这种三角函数不定积分的题怎么做?
写这篇文章的目的，是想和大家聊聊三角函数不定积分这块内容。我发现很多同学在遇到这类题目时，会觉得无从下手，或者即使动手去算，也容易出现这样那样的错误。今天呢，就想结合我自己的学习体会，给大家梳理一下这类问题的思路和常见解法，希望能对大家有所帮助。
咱们先来看看这类题目通常长什么样子。最基本的可能就是像 ∫sin(x) dx 这样，这是最基础的，中学就接触过了，结果是 cos(x) + C。再复杂一点，可能会遇到 ∫cos²(x) dx，或者 ∫tan(x) dx，甚至 ∫sin(x)cos(x) dx，还有 ∫sin(2x) dx 这种带复合函数的。各种组合都有可能出现，所以掌握一套系统的方法很重要。
核心思想：化繁为简，回归基本积分公式
其实，三角函数不定积分的核心思路，就是 化繁为简，最终回归到我们已经熟知的基本积分公式。我们知道的那些基本公式，比如 ∫sin(x) dx = cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫sec²(x) dx = tan(x) + C 等等，是我们的“弹药库”。遇到复杂的题目，就是要想办法把它们“加工”成我们能用弹药库里武器解决的形式。
常用“加工”手段：
1. 降幂公式：这是处理高次幂三角函数最常用的方法。
比如，遇到 ∫cos²(x) dx，我们不能直接积分。这时候就要想起三角函数的降幂公式：
cos²(x) = (1 + cos(2x)) / 2
这样一来，原积分 ∫cos²(x) dx 就变成了 ∫(1/2 + 1/2 cos(2x)) dx。这个就容易多了，可以拆成两个基本积分：∫(1/2) dx + ∫(1/2 cos(2x)) dx。
前一个积分是 (1/2)x。
后一个积分 ∫(1/2 cos(2x)) dx，我们可以用换元法，令 u = 2x，则 du = 2 dx，dx = du/2。积分就变成 ∫(1/2 cos(u)) (du/2) = ∫(1/4 cos(u)) du = (1/4)sin(u) = (1/4)sin(2x)。
所以，∫cos²(x) dx = (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C。
同理，对于 sin²(x)，我们用降幂公式：
sin²(x) = (1 cos(2x)) / 2
处理 tan²(x) 怎么办？这时候可以利用三角恒等式：
tan²(x) = sec²(x) 1
那么 ∫tan²(x) dx 就变成了 ∫(sec²(x) 1) dx = ∫sec²(x) dx ∫1 dx = tan(x) x + C。
降幂公式的使用频率非常高，遇到 sinⁿ(x) 或 cosⁿ(x)（n ≥ 2）时，一定要首先考虑这个。
2. 三角恒等式/诱导公式：这是调整三角函数“形态”的利器。
积化和差/和差化积： 当出现两个三角函数乘积的形式时，比如 ∫sin(x)cos(2x) dx，直接积分很麻烦。这时候就可以考虑积化和差公式：
sin(A)cos(B) = 1/2 [sin(A+B) + sin(AB)]
所以，sin(x)cos(2x) = 1/2 [sin(x+2x) + sin(x2x)] = 1/2 [sin(3x) + sin(x)] = 1/2 [sin(3x) sin(x)]
积分就变成了 ∫1/2 [sin(3x) sin(x)] dx = 1/2 ∫sin(3x) dx 1/2 ∫sin(x) dx。
∫sin(3x) dx 可以通过换元 u = 3x 来算，结果是 (1/3)cos(3x)。
所以，∫sin(x)cos(2x) dx = 1/2 [(1/3)cos(3x)] 1/2 [cos(x)] + C = 1/6 cos(3x) + 1/2 cos(x) + C。
诱导公式： 比如处理 ∫sin(x)cos(x) dx，虽然可以用换元法（令 u=sin(x)，du=cos(x)dx，积分就变成 ∫u du = u²/2 + C = sin²(x)/2 + C），但也可以用倍角公式 sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，所以 sin(x)cos(x) = 1/2 sin(2x)。
积分就变成 ∫1/2 sin(2x) dx。令 u = 2x，du = 2dx，dx = du/2。
∫1/2 sin(u) (du/2) = ∫1/4 sin(u) du = 1/4 cos(u) + C = 1/4 cos(2x) + C。
