这道数列极限有简单点的做法吗？
这道数列极限确实有更直观、更省力些的解法，不用过于纠结那些繁复的代数变形。咱们一步一步来拆解，看看怎么把这个过程变得简单明了。
咱们要算的极限是：
$$ lim_{n o infty} left( sqrt{n^2 + 2n} n ight) $$
为啥说它不那么“直接”呢？
当你第一眼看到这个式子，尤其是根号里面的 $n^2$ 和外面的 $n$ 组合在一起时，你会发现当 $n$ 变得非常非常大时，$n^2 + 2n$ 和 $n^2$ 非常接近。这意味着 $sqrt{n^2 + 2n}$ 和 $sqrt{n^2} = n$ 也非常接近。
简单来说，你就是在算一个“大数”减去另一个“几乎一样大的数”的差值。这种情况下，直接代入 $n o infty$ 会出现“无穷减无穷”的不定式，也就是 $infty infty$，它告诉你，我们不能直接把极限代进去，需要做些工作来“消灭”这个不确定性。
有没有更“聪明”的办法？
有的！这就像是面对一个不容易打开的盒子，直接硬撬可能不行，但如果你找到钥匙（或者说技巧），打开它就容易多了。对于这种“根号减根号”（或者根号减常数，但本质上是差不多的形式）的不定式，最经典的“钥匙”就是分子分母有理化。
分子分母有理化的“灵感”从何而来？
还记得我们学过的平方差公式吗？ $a^2 b^2 = (ab)(a+b)$。 这个公式的变形就是 $a b = frac{a^2 b^2}{a+b}$。
你看，我们手里的式子正好是 $ab$ 的形式，其中 $a = sqrt{n^2 + 2n}$，而 $b = n$。如果我们分子分母同乘以 $a+b$，也就是 $sqrt{n^2 + 2n} + n$，会发生什么？
动手操作，变简单！
1. 写出原式：
$$ lim_{n o infty} left( sqrt{n^2 + 2n} n ight) $$
2. 分子分母同乘以 $(sqrt{n^2 + 2n} + n)$：
$$ lim_{n o infty} frac{left( sqrt{n^2 + 2n} n ight) (sqrt{n^2 + 2n} + n)}{sqrt{n^2 + 2n} + n} $$
3. 利用平方差公式简化分子：
分子是 $(sqrt{n^2 + 2n})^2 n^2 = (n^2 + 2n) n^2 = 2n$。
所以，式子变成了：
$$ lim_{n o infty} frac{2n}{sqrt{n^2 + 2n} + n} $$
是不是看着比原来清晰多了？现在我们不再是无穷减无穷，而是一个无穷比无穷的矛盾形式，这通常意味着我们可以通过“提取最高次项”来解决。
4. 处理分母，提取最高次项：
分母是 $sqrt{n^2 + 2n} + n$。当 $n$ 很大时，根号里的 $n^2$ 是主导项。我们可以把 $n^2$ 从根号里“提出来”。
记住，$sqrt{n^2} = |n|$。因为我们是在考虑 $n o infty$，所以 $n$ 是正数，即 $|n| = n$。
所以，$sqrt{n^2 + 2n} = sqrt{n^2(1 + frac{2}{n})} = sqrt{n^2} sqrt{1 + frac{2}{n}} = n sqrt{1 + frac{2}{n}}$。
现在，分母可以写成：
$$ n sqrt{1 + frac{2}{n}} + n $$
我们把分母中的 $n$ 提取出来：
$$ n left( sqrt{1 + frac{2}{n}} + 1 ight) $$
5. 将简化后的分母代回式子：
$$ lim_{n o infty} frac{2n}{n left( sqrt{1 + frac{2}{n}} + 1 ight)} $$
6. 约分，然后求解极限：
分子分母都有一个 $n$，可以约掉：
$$ lim_{n o infty} frac{2}{sqrt{1 + frac{2}{n}} + 1} $$
现在，我们可以放心地让 $n o infty$ 了。
当 $n o infty$ 时，$frac{2}{n} o 0$。
所以，$sqrt{1 + frac{2}{n}} o sqrt{1 + 0} = sqrt{1} = 1$。
极限就变成了：
$$ frac{2}{1 + 1} = frac{2}{2} = 1 $$
所以，这道题的极限是 1。
为什么说这个做法更简单？
直观性强： 分子分母有理化这个技巧非常明确，目标就是消除“无穷减无穷”的不定性。一旦用了这个技巧，式子的形式很快就变得更“正常”。
