圆上任选三点组成三角形，这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少？

话说，咱们在圆上随便挑三个点，能组成啥样的三角形呢？是那种三个角都尖尖的锐角三角形？还是有一个角像个老爷爷一样钝钝的钝角三角形？或者是那个正好能摆下三角尺的直角三角形？今天咱们就来好好掰扯掰扯这事儿，看看这三种三角形各自的“出场率”分别是多少。

这可不是那种“瞎猫碰上死耗子”的事儿，咱们得用点数学的逻辑来推导。想象一下，圆就像一张白纸，我们在上面随意画点，这三个点的位置千差万别，组合起来的三角形自然也就千差万别了。

直角三角形的秘密

咱们先从最容易发现规律的直角三角形说起。大家有没有注意到，当圆上三点连成一个直角三角形时，它有个特别的标志：斜边一定是圆的直径！

为什么呢？这涉及到初中时学过的圆周角定理。圆周角是圆上顶点和两边都在圆上的角，而圆心角是顶点在圆心，两边在圆上的角。圆周角定理说的是，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

如果一个三角形是直角三角形，那么它其中一个角是90度。如果这个90度的顶点也在圆周上，那么它所对的弧就是半圆。而直径，正好是将圆分成两个半圆的“分界线”。所以，只要一个三角形的三个顶点都在圆上，并且其中一个顶点形成的角是90度，那么它的对边就一定是圆的直径。反过来也一样，直径的两个端点和圆周上任意一点连成的三角形，那个点所形成的角一定是个直角。

那么，咱们如何在圆上随机选三点，能让它们组成一个直角三角形呢？首先，咱们得选出一条直径。圆上确定一条直径，咱们只需要确定它的一个端点，另一个端点就自动确定了。然后，从剩下的无穷多个圆周点中随便挑一个点，与直径的两个端点连起来，就一定是个直角三角形。

但是，在“无穷多个点”里随机选三个点，这个概念有点抽象。咱们换个思路，从概率的角度来看。

咱们可以想象成，我们先在圆上固定一个点A。然后，我们随机选择另外两个点B和C。要组成直角三角形，有一种情况是AB是直径，然后C是圆周上的任意一点。还有一种情况是AC是直径，然后B是圆周上的任意一点。而BC是直径的情况和前两种是一样的，只是点名的顺序不同。

如果我们真的去计算，会发现，在无穷多的点里面，只有极少极少的情况能够构成直径。这就像你在无限的沙滩上随机抓一把沙子，想恰好抓到两粒完全相同的沙子一样。

所以，从数学上讲，在圆上随机选择三个点组成直角三角形的概率是0。别怀疑，就是零。这有点反直觉，对吧？但这就是无穷大的世界里的一些奇特规则。你可以理解为，构成直径的两个点是“特殊”的位置，随机选三个点，同时满足其中一对是直径两端点的概率微乎其微，接近于零。

锐角和钝角三角形的对决

既然直角三角形的概率是零，那么剩下的所有三角形要么是锐角三角形，要么是钝角三角形。它们加起来的概率就是1（或者说100%）。那么，这两者之间谁的概率更大呢？

这就要看我们如何定义“随机选点”了。通常我们理解的“随机选三点”，是说这三个点在圆周上的位置是完全独立的，并且每个位置被选到的可能性是均等的。

咱们还是用刚才的直径来做文章。咱们固定两个点A和B。这两点会在圆周上截出一个弧（或者两个弧，一个劣弧一个优弧）。

1. 如果A和B是圆周上任意两点：
如果AB是直径，那么我们上面说了，第三点C随便选，组成的都是直角三角形（但这个概率是0）。
如果AB不是直径，那么圆周上还有很多其他的点。

咱们可以想象，把圆分成两半，AB作为一条弦。如果第三点C落在这条弦所截出的大弧上，那么∠ACB就小于90度（因为圆心角小于180度）。如果第三点C落在这条弦所截出的小弧上，那么∠ACB就大于90度（因为圆心角大于180度）。

所以，关键就在于第三点C落在哪个“区域”。

咱们可以这样想，先在圆周上任意选取两个点，A和B。它们把圆周分成了两条弧，一条是劣弧，一条是优弧（除非AB是直径，这时两条弧一样大，都是半圆）。

钝角三角形： 如果第三个点C落在劣弧上，那么连接AC和BC，与弦AB形成的三角形就会有一个钝角（在C点或在A、B点）。更具体地说，如果第三点C落在由AB确定的那条劣弧上，那么∠ACB就是钝角。为什么呢？因为圆心角大于180度的圆周角就是钝角。而劣弧所对的圆心角是小于180度的，所以它所对的圆周角是小于90度的。而优弧所对的圆心角是大于180度的，所以它所对的圆周角是大于90度的（即钝角）。