这里值得一提的是，sin²(x)/2 + C 和 1/4 cos(2x) + C 其实是等价的，因为 cos(2x) = 1 2sin²(x)，所以 1/4 cos(2x) = 1/4 (1 2sin²(x)) = 1/4 + 1/2 sin²(x)。差一个常数项 1/4，在不定积分里常数项可以忽略。
其他恒等式： 像 tan(x) = sin(x)/cos(x)，cot(x) = cos(x)/sin(x)，sec(x) = 1/cos(x)，csc(x) = 1/sin(x) 这些基本定义也是常常用到的。比如 ∫tan(x) dx = ∫sin(x)/cos(x) dx。这里就可以用换元法，令 u = cos(x)，则 du = sin(x)dx，sin(x)dx = du。
积分变成 ∫(du)/u = ∫du/u = ln|u| + C = ln|cos(x)| + C。
还可以写成 ln|sec(x)| + C。
3. 换元积分法：处理复合函数或者能凑出微分的结构。
第一类换元法（凑微分）： 这种方法非常非常关键。目标是把被积函数转化为 ∫f(g(x))g'(x) dx 的形式，令 u = g(x)，则 du = g'(x)dx，积分就变成 ∫f(u)du。
例如：∫sin³(x)cos(x) dx。很明显，cos(x)dx 是 sin³(x) 的“导数部分”。令 u = sin(x)，则 du = cos(x)dx。原积分变成 ∫u³ du = u⁴/4 + C = sin⁴(x)/4 + C。
再比如：∫cos(5x+2) dx。令 u = 5x+2，则 du = 5dx，dx = du/5。积分变成 ∫cos(u) (du/5) = 1/5 ∫cos(u) du = 1/5 sin(u) + C = 1/5 sin(5x+2) + C。
处理分母有平方项的也常用：∫1/(1+x²) dx 是基本公式，但如果是 ∫1/(4+x²) dx 呢？我们可以提取公因式4：∫1/[4(1+x²/4)] dx = 1/4 ∫1/(1+(x/2)²) dx。这时令 u = x/2，则 du = 1/2 dx，dx = 2du。积分变成 1/4 ∫1/(1+u²) (2du) = 1/2 ∫1/(1+u²) du = 1/2 arctan(u) + C = 1/2 arctan(x/2) + C。
4. 分部积分法：当被积函数是两个不同类型函数的乘积时考虑。
对于三角函数，很少直接用分部积分，除非是三角函数和多项式、指数函数、对数函数的乘积。比如 ∫x cos(x) dx。令 u = x, dv = cos(x)dx。则 du = dx, v = sin(x)。
∫u dv = uv ∫v du = x sin(x) ∫sin(x) dx = x sin(x) (cos(x)) + C = x sin(x) + cos(x) + C。
另外一种常见情况是，分部积分一次后，积分的形式并没有变得更简单，但结构上可能变得可以重复使用分部积分或者与其他方法结合。比如 ∫eˣsin(x) dx。令 u = sin(x), dv = eˣdx。则 du = cos(x)dx, v = eˣ。
∫eˣsin(x) dx = eˣsin(x) ∫eˣcos(x) dx。
这时候对 ∫eˣcos(x) dx 再用一次分部积分，令 u₁ = cos(x), dv₁ = eˣdx。则 du₁ = sin(x)dx, v₁ = eˣ。
∫eˣcos(x) dx = eˣcos(x) ∫eˣ(sin(x))dx = eˣcos(x) + ∫eˣsin(x) dx。
代回原式：
∫eˣsin(x) dx = eˣsin(x) (eˣcos(x) + ∫eˣsin(x) dx)
∫eˣsin(x) dx = eˣsin(x) eˣcos(x) ∫eˣsin(x) dx
把带积分的项移到一边：
2∫eˣsin(x) dx = eˣsin(x) eˣcos(x)
∫eˣsin(x) dx = 1/2 (eˣsin(x) eˣcos(x)) + C。
这种“转圈圈”的方法对处理 eˣsin(x), eˣcos(x), eˣsin(bx), eˣcos(bx) 等非常有效。
一个思考框架（遇到题目时可以这样想）：
1. 看被积函数：
是基本公式可以直接积分的吗？比如 ∫cos(x) dx。
是三角函数的幂次很高吗？考虑降幂公式。
是两个三角函数乘积吗？考虑积化和差。
是被积函数里有三角函数作为复合函数的一部分吗？考虑换元法。
是被积函数是三角函数和多项式/指数/对数函数的乘积吗？考虑分部积分。
是被积函数是 tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) 的形式吗？记得它们的积分公式，或者尝试用 sin/cos 表示后进行换元。
是被积函数有 tan²(x) 或 cot²(x) 吗？考虑恒等式化为 sec²(x) 1 或 csc²(x) 1。
