这道怎么求极限?
好的，咱们来聊聊这个极限问题。要说怎么求它，其实就是看当这个表达式里的那个数字（通常我们称它为变量，比如x或n）越来越接近某个特定值时，整个表达式的结果会怎么变。有时候它会趋向一个固定的数字，有时候它可能会无限变大（正无穷）或者无限变小（负无穷），还有些情况就比较复杂了，没法给个准信。
第一步：看清楚你的极限是什么样子的
这就像是要给医生看病，你得先把症状描述清楚。你的极限表达式是什么样的？是简单的多项式？还是分数？又或者是包含指数、对数、三角函数之类的？不同的形式，处理方法可能也会不一样。
第二步：试试直接代入（最简单也最直接）
很多时候，我们遇到的极限是很“听话”的。你只需要把那个要趋近的数字，直接代入到表达式里去算一下就行了。
比如，我们要算 $lim_{x o 2} (x^2 + 3x 1)$。这时候，我们直接把 $x=2$ 代进去：
$2^2 + 3(2) 1 = 4 + 6 1 = 9$
所以，这个极限就是9。
什么时候不能直接代入？
这时候，问题就来了。如果直接代入之后，出现了一些“不好惹”的情况，比如：
出现 $frac{0}{0}$ 的不定式： 这是最常见的“麻烦”。就像你试图除以零，但结果却是零除以零，这告诉你，直接代入已经没用了，需要想别的办法。
出现 $frac{非零数}{0}$ 的形式： 这通常意味着极限会趋向无穷大（正无穷或负无穷），具体是哪个方向，需要再分析一下。
出现 $infty infty$ 的不定式： 两个无穷大相减，结果说不清，得化简。
出现 $0 imes infty$ 的不定式： 一个趋近零，一个趋近无穷大，相乘结果不定。
出现 $1^infty$ 的不定式： 底数趋近1，指数趋近无穷大，这种也比较特殊。
出现 $0^0$ 的不定式： 底数趋近0，指数也趋近0，结果也不确定。
出现 $infty^0$ 的不定式： 和上面类似。
第三步：针对“麻烦”的情况，咱们得动点“脑筋”
如果直接代入不行，那咱们就得根据具体的不定式形式，采用一些“绝招”了。
1. 如果是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{非零数}{0}$ 的情况：
因式分解和约分（针对多项式或有理函数）： 这是最常用的办法。如果分子和分母都有公因式，可以把它们约掉，然后再试着代入。
比如，计算 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$。
直接代入是 $frac{1^2 1}{1 1} = frac{0}{0}$。
这时，我们可以把分子分解成 $(x1)(x+1)$，然后约掉 $(x1)$：
$lim_{x o 1} frac{(x1)(x+1)}{x 1} = lim_{x o 1} (x+1)$
现在再代入 $x=1$ 就得到 $1+1=2$。
利用重要极限（针对三角函数）： 有几个特别重要的极限，你得记牢，它们经常出现在三角函数相关的极限计算中。
$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{1 cos x}{x^2} = frac{1}{2}$
例如，计算 $lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{x}$。
直接代入是 $frac{sin(0)}{0} = frac{0}{0}$。
我们可以把表达式凑成重要极限的形式：
$lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{x} = lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{2x} imes 2$
令 $y = 2x$，当 $x o 0$ 时，$y o 0$。所以：
$lim_{y o 0} frac{sin y}{y} imes 2 = 1 imes 2 = 2$
有理化（如果表达式里有根号）： 如果表达式里有 $sqrt{a} sqrt{b}$ 这样的形式，可以乘以它的共轭量 $sqrt{a} + sqrt{b}$ 来有理化，看看能不能约分。
比如，计算 $lim_{x o 0} frac{sqrt{x+1} 1}{x}$。
直接代入是 $frac{sqrt{1} 1}{0} = frac{0}{0}$。
我们乘以共轭量 $(sqrt{x+1} + 1)$:
$lim_{x o 0} frac{sqrt{x+1} 1}{x} imes frac{sqrt{x+1} + 1}{sqrt{x+1} + 1}$
$= lim_{x o 0} frac{(x+1) 1}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
$= lim_{x o 0} frac{x}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
约掉 $x$ 后，代入 $x=0$：
$frac{1}{sqrt{0+1} + 1} = frac{1}{1 + 1} = frac{1}{2}$
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）： 如果你学过导数，洛必达法则是个强大的工具，专门对付 $frac{0}{0}$ 和 $frac{非零数}{0}$ 这类不定式。但记住，只能用于这两个不定式！
法则内容是：如果 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{非零数}{0}$ 型，那么 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$，前提是右边的极限存在。