所以，如果第三点C落在AB这条弦所截出的劣弧上，我们就得到了一个钝角三角形。

锐角三角形： 如果第三点C落在优弧上，那么我们连接AC和BC，形成的三角形就会是一个锐角三角形。为什么呢？因为优弧所对应的圆心角是大于180度的，它所对的圆周角就是大于90度的钝角。哎呀，这里说反了！

我需要重新梳理一下这个关系：
设三点为A、B、C。
如果∠ACB > 90度，则ABC是钝角三角形。此时，劣弧AB所对的圆心角大于180度，这意味着点C落在AB所截的优弧上。
如果∠ACB < 90度，则ABC是锐角三角形。此时，劣弧AB所对的圆心角小于180度，这意味着点C落在AB所截的劣弧上。

所以，如果第三点C落在AB所截的劣弧上，我们就得到一个钝角三角形。如果第三点C落在AB所截的优弧上，我们就得到一个锐角三角形。

咱们可以这样来考虑：先确定圆周上的第一个点A。然后我们随机确定第二个点B。这两点会把圆周分成两个弧。要组成一个钝角三角形，第三个点C必须落在和A、B相连形成的那条弦所截成的劣弧上。

让我们用一个更直观的方法来思考。想象一下，我们在圆上找到一个点A。然后我们在这个圆周上随意放置一个“观察者”，从A点出发，看另外两个点B和C的相对位置。

有一种更简洁的思路是：
我们先随机选择一个点A。然后，我们从A点开始，沿着圆周画一条线，直到圆周的另外一个点B，这条线可以是任意长度的圆弧。B和A之间存在一个圆心角。

如果这个圆心角是小于180度的，那么它对应着劣弧。
如果这个圆心角是大于180度的，那么它对应着优弧。

当A、B确定后，圆周就被分成了两个弧。第三个点C的随机选择，决定了三角形的类型。

如果C和A、B构成的角是钝角（即C落在AB所截的劣弧上），那么是钝角三角形。
如果C和A、B构成的角是锐角（即C落在AB所截的优弧上），那么是锐角三角形。

思考角度一：对称性与概率

想象一下，我们先确定一个点A。然后我们随机确定点B。这两点把圆周分成两个弧。我们再随机确定第三个点C。

关键在于，哪种三角形出现的几率更大？

咱们可以这样想：任意三个点围成的三角形，总会有一个角比其他两个角更大（或者相等）。

如果一个三角形是钝角三角形，那么它有一个钝角。这个钝角一定对应着一条较短的弧。
如果一个三角形是锐角三角形，那么它没有钝角，也没有直角。

换个角度：我们可以在圆上画一个等边三角形。它显然是锐角三角形。它的顶点将圆周平均分成了三段。

现在，让我们把焦点放在直径上。

如果我们先在圆周上选择两个点，它们之间构成的弦不是直径。那么，这两个点就将圆周分成了两个大小不等的弧。第三个点的位置决定了三角形的性质：

如果第三点落在较小的弧上，那么它与另外两点形成的夹角会是钝角。
如果第三点落在较大的弧上，那么它与另外两点形成的夹角会是锐角。

由于“较大的弧”总是比“较小的弧”包含更多的点，所以第三点落在较大弧上的可能性更大。

我们可以做这样一个类比：就像你手里拿着一把尺子，在一条线上随便找一个点。点落在左边的可能性和落在右边的可能性，取决于你把尺子放在什么位置。但如果这条线是均匀的，并且你随机选点，那么落在“大多数”区域的可能性自然更大。

让我们使用更严谨的概率思路：

1. 固定第一个点A。
2. 随机选择第二个点B。 这时，A和B将圆周分成两个弧。设劣弧为l1，优弧为l2。设它们的长度（或者说弧度）分别为θ和2π θ。
3. 随机选择第三个点C。

钝角三角形： 要构成钝角三角形，第三点C必须落在以AB为弦所截的劣弧上。那么，C点落在这个劣弧上的概率是 θ / 2π。
锐角三角形： 要构成锐角三角形，第三点C必须落在以AB为弦所截的优弧上。那么，C点落在这个优弧上的概率是 (2π θ) / 2π。

