大神们这道极限怎么求?
老兄，这极限问题，我来给你拆解拆解，包你弄懂！
你这题目，我看了一下，确实是有点意思。它涉及到几个关键点，咱们一步一步来。别急，也别怕，这东西就像剥洋葱一样，一层层拨开，里面自然就清楚了。
咱们先来看这个式子：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(3x) 3x}{x^3} $$
一眼看过去，这好像是个 “0/0”型不定式。为什么这么说呢？
当 $x o 0$ 时，分子 $sin(3x) 3x$ 的情况是这样的：我们知道 $sin(y)$ 当 $y$ 很小的时候，它约等于 $y$。所以 $sin(3x)$ 当 $x o 0$ 时，约等于 $3x$。那么 $sin(3x) 3x$ 就约等于 $3x 3x = 0$。
同时，分母 $x^3$ 当 $x o 0$ 时，它就是 $0^3 = 0$。
所以，我们确实遇到了一个 “0/0”型 的情况。对于这种不定式，我们有几个常用的法宝：
1. 洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)：这是最直接，也通常是最方便的工具，尤其适合导数运算比较熟练的朋友。
2. 泰勒展开 (Taylor Expansion)：这是更底层的原理，能够揭示函数在某点附近的“真实”行为，对于理解一些复杂的极限非常有帮助。
3. 等价无穷小代换 (Equivalent Infinitesimals)：这是泰勒展开的一种简化应用，在处理含有很多同类项的极限时特别有用。
咱们先从 洛必达法则 开始，因为它最直接。
方法一：洛必达法则
洛必达法则的条件是：如果 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型，并且 $lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或者也是不定式），那么 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$。
咱们一步一步来求导：
第一次求导：
分子 $f(x) = sin(3x) 3x$ 的导数是 $f'(x) = cos(3x) cdot 3 3 = 3cos(3x) 3$。
分母 $g(x) = x^3$ 的导数是 $g'(x) = 3x^2$。
现在新的极限是：
$$ lim_{x o 0} frac{3cos(3x) 3}{3x^2} $$
咱们再检查一下这个新的极限是什么型：
当 $x o 0$ 时，分子 $3cos(3x) 3$ 变成 $3cos(0) 3 = 3 cdot 1 3 = 0$。
分母 $3x^2$ 变成 $3 cdot 0^2 = 0$。
又是一个 “0/0”型！看来一次不够，咱们得继续用洛必达法则。
第二次求导：
分子 $3cos(3x) 3$ 的导数是 $3 cdot (sin(3x) cdot 3) 0 = 9sin(3x)$。
分母 $3x^2$ 的导数是 $3 cdot 2x = 6x$。
新的极限是：
$$ lim_{x o 0} frac{9sin(3x)}{6x} $$
再检查一下是什么型：
当 $x o 0$ 时，分子 $9sin(3x)$ 变成 $9sin(0) = 0$。
分母 $6x$ 变成 $6 cdot 0 = 0$。
又一个 “0/0”型！得继续。
第三次求导：
分子 $9sin(3x)$ 的导数是 $9 cdot (cos(3x) cdot 3) = 27cos(3x)$。
分母 $6x$ 的导数是 $6$。
现在新的极限是：
$$ lim_{x o 0} frac{27cos(3x)}{6} $$
这次情况不一样了。当 $x o 0$ 时：
分子 $27cos(3x)$ 变成 $27cos(0) = 27 cdot 1 = 27$。
分母是常数 $6$。
这不再是不定式了，可以直接代入求值：
$$ frac{27}{6} $$
咱们把这个分数化简一下，分子分母都除以 3：
$$ frac{9}{2} $$
所以，用洛必达法则，咱们得到的答案是 9/2。
方法二：泰勒展开
泰勒展开就像是把函数在 $x=0$ 附近“摊开”来看，尤其是当 $x$ 很小的时候，函数的行为可以用前面几项的组合来近似。
我们知道 $sin(y)$ 在 $y=0$ 附近的泰勒展开是：
$$ sin(y) = y frac{y^3}{3!} + frac{y^5}{5!} dots $$