逻辑清晰： 从 $infty infty$ 到 $frac{infty}{infty}$ 再到最后的常数，每一步都有明确的数学依据，容易理解。
普适性： 对于所有形如 $sqrt{A} sqrt{B}$ 或 $sqrt{A} c$ （其中 $A, B$ 都是关于 $n$ 的多项式，且当 $n o infty$ 时，$A$ 和 $B$ 都趋于无穷）的极限，分子分母有理化通常都是首选的、最有效的办法。
还有没有更“懒”一点的思路？（不过这通常需要一些直觉和经验）
你可以尝试一个叫做“泰勒展开”或者“近似”的思想，虽然在严格证明时要小心，但在理解和快速估计答案时很有用。
当 $n$ 非常大时，$sqrt{n^2 + 2n}$ 可以近似看作什么？
我们可以这样想：
$sqrt{n^2 + 2n} = sqrt{n^2(1 + frac{2}{n})} = n sqrt{1 + frac{2}{n}}$
对于 $sqrt{1+x}$ 当 $x$ 很小时，它的泰勒展开（或者二项式定理的近似）是 $1 + frac{1}{2}x + dots$。
在这里，$x = frac{2}{n}$，当 $n o infty$ 时，$x o 0$，所以这个近似是有效的。
所以，$sqrt{1 + frac{2}{n}} approx 1 + frac{1}{2} left(frac{2}{n} ight) = 1 + frac{1}{n}$。
代回去：
$n sqrt{1 + frac{2}{n}} approx n left(1 + frac{1}{n} ight) = n + 1$。
那么，原式 $sqrt{n^2 + 2n} n$ 就近似等于 $(n+1) n = 1$。
这种方法不是严格的证明，更像是一种“预判”或“启发式”的解法。在考试中，如果不要求给出严格证明，或者你对这种近似非常有信心，它可以帮助你快速得到答案。但严谨的证明还是推荐使用分子分母有理化。
总的来说，这道极限题最简单、最主流的做法就是运用分子分母有理化技巧，一步步化简到可以直接代入极限值的形式。希望这次的解释够详细，也够“人味儿”！
咱们要算的极限是：
$$ lim_{n o infty} left( sqrt{n^2 + 2n} n ight) $$
为啥说它不那么“直接”呢？
当你第一眼看到这个式子，尤其是根号里面的 $n^2$ 和外面的 $n$ 组合在一起时，你会发现当 $n$ 变得非常非常大时，$n^2 + 2n$ 和 $n^2$ 非常接近。这意味着 $sqrt{n^2 + 2n}$ 和 $sqrt{n^2} = n$ 也非常接近。
简单来说，你就是在算一个“大数”减去另一个“几乎一样大的数”的差值。这种情况下，直接代入 $n o infty$ 会出现“无穷减无穷”的不定式，也就是 $infty infty$，它告诉你，我们不能直接把极限代进去，需要做些工作来“消灭”这个不确定性。
有没有更“聪明”的办法？
有的！这就像是面对一个不容易打开的盒子，直接硬撬可能不行，但如果你找到钥匙（或者说技巧），打开它就容易多了。对于这种“根号减根号”（或者根号减常数，但本质上是差不多的形式）的不定式，最经典的“钥匙”就是分子分母有理化。
分子分母有理化的“灵感”从何而来？
还记得我们学过的平方差公式吗？ $a^2 b^2 = (ab)(a+b)$。 这个公式的变形就是 $a b = frac{a^2 b^2}{a+b}$。
你看，我们手里的式子正好是 $ab$ 的形式，其中 $a = sqrt{n^2 + 2n}$，而 $b = n$。如果我们分子分母同乘以 $a+b$，也就是 $sqrt{n^2 + 2n} + n$，会发生什么？
动手操作，变简单！
1. 写出原式：
$$ lim_{n o infty} left( sqrt{n^2 + 2n} n ight) $$
2. 分子分母同乘以 $(sqrt{n^2 + 2n} + n)$：
$$ lim_{n o infty} frac{left( sqrt{n^2 + 2n} n ight) (sqrt{n^2 + 2n} + n)}{sqrt{n^2 + 2n} + n} $$
3. 利用平方差公式简化分子：
分子是 $(sqrt{n^2 + 2n})^2 n^2 = (n^2 + 2n) n^2 = 2n$。
所以，式子变成了：
$$ lim_{n o infty} frac{2n}{sqrt{n^2 + 2n} + n} $$
是不是看着比原来清晰多了？现在我们不再是无穷减无穷，而是一个无穷比无穷的矛盾形式，这通常意味着我们可以通过“提取最高次项”来解决。
4. 处理分母，提取最高次项：