我们上面那个例子 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$，用洛必达法则就是：
分子导数是 $2x$，分母导数是 $1$。
所以 $lim_{x o 1} frac{2x}{1} = frac{2(1)}{1} = 2$。结果一样！
2. 如果是 $infty infty$ 或 $0 imes infty$ 的情况：
通分： 如果是两个分式相减，可以先通分，化成一个分式，看看是不是能变成 $frac{0}{0}$ 的形式再处理。
移项或提取公因式： 尝试改变表达式结构，化为其他不定式形式。
转化为 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$： 对于 $0 imes infty$，可以写成 $frac{f(x)}{1/g(x)}$ 或者 $frac{1/g(x)}{f(x)}$，看哪个能转化为 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$，然后用洛必达法则。
比如，计算 $lim_{x o infty} x sin(frac{1}{x})$。
当 $x o infty$ 时，$frac{1}{x} o 0$，所以是 $infty imes sin(0) = infty imes 0$ 的不定式。
我们让 $y = frac{1}{x}$，当 $x o infty$ 时，$y o 0$。原式变成：
$lim_{y o 0} frac{1}{y} sin y = lim_{y o 0} frac{sin y}{y}$
这就是那个重要极限，结果是1。
3. 如果是 $1^infty$，$0^0$，$infty^0$ 的情况：
取对数（最常用的方法）： 对于这类指数形式的不定式，通常的方法是设 $y = f(x)^{g(x)}$，然后取自然对数：$ln y = g(x) ln f(x)$。计算 $lim_{x o a} ln y$，这个过程通常能把指数形式的不定式转化为 $0 imes infty$ 或其他可以处理的形式。最后，如果 $lim_{x o a} ln y = L$，那么原极限就是 $e^L$。
比如，计算 $lim_{x o infty} (1 + frac{1}{x})^x$。
这是 $1^infty$ 的不定式。设 $y = (1 + frac{1}{x})^x$。
取对数：$ln y = x ln(1 + frac{1}{x})$。
我们计算 $lim_{x o infty} x ln(1 + frac{1}{x})$。当 $x o infty$，这是 $infty imes ln(1) = infty imes 0$ 的不定式。
令 $t = frac{1}{x}$，当 $x o infty$， $t o 0$。原式变为：
$lim_{t o 0} frac{1}{t} ln(1 + t) = lim_{t o 0} frac{ln(1 + t)}{t}$
这是一个重要的极限，结果是1。
所以，$lim_{x o infty} ln y = 1$。
因此，原极限 $lim_{x o infty} (1 + frac{1}{x})^x = e^1 = e$。
第四步：检查无穷小量的“高低”
有时候，我们可能在一个表达式中同时有多个无穷小量或者无穷大量。这时候，我们要比较它们的“衰减速度”或者“增长速度”。
无穷小量的比较： 当 $x o 0$ 时，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都趋向于0，并且 $lim_{x o 0} frac{f(x)}{g(x)} = 0$，说明 $f(x)$ 比 $g(x)$ 衰减得更快，是更高阶的无穷小。在做加减法的时候，可以忽略更高阶的无穷小量。
无穷大量的比较： 当 $x o infty$ 时，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都趋向于无穷大，并且 $lim_{x o infty} frac{f(x)}{g(x)} = 0$，说明 $f(x)$ 比 $g(x)$ 增长得慢，是更低阶的无穷大。在做加减法的时候，可以忽略增长慢的（低阶的）无穷大量。
举个例子：
计算 $lim_{x o infty} frac{x^2 + e^x}{x^3 + ln x}$。
当 $x o infty$ 时，分子和分母都趋向于无穷大。
我们观察分子：$x^2$ 和 $e^x$ 都趋向无穷大，但 $e^x$ 增长得比 $x^2$ 快得多，所以 $e^x$ 是主导项。
我们观察分母：$x^3$ 和 $ln x$ 都趋向无穷大，但 $x^3$ 增长得比 $ln x$ 快得多，所以 $x^3$ 是主导项。
因此，这个极限的“主要矛盾”就是 $frac{e^x}{x^3}$。
我们知道 $e^x$ 的增长速度远远大于任何多项式，所以 $lim_{x o infty} frac{e^x}{x^3} = infty$。
总结一下：
求极限的关键在于：
1. 识别表达式类型： 是什么函数构成的？
2. 尝试直接代入： 这是第一步，也是最简单的情况。
3. 应对不定式： 如果出现 $frac{0}{0}$，$frac{infty}{infty}$ 等不定式，就要根据具体情况使用因式分解、约分、有理化、重要极限、洛必达法则、取对数等方法。
4. 理解无穷小/无穷大的比较： 有时候需要判断哪个增长/衰减得更快。
