这个不定积分如何化简呢？
朋友你好！看到你对这个不定积分的化简感到困惑，没关系，很多时候数学问题就是这样，看起来有点绕，但只要我们一步步来，就能找到清晰的思路。我来跟你好好聊聊这个积分该怎么处理，争取把过程讲得明明白白，让你觉得就像是和一个熟悉的朋友在讨论问题一样。
我们来分析一下这个积分：
$int frac{x^3 + 2x^2 x 2}{x^2 1} dx$
看到这个分数形式的被积函数，第一反应往往是：被积函数是不是可以直接积分？或者能不能化简一下？
第一步：审视被积函数——长除法还是因式分解？
被积函数是一个多项式除以另一个多项式。当分子次数大于或等于分母次数时，我们通常会考虑用长除法来简化它，把它变成一个多项式加上一个真分式（分子次数小于分母次数）。
分子： $x^3 + 2x^2 x 2$
分母： $x^2 1$
我们来做长除法：
```
x + 2
________________
x^21 | x^3 + 2x^2 x 2
(x^3 x)
________________
2x^2 2
(2x^2 2)
________________
0
```
长除法的结果告诉我们：
$frac{x^3 + 2x^2 x 2}{x^2 1} = x + 2$
这真是个好消息！分子恰好能被分母整除，而且余数为零。这意味着原积分可以被改写成一个非常简单的多项式积分。
另外一种思路（因式分解）： 如果你对因式分解比较敏感，也可以试试看能否分解分子。
分母 $x^2 1$ 是平方差公式，可以分解为 $(x1)(x+1)$。
看看分子 $x^3 + 2x^2 x 2$ 是否有 $x1$ 或 $x+1$ 作为因子。
当 $x=1$ 时，$1^3 + 2(1)^2 1 2 = 1 + 2 1 2 = 0$。所以 $(x1)$ 是分子的一项因子。
当 $x=1$ 时，$(1)^3 + 2(1)^2 (1) 2 = 1 + 2 + 1 2 = 0$。所以 $(x+1)$ 也是分子的一项因子。
因为 $(x1)$ 和 $(x+1)$ 都是分子因子，那么它们的乘积 $(x1)(x+1) = x^2 1$ 自然也是分子的因子。
所以，我们可以直接对分子进行分组分解：
$x^3 + 2x^2 x 2 = x^2(x+2) 1(x+2) = (x^2 1)(x+2)$
这样，原被积函数就变成了：
$frac{(x^2 1)(x+2)}{x^2 1}$
在 $x^2 1 eq 0$ 的情况下，我们可以约掉 $x^2 1$，得到 $x+2$。
无论哪种方法，我们都得到了被积函数化简后的结果：$x+2$。
第二步：进行积分运算
现在，我们的积分变成了：
$int (x + 2) dx$
这个积分就非常简单了，是两个基本函数的和的积分。我们可以分别积分：
$int x dx + int 2 dx$
对 $x$ 的积分：根据幂函数的积分公式 $int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（当 $n eq 1$ 时），这里 $n=1$，所以 $int x dx = frac{x^{1+1}}{1+1} = frac{x^2}{2}$。
对常数 $2$ 的积分：根据常数积分公式 $int k dx = kx + C$，这里 $k=2$，所以 $int 2 dx = 2x$。
第三步：合并结果并加上积分常数
将两部分的积分结果合并起来，别忘了加上积分常数 $C$（因为我们求的是不定积分）：
$frac{x^2}{2} + 2x + C$
总结一下整个过程的逻辑：
1. 识别被积函数形式： 是一个有理函数（多项式除以多项式）。
2. 检查分子分母次数关系： 分子次数高于分母次数。
3. 选择简化方法：
长除法将假分式转化为多项式与真分式的和。
或者尝试因式分解分子和分母，然后进行约分。
4. 执行简化： 在这个例子中，发现分子能被分母整除，直接约分得到一个简单多项式。
5. 对化简后的多项式进行积分： 这是基本积分规则的应用。
6. 添加积分常数： 不定积分的结果需要一个通用的常数项。
所以，这个不定积分的化简和计算过程就是先通过多项式除法（或者因式分解约分），把复杂的被积函数变成一个简单的多项式，然后再对这个多项式进行逐项积分。整个过程相当直接，一旦发现那个整除的关系，就迎刃而解了。
希望我这样讲，能让你更清楚这个过程的每一步是怎么来的，以及为什么这么做。数学有时候就是这样，一层一层剥开来，最后的发现会让你觉得很有成就感！如果还有哪里不太明白，随时可以再问我哈。