2. 尝试一种方法：
如果用降幂公式，结果是否变成了基本积分？
如果用恒等式，结构是否变简单了？
如果用换元法，能否凑出 d(u) 的形式？
如果用分部积分，新的积分 ∫v du 是否比原来的 ∫u dv 简单？
3. 检查结果： 做完之后，对结果求导，看是否能回到原来的被积函数。这是验证自己计算是否正确最有效的方法。
举个综合点的例子：∫sin⁴(x)cos³(x) dx
分析： 被积函数是 sin(x) 和 cos(x) 的乘积，且幂次较高。
思路选择：
降幂公式？可以，但是会产生很多项，可能比较复杂。
换元法？看被积函数结构，sin(x) 和 cos(x) 经常互相转换。注意到 cos³(x) 包含 cos²(x) 因子，而 cos²(x) = 1 sin²(x)，这是可以转化的。所以，考虑令 u = sin(x)。
执行（换元法）：
令 u = sin(x)，则 du = cos(x)dx。
原积分可以写成 ∫sin⁴(x) cos²(x) [cos(x)dx]。
把 cos²(x) 转化为 1 sin²(x) = 1 u²。
积分变为 ∫u⁴ (1 u²) du。
这个就非常简单了：∫(u⁴ u⁶) du = u⁵/5 u⁷/7 + C。
代回 u = sin(x)：
结果是 sin⁵(x)/5 sin⁷(x)/7 + C。
检查： 对 sin⁵(x)/5 sin⁷(x)/7 求导：
d/dx (sin⁵(x)/5) = (5sin⁴(x)cos(x))/5 = sin⁴(x)cos(x)
d/dx (sin⁷(x)/7) = (7sin⁶(x)cos(x))/7 = sin⁶(x)cos(x)
所以导数是 sin⁴(x)cos(x) sin⁶(x)cos(x) = sin⁴(x)cos(x)(1 sin²(x)) = sin⁴(x)cos(x)cos²(x) = sin⁴(x)cos³(x)。
和原被积函数一致！
一些常见的陷阱和注意事项：
别忘了常数 C： 不定积分最后一定要加上积分常数 C。
换元后要代回原变量： 算出关于 u 的结果后，别忘了把 u 换回原来的变量。
化简： 很多时候计算完后，还可以对结果进行化简，比如利用三角恒等式。
多尝试： 有些题目可能不止一种解法，或者一种方法算到一半发现行不通，不要灰心，换个思路试试。
学三角函数不定积分，感觉就像是在玩积木，每种公式、恒等式、方法都是一块积木，关键是如何把它们组合起来，搭出我们想要的结果。多做题，多思考，慢慢就会找到感觉。希望今天的分享能给大家带来一些启发！
咱们先来看看这类题目通常长什么样子。最基本的可能就是像 ∫sin(x) dx 这样，这是最基础的，中学就接触过了，结果是 cos(x) + C。再复杂一点，可能会遇到 ∫cos²(x) dx，或者 ∫tan(x) dx，甚至 ∫sin(x)cos(x) dx，还有 ∫sin(2x) dx 这种带复合函数的。各种组合都有可能出现，所以掌握一套系统的方法很重要。
核心思想：化繁为简，回归基本积分公式
其实，三角函数不定积分的核心思路，就是 化繁为简，最终回归到我们已经熟知的基本积分公式。我们知道的那些基本公式，比如 ∫sin(x) dx = cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫sec²(x) dx = tan(x) + C 等等，是我们的“弹药库”。遇到复杂的题目，就是要想办法把它们“加工”成我们能用弹药库里武器解决的形式。
常用“加工”手段：
1. 降幂公式：这是处理高次幂三角函数最常用的方法。
比如，遇到 ∫cos²(x) dx，我们不能直接积分。这时候就要想起三角函数的降幂公式：
cos²(x) = (1 + cos(2x)) / 2
这样一来，原积分 ∫cos²(x) dx 就变成了 ∫(1/2 + 1/2 cos(2x)) dx。这个就容易多了，可以拆成两个基本积分：∫(1/2) dx + ∫(1/2 cos(2x)) dx。
前一个积分是 (1/2)x。
后一个积分 ∫(1/2 cos(2x)) dx，我们可以用换元法，令 u = 2x，则 du = 2 dx，dx = du/2。积分就变成 ∫(1/2 cos(u)) (du/2) = ∫(1/4 cos(u)) du = (1/4)sin(u) = (1/4)sin(2x)。
所以，∫cos²(x) dx = (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C。
同理，对于 sin²(x)，我们用降幂公式：
sin²(x) = (1 cos(2x)) / 2
处理 tan²(x) 怎么办？这时候可以利用三角恒等式：
tan²(x) = sec²(x) 1