分母是 $sqrt{n^2 + 2n} + n$。当 $n$ 很大时，根号里的 $n^2$ 是主导项。我们可以把 $n^2$ 从根号里“提出来”。
记住，$sqrt{n^2} = |n|$。因为我们是在考虑 $n o infty$，所以 $n$ 是正数，即 $|n| = n$。
所以，$sqrt{n^2 + 2n} = sqrt{n^2(1 + frac{2}{n})} = sqrt{n^2} sqrt{1 + frac{2}{n}} = n sqrt{1 + frac{2}{n}}$。
现在，分母可以写成：
$$ n sqrt{1 + frac{2}{n}} + n $$
我们把分母中的 $n$ 提取出来：
$$ n left( sqrt{1 + frac{2}{n}} + 1 ight) $$
5. 将简化后的分母代回式子：
$$ lim_{n o infty} frac{2n}{n left( sqrt{1 + frac{2}{n}} + 1 ight)} $$
6. 约分，然后求解极限：
分子分母都有一个 $n$，可以约掉：
$$ lim_{n o infty} frac{2}{sqrt{1 + frac{2}{n}} + 1} $$
现在，我们可以放心地让 $n o infty$ 了。
当 $n o infty$ 时，$frac{2}{n} o 0$。
所以，$sqrt{1 + frac{2}{n}} o sqrt{1 + 0} = sqrt{1} = 1$。
极限就变成了：
$$ frac{2}{1 + 1} = frac{2}{2} = 1 $$
所以，这道题的极限是 1。
为什么说这个做法更简单？
直观性强： 分子分母有理化这个技巧非常明确，目标就是消除“无穷减无穷”的不定性。一旦用了这个技巧，式子的形式很快就变得更“正常”。
逻辑清晰： 从 $infty infty$ 到 $frac{infty}{infty}$ 再到最后的常数，每一步都有明确的数学依据，容易理解。
普适性： 对于所有形如 $sqrt{A} sqrt{B}$ 或 $sqrt{A} c$ （其中 $A, B$ 都是关于 $n$ 的多项式，且当 $n o infty$ 时，$A$ 和 $B$ 都趋于无穷）的极限，分子分母有理化通常都是首选的、最有效的办法。
还有没有更“懒”一点的思路？（不过这通常需要一些直觉和经验）
你可以尝试一个叫做“泰勒展开”或者“近似”的思想，虽然在严格证明时要小心，但在理解和快速估计答案时很有用。
当 $n$ 非常大时，$sqrt{n^2 + 2n}$ 可以近似看作什么？
我们可以这样想：
$sqrt{n^2 + 2n} = sqrt{n^2(1 + frac{2}{n})} = n sqrt{1 + frac{2}{n}}$
对于 $sqrt{1+x}$ 当 $x$ 很小时，它的泰勒展开（或者二项式定理的近似）是 $1 + frac{1}{2}x + dots$。
在这里，$x = frac{2}{n}$，当 $n o infty$ 时，$x o 0$，所以这个近似是有效的。
所以，$sqrt{1 + frac{2}{n}} approx 1 + frac{1}{2} left(frac{2}{n} ight) = 1 + frac{1}{n}$。
代回去：
$n sqrt{1 + frac{2}{n}} approx n left(1 + frac{1}{n} ight) = n + 1$。
那么，原式 $sqrt{n^2 + 2n} n$ 就近似等于 $(n+1) n = 1$。
这种方法不是严格的证明，更像是一种“预判”或“启发式”的解法。在考试中，如果不要求给出严格证明，或者你对这种近似非常有信心，它可以帮助你快速得到答案。但严谨的证明还是推荐使用分子分母有理化。
总的来说，这道极限题最简单、最主流的做法就是运用分子分母有理化技巧，一步步化简到可以直接代入极限值的形式。希望这次的解释够详细，也够“人味儿”！
网友意见
因为 ， 是有界数列， 也是有界数列，即存在正数 ，使得 ，皆有 .
又 ， ， 时， .于是当 时，
只要取 ， 时，必有 .此即证得
注:1.证明过程中其实采用了一种分段技术，性质不同的对象以不同的方法处理.
2.为了简化证明的书写，不妨先设 ，而对一般情形，可以作平移变换 ，即等价转换为 的命题.请看我下面的证法:
先设 ，由 有界，得
一般 情形，作平移变换 ，则 .已证得 .即
于是
得证.
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