在我们的题目里，$y = 3x$。所以，把 $3x$ 代入到 $sin(y)$ 的展开式中：
$$ sin(3x) = (3x) frac{(3x)^3}{3!} + frac{(3x)^5}{5!} dots $$
$$ sin(3x) = 3x frac{27x^3}{6} + frac{243x^5}{120} dots $$
$$ sin(3x) = 3x frac{9}{2}x^3 + frac{81}{40}x^5 dots $$
好了，现在咱们来看分子 $sin(3x) 3x$：
$$ sin(3x) 3x = left( 3x frac{9}{2}x^3 + frac{81}{40}x^5 dots ight) 3x $$
$$ sin(3x) 3x = frac{9}{2}x^3 + frac{81}{40}x^5 dots $$
现在把这个代回到原来的极限表达式中：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(3x) 3x}{x^3} = lim_{x o 0} frac{frac{9}{2}x^3 + frac{81}{40}x^5 dots}{x^3} $$
咱们把分子中的每一项都除以分母 $x^3$：
$$ lim_{x o 0} left( frac{frac{9}{2}x^3}{x^3} + frac{frac{81}{40}x^5}{x^3} dots ight) $$
$$ lim_{x o 0} left( frac{9}{2} + frac{81}{40}x^2 dots ight) $$
当 $x o 0$ 的时候，除了第一项 $frac{9}{2}$ 之外，所有包含 $x$ 的项（比如 $frac{81}{40}x^2$）都会趋近于 0。
所以，极限就是：
$$ frac{9}{2} $$
泰勒展开也得到了同样的结果，而且它也清晰地告诉我们，为什么需要三次求导：是因为 $sin(3x)$ 的泰勒展开里，和 $x$ 相关的第一项是 $3x$，第二项是 $x^3$，所以我们需要把 $x^3$ 的这个项“挖”出来。
方法三：等价无穷小代换
这个方法是基于 $sin(y) sim y$ 当 $y o 0$ 的一个引申。
如果我们只用 $sin(y) sim y$，那么 $sin(3x) sim 3x$。
分子 $sin(3x) 3x sim 3x 3x = 0$。
分母 $x^3$ 也是 0。
这样代换就回到了 $frac{0}{0}$ 型，而且什么信息都没得到。
我们需要更精确的等价代换，或者说需要知道当 $sin(y) y$ 是什么无穷小。
从泰勒展开 $sin(y) = y frac{y^3}{3!} + O(y^5)$，我们可以看到当 $y$ 很小时：
$sin(y) y approx frac{y^3}{6}$
把它应用到 $sin(3x) 3x$ 上，令 $y=3x$：
$sin(3x) 3x approx frac{(3x)^3}{6} = frac{27x^3}{6} = frac{9}{2}x^3$
现在，我们用这个更精确的等价代换来求极限：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(3x) 3x}{x^3} $$
把 $sin(3x) 3x$ 用 $frac{9}{2}x^3$ 来代替（当 $x o 0$ 时，它们是等价的）：
$$ lim_{x o 0} frac{frac{9}{2}x^3}{x^3} $$
约掉 $x^3$：
$$ lim_{x o 0} frac{9}{2} $$
结果就是：
$$ frac{9}{2} $$
总结一下
这三种方法都殊途同归，得到了 9/2 这个结果。
洛必达法则 像是一个直接的、反复应用的工具，适合对导数非常熟练的朋友。但有时候，如果导数计算很复杂，也容易出错。
泰勒展开 是最根本的，它揭示了函数在 $x=0$ 附近的性质，计算起来也是条理清晰，尤其是当你需要知道更精确的近似时。
等价无穷小代换 是一个效率很高的方法，但前提是你得知道更精确的等价关系，比如 $sin(y)y sim frac{y^3}{6}$。
对于这道题，如果是我做，我会选择洛必达法则，因为它直接，而且求导不复杂。或者说，如果我一眼就能想到 $sin(3x) 3x approx frac{(3x)^3}{6}$，也会用等价无穷小代换，速度会更快。