我们来分析一下这个积分：
$int frac{x^3 + 2x^2 x 2}{x^2 1} dx$
看到这个分数形式的被积函数，第一反应往往是：被积函数是不是可以直接积分？或者能不能化简一下？
第一步：审视被积函数——长除法还是因式分解？
被积函数是一个多项式除以另一个多项式。当分子次数大于或等于分母次数时，我们通常会考虑用长除法来简化它，把它变成一个多项式加上一个真分式（分子次数小于分母次数）。
分子： $x^3 + 2x^2 x 2$
分母： $x^2 1$
我们来做长除法：
```
x + 2
________________
x^21 | x^3 + 2x^2 x 2
(x^3 x)
________________
2x^2 2
(2x^2 2)
________________
0
```
长除法的结果告诉我们：
$frac{x^3 + 2x^2 x 2}{x^2 1} = x + 2$
这真是个好消息！分子恰好能被分母整除，而且余数为零。这意味着原积分可以被改写成一个非常简单的多项式积分。
另外一种思路（因式分解）： 如果你对因式分解比较敏感，也可以试试看能否分解分子。
分母 $x^2 1$ 是平方差公式，可以分解为 $(x1)(x+1)$。
看看分子 $x^3 + 2x^2 x 2$ 是否有 $x1$ 或 $x+1$ 作为因子。
当 $x=1$ 时，$1^3 + 2(1)^2 1 2 = 1 + 2 1 2 = 0$。所以 $(x1)$ 是分子的一项因子。
当 $x=1$ 时，$(1)^3 + 2(1)^2 (1) 2 = 1 + 2 + 1 2 = 0$。所以 $(x+1)$ 也是分子的一项因子。
因为 $(x1)$ 和 $(x+1)$ 都是分子因子，那么它们的乘积 $(x1)(x+1) = x^2 1$ 自然也是分子的因子。
所以，我们可以直接对分子进行分组分解：
$x^3 + 2x^2 x 2 = x^2(x+2) 1(x+2) = (x^2 1)(x+2)$
这样，原被积函数就变成了：
$frac{(x^2 1)(x+2)}{x^2 1}$
在 $x^2 1 eq 0$ 的情况下，我们可以约掉 $x^2 1$，得到 $x+2$。
无论哪种方法，我们都得到了被积函数化简后的结果：$x+2$。
第二步：进行积分运算
现在，我们的积分变成了：
$int (x + 2) dx$
这个积分就非常简单了，是两个基本函数的和的积分。我们可以分别积分：
$int x dx + int 2 dx$
对 $x$ 的积分：根据幂函数的积分公式 $int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（当 $n eq 1$ 时），这里 $n=1$，所以 $int x dx = frac{x^{1+1}}{1+1} = frac{x^2}{2}$。
对常数 $2$ 的积分：根据常数积分公式 $int k dx = kx + C$，这里 $k=2$，所以 $int 2 dx = 2x$。
第三步：合并结果并加上积分常数
将两部分的积分结果合并起来，别忘了加上积分常数 $C$（因为我们求的是不定积分）：
$frac{x^2}{2} + 2x + C$
总结一下整个过程的逻辑：
1. 识别被积函数形式： 是一个有理函数（多项式除以多项式）。
2. 检查分子分母次数关系： 分子次数高于分母次数。
3. 选择简化方法：
长除法将假分式转化为多项式与真分式的和。
或者尝试因式分解分子和分母，然后进行约分。
4. 执行简化： 在这个例子中，发现分子能被分母整除，直接约分得到一个简单多项式。
5. 对化简后的多项式进行积分： 这是基本积分规则的应用。
6. 添加积分常数： 不定积分的结果需要一个通用的常数项。
所以，这个不定积分的化简和计算过程就是先通过多项式除法（或者因式分解约分），把复杂的被积函数变成一个简单的多项式，然后再对这个多项式进行逐项积分。整个过程相当直接，一旦发现那个整除的关系，就迎刃而解了。
希望我这样讲，能让你更清楚这个过程的每一步是怎么来的，以及为什么这么做。数学有时候就是这样，一层一层剥开来，最后的发现会让你觉得很有成就感！如果还有哪里不太明白，随时可以再问我哈。
网友意见
分部积分之后用三角代换。
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