这道不定积分有没有简单一点的方法？
这道不定积分求导的过程确实可以再简化一下，我们可以试着从不同的角度来审视它，希望能找到更简洁的解法。
我们先来看看原积分：
$$ int frac{dx}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
第一眼看到 $sqrt{x^2 + 2x + 10}$，我们很容易想到配方。这通常是处理包含二次项根号积分的常用手段，可以将其转化为三角换元的基础。
第一步：配方
观察被积函数中的根号部分：$x^2 + 2x + 10$。
为了配方，我们关注前两项 $x^2 + 2x$。要使其成为完全平方，我们需要加上 $(2/2)^2 = 1^2 = 1$。
所以，我们可以写成：
$x^2 + 2x + 10 = (x^2 + 2x + 1) + 9 = (x+1)^2 + 3^2$
这样，原积分就变成了：
$$ int frac{dx}{sqrt{(x+1)^2 + 3^2}} $$
第二步：换元
现在根号的形式是 $sqrt{u^2 + a^2}$ 的标准形式，其中 $u = x+1$，$a = 3$。
这时候，常见的换元方法有两种：
三角换元： 设 $u = a an heta$。
在这里，我们设 $x+1 = 3 an heta$。
那么，$dx = 3 sec^2 heta d heta$。
根号部分 $sqrt{(x+1)^2 + 3^2}$ 就变成了 $sqrt{(3 an heta)^2 + 3^2} = sqrt{9 an^2 heta + 9} = sqrt{9( an^2 heta + 1)} = sqrt{9 sec^2 heta} = 3 |sec heta|$。
假设我们在取值范围使得 $sec heta > 0$（这可以通过对 $ heta$ 的范围做约定来实现），则根号变为 $3 sec heta$。
积分就变成了：
$$ int frac{3 sec^2 heta d heta}{3 sec heta} = int sec heta d heta $$
这是一个非常基础且常见的积分，其结果是 $ln|sec heta + an heta| + C$。
现在我们需要把 $ heta$ 换回到 $x$。
从 $x+1 = 3 an heta$，我们得到 $ an heta = frac{x+1}{3}$。
根据直角三角形，如果对边是 $x+1$，邻边是 $3$，那么斜边就是 $sqrt{(x+1)^2 + 3^2}$。
所以，$sec heta = frac{ ext{斜边}}{ ext{邻边}} = frac{sqrt{(x+1)^2 + 3^2}}{3}$。
将这些代回积分结果：
$$ ln left| frac{sqrt{(x+1)^2 + 3^2}}{3} + frac{x+1}{3} ight| + C $$
$$ ln left| frac{sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1}{3} ight| + C $$
利用对数的性质 $ln(a/b) = ln a ln b$，我们可以将常数 $ln 3$ 合并到积分常数 $C$ 中：
$$ ln |sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1| ln 3 + C $$
令 $C' = C ln 3$，最终结果是：
$$ ln |sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1| + C' $$
双曲函数换元： 另一种换元方式是利用双曲函数。对于 $sqrt{u^2 + a^2}$，我们可以设 $u = a sinh t$。
在这里，我们设 $x+1 = 3 sinh t$。
那么，$dx = 3 cosh t dt$。
根号部分 $sqrt{(x+1)^2 + 3^2}$ 就变成了 $sqrt{(3 sinh t)^2 + 3^2} = sqrt{9 sinh^2 t + 9} = sqrt{9(sinh^2 t + 1)} = sqrt{9 cosh^2 t} = 3 cosh t$ (因为 $cosh t ge 1 > 0$)。
积分就变成了：
$$ int frac{3 cosh t dt}{3 cosh t} = int dt = t + C $$
这个结果更直接！现在我们需要把 $t$ 换回到 $x$。
从 $x+1 = 3 sinh t$，我们得到 $sinh t = frac{x+1}{3}$。
反双曲正弦函数（arsinh）的定义是 $ ext{arsinh}(y) = ln(y + sqrt{y^2 + 1})$。
所以，$t = ext{arsinh}left(frac{x+1}{3} ight)$。
将此代入积分结果：
$$ ext{arsinh}left(frac{x+1}{3} ight) + C $$
我们也可以将 $ ext{arsinh}$ 用对数形式表示出来：
$$ lnleft(frac{x+1}{3} + sqrt{left(frac{x+1}{3} ight)^2 + 1} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1}{3} + sqrt{frac{(x+1)^2}{9} + 1} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1}{3} + sqrt{frac{(x+1)^2 + 9}{9}} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1}{3} + frac{sqrt{(x+1)^2 + 9}}{3} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 1 + 9}}{3} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}}{3} ight) + C $$
同样，将常数 $ln 3$ 合并到积分常数中：
$$ ln |x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}| + C' $$
这两种换元方法殊途同归，都得到了相同的结果。
第三步：检验（可选但推荐）
我们可以对最终结果 $ln |x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}| + C'$ 求导，看是否能回到原被积函数。
令 $F(x) = ln |x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}|$.