那么 ∫tan²(x) dx 就变成了 ∫(sec²(x) 1) dx = ∫sec²(x) dx ∫1 dx = tan(x) x + C。
降幂公式的使用频率非常高，遇到 sinⁿ(x) 或 cosⁿ(x)（n ≥ 2）时，一定要首先考虑这个。
2. 三角恒等式/诱导公式：这是调整三角函数“形态”的利器。
积化和差/和差化积： 当出现两个三角函数乘积的形式时，比如 ∫sin(x)cos(2x) dx，直接积分很麻烦。这时候就可以考虑积化和差公式：
sin(A)cos(B) = 1/2 [sin(A+B) + sin(AB)]
所以，sin(x)cos(2x) = 1/2 [sin(x+2x) + sin(x2x)] = 1/2 [sin(3x) + sin(x)] = 1/2 [sin(3x) sin(x)]
积分就变成了 ∫1/2 [sin(3x) sin(x)] dx = 1/2 ∫sin(3x) dx 1/2 ∫sin(x) dx。
∫sin(3x) dx 可以通过换元 u = 3x 来算，结果是 (1/3)cos(3x)。
所以，∫sin(x)cos(2x) dx = 1/2 [(1/3)cos(3x)] 1/2 [cos(x)] + C = 1/6 cos(3x) + 1/2 cos(x) + C。
诱导公式： 比如处理 ∫sin(x)cos(x) dx，虽然可以用换元法（令 u=sin(x)，du=cos(x)dx，积分就变成 ∫u du = u²/2 + C = sin²(x)/2 + C），但也可以用倍角公式 sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，所以 sin(x)cos(x) = 1/2 sin(2x)。
积分就变成 ∫1/2 sin(2x) dx。令 u = 2x，du = 2dx，dx = du/2。
∫1/2 sin(u) (du/2) = ∫1/4 sin(u) du = 1/4 cos(u) + C = 1/4 cos(2x) + C。
这里值得一提的是，sin²(x)/2 + C 和 1/4 cos(2x) + C 其实是等价的，因为 cos(2x) = 1 2sin²(x)，所以 1/4 cos(2x) = 1/4 (1 2sin²(x)) = 1/4 + 1/2 sin²(x)。差一个常数项 1/4，在不定积分里常数项可以忽略。
其他恒等式： 像 tan(x) = sin(x)/cos(x)，cot(x) = cos(x)/sin(x)，sec(x) = 1/cos(x)，csc(x) = 1/sin(x) 这些基本定义也是常常用到的。比如 ∫tan(x) dx = ∫sin(x)/cos(x) dx。这里就可以用换元法，令 u = cos(x)，则 du = sin(x)dx，sin(x)dx = du。
积分变成 ∫(du)/u = ∫du/u = ln|u| + C = ln|cos(x)| + C。
还可以写成 ln|sec(x)| + C。
3. 换元积分法：处理复合函数或者能凑出微分的结构。
第一类换元法（凑微分）： 这种方法非常非常关键。目标是把被积函数转化为 ∫f(g(x))g'(x) dx 的形式，令 u = g(x)，则 du = g'(x)dx，积分就变成 ∫f(u)du。
例如：∫sin³(x)cos(x) dx。很明显，cos(x)dx 是 sin³(x) 的“导数部分”。令 u = sin(x)，则 du = cos(x)dx。原积分变成 ∫u³ du = u⁴/4 + C = sin⁴(x)/4 + C。
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处理分母有平方项的也常用：∫1/(1+x²) dx 是基本公式，但如果是 ∫1/(4+x²) dx 呢？我们可以提取公因式4：∫1/[4(1+x²/4)] dx = 1/4 ∫1/(1+(x/2)²) dx。这时令 u = x/2，则 du = 1/2 dx，dx = 2du。积分变成 1/4 ∫1/(1+u²) (2du) = 1/2 ∫1/(1+u²) du = 1/2 arctan(u) + C = 1/2 arctan(x/2) + C。
4. 分部积分法：当被积函数是两个不同类型函数的乘积时考虑。
对于三角函数，很少直接用分部积分，除非是三角函数和多项式、指数函数、对数函数的乘积。比如 ∫x cos(x) dx。令 u = x, dv = cos(x)dx。则 du = dx, v = sin(x)。
∫u dv = uv ∫v du = x sin(x) ∫sin(x) dx = x sin(x) (cos(x)) + C = x sin(x) + cos(x) + C。