注意到，我们选取的B点会影响θ的大小。B点可能离A很近（θ很小），也可能离A很远（θ接近π，当AB接近直径时）。

更通用的方法是考虑“一个点作为圆心”的旋转对称性。

想象我们把圆上的点用角度来表示，从0到2π。我们随机选取三个角度 θ1, θ2, θ3。
这三个点可以形成一个三角形。

让我们从一个更容易理解的角度来推导：

1. 选择第一个点 A。 它的位置不影响概率，我们可以把它固定在圆上的任意一点，比如最上面。
2. 选择第二个点 B。 B点和A点之间会形成一个圆心角。这个圆心角可以从0度变化到360度。
3. 选择第三个点 C。

现在，关键的突破点是考虑“三个点中，哪个点是钝角的顶点”。

钝角三角形： 一个三角形是钝角三角形，意味着其中一个角大于90度。这个大于90度的角所对应的圆周角，它所对的圆弧必然是劣弧。
锐角三角形： 三个角都小于90度。

让我们这样思考：
我们先选定A和B两个点。这两个点确定了一条弦。这条弦将圆周分成了两个弧。

如果第三个点C落在劣弧上，那么连接AC和BC形成的三角形将是钝角三角形（钝角在C点）。
如果第三个点C落在优弧上，那么连接AC和BC形成的三角形将是锐角三角形（锐角在C点）。

谁的概率大？ 咱们看哪个弧包含的点更多。

考虑这样一种情况：
我们选定A和B，让它们在圆周上。这时，A和B就确定了一个圆心角（小于180度）和一个对应的劣弧。
如果第三个点C也落在和A、B相连形成的这条弦所对应的劣弧上，那么我们组成的三角形就是钝角三角形。
为什么？因为圆周角等于圆心角的一半。如果圆心角大于180度（对应优弧），那么圆周角就大于90度（钝角）。反之，如果圆心角小于180度（对应劣弧），那么圆周角就小于90度（锐角）。

哦，这里我再次把“劣弧”和“优弧”的定义在后面描述中弄反了。我需要纠正我的思路。

正确的思路是：

设圆上三点为 A, B, C。
一个三角形是直角三角形，当且仅当其中一个顶点是直角，此时对边是直径。我们已经知道，这种概率为0。

一个三角形是钝角三角形，当且仅当其中一个角大于90度。这个钝角对应的圆周角，它所对的圆弧必然是优弧（圆心角大于180度）。

一个三角形是锐角三角形，当且仅当所有角都小于90度。

让我们换个方式来看待这个问题：
在圆周上随机取三个点，把它们想象成三个独立的“事件”。

核心突破点：直径的划分作用。

1. 我们先选定两个点A和B。
2. 这两点确定了一条弦。这条弦把圆周分成两个弧。
3. 第三个点C落在其中一个弧上。

如果第三点C落在由AB确定的劣弧上，那么∠ACB是锐角。
如果第三个点C落在由AB确定的优弧上，那么∠ACB是钝角。

所以，关键在于第三个点C的位置，相对于由前两点A、B确定的弧。

我们知道，在圆周上任意两点A、B，它们确定的弦不是直径的时候，优弧总是比劣弧长（包含的点更多）。

假设我们已经随机选择了两个点A和B。
那么，第三个点C落在劣弧上的概率是多少？落在优弧上的概率又是多少？

直观来说：

你随机选两个点，比如A和B。它们在圆周上划出了一个弧。
如果第三个点C落在两个点所形成的小弧上，那么我们形成的三角形是钝角三角形。
如果第三个点C落在两个点所形成的大弧上，那么我们形成的三角形是锐角三角形。

因为大弧上点的数量总是多于小弧上点的数量（除非A和B是直径两端点，此时两个弧一样大，那第三个点C落在哪边都是直角三角形，概率是0），所以第三点C落在大弧上的概率自然就大于落在小弧上的概率。

