这道积分题如何计算？
这道积分题，咱们一步步来把它啃下来，保证说得明明白白，让你一看就懂！
咱们要算的是这个积分： ∫ (x² + 3x + 2) / (x² 1) dx
看到这个分数形式的积分，咱们第一反应就是，分母是不是可以化简一下？
第一步：化简分母
分母 `x² 1` 是一个平方差公式，可以写成 `(x 1)(x + 1)`。
所以，咱们的积分就变成了： ∫ (x² + 3x + 2) / [(x 1)(x + 1)] dx
第二步：处理“假分式”
这时候咱们再仔细看看被积函数。分子 `x² + 3x + 2` 的次数（2次）和分母 `x² 1` 的次数（2次）是一样的。当分子次数大于等于分母次数的时候，咱们得先做一下“长除法”或者“凑项法”，把这个“假分式”变成一个多项式加上一个真分式（分子次数小于分母次数）。
这里咱们用“凑项法”更方便一些：
分子 `x² + 3x + 2` 可以写成 `(x² 1) + 3x + 3`。
为什么这么写呢？因为我们想把分母 `x² 1` “抠”出来。
所以，原被积函数可以写成：
[(x² 1) + 3x + 3] / (x² 1)
= (x² 1) / (x² 1) + (3x + 3) / (x² 1)
= 1 + (3x + 3) / (x² 1)
现在，咱们的积分就变成了： ∫ [1 + (3x + 3) / (x² 1)] dx
这个就容易多了！可以拆成两个积分：
∫ 1 dx + ∫ (3x + 3) / (x² 1) dx
第一个积分 ∫ 1 dx 显而易见是 `x`。
第三步：分部积分法（或者叫裂项法）处理真分式
现在咱们关注第二个积分： ∫ (3x + 3) / (x² 1) dx
分母是 `(x 1)(x + 1)`，这是两个一次式的乘积。遇到这种情况，最常用的方法就是“分部积分法”，也叫“裂项法”，把这个真分式拆成两个更简单的分数。
我们假设：
(3x + 3) / [(x 1)(x + 1)] = A / (x 1) + B / (x + 1)
为了求出 A 和 B，咱们把右边通分：
A / (x 1) + B / (x + 1) = [A(x + 1) + B(x 1)] / [(x 1)(x + 1)]
= (Ax + A + Bx B) / [(x 1)(x + 1)]
= [(A + B)x + (A B)] / [(x 1)(x + 1)]
现在，咱们让分子相等：
3x + 3 = (A + B)x + (A B)
通过比较等式两边同类项的系数，我们可以得到一个方程组：
1. A + B = 3 (x 的系数)
2. A B = 3 (常数项)
咱们来解这个方程组：
将两个方程相加：(A + B) + (A B) = 3 + 3 => 2A = 6 => A = 3
将 A = 3 代入第一个方程：3 + B = 3 => B = 0
等等！这里出了点小问题，A=3, B=0 好像不对劲。让我们重新检查一下裂项和求解的过程。
重新检查裂项法：
(3x + 3) / [(x 1)(x + 1)] = A / (x 1) + B / (x + 1)
等式两边同乘以 `(x 1)(x + 1)`：
3x + 3 = A(x + 1) + B(x 1)
这里有两种方法求解 A 和 B：
方法一：代入特殊值（通常更快捷）
令 x = 1：
3(1) + 3 = A(1 + 1) + B(1 1)
6 = A(2) + B(0)
6 = 2A
A = 3
令 x = 1：
3(1) + 3 = A(1 + 1) + B(1 1)
3 + 3 = A(0) + B(2)
0 = 2B
B = 0
啊哈！看来刚才裂项后的系数比较是没错的，但是 B=0 这个结果有点反常，咱们再检查一下原式和裂项本身。
（停顿思考一下，是不是哪儿写错了？）
原式是 `(3x + 3) / (x² 1)`。
裂项是 `A / (x 1) + B / (x + 1)`。
分子是 `A(x + 1) + B(x 1)`。
代入 x = 1: `3(1) + 3 = A(2)` => `6 = 2A` => `A = 3`。
代入 x = 1: `3(1) + 3 = B(2)` => `0 = 2B` => `B = 0`。
好像是 B 真的等于 0... 这意味着 `(3x + 3) / (x² 1)` 可以直接简化成 `3 / (x 1)` 吗？