$$ F'(x) = frac{1}{x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}} cdot frac{d}{dx}(x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}) $$
$$ frac{d}{dx}(x+1) = 1 $$
$$ frac{d}{dx}(sqrt{x^2 + 2x + 10}) = frac{1}{2sqrt{x^2 + 2x + 10}} cdot frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 10) = frac{2x+2}{2sqrt{x^2 + 2x + 10}} = frac{x+1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
所以，
$$ frac{d}{dx}(x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}) = 1 + frac{x+1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} = frac{sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
将这个代回 $F'(x)$：
$$ F'(x) = frac{1}{x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}} cdot frac{sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
$$ F'(x) = frac{1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
这正是我们想要的结果。
更简洁的思考方向？
是否可以直接利用公式？
很多积分教材会直接给出形如 $int frac{dx}{sqrt{x^2 pm a^2}}$ 和 $int frac{dx}{sqrt{a^2 x^2}}$ 的积分公式。
对于 $int frac{du}{sqrt{u^2 + a^2}}$，结果是 $ln|u + sqrt{u^2 + a^2}| + C$ 或者 $ ext{arsinh}(u/a) + C$。
在我们完成配方得到 $int frac{dx}{sqrt{(x+1)^2 + 3^2}}$ 后，我们可以直接套用这个公式。
令 $u = x+1$，$du = dx$，$a = 3$。
套用公式 $int frac{du}{sqrt{u^2 + a^2}} = ln|u + sqrt{u^2 + a^2}| + C$，我们得到：
$$ ln|(x+1) + sqrt{(x+1)^2 + 3^2}| + C $$
$$ ln|x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 1 + 9}| + C $$
$$ ln|x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}| + C $$
这是最快最直接的方法，前提是你熟记了这个积分公式。
是否有更“巧妙”的代换？
有时候会遇到一些非标准换元，但对于这种标准的根号形式，配方+三角换元（或双曲换元）已经是相对“标准”和“简洁”的思路了。想要找到一个完全跳脱这些方法的“更简单”解法，可能会比较困难，或者说需要依赖特定的观察和技巧。
总结一下，最简洁的思路应该是：
1. 配方： 将根号内的二次表达式配方成 $(x+1)^2 + 3^2$。
2. 识别公式： 认识到积分形式是 $int frac{du}{sqrt{u^2 + a^2}}$ 的标准形式，其中 $u=x+1$，$a=3$。
3. 套用公式： 直接套用公式 $int frac{du}{sqrt{u^2 + a^2}} = ln|u + sqrt{u^2 + a^2}| + C$。
4. 代回原变量： 将 $u$ 代换回 $x+1$ 得到最终结果。
如果追求“少写步骤”的简洁，那么直接套用公式是最高效的。如果追求“理解过程”的清晰，那么配方后进行三角或双曲换元是比较严谨的。
希望这样的解释足够详细，也希望能帮助你看到这道积分的不同解决路径！
我们先来看看原积分：
$$ int frac{dx}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
第一眼看到 $sqrt{x^2 + 2x + 10}$，我们很容易想到配方。这通常是处理包含二次项根号积分的常用手段，可以将其转化为三角换元的基础。
第一步：配方
观察被积函数中的根号部分：$x^2 + 2x + 10$。
为了配方，我们关注前两项 $x^2 + 2x$。要使其成为完全平方，我们需要加上 $(2/2)^2 = 1^2 = 1$。
所以，我们可以写成：
$x^2 + 2x + 10 = (x^2 + 2x + 1) + 9 = (x+1)^2 + 3^2$
这样，原积分就变成了：
$$ int frac{dx}{sqrt{(x+1)^2 + 3^2}} $$
第二步：换元
现在根号的形式是 $sqrt{u^2 + a^2}$ 的标准形式，其中 $u = x+1$，$a = 3$。
这时候，常见的换元方法有两种：
三角换元： 设 $u = a an heta$。
在这里，我们设 $x+1 = 3 an heta$。