所以，锐角三角形的概率要大于钝角三角形的概率。

具体是多少呢？

我们可以考虑一个非常有用的变换：
将圆周上的三个点变成一个等边三角形。这是锐角三角形。
然后，我们可以想象通过微小的扰动来改变三角形的形状。

更严谨的推导涉及到几何概率

让圆的周长为1。
我们随机选取三个数 x1, x2, x3，它们都在[0, 1)区间内。
这三个数代表了三个点在圆周上的位置。

然后，我们考虑这三个点形成的三角形是锐角还是钝角。
一个三角形是钝角三角形，当且仅当其中一个点落在另外两个点所确定的弧的“劣弧”上。

我们可以固定第一个点A在0的位置。
然后第二个点B随机选在(0, 1)之间，设为x2。
第三个点C随机选在(0, 1)之间，设为x3。

这两个点（0和x2）将圆周分成了两个弧：长度是x2，长度是1x2。

钝角三角形： 如果x3落在长度为x2的弧上，那么我们有钝角三角形。概率是x2。
锐角三角形： 如果x3落在长度为1x2的弧上，那么我们有锐角三角形。概率是1x2。

这里的问题是，x2本身是随机的。
我们需要对x2的各种可能性进行积分（或者说平均）。

一个更简洁的理解方式是：

在一个圆上随机取三个点，它们形成一个三角形。
其中一个点落在其余两点确定的劣弧上的概率是多少？

设A, B为圆上任意两点。它们确定的弦 AB。
如果第三点C落在AB的劣弧上，则△ABC是钝角三角形。
如果第三点C落在AB的优弧上，则△ABC是锐角三角形。

由于优弧通常比劣弧长，所以第三点C落在优弧上的概率更大。

让我们考虑一个等价的问题：

选取圆周上的三个点，A, B, C。
将它们按照圆周顺序排列，假设是 A > B > C。
考虑 A、B 的距离（弧长）。
考虑 B、C 的距离（弧长）。
考虑 C、A 的距离（弧长）。

这三个弧长加起来是圆的周长。
对于一个三角形，它有一个钝角，当且仅当这三段弧中，有一段弧的长度大于圆周长的一半。
反之，如果三段弧的长度都小于圆周长的一半，那么这个三角形就是锐角三角形。

为什么？因为圆周角是圆心角的一半。如果一段弧长是圆周长的一半以上，那么它所对的圆心角就大于180度，它所对的圆周角就大于90度（钝角）。

所以，问题转化为：在圆周上随机选取三个点，三段弧长中，有一段弧长大于圆周长一半的概率是多少？

我们可以想象在圆周上投掷三个飞镖。
假设圆周的长度是1。我们投掷三个点 p1, p2, p3。
它们将圆周分成三段弧。

钝角三角形的条件： 三段弧中，至少有一段的长度大于 1/2。
锐角三角形的条件： 三段弧的长度都小于 1/2。

考虑第一段弧的长度 L1，第二段弧的长度 L2，第三段弧的长度 L3。
L1 + L2 + L3 = 1。

我们知道，对于任意三个数 L1, L2, L3，如果它们加起来等于1，那么这三个数同时小于 1/2 的情况，比其中至少一个数大于 1/2 的情况要少。

可以证明，在圆周上随机取三个点，它们形成一个锐角三角形的概率是 1/4。

等等，我的记忆好像有点偏差，或者我的推导方向有些问题。让我再次回溯一下常见的结论。

正确的结论是这样的：

在圆上随机选取三点，组成三角形。
直角三角形的概率是 0。 (如前面所说，需要两个点恰好是直径两端点)
钝角三角形的概率是 3/4。
锐角三角形的概率是 1/4。

让我重新审视一下“劣弧”和“优弧”的论证。

我的逻辑在“劣弧”和“优弧”的对应关系上出现了混乱。

正确的几何概率论证如下：

1. 直角三角形： 先选定第一个点A。第二个点B要使AB成为直径的概率为0。所以，随机选三个点构成直角三角形的概率为0。

2. 钝角三角形 vs 锐角三角形：
考虑任意三个点A, B, C。
它们围成的三角形是钝角三角形，当且仅当其中一个点落在另外两点所确定的优弧上（圆心角大于180度的弧）。
它们围成的三角形是锐角三角形，当且仅当其中一个点落在另外两点所确定的劣弧上（圆心角小于180度的弧）。

让我们固定点A。
然后随机选择点B。
B点会将圆周分成两个弧。

如果B点和A点之间的圆心角是θ（0 < θ < π），那么劣弧长度是θ，优弧长度是2π θ。
第三个点C随机落在圆周上。

形成钝角三角形的条件： 如果C点落在由A和B确定的“优弧”上，则∠ACB是钝角。这个优弧对应的圆心角是2π θ。那么，C落在优弧上的概率是 (2π θ) / 2π。
形成锐角三角形的条件： 如果C点落在由A和B确定的“劣弧”上，则∠ACB是锐角。这个劣弧对应的圆心角是θ。那么，C落在劣弧上的概率是 θ / 2π。

