请问各位大佬这道积分怎么求？
这道积分确实有点意思，我们来好好拆解一下，把它的每一步都弄清楚。
假设我们要计算的积分是 $int frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} dx$。
首先，看到分母是 $x^3 + 1$，这是一个三次多项式。一般遇到三次或更高次的多项式分母，我们会考虑用部分分式分解的方法来处理。
第一步：因式分解分母
分母是 $x^3 + 1$。这是一个立方和公式：$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 ab + b^2)$。
在这里，$a=x$，$b=1$。所以，
$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 x + 1)$。
第二步：进行部分分式分解
现在我们的积分变成了 $int frac{x^2 + 1}{(x+1)(x^2 x + 1)} dx$。
对于部分分式分解，我们将其写成如下形式：
$frac{x^2 + 1}{(x+1)(x^2 x + 1)} = frac{A}{x+1} + frac{Bx + C}{x^2 x + 1}$
这里的关键在于：
对于一次因式 $(x+1)$，对应的部分是 $frac{A}{x+1}$。
对于不可约的二次因式 $(x^2 x + 1)$，我们需要先判断它是否可约。判别式 $Delta = b^2 4ac = (1)^2 4(1)(1) = 1 4 = 3 < 0$。由于判别式小于零，所以 $x^2 x + 1$ 在实数范围内是不可约的，因此它对应的部分是 $frac{Bx + C}{x^2 x + 1}$。
现在，我们需要确定常数 $A$, $B$, $C$ 的值。我们将右边的式子通分：
$frac{A(x^2 x + 1) + (Bx + C)(x+1)}{(x+1)(x^2 x + 1)} = frac{Ax^2 Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C}{(x+1)(x^2 x + 1)}$
合并同类项：
$frac{(A+B)x^2 + (A+B+C)x + (A+C)}{(x+1)(x^2 x + 1)}$
现在，我们将分子与原函数的分子 $x^2 + 1$ 相比较。根据系数相等原则，我们可以得到一个方程组：
1. $x^2$ 的系数：$A + B = 1$
2. $x$ 的系数：$A + B + C = 0$
3. 常数项：$A + C = 1$
我们来解这个方程组：
从方程 (1) 和 (3)，我们可以得到：
$B = 1 A$
$C = 1 A$
将 $B$ 和 $C$ 代入方程 (2)：
$A + (1 A) + (1 A) = 0$
$A + 1 A + 1 A = 0$
$2 3A = 0$
$3A = 2$
$A = frac{2}{3}$
现在我们求出了 $A$，就可以求出 $B$ 和 $C$ 了：
$B = 1 A = 1 frac{2}{3} = frac{1}{3}$
$C = 1 A = 1 frac{2}{3} = frac{1}{3}$
所以，部分分式分解的结果是：
$frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} = frac{2/3}{x+1} + frac{(1/3)x + 1/3}{x^2 x + 1}$
$frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} = frac{2}{3(x+1)} + frac{x+1}{3(x^2 x + 1)}$
第三步：积分计算
现在我们将原积分拆分成两个部分的积分：
$int frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} dx = int frac{2}{3(x+1)} dx + int frac{x+1}{3(x^2 x + 1)} dx$
我们来分别计算这两个积分：
第一个积分： $int frac{2}{3(x+1)} dx$
这是一个基本积分形式 $int frac{k}{u} du = k ln|u| + C$。
$int frac{2}{3(x+1)} dx = frac{2}{3} int frac{1}{x+1} dx = frac{2}{3} ln|x+1| + C_1$
第二个积分： $int frac{x+1}{3(x^2 x + 1)} dx = frac{1}{3} int frac{x+1}{x^2 x + 1} dx$
这个积分稍微复杂一点，因为分母是二次项。我们的目标是把分子凑成导数的形式，以及常数项的形式。
分母 $x^2 x + 1$ 的导数是 $2x 1$。
我们要将分子 $x+1$ 凑成 $k(2x 1) + m$ 的形式。
$x+1 = k(2x 1) + m$
$x+1 = 2kx k + m$
比较系数：
$x$ 的系数：$1 = 2k implies k = frac{1}{2}$
常数项：$1 = k + m implies 1 = frac{1}{2} + m implies m = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$
所以，$x+1 = frac{1}{2}(2x 1) + frac{3}{2}$。
现在将积分拆开：
$frac{1}{3} int frac{x+1}{x^2 x + 1} dx = frac{1}{3} int frac{frac{1}{2}(2x 1) + frac{3}{2}}{x^2 x + 1} dx$
$= frac{1}{3} left( int frac{frac{1}{2}(2x 1)}{x^2 x + 1} dx + int frac{frac{3}{2}}{x^2 x + 1} dx ight)$
$= frac{1}{3} left( frac{1}{2} int frac{2x 1}{x^2 x + 1} dx + frac{3}{2} int frac{1}{x^2 x + 1} dx ight)$
计算第一个子积分： $frac{1}{2} int frac{2x 1}{x^2 x + 1} dx$
令 $u = x^2 x + 1$，则 $du = (2x 1) dx$。
$frac{1}{2} int frac{1}{u} du = frac{1}{2} ln|u| + C_2 = frac{1}{2} ln|x^2 x + 1| + C_2$。
由于 $x^2 x + 1$ 恒大于零（判别式小于零且最高次项系数为正），所以可以去掉绝对值：$frac{1}{2} ln(x^2 x + 1) + C_2$。
计算第二个子积分： $frac{3}{2} int frac{1}{x^2 x + 1} dx$
这一步需要将分母配方成平方差的形式，以便使用 $int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C$ 的公式。