那么，$dx = 3 sec^2 heta d heta$。
根号部分 $sqrt{(x+1)^2 + 3^2}$ 就变成了 $sqrt{(3 an heta)^2 + 3^2} = sqrt{9 an^2 heta + 9} = sqrt{9( an^2 heta + 1)} = sqrt{9 sec^2 heta} = 3 |sec heta|$。
假设我们在取值范围使得 $sec heta > 0$（这可以通过对 $ heta$ 的范围做约定来实现），则根号变为 $3 sec heta$。
积分就变成了：
$$ int frac{3 sec^2 heta d heta}{3 sec heta} = int sec heta d heta $$
这是一个非常基础且常见的积分，其结果是 $ln|sec heta + an heta| + C$。
现在我们需要把 $ heta$ 换回到 $x$。
从 $x+1 = 3 an heta$，我们得到 $ an heta = frac{x+1}{3}$。
根据直角三角形，如果对边是 $x+1$，邻边是 $3$，那么斜边就是 $sqrt{(x+1)^2 + 3^2}$。
所以，$sec heta = frac{ ext{斜边}}{ ext{邻边}} = frac{sqrt{(x+1)^2 + 3^2}}{3}$。
将这些代回积分结果：
$$ ln left| frac{sqrt{(x+1)^2 + 3^2}}{3} + frac{x+1}{3} ight| + C $$
$$ ln left| frac{sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1}{3} ight| + C $$
利用对数的性质 $ln(a/b) = ln a ln b$，我们可以将常数 $ln 3$ 合并到积分常数 $C$ 中：
$$ ln |sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1| ln 3 + C $$
令 $C' = C ln 3$，最终结果是：
$$ ln |sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1| + C' $$
双曲函数换元： 另一种换元方式是利用双曲函数。对于 $sqrt{u^2 + a^2}$，我们可以设 $u = a sinh t$。
在这里，我们设 $x+1 = 3 sinh t$。
那么，$dx = 3 cosh t dt$。
根号部分 $sqrt{(x+1)^2 + 3^2}$ 就变成了 $sqrt{(3 sinh t)^2 + 3^2} = sqrt{9 sinh^2 t + 9} = sqrt{9(sinh^2 t + 1)} = sqrt{9 cosh^2 t} = 3 cosh t$ (因为 $cosh t ge 1 > 0$)。
积分就变成了：
$$ int frac{3 cosh t dt}{3 cosh t} = int dt = t + C $$
这个结果更直接！现在我们需要把 $t$ 换回到 $x$。
从 $x+1 = 3 sinh t$，我们得到 $sinh t = frac{x+1}{3}$。
反双曲正弦函数（arsinh）的定义是 $ ext{arsinh}(y) = ln(y + sqrt{y^2 + 1})$。
所以，$t = ext{arsinh}left(frac{x+1}{3} ight)$。
将此代入积分结果：
$$ ext{arsinh}left(frac{x+1}{3} ight) + C $$
我们也可以将 $ ext{arsinh}$ 用对数形式表示出来：
$$ lnleft(frac{x+1}{3} + sqrt{left(frac{x+1}{3} ight)^2 + 1} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1}{3} + sqrt{frac{(x+1)^2}{9} + 1} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1}{3} + sqrt{frac{(x+1)^2 + 9}{9}} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1}{3} + frac{sqrt{(x+1)^2 + 9}}{3} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 1 + 9}}{3} ight) + C $$
$$ lnleft(frac{x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}}{3} ight) + C $$
同样，将常数 $ln 3$ 合并到积分常数中：
$$ ln |x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}| + C' $$
这两种换元方法殊途同归，都得到了相同的结果。
第三步：检验（可选但推荐）
我们可以对最终结果 $ln |x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}| + C'$ 求导，看是否能回到原被积函数。
令 $F(x) = ln |x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}|$.