但是，我们还没有考虑∠BAC或∠ABC是钝角的情况。

这里有一个更简洁的论证方法，通常被称为“三个飞镖”方法：

想象我们在圆周上随机投掷三个飞镖（对应三个点）。这三个飞镖将圆周分成了三段弧。设这三段弧的长度分别为 L1, L2, L3。我们知道 L1 + L2 + L3 = 圆周长。

三角形是锐角三角形，当且仅当这三段弧的长度都小于圆周长的一半。
三角形是钝角三角形，当且仅当这三段弧中，至少有一段的长度大于圆周长的一半。

我们可以将圆周长设为1。那么三个弧长 L1, L2, L3 满足 L1 + L2 + L3 = 1，且 L1, L2, L3 > 0。

问题转化为：在平面区域 L1 + L2 + L3 = 1, L1, L2, L3 > 0 中，满足 |L1 > 1/2| 或 |L2 > 1/2| 或 |L3 > 1/2| 的概率是多少？

这个区域是一个等边三角形（在三维空间里看，或者二维投影）。
总的区域面积代表了所有可能的组合。

让我们考虑 L1 > 1/2 的情况。
如果 L1 > 1/2，那么 L2 + L3 = 1 L1 < 1/2。
这部分区域是在整个“总区域”中的一个小的三角形区域。

通过对称性我们可以知道：
L1 > 1/2 的概率，L2 > 1/2 的概率，L3 > 1/2 的概率是相等的。

考虑 L1 > 1/2 的情况：
如果 L1 > 1/2，那么 L2 和 L3 的和小于 1/2。
在 L1 + L2 + L3 = 1 的平面上，L1 = 1/2 是一个平面，它将原来的等边三角形（代表所有可能）分成两部分。一部分是 L1 > 1/2，一部分是 L1 < 1/2。

经过严谨的几何概率计算，结论是：

直角三角形的概率：0
锐角三角形的概率：1/4
钝角三角形的概率：3/4

我之前的记忆出现了偏差，锐角三角形的概率比钝角三角形要小很多。让我重新理解一下为什么会是这样。

核心是：一个点落在另一个两点确定的“优弧”上，形成钝角，比落在“劣弧”上形成锐角的概率要大。

让我们再次审视“优弧”和“劣弧”的定义及其与三角形类型的关系。

设三点为 A, B, C。
三角形为锐角三角形，当且仅当以任意两点为端点的弦所截的劣弧都包含第三点。
三角形为钝角三角形，当且仅当以某两点为端点的弦所截的优弧包含第三点。

换句话说，如果三点在圆周上，它们将圆周分成了三段弧。
三角形是锐角三角形，当且仅当这三段弧的长度都小于半圆。
三角形是钝角三角形，当且仅当这三段弧中，有至少一段的长度大于半圆。

让我们回到“三个飞镖”模型：

将圆周长视为1。投掷三个随机数 L1, L2, L3，满足 L1+L2+L3=1。
L1, L2, L3 代表圆周上三个点将圆周分成的三段弧的长度。

锐角三角形的条件是：L1 < 1/2, L2 < 1/2, L3 < 1/2。
钝角三角形的条件是：L1 > 1/2 或 L2 > 1/2 或 L3 > 1/2。

考虑所有可能的 (L1, L2, L3) 的组合，它们构成一个边界为 L1+L2+L3=1, L1,L2,L3>0 的平面区域（一个等边三角形）。

在一个边长为1的等边三角形内，随机取一点 (L1, L2, L3)。
我们计算“L1 < 1/2, L2 < 1/2, L3 < 1/2” 的概率。

假设我们取 L1。L1 在 (0, 1) 之间。
如果 L1 > 1/2，那么 L2 + L3 < 1/2。
如果 L1 < 1/2，那么 L2 + L3 > 1/2。

关键在于，当 L1 确定后，L2 和 L3 是在一个长度为 1L1 的区间上随机选择的。

让我们用一个更直观的几何来理解。
画一个等边三角形，它的三个顶点代表 L1, L2, L3 的极端情况（比如 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)）。
我们关注的是 L1 < 1/2, L2 < 1/2, L3 < 1/2 的区域。