记住，多练习是掌握求极限的关键。遇到不同的题目，多尝试用不同的方法去解决，慢慢你就会找到感觉了！ 如果能把你的具体题目发出来，我也可以帮你分析一下怎么下手。
第一步：看清楚你的极限是什么样子的
这就像是要给医生看病，你得先把症状描述清楚。你的极限表达式是什么样的？是简单的多项式？还是分数？又或者是包含指数、对数、三角函数之类的？不同的形式，处理方法可能也会不一样。
第二步：试试直接代入（最简单也最直接）
很多时候，我们遇到的极限是很“听话”的。你只需要把那个要趋近的数字，直接代入到表达式里去算一下就行了。
比如，我们要算 $lim_{x o 2} (x^2 + 3x 1)$。这时候，我们直接把 $x=2$ 代进去：
$2^2 + 3(2) 1 = 4 + 6 1 = 9$
所以，这个极限就是9。
什么时候不能直接代入？
这时候，问题就来了。如果直接代入之后，出现了一些“不好惹”的情况，比如：
出现 $frac{0}{0}$ 的不定式： 这是最常见的“麻烦”。就像你试图除以零，但结果却是零除以零，这告诉你，直接代入已经没用了，需要想别的办法。
出现 $frac{非零数}{0}$ 的形式： 这通常意味着极限会趋向无穷大（正无穷或负无穷），具体是哪个方向，需要再分析一下。
出现 $infty infty$ 的不定式： 两个无穷大相减，结果说不清，得化简。
出现 $0 imes infty$ 的不定式： 一个趋近零，一个趋近无穷大，相乘结果不定。
出现 $1^infty$ 的不定式： 底数趋近1，指数趋近无穷大，这种也比较特殊。
出现 $0^0$ 的不定式： 底数趋近0，指数也趋近0，结果也不确定。
出现 $infty^0$ 的不定式： 和上面类似。
第三步：针对“麻烦”的情况，咱们得动点“脑筋”
如果直接代入不行，那咱们就得根据具体的不定式形式，采用一些“绝招”了。
1. 如果是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{非零数}{0}$ 的情况：
因式分解和约分（针对多项式或有理函数）： 这是最常用的办法。如果分子和分母都有公因式，可以把它们约掉，然后再试着代入。
比如，计算 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$。
直接代入是 $frac{1^2 1}{1 1} = frac{0}{0}$。
这时，我们可以把分子分解成 $(x1)(x+1)$，然后约掉 $(x1)$：
$lim_{x o 1} frac{(x1)(x+1)}{x 1} = lim_{x o 1} (x+1)$
现在再代入 $x=1$ 就得到 $1+1=2$。
利用重要极限（针对三角函数）： 有几个特别重要的极限，你得记牢，它们经常出现在三角函数相关的极限计算中。
$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{1 cos x}{x^2} = frac{1}{2}$
例如，计算 $lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{x}$。
直接代入是 $frac{sin(0)}{0} = frac{0}{0}$。
我们可以把表达式凑成重要极限的形式：
$lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{x} = lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{2x} imes 2$
令 $y = 2x$，当 $x o 0$ 时，$y o 0$。所以：
$lim_{y o 0} frac{sin y}{y} imes 2 = 1 imes 2 = 2$
有理化（如果表达式里有根号）： 如果表达式里有 $sqrt{a} sqrt{b}$ 这样的形式，可以乘以它的共轭量 $sqrt{a} + sqrt{b}$ 来有理化，看看能不能约分。
比如，计算 $lim_{x o 0} frac{sqrt{x+1} 1}{x}$。
直接代入是 $frac{sqrt{1} 1}{0} = frac{0}{0}$。
我们乘以共轭量 $(sqrt{x+1} + 1)$:
$lim_{x o 0} frac{sqrt{x+1} 1}{x} imes frac{sqrt{x+1} + 1}{sqrt{x+1} + 1}$
$= lim_{x o 0} frac{(x+1) 1}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
$= lim_{x o 0} frac{x}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
约掉 $x$ 后，代入 $x=0$：
$frac{1}{sqrt{0+1} + 1} = frac{1}{1 + 1} = frac{1}{2}$
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）： 如果你学过导数，洛必达法则是个强大的工具，专门对付 $frac{0}{0}$ 和 $frac{非零数}{0}$ 这类不定式。但记住，只能用于这两个不定式！
法则内容是：如果 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{非零数}{0}$ 型，那么 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$，前提是右边的极限存在。
我们上面那个例子 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$，用洛必达法则就是：