另外一种常见情况是，分部积分一次后，积分的形式并没有变得更简单，但结构上可能变得可以重复使用分部积分或者与其他方法结合。比如 ∫eˣsin(x) dx。令 u = sin(x), dv = eˣdx。则 du = cos(x)dx, v = eˣ。
∫eˣsin(x) dx = eˣsin(x) ∫eˣcos(x) dx。
这时候对 ∫eˣcos(x) dx 再用一次分部积分，令 u₁ = cos(x), dv₁ = eˣdx。则 du₁ = sin(x)dx, v₁ = eˣ。
∫eˣcos(x) dx = eˣcos(x) ∫eˣ(sin(x))dx = eˣcos(x) + ∫eˣsin(x) dx。
代回原式：
∫eˣsin(x) dx = eˣsin(x) (eˣcos(x) + ∫eˣsin(x) dx)
∫eˣsin(x) dx = eˣsin(x) eˣcos(x) ∫eˣsin(x) dx
把带积分的项移到一边：
2∫eˣsin(x) dx = eˣsin(x) eˣcos(x)
∫eˣsin(x) dx = 1/2 (eˣsin(x) eˣcos(x)) + C。
这种“转圈圈”的方法对处理 eˣsin(x), eˣcos(x), eˣsin(bx), eˣcos(bx) 等非常有效。
一个思考框架（遇到题目时可以这样想）：
1. 看被积函数：
是基本公式可以直接积分的吗？比如 ∫cos(x) dx。
是三角函数的幂次很高吗？考虑降幂公式。
是两个三角函数乘积吗？考虑积化和差。
是被积函数里有三角函数作为复合函数的一部分吗？考虑换元法。
是被积函数是三角函数和多项式/指数/对数函数的乘积吗？考虑分部积分。
是被积函数是 tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) 的形式吗？记得它们的积分公式，或者尝试用 sin/cos 表示后进行换元。
是被积函数有 tan²(x) 或 cot²(x) 吗？考虑恒等式化为 sec²(x) 1 或 csc²(x) 1。
2. 尝试一种方法：
如果用降幂公式，结果是否变成了基本积分？
如果用恒等式，结构是否变简单了？
如果用换元法，能否凑出 d(u) 的形式？
如果用分部积分，新的积分 ∫v du 是否比原来的 ∫u dv 简单？
3. 检查结果： 做完之后，对结果求导，看是否能回到原来的被积函数。这是验证自己计算是否正确最有效的方法。
举个综合点的例子：∫sin⁴(x)cos³(x) dx
分析： 被积函数是 sin(x) 和 cos(x) 的乘积，且幂次较高。
思路选择：
降幂公式？可以，但是会产生很多项，可能比较复杂。
换元法？看被积函数结构，sin(x) 和 cos(x) 经常互相转换。注意到 cos³(x) 包含 cos²(x) 因子，而 cos²(x) = 1 sin²(x)，这是可以转化的。所以，考虑令 u = sin(x)。
执行（换元法）：
令 u = sin(x)，则 du = cos(x)dx。
原积分可以写成 ∫sin⁴(x) cos²(x) [cos(x)dx]。
把 cos²(x) 转化为 1 sin²(x) = 1 u²。
积分变为 ∫u⁴ (1 u²) du。
这个就非常简单了：∫(u⁴ u⁶) du = u⁵/5 u⁷/7 + C。
代回 u = sin(x)：
结果是 sin⁵(x)/5 sin⁷(x)/7 + C。
检查： 对 sin⁵(x)/5 sin⁷(x)/7 求导：
d/dx (sin⁵(x)/5) = (5sin⁴(x)cos(x))/5 = sin⁴(x)cos(x)
d/dx (sin⁷(x)/7) = (7sin⁶(x)cos(x))/7 = sin⁶(x)cos(x)
所以导数是 sin⁴(x)cos(x) sin⁶(x)cos(x) = sin⁴(x)cos(x)(1 sin²(x)) = sin⁴(x)cos(x)cos²(x) = sin⁴(x)cos³(x)。
和原被积函数一致！
一些常见的陷阱和注意事项：
别忘了常数 C： 不定积分最后一定要加上积分常数 C。
换元后要代回原变量： 算出关于 u 的结果后，别忘了把 u 换回原来的变量。
化简： 很多时候计算完后，还可以对结果进行化简，比如利用三角恒等式。
多尝试： 有些题目可能不止一种解法，或者一种方法算到一半发现行不通，不要灰心，换个思路试试。
学三角函数不定积分，感觉就像是在玩积木，每种公式、恒等式、方法都是一块积木，关键是如何把它们组合起来，搭出我们想要的结果。多做题，多思考，慢慢就会找到感觉。希望今天的分享能给大家带来一些启发！
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