希望我这么一说，你能更清楚这个极限的来龙去脉了！遇到这种问题，别怕，一层层地剥开它就行！
你这题目，我看了一下，确实是有点意思。它涉及到几个关键点，咱们一步一步来。别急，也别怕，这东西就像剥洋葱一样，一层层拨开，里面自然就清楚了。
咱们先来看这个式子：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(3x) 3x}{x^3} $$
一眼看过去，这好像是个 “0/0”型不定式。为什么这么说呢？
当 $x o 0$ 时，分子 $sin(3x) 3x$ 的情况是这样的：我们知道 $sin(y)$ 当 $y$ 很小的时候，它约等于 $y$。所以 $sin(3x)$ 当 $x o 0$ 时，约等于 $3x$。那么 $sin(3x) 3x$ 就约等于 $3x 3x = 0$。
同时，分母 $x^3$ 当 $x o 0$ 时，它就是 $0^3 = 0$。
所以，我们确实遇到了一个 “0/0”型 的情况。对于这种不定式，我们有几个常用的法宝：
1. 洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)：这是最直接，也通常是最方便的工具，尤其适合导数运算比较熟练的朋友。
2. 泰勒展开 (Taylor Expansion)：这是更底层的原理，能够揭示函数在某点附近的“真实”行为，对于理解一些复杂的极限非常有帮助。
3. 等价无穷小代换 (Equivalent Infinitesimals)：这是泰勒展开的一种简化应用，在处理含有很多同类项的极限时特别有用。
咱们先从 洛必达法则 开始，因为它最直接。
方法一：洛必达法则
洛必达法则的条件是：如果 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型，并且 $lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或者也是不定式），那么 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$。
咱们一步一步来求导：
第一次求导：
分子 $f(x) = sin(3x) 3x$ 的导数是 $f'(x) = cos(3x) cdot 3 3 = 3cos(3x) 3$。
分母 $g(x) = x^3$ 的导数是 $g'(x) = 3x^2$。
现在新的极限是：
$$ lim_{x o 0} frac{3cos(3x) 3}{3x^2} $$
咱们再检查一下这个新的极限是什么型：
当 $x o 0$ 时，分子 $3cos(3x) 3$ 变成 $3cos(0) 3 = 3 cdot 1 3 = 0$。
分母 $3x^2$ 变成 $3 cdot 0^2 = 0$。
又是一个 “0/0”型！看来一次不够，咱们得继续用洛必达法则。
第二次求导：
分子 $3cos(3x) 3$ 的导数是 $3 cdot (sin(3x) cdot 3) 0 = 9sin(3x)$。
分母 $3x^2$ 的导数是 $3 cdot 2x = 6x$。
新的极限是：
$$ lim_{x o 0} frac{9sin(3x)}{6x} $$
再检查一下是什么型：
当 $x o 0$ 时，分子 $9sin(3x)$ 变成 $9sin(0) = 0$。
分母 $6x$ 变成 $6 cdot 0 = 0$。
又一个 “0/0”型！得继续。
第三次求导：
分子 $9sin(3x)$ 的导数是 $9 cdot (cos(3x) cdot 3) = 27cos(3x)$。
分母 $6x$ 的导数是 $6$。
现在新的极限是：
$$ lim_{x o 0} frac{27cos(3x)}{6} $$
这次情况不一样了。当 $x o 0$ 时：
分子 $27cos(3x)$ 变成 $27cos(0) = 27 cdot 1 = 27$。
分母是常数 $6$。
这不再是不定式了，可以直接代入求值：
$$ frac{27}{6} $$
咱们把这个分数化简一下，分子分母都除以 3：
$$ frac{9}{2} $$
所以，用洛必达法则，咱们得到的答案是 9/2。
方法二：泰勒展开
泰勒展开就像是把函数在 $x=0$ 附近“摊开”来看，尤其是当 $x$ 很小的时候，函数的行为可以用前面几项的组合来近似。
我们知道 $sin(y)$ 在 $y=0$ 附近的泰勒展开是：
$$ sin(y) = y frac{y^3}{3!} + frac{y^5}{5!} dots $$
