。
首先，我们来回顾一下 ∫dx/(2 + sinx) 这个不定积分。
这个不定积分并没有一个简单的初等函数形式来表示。它的计算通常需要一些技巧，比如三角代换（例如万能代换 $t = an(x/2)$）。通过万能代换，我们可以将积分转化为关于 $t$ 的有理函数积分，然后进行计算。
计算结果大致会是长这个样子：
$∫ frac{dx}{2 + sin x} = frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{2 an(x/2) + 1}{sqrt{3}} ight) + C$
（这里的 $C$ 是积分常数，表示不确定性。）
现在，我们关注你提到的 x = π + 2kπ 这个点。
让我们仔细看看上面的积分结果，以及我们熟悉的三角函数。
sin(x) 在 x = π + 2kπ 处的值：
当 $x = pi + 2kpi$ 时，$sin(x) = sin(pi) = 0$。
所以，在这些点上，被积函数 $1/(2 + sin x)$ 的值为 $1/(2 + 0) = 1/2$。
从被积函数的角度来看，在 $x = pi + 2kpi$ 处，函数是有定义且连续的，甚至导数值也是确定的。
万能代换 $t = an(x/2)$ 的问题：
这是我们进行积分计算时引入的关键。
请注意，当 $x/2 = pi/2 + npi$（即 $x = pi + 2npi$）时，$ an(x/2)$ 是无定义的。
换句话说，你选择的积分计算方法（万能代换）在 $x = pi + 2kpi$ 这些点上，本身就不适用了。
为什么会“这样”？这是一种不定积分的“特性”吗？
与其说是不定积分的“特性”，不如说这是不定积分表示形式和它所代表的原函数族在某些点上的行为所展现出的复杂性。
1. 不定积分的本质是“所有原函数”的集合：
一个不定积分 ∫f(x)dx 的结果不是一个单一的函数，而是一族函数，这些函数都满足 F'(x) = f(x)。它们之间只相差一个常数。
$F(x) = G(x) + C$
其中 $G(x)$ 是 $f(x)$ 的一个特解。
2. 分段定义和积分常数：
当被积函数 f(x) 的定义域被分成若干个区间，并且原函数在这些区间的“连接点”处存在不连续性（或者如我们这里的万能代换在某些点无定义），那么我们通常需要在每个区间上独立地定义积分常数 $C$。
回到我们的例子：$F(x) = frac{2}{sqrt{3}} arctanleft(frac{2 an(x/2) + 1}{sqrt{3}} ight) + C$
万能代换 $t = an(x/2)$ 的定义域是 $x/2 eq pi/2 + npi$，即 $x eq pi + 2npi$。
这意味着，函数 $ an(x/2)$ 在 $x = pi + 2kpi$ 这些点处是“断开”的。
因此，我们的原函数 $F(x)$，实际上也可能在这些点处“断开”，并且不同区间上的积分常数 $C$ 可以是不同的。
3. $arctan$ 函数的性质：
$arctan$ 函数的导数是 $1/(1+u^2)$，这是处处有定义的。但是 $arctan(u)$ 本身是一个单调递增的函数，它的值域是 $(pi/2, pi/2)$。
让我们看看 $frac{2 an(x/2) + 1}{sqrt{3}}$ 这个表达式在 $x$ 趋近于 $pi + 2kpi$ 时的行为：
当 $x o (pi^+ + 2kpi)$ 时，$x/2 o (pi/2^+ + kpi)$，$ an(x/2) o infty$。
当 $x o (pi^ + 2kpi)$ 时，$x/2 o (pi/2^ + kpi)$，$ an(x/2) o +infty$。
这意味着，$arctan$ 中的参数趋于无穷大（正负）。
$lim_{u o +infty} arctan(u) = pi/2$
$lim_{u o infty} arctan(u) = pi/2$
所以，我们的原函数 $F(x)$ 在 $x = pi + 2kpi$ 两侧的极限值会跳跃：
当 $x$ 从小于 $pi + 2kpi$ 的方向趋近时，$arctan(dots)$ 趋近于 $pi/2$。
当 $x$ 从大于 $pi + 2kpi$ 的方向趋近时，$arctan(dots)$ 趋近于 $pi/2$。
这意味着，如果我们在 $x = pi + 2kpi$ 处强行定义一个“整体”的原函数，那么这个函数在这些点上不是连续的（除非通过不同选择的积分常数 $C$ 来“弥补”这种跳跃）。
总结一下“为何会这样”：
计算方法的局限性： 万能代换 $t = an(x/2)$ 在 $x = pi + 2kpi$ 处失效，这表明直接将代换得到的表达式“硬套”到这些点上是不妥的。