配方：$x^2 x + 1 = (x frac{1}{2})^2 (frac{1}{2})^2 + 1 = (x frac{1}{2})^2 frac{1}{4} + 1 = (x frac{1}{2})^2 + frac{3}{4}$。
所以积分变成：
$frac{3}{2} int frac{1}{(x frac{1}{2})^2 + (frac{sqrt{3}}{2})^2} dx$
令 $u = x frac{1}{2}$，则 $du = dx$。$a = frac{sqrt{3}}{2}$。
$frac{3}{2} int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{3}{2} cdot frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C_3$
$= frac{3}{2} cdot frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} arctan(frac{x frac{1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}) + C_3$
$= frac{3}{2} cdot frac{2}{sqrt{3}} arctan(frac{frac{2x 1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}) + C_3$
$= frac{3}{sqrt{3}} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) + C_3$
$= sqrt{3} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) + C_3$
将第二个积分的结果合并：
$frac{1}{3} left( frac{1}{2} ln(x^2 x + 1) + sqrt{3} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) ight) + C_4$
$= frac{1}{6} ln(x^2 x + 1) + frac{sqrt{3}}{3} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) + C_4$
第四步：汇总结果
现在我们将两个主要部分的积分结果加起来：
$int frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} dx = (frac{2}{3} ln|x+1| + C_1) + (frac{1}{6} ln(x^2 x + 1) + frac{sqrt{3}}{3} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) + C_4)$
将常数合并 ($ ext{C} = C_1 + C_4$)：
$int frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} dx = frac{2}{3} ln|x+1| + frac{1}{6} ln(x^2 x + 1) + frac{sqrt{3}}{3} arctanleft(frac{2x 1}{sqrt{3}} ight) + C$
这就是最终的积分结果了。整个过程涉及到因式分解、部分分式分解、处理对数和反正切函数积分等几个步骤，每一步都需要细心。希望讲解够详细！
假设我们要计算的积分是 $int frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} dx$。
首先，看到分母是 $x^3 + 1$，这是一个三次多项式。一般遇到三次或更高次的多项式分母，我们会考虑用部分分式分解的方法来处理。
第一步：因式分解分母
分母是 $x^3 + 1$。这是一个立方和公式：$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 ab + b^2)$。
在这里，$a=x$，$b=1$。所以，
$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 x + 1)$。
第二步：进行部分分式分解
现在我们的积分变成了 $int frac{x^2 + 1}{(x+1)(x^2 x + 1)} dx$。
对于部分分式分解，我们将其写成如下形式：
$frac{x^2 + 1}{(x+1)(x^2 x + 1)} = frac{A}{x+1} + frac{Bx + C}{x^2 x + 1}$
这里的关键在于：
对于一次因式 $(x+1)$，对应的部分是 $frac{A}{x+1}$。
对于不可约的二次因式 $(x^2 x + 1)$，我们需要先判断它是否可约。判别式 $Delta = b^2 4ac = (1)^2 4(1)(1) = 1 4 = 3 < 0$。由于判别式小于零，所以 $x^2 x + 1$ 在实数范围内是不可约的，因此它对应的部分是 $frac{Bx + C}{x^2 x + 1}$。
现在，我们需要确定常数 $A$, $B$, $C$ 的值。我们将右边的式子通分：
$frac{A(x^2 x + 1) + (Bx + C)(x+1)}{(x+1)(x^2 x + 1)} = frac{Ax^2 Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C}{(x+1)(x^2 x + 1)}$
合并同类项：
$frac{(A+B)x^2 + (A+B+C)x + (A+C)}{(x+1)(x^2 x + 1)}$
现在，我们将分子与原函数的分子 $x^2 + 1$ 相比较。根据系数相等原则，我们可以得到一个方程组：
1. $x^2$ 的系数：$A + B = 1$
2. $x$ 的系数：$A + B + C = 0$
3. 常数项：$A + C = 1$
我们来解这个方程组：
从方程 (1) 和 (3)，我们可以得到：
$B = 1 A$
$C = 1 A$
将 $B$ 和 $C$ 代入方程 (2)：
$A + (1 A) + (1 A) = 0$
$A + 1 A + 1 A = 0$
$2 3A = 0$
$3A = 2$
$A = frac{2}{3}$
现在我们求出了 $A$，就可以求出 $B$ 和 $C$ 了：
$B = 1 A = 1 frac{2}{3} = frac{1}{3}$
$C = 1 A = 1 frac{2}{3} = frac{1}{3}$
所以，部分分式分解的结果是：
$frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} = frac{2/3}{x+1} + frac{(1/3)x + 1/3}{x^2 x + 1}$
$frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} = frac{2}{3(x+1)} + frac{x+1}{3(x^2 x + 1)}$