在我们的题目里，$y = 3x$。所以，把 $3x$ 代入到 $sin(y)$ 的展开式中：
$$ sin(3x) = (3x) frac{(3x)^3}{3!} + frac{(3x)^5}{5!} dots $$
$$ sin(3x) = 3x frac{27x^3}{6} + frac{243x^5}{120} dots $$
$$ sin(3x) = 3x frac{9}{2}x^3 + frac{81}{40}x^5 dots $$
好了，现在咱们来看分子 $sin(3x) 3x$：
$$ sin(3x) 3x = left( 3x frac{9}{2}x^3 + frac{81}{40}x^5 dots ight) 3x $$
$$ sin(3x) 3x = frac{9}{2}x^3 + frac{81}{40}x^5 dots $$
现在把这个代回到原来的极限表达式中：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(3x) 3x}{x^3} = lim_{x o 0} frac{frac{9}{2}x^3 + frac{81}{40}x^5 dots}{x^3} $$
咱们把分子中的每一项都除以分母 $x^3$：
$$ lim_{x o 0} left( frac{frac{9}{2}x^3}{x^3} + frac{frac{81}{40}x^5}{x^3} dots ight) $$
$$ lim_{x o 0} left( frac{9}{2} + frac{81}{40}x^2 dots ight) $$
当 $x o 0$ 的时候，除了第一项 $frac{9}{2}$ 之外，所有包含 $x$ 的项（比如 $frac{81}{40}x^2$）都会趋近于 0。
所以，极限就是：
$$ frac{9}{2} $$
泰勒展开也得到了同样的结果，而且它也清晰地告诉我们，为什么需要三次求导：是因为 $sin(3x)$ 的泰勒展开里，和 $x$ 相关的第一项是 $3x$，第二项是 $x^3$，所以我们需要把 $x^3$ 的这个项“挖”出来。
方法三：等价无穷小代换
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分子 $sin(3x) 3x sim 3x 3x = 0$。
分母 $x^3$ 也是 0。
这样代换就回到了 $frac{0}{0}$ 型，而且什么信息都没得到。
我们需要更精确的等价代换，或者说需要知道当 $sin(y) y$ 是什么无穷小。
从泰勒展开 $sin(y) = y frac{y^3}{3!} + O(y^5)$，我们可以看到当 $y$ 很小时：
$sin(y) y approx frac{y^3}{6}$
把它应用到 $sin(3x) 3x$ 上，令 $y=3x$：
$sin(3x) 3x approx frac{(3x)^3}{6} = frac{27x^3}{6} = frac{9}{2}x^3$
现在，我们用这个更精确的等价代换来求极限：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(3x) 3x}{x^3} $$
把 $sin(3x) 3x$ 用 $frac{9}{2}x^3$ 来代替（当 $x o 0$ 时，它们是等价的）：
$$ lim_{x o 0} frac{frac{9}{2}x^3}{x^3} $$
约掉 $x^3$：
$$ lim_{x o 0} frac{9}{2} $$
结果就是：
$$ frac{9}{2} $$
总结一下
这三种方法都殊途同归，得到了 9/2 这个结果。
洛必达法则 像是一个直接的、反复应用的工具，适合对导数非常熟练的朋友。但有时候，如果导数计算很复杂，也容易出错。
泰勒展开 是最根本的，它揭示了函数在 $x=0$ 附近的性质，计算起来也是条理清晰，尤其是当你需要知道更精确的近似时。
等价无穷小代换 是一个效率很高的方法，但前提是你得知道更精确的等价关系，比如 $sin(y)y sim frac{y^3}{6}$。
对于这道题，如果是我做，我会选择洛必达法则，因为它直接，而且求导不复杂。或者说，如果我一眼就能想到 $sin(3x) 3x approx frac{(3x)^3}{6}$，也会用等价无穷小代换，速度会更快。
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