分子导数是 $2x$，分母导数是 $1$。
所以 $lim_{x o 1} frac{2x}{1} = frac{2(1)}{1} = 2$。结果一样！
2. 如果是 $infty infty$ 或 $0 imes infty$ 的情况：
通分： 如果是两个分式相减，可以先通分，化成一个分式，看看是不是能变成 $frac{0}{0}$ 的形式再处理。
移项或提取公因式： 尝试改变表达式结构，化为其他不定式形式。
转化为 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$： 对于 $0 imes infty$，可以写成 $frac{f(x)}{1/g(x)}$ 或者 $frac{1/g(x)}{f(x)}$，看哪个能转化为 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$，然后用洛必达法则。
比如，计算 $lim_{x o infty} x sin(frac{1}{x})$。
当 $x o infty$ 时，$frac{1}{x} o 0$，所以是 $infty imes sin(0) = infty imes 0$ 的不定式。
我们让 $y = frac{1}{x}$，当 $x o infty$ 时，$y o 0$。原式变成：
$lim_{y o 0} frac{1}{y} sin y = lim_{y o 0} frac{sin y}{y}$
这就是那个重要极限，结果是1。
3. 如果是 $1^infty$，$0^0$，$infty^0$ 的情况：
取对数（最常用的方法）： 对于这类指数形式的不定式，通常的方法是设 $y = f(x)^{g(x)}$，然后取自然对数：$ln y = g(x) ln f(x)$。计算 $lim_{x o a} ln y$，这个过程通常能把指数形式的不定式转化为 $0 imes infty$ 或其他可以处理的形式。最后，如果 $lim_{x o a} ln y = L$，那么原极限就是 $e^L$。
比如，计算 $lim_{x o infty} (1 + frac{1}{x})^x$。
这是 $1^infty$ 的不定式。设 $y = (1 + frac{1}{x})^x$。
取对数：$ln y = x ln(1 + frac{1}{x})$。
我们计算 $lim_{x o infty} x ln(1 + frac{1}{x})$。当 $x o infty$，这是 $infty imes ln(1) = infty imes 0$ 的不定式。
令 $t = frac{1}{x}$，当 $x o infty$， $t o 0$。原式变为：
$lim_{t o 0} frac{1}{t} ln(1 + t) = lim_{t o 0} frac{ln(1 + t)}{t}$
这是一个重要的极限，结果是1。
所以，$lim_{x o infty} ln y = 1$。
因此，原极限 $lim_{x o infty} (1 + frac{1}{x})^x = e^1 = e$。
第四步：检查无穷小量的“高低”
有时候，我们可能在一个表达式中同时有多个无穷小量或者无穷大量。这时候，我们要比较它们的“衰减速度”或者“增长速度”。
无穷小量的比较： 当 $x o 0$ 时，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都趋向于0，并且 $lim_{x o 0} frac{f(x)}{g(x)} = 0$，说明 $f(x)$ 比 $g(x)$ 衰减得更快，是更高阶的无穷小。在做加减法的时候，可以忽略更高阶的无穷小量。
无穷大量的比较： 当 $x o infty$ 时，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都趋向于无穷大，并且 $lim_{x o infty} frac{f(x)}{g(x)} = 0$，说明 $f(x)$ 比 $g(x)$ 增长得慢，是更低阶的无穷大。在做加减法的时候，可以忽略增长慢的（低阶的）无穷大量。
举个例子：
计算 $lim_{x o infty} frac{x^2 + e^x}{x^3 + ln x}$。
当 $x o infty$ 时，分子和分母都趋向于无穷大。
我们观察分子：$x^2$ 和 $e^x$ 都趋向无穷大，但 $e^x$ 增长得比 $x^2$ 快得多，所以 $e^x$ 是主导项。
我们观察分母：$x^3$ 和 $ln x$ 都趋向无穷大，但 $x^3$ 增长得比 $ln x$ 快得多，所以 $x^3$ 是主导项。
因此，这个极限的“主要矛盾”就是 $frac{e^x}{x^3}$。
我们知道 $e^x$ 的增长速度远远大于任何多项式，所以 $lim_{x o infty} frac{e^x}{x^3} = infty$。
总结一下：
求极限的关键在于：
1. 识别表达式类型： 是什么函数构成的？
2. 尝试直接代入： 这是第一步，也是最简单的情况。
3. 应对不定式： 如果出现 $frac{0}{0}$，$frac{infty}{infty}$ 等不定式，就要根据具体情况使用因式分解、约分、有理化、重要极限、洛必达法则、取对数等方法。
4. 理解无穷小/无穷大的比较： 有时候需要判断哪个增长/衰减得更快。
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网友意见
要用到辅助角公式
import 辅助角公式
所以
所以
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