让我们验证一下：
`3 / (x 1) = 3(x + 1) / [(x 1)(x + 1)] = (3x + 3) / (x² 1)`。
太棒了！原来这一步的分子 `3x + 3` 恰好能被 `x+1` 整除，而且是 `3(x+1)`。
所以，`(3x + 3) / (x² 1) = [3(x + 1)] / [(x 1)(x + 1)]`。
在 `x ≠ 1` 的情况下，可以消去 `(x + 1)`，得到 `3 / (x 1)`。
这就大大简化了我们的计算！
也就是说，第二个积分： ∫ (3x + 3) / (x² 1) dx = ∫ 3 / (x 1) dx
第四步：计算剩余积分
现在咱们的积分已经变成了：
∫ 1 dx + ∫ 3 / (x 1) dx
第一个积分：∫ 1 dx = x
第二个积分：∫ 3 / (x 1) dx
这很简单，是一个标准形式的积分。让 `u = x 1`，那么 `du = dx`。
∫ 3 / u du = 3 ∫ 1 / u du = 3 ln|u|
将 u 换回 x 1，就是 3 ln|x 1|。
第五步：合并结果并加上积分常数
最后，我们将所有部分加起来，别忘了加上那个神秘的积分常数 C！
原积分 ∫ (x² + 3x + 2) / (x² 1) dx
= ∫ 1 dx + ∫ 3 / (x 1) dx
= x + 3 ln|x 1| + C
最终答案： x + 3 ln|x 1| + C
总结一下整个过程，咱们做了几件事：
1. 化简分母：把 `x² 1` 拆成 `(x 1)(x + 1)`。
2. 处理假分式：因为分子次数不低于分母次数，所以先进行“凑项法”（或者长除法），得到 `1 + (3x + 3) / (x² 1)`。
3. 裂项（或者直接化简）：注意到 `(3x + 3) / (x² 1)` 可以化简为 `3 / (x 1)`，这直接省去了裂项求系数的过程，大大简化了后续计算。
4. 积分计算：分别计算 `∫ 1 dx` 和 `∫ 3 / (x 1) dx`。
5. 合并结果：将所有部分相加，并加上积分常数 C。
希望这个详细的解释，能让你把这道题吃透！如果还有哪里觉得不够清楚，随时可以再问。
咱们要算的是这个积分： ∫ (x² + 3x + 2) / (x² 1) dx
看到这个分数形式的积分，咱们第一反应就是，分母是不是可以化简一下？
第一步：化简分母
分母 `x² 1` 是一个平方差公式，可以写成 `(x 1)(x + 1)`。
所以，咱们的积分就变成了： ∫ (x² + 3x + 2) / [(x 1)(x + 1)] dx
第二步：处理“假分式”
这时候咱们再仔细看看被积函数。分子 `x² + 3x + 2` 的次数（2次）和分母 `x² 1` 的次数（2次）是一样的。当分子次数大于等于分母次数的时候，咱们得先做一下“长除法”或者“凑项法”，把这个“假分式”变成一个多项式加上一个真分式（分子次数小于分母次数）。
这里咱们用“凑项法”更方便一些：
分子 `x² + 3x + 2` 可以写成 `(x² 1) + 3x + 3`。
为什么这么写呢？因为我们想把分母 `x² 1` “抠”出来。
所以，原被积函数可以写成：
[(x² 1) + 3x + 3] / (x² 1)
= (x² 1) / (x² 1) + (3x + 3) / (x² 1)
= 1 + (3x + 3) / (x² 1)
现在，咱们的积分就变成了： ∫ [1 + (3x + 3) / (x² 1)] dx
这个就容易多了！可以拆成两个积分：
∫ 1 dx + ∫ (3x + 3) / (x² 1) dx
第一个积分 ∫ 1 dx 显而易见是 `x`。
第三步：分部积分法（或者叫裂项法）处理真分式
现在咱们关注第二个积分： ∫ (3x + 3) / (x² 1) dx
分母是 `(x 1)(x + 1)`，这是两个一次式的乘积。遇到这种情况，最常用的方法就是“分部积分法”，也叫“裂项法”，把这个真分式拆成两个更简单的分数。
我们假设：
(3x + 3) / [(x 1)(x + 1)] = A / (x 1) + B / (x + 1)
为了求出 A 和 B，咱们把右边通分：
A / (x 1) + B / (x + 1) = [A(x + 1) + B(x 1)] / [(x 1)(x + 1)]