第三步：积分计算
现在我们将原积分拆分成两个部分的积分：
$int frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} dx = int frac{2}{3(x+1)} dx + int frac{x+1}{3(x^2 x + 1)} dx$
我们来分别计算这两个积分：
第一个积分： $int frac{2}{3(x+1)} dx$
这是一个基本积分形式 $int frac{k}{u} du = k ln|u| + C$。
$int frac{2}{3(x+1)} dx = frac{2}{3} int frac{1}{x+1} dx = frac{2}{3} ln|x+1| + C_1$
第二个积分： $int frac{x+1}{3(x^2 x + 1)} dx = frac{1}{3} int frac{x+1}{x^2 x + 1} dx$
这个积分稍微复杂一点，因为分母是二次项。我们的目标是把分子凑成导数的形式，以及常数项的形式。
分母 $x^2 x + 1$ 的导数是 $2x 1$。
我们要将分子 $x+1$ 凑成 $k(2x 1) + m$ 的形式。
$x+1 = k(2x 1) + m$
$x+1 = 2kx k + m$
比较系数：
$x$ 的系数：$1 = 2k implies k = frac{1}{2}$
常数项：$1 = k + m implies 1 = frac{1}{2} + m implies m = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$
所以，$x+1 = frac{1}{2}(2x 1) + frac{3}{2}$。
现在将积分拆开：
$frac{1}{3} int frac{x+1}{x^2 x + 1} dx = frac{1}{3} int frac{frac{1}{2}(2x 1) + frac{3}{2}}{x^2 x + 1} dx$
$= frac{1}{3} left( int frac{frac{1}{2}(2x 1)}{x^2 x + 1} dx + int frac{frac{3}{2}}{x^2 x + 1} dx ight)$
$= frac{1}{3} left( frac{1}{2} int frac{2x 1}{x^2 x + 1} dx + frac{3}{2} int frac{1}{x^2 x + 1} dx ight)$
计算第一个子积分： $frac{1}{2} int frac{2x 1}{x^2 x + 1} dx$
令 $u = x^2 x + 1$，则 $du = (2x 1) dx$。
$frac{1}{2} int frac{1}{u} du = frac{1}{2} ln|u| + C_2 = frac{1}{2} ln|x^2 x + 1| + C_2$。
由于 $x^2 x + 1$ 恒大于零（判别式小于零且最高次项系数为正），所以可以去掉绝对值：$frac{1}{2} ln(x^2 x + 1) + C_2$。
计算第二个子积分： $frac{3}{2} int frac{1}{x^2 x + 1} dx$
这一步需要将分母配方成平方差的形式，以便使用 $int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C$ 的公式。
配方：$x^2 x + 1 = (x frac{1}{2})^2 (frac{1}{2})^2 + 1 = (x frac{1}{2})^2 frac{1}{4} + 1 = (x frac{1}{2})^2 + frac{3}{4}$。
所以积分变成：
$frac{3}{2} int frac{1}{(x frac{1}{2})^2 + (frac{sqrt{3}}{2})^2} dx$
令 $u = x frac{1}{2}$，则 $du = dx$。$a = frac{sqrt{3}}{2}$。
$frac{3}{2} int frac{1}{u^2 + a^2} du = frac{3}{2} cdot frac{1}{a} arctan(frac{u}{a}) + C_3$
$= frac{3}{2} cdot frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} arctan(frac{x frac{1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}) + C_3$
$= frac{3}{2} cdot frac{2}{sqrt{3}} arctan(frac{frac{2x 1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}) + C_3$
$= frac{3}{sqrt{3}} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) + C_3$
$= sqrt{3} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) + C_3$
将第二个积分的结果合并：
$frac{1}{3} left( frac{1}{2} ln(x^2 x + 1) + sqrt{3} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) ight) + C_4$
$= frac{1}{6} ln(x^2 x + 1) + frac{sqrt{3}}{3} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) + C_4$
第四步：汇总结果
现在我们将两个主要部分的积分结果加起来：
$int frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} dx = (frac{2}{3} ln|x+1| + C_1) + (frac{1}{6} ln(x^2 x + 1) + frac{sqrt{3}}{3} arctan(frac{2x 1}{sqrt{3}}) + C_4)$
将常数合并 ($ ext{C} = C_1 + C_4$)：
$int frac{x^2 + 1}{x^3 + 1} dx = frac{2}{3} ln|x+1| + frac{1}{6} ln(x^2 x + 1) + frac{sqrt{3}}{3} arctanleft(frac{2x 1}{sqrt{3}} ight) + C$
这就是最终的积分结果了。整个过程涉及到因式分解、部分分式分解、处理对数和反正切函数积分等几个步骤，每一步都需要细心。希望讲解够详细！
网友意见
想出一个小循环法，可以解决这类双曲，三角换元问题：
dx=
=ln + （暂停，换方向
=
= -
再来一遍
=
=ln + -
= ln + +b，
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