$$ F'(x) = frac{1}{x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}} cdot frac{d}{dx}(x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}) $$
$$ frac{d}{dx}(x+1) = 1 $$
$$ frac{d}{dx}(sqrt{x^2 + 2x + 10}) = frac{1}{2sqrt{x^2 + 2x + 10}} cdot frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 10) = frac{2x+2}{2sqrt{x^2 + 2x + 10}} = frac{x+1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
所以，
$$ frac{d}{dx}(x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}) = 1 + frac{x+1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} = frac{sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
将这个代回 $F'(x)$：
$$ F'(x) = frac{1}{x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}} cdot frac{sqrt{x^2 + 2x + 10} + x+1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
$$ F'(x) = frac{1}{sqrt{x^2 + 2x + 10}} $$
这正是我们想要的结果。
更简洁的思考方向？
是否可以直接利用公式？
很多积分教材会直接给出形如 $int frac{dx}{sqrt{x^2 pm a^2}}$ 和 $int frac{dx}{sqrt{a^2 x^2}}$ 的积分公式。
对于 $int frac{du}{sqrt{u^2 + a^2}}$，结果是 $ln|u + sqrt{u^2 + a^2}| + C$ 或者 $ ext{arsinh}(u/a) + C$。
在我们完成配方得到 $int frac{dx}{sqrt{(x+1)^2 + 3^2}}$ 后，我们可以直接套用这个公式。
令 $u = x+1$，$du = dx$，$a = 3$。
套用公式 $int frac{du}{sqrt{u^2 + a^2}} = ln|u + sqrt{u^2 + a^2}| + C$，我们得到：
$$ ln|(x+1) + sqrt{(x+1)^2 + 3^2}| + C $$
$$ ln|x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 1 + 9}| + C $$
$$ ln|x+1 + sqrt{x^2 + 2x + 10}| + C $$
这是最快最直接的方法，前提是你熟记了这个积分公式。
是否有更“巧妙”的代换？
有时候会遇到一些非标准换元，但对于这种标准的根号形式，配方+三角换元（或双曲换元）已经是相对“标准”和“简洁”的思路了。想要找到一个完全跳脱这些方法的“更简单”解法，可能会比较困难，或者说需要依赖特定的观察和技巧。
总结一下，最简洁的思路应该是：
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2. 识别公式： 认识到积分形式是 $int frac{du}{sqrt{u^2 + a^2}}$ 的标准形式，其中 $u=x+1$，$a=3$。
3. 套用公式： 直接套用公式 $int frac{du}{sqrt{u^2 + a^2}} = ln|u + sqrt{u^2 + a^2}| + C$。
4. 代回原变量： 将 $u$ 代换回 $x+1$ 得到最终结果。
如果追求“少写步骤”的简洁，那么直接套用公式是最高效的。如果追求“理解过程”的清晰，那么配方后进行三角或双曲换元是比较严谨的。
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