原函数的不连续性/分段性： 尽管被积函数 $1/(2+sin x)$ 在 $x = pi + 2kpi$ 处是连续且有定义的，但由特定方法计算出的原函数表达式可能在这些点上存在不连续的“跳跃”。这种跳跃可以通过在不同区间选择不同的积分常数 $C$ 来“修正”，使原函数在局部保持连续。
数学上，“原函数”的定义本身就允许这种分段常数。 当一个函数 $f(x)$ 在某个区间内可积，其不定积分 $F(x) = int f(x) dx$ 也可以被看作是在其定义域的每个连通分量上独立选择积分常数的集合。
它是一种不定积分的“特性”吗？
可以说，这是不定积分在处理周期性函数、或者通过特定方法（如换元）将积分转化为有理函数时，需要特别注意其定义域和可能出现的“断点”的一种表现。
不是所有不定积分都有这种“问题”： 如果一个不定积分 $∫f(x)dx$ 的原函数 $F(x)$ 在 $f(x)$ 的整个定义域内都是连续光滑的，那么就不会出现你说的这种情况。例如 $∫2x dx = x^2 + C$，在任何点都没有这种“跳跃”。
是“形式”带来的问题： 你看到的“这样”，更多是由于我们找到的那个具体的函数形式（包含 $arctan( an(x/2))$）在这些点上行为怪异，而不是不定积分本身“坏了”。
更直观的理解：
想象一下，你要给一条弯弯曲曲的山路找到一个“高度”函数。这条山路可能在某个地方有一个“大断崖”，虽然断崖两边的地势是连续的，但你无法用一个简单的公式来统一描述整个山的高度，因为在断崖处，高度“跳”了一下。你只能分别描述断崖左边的和断崖右边的部分，并且在连接处，你需要“定义”好高度的相对关系（也就是积分常数）。
在 $x = pi + 2kpi$ 处，这个“断崖”并不是由被积函数 $1/(2+sin x)$ 造成的，而是由我们用来表示原函数的工具——万能代换和$arctan$函数——在这些点上的固有属性造成的。
所以，你观察到的现象，是计算方法和原函数表达式在特定点上的行为相互作用的结果，提醒我们在进行不定积分计算并写出其形式时，要理解其背后可能存在的“分段性”以及积分常数的选择自由度。
网友意见
简单来说，不定积分是局部的，但是定积分是整体的。
按照定义，不定积分是求导的逆运算，而我们知道求导是局部的，也就是只跟这一点附近有关，所以不定积分也一样是局部的，任何求不定积分的方法都只能在某个点的小邻域完成，包括后面带的积分常数也是局部定义的，换句话说，这个C从一开始就不是整个实数上的常数，而只是局部的常数。而定积分是整体的，求定积分必须要用上整个区间的信息。当然了，这个局部定义的常数能不能粘成一个整体的常数，这是另外的问题了。对于一维的区间而言，这一定能做到的，也就是 @予一人 给出的办法。
（拓扑上来说，区间上局部的不定积分能不能粘成整体的定积分，障碍是其常值函数层的Cech上同调，而这个时候上同调恰好是平凡的。）
不定积分是局部的这件事情也可以从你的计算过程中看出来。我不知道你是怎么研究这个积分的，如果是我的话，我可能第一步代换 ，然后后面就随便了。如果是不定积分的话，局部上这个t总是找得到的，并且关于x连续。但是如果你想做定积分，比如积x从0到100，你要换元t=t(x)，那你必须保证t也是从t(0)连续变化到t(100)，换句话说，x从0扫到100，t也必须从t(0)扫到t(100)，这样才能保证 。你自己去过一遍定积分换元公式的证明就能发现这是必须的。然而，前面这个简单的换元 做不到，在 就间断了，这就意味着你要算超过pi的定积分，这样直接换元就是错的，除非把区间拆开然后分别换元计算。
补充一点，局部的东西能不能粘成整体，这其实是非常非常非常非常难的问题。一维的时候想不明白无所谓，反正最后算出来再修正就是了。包括学常微分方程的时候也会碰到这个问题，反正算出来再修正一下就是了。多元微积分里也会碰到，比如无旋场局部一定有势，但是未必有整体的势，除非假设单连通。但是如果你想学更深的数学，那就一定要意识到什么是局部的，什么是整体的。
最后再补充一点。如果你希望 有个漂亮的初等函数的表达式，那这个初等函数势必能定义到复数上，因为所有初等函数在好的地方都是解析的。比如你把0处的幂级数展开写出来，直接逐项积分，就会得到一个新的非常漂亮的函数 ，这其实就是你通过不定积分解出来的。但是，幂级数和逐项积分只能在0附近的收敛半径内做。虽然 在实数上看是极好极好的函数，但是在复平面有极点。所以如果想把 解析延拓到整个复平面，那就会有分歧（ramification），不同的分歧会差一些留数，而不明真相的实数群众就只能管中窥豹，看到这里定积分的常数的区别了。（这一部分我没有仔细动手算，但是道理肯定这么个道理，如果有空的话可以自己算一下留数。）
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