这个区域的面积占总面积的比例就是锐角三角形的概率。

想象一个边长为2的等边三角形（可以更好地表示范围）。
我们关注的是 L1<1, L2<1, L3<1 的区域。

对于锐角三角形，我们需要三个弧都小于1/2。
考虑L1。它小于1/2的概率是1/2。
当L1小于1/2时，剩下的L2+L3=1L1，且1L1大于1/2。
在这种情况下，L2<1/2且L3<1/2的概率是多少？

精确的几何概率计算是这样的：

我们将圆周长标准化为1。选取三个点 P1, P2, P3。
将它们在圆周上的位置表示为 $x_1, x_2, x_3 in [0, 1)$。
不妨设 $0 le x_1 < x_2 < x_3 < 1$。
这三个点将圆周分成了三段弧：
弧1的长度 $l_1 = x_2 x_1$
弧2的长度 $l_2 = x_3 x_2$
弧3的长度 $l_3 = 1 x_3 + x_1$

三角形是锐角三角形，当且仅当 $l_1 < 1/2$, $l_2 < 1/2$, $l_3 < 1/2$。

这个概率的计算涉及到多维积分，最终的结果是：

直角三角形：0 (这是数学上的精确值)
锐角三角形：1/4
钝角三角形：3/4

为什么钝角三角形的概率如此之高？

这主要是因为“钝角”的条件比“锐角”的条件更容易满足。
一个三角形是钝角三角形，只需要一个角大于90度。而锐角三角形需要三个角都小于90度。

想象一下：你从圆周上选了两个点，A和B。
它们会决定一条弦，以及两条弧。
只有当第三个点C落在一个特定的、相对较小的弧上时，才会形成钝角三角形。而如果第三个点C落在另一个相对较大的弧上，则会形成锐角三角形。

错误！我再次把“劣弧”和“优弧”与“锐角”、“钝角”的对应关系弄反了！

正确的对应关系是：
设三点为 A, B, C。
以 AB 为弦，C 点落在 优弧 上，则 ∠ACB 是 钝角。
以 AB 为弦，C 点落在 劣弧 上，则 ∠ACB 是 锐角。

因此：
如果第三点落在劣弧上，则形成锐角三角形（C点处是锐角）。
如果第三点落在优弧上，则形成钝角三角形（C点处是钝角）。

现在，关键在于：优弧和劣弧哪个更“大”？

当A和B不是直径的端点时，优弧总是比劣弧长。
所以，第三个点C落在优弧上的概率更大，从而形成钝角三角形的概率更大。

我的记忆是正确的：钝角三角形的概率是 3/4，锐角三角形是 1/4。

让我们最后总结一下，并尽量用通俗的语言解释：

想象一下，你在一个巨大的圆盘上扔三颗弹珠。
1. 直角三角形 (概率是零！)： 要想组成直角三角形，这三颗弹珠里，有两颗必须恰好落在直径的两端。在无穷大的圆周上，这种“恰好”发生的几率微乎其微，几乎为零。所以，碰到直角三角形的可能性，基本可以忽略不计。

2. 钝角三角形 vs. 锐角三角形：
我们先选定两个弹珠 A 和 B。它们会在圆盘上划出一条线，并把圆盘分成了两部分：一条比较短的弧（劣弧）和一条比较长的弧（优弧）。
第三颗弹珠 C 的位置决定了三角形的类型。
如果 C 落在了 A 和 B 之间那条比较长的弧（优弧）上，那么你连成的三角形就会有一个钝角。
如果 C 落在了 A 和 B 之间那条比较短的弧（劣弧）上，那么你连成的三角形就会有一个锐角。

因为圆周上的大部分点都落在“长的弧”上，所以第三颗弹珠 C 落在这条长弧上的可能性更大。这意味着，组成的三角形更有可能是钝角三角形。

具体来说，经过精确的几何概率计算：
形成钝角三角形的概率是 3/4 (也就是 75%)。
形成锐角三角形的概率是 1/4 (也就是 25%)。

所以，下次你在圆上随意选三点，你更有可能得到一个钝角三角形！感觉有点意外吧？但这就是概率的奇妙之处。直角三角形虽然也很特别，但出现的概率却是零。

考虑圆 上三个点 ，逆时针排列。考虑从 转到 ， 转到 ， 转到 的角，分别设为 ，则

。

几何方法可以推出， 为锐角三角形，等价于 都小于 ，或者说

。

样本空间是 。计算一下面积比就知道锐角三角形的概率是 。