= (Ax + A + Bx B) / [(x 1)(x + 1)]
= [(A + B)x + (A B)] / [(x 1)(x + 1)]
现在，咱们让分子相等：
3x + 3 = (A + B)x + (A B)
通过比较等式两边同类项的系数，我们可以得到一个方程组：
1. A + B = 3 (x 的系数)
2. A B = 3 (常数项)
咱们来解这个方程组：
将两个方程相加：(A + B) + (A B) = 3 + 3 => 2A = 6 => A = 3
将 A = 3 代入第一个方程：3 + B = 3 => B = 0
等等！这里出了点小问题，A=3, B=0 好像不对劲。让我们重新检查一下裂项和求解的过程。
重新检查裂项法：
(3x + 3) / [(x 1)(x + 1)] = A / (x 1) + B / (x + 1)
等式两边同乘以 `(x 1)(x + 1)`：
3x + 3 = A(x + 1) + B(x 1)
这里有两种方法求解 A 和 B：
方法一：代入特殊值（通常更快捷）
令 x = 1：
3(1) + 3 = A(1 + 1) + B(1 1)
6 = A(2) + B(0)
6 = 2A
A = 3
令 x = 1：
3(1) + 3 = A(1 + 1) + B(1 1)
3 + 3 = A(0) + B(2)
0 = 2B
B = 0
啊哈！看来刚才裂项后的系数比较是没错的，但是 B=0 这个结果有点反常，咱们再检查一下原式和裂项本身。
（停顿思考一下，是不是哪儿写错了？）
原式是 `(3x + 3) / (x² 1)`。
裂项是 `A / (x 1) + B / (x + 1)`。
分子是 `A(x + 1) + B(x 1)`。
代入 x = 1: `3(1) + 3 = A(2)` => `6 = 2A` => `A = 3`。
代入 x = 1: `3(1) + 3 = B(2)` => `0 = 2B` => `B = 0`。
好像是 B 真的等于 0... 这意味着 `(3x + 3) / (x² 1)` 可以直接简化成 `3 / (x 1)` 吗？
让我们验证一下：
`3 / (x 1) = 3(x + 1) / [(x 1)(x + 1)] = (3x + 3) / (x² 1)`。
太棒了！原来这一步的分子 `3x + 3` 恰好能被 `x+1` 整除，而且是 `3(x+1)`。
所以，`(3x + 3) / (x² 1) = [3(x + 1)] / [(x 1)(x + 1)]`。
在 `x ≠ 1` 的情况下，可以消去 `(x + 1)`，得到 `3 / (x 1)`。
这就大大简化了我们的计算！
也就是说，第二个积分： ∫ (3x + 3) / (x² 1) dx = ∫ 3 / (x 1) dx
第四步：计算剩余积分
现在咱们的积分已经变成了：
∫ 1 dx + ∫ 3 / (x 1) dx
第一个积分：∫ 1 dx = x
第二个积分：∫ 3 / (x 1) dx
这很简单，是一个标准形式的积分。让 `u = x 1`，那么 `du = dx`。
∫ 3 / u du = 3 ∫ 1 / u du = 3 ln|u|
将 u 换回 x 1，就是 3 ln|x 1|。
第五步：合并结果并加上积分常数
最后，我们将所有部分加起来，别忘了加上那个神秘的积分常数 C！
原积分 ∫ (x² + 3x + 2) / (x² 1) dx
= ∫ 1 dx + ∫ 3 / (x 1) dx
= x + 3 ln|x 1| + C
最终答案： x + 3 ln|x 1| + C
总结一下整个过程，咱们做了几件事：
1. 化简分母：把 `x² 1` 拆成 `(x 1)(x + 1)`。
2. 处理假分式：因为分子次数不低于分母次数，所以先进行“凑项法”（或者长除法），得到 `1 + (3x + 3) / (x² 1)`。
3. 裂项（或者直接化简）：注意到 `(3x + 3) / (x² 1)` 可以化简为 `3 / (x 1)`，这直接省去了裂项求系数的过程，大大简化了后续计算。
4. 积分计算：分别计算 `∫ 1 dx` 和 `∫ 3 / (x 1) dx`。
5. 合并结果：将所有部分相加，并加上积分常数 C。
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