如何证明圆上若干点构成的多边形最大面积在正多边形时取到？
这篇文章旨在深入探讨一个几何学中的有趣问题：在给定周长的情况下，圆上若干点构成的多边形，什么时候面积最大？我们将一步步揭示，这个“最佳”多边形就是那个正多边形。
问题的设定
我们想象一下，在一个圆的圆周上，选取了 $n$ 个点。这些点按照顺序连接起来，就构成了一个 $n$ 边形，而且这个多边形是内接于这个圆的。我们的任务是证明，当这 $n$ 个点均匀分布时，即它们构成的多边形是正 $n$ 边形时，这个多边形的面积是最大的。
理解面积的构成
一个内接于圆的多边形，我们可以将其视为由圆心和多边形的顶点组成的若干个三角形的组合。假设圆的半径为 $R$。对于内接于圆的任意一个多边形，我们可以将其分解为以圆心为顶点，以多边形相邻顶点为底边的若干个三角形。
考虑多边形的一条边，连接圆上相邻的两个顶点 $A$ 和 $B$。以圆心 $O$ 为顶点，与 $A$ 和 $B$ 构成的三角形 $OAB$ 的面积是 $frac{1}{2} R cdot R sin( heta)$，其中 $ heta$ 是圆心角 $angle AOB$。这个公式我们都知道，是三角形面积的经典公式。
多边形的总面积就是所有这些三角形面积之和。如果我们将多边形分解成 $n$ 个三角形，每个三角形的底边都是圆上的弦，顶点都是圆心，那么总面积就是：
$S = sum_{i=1}^{n} frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$
其中 $ heta_i$ 是圆心角 $angle A_i O A_{i+1}$（这里 $A_{n+1} = A_1$），并且所有这些圆心角的和必须是 $2pi$（一个完整的圆周角）：
$sum_{i=1}^{n} heta_i = 2pi$
我们的目标是最大化这个面积 $S$。
核心的数学工具：三角函数与不等式
要最大化 $S = sum_{i=1}^{n} frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$，实际上就是最大化 $sum_{i=1}^{n} sin( heta_i)$，因为 $frac{1}{2} R^2$ 是一个常数。而我们需要在 $sum_{i=1}^{n} heta_i = 2pi$ 的约束条件下进行。
这里，我们可以引入一个重要的数学概念——Jensen 不等式。Jensen 不等式是关于凸函数（或凹函数）的。我们来看一下 $sin(x)$ 函数在 $[0, pi]$ 区间上的性质。对于一个圆，我们构成的多边形的每个圆心角 $ heta_i$ 都在 $[0, 2pi]$ 区间内。然而，如果某个 $ heta_i$ 大于 $pi$，那么对应的弦 $A_i A_{i+1}$ 就会与圆心相连的另一条半径形成一个劣弧，而多边形通常是取优弧来连接的。但更关键的是，如果 $ heta_i > pi$，那么 $sin( heta_i)$ 会是负的，这显然会减小总面积。因此，我们只考虑 $ heta_i in [0, pi]$ 的情况。
在区间 $[0, pi]$ 上，函数 $f(x) = sin(x)$ 是一个凹函数。凹函数的定义是：对于区间内的任意两个点 $x_1, x_2$，以及任意实数 $lambda in [0, 1]$，都有 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
Jensen 不等式对于凹函数的形式是：
对于凹函数 $f$ 和任意的 $x_1, x_2, dots, x_n$ 以及非负实数 $lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n$ 使得 $sum_{i=1}^n lambda_i = 1$，我们有：
$f(sum_{i=1}^n lambda_i x_i) ge sum_{i=1}^n lambda_i f(x_i)$
在我们的问题中，我们可以将所有 $ heta_i$ 除以 $n$，得到平均值 $ar{ heta} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} heta_i = frac{2pi}{n}$。然后，我们可以令 $lambda_i = frac{1}{n}$。这样，Jensen 不等式就变成了：
$sin(frac{1}{n} sum_{i=1}^n heta_i) ge frac{1}{n} sum_{i=1}^n sin( heta_i)$
代入我们的约束条件 $sum_{i=1}^n heta_i = 2pi$，得到：
$sin(frac{2pi}{n}) ge frac{1}{n} sum_{i=1}^n sin( heta_i)$
我们将不等式两边同乘以 $n$：
$n sin(frac{2pi}{n}) ge sum_{i=1}^n sin( heta_i)$
这告诉我们，当所有 $ heta_i$ 相等时，即 $ heta_1 = heta_2 = dots = heta_n = frac{2pi}{n}$ 时，$sum_{i=1}^n sin( heta_i)$ 的值会达到最大，等于 $n sin(frac{2pi}{n})$。
何时等号成立？
Jensen 不等式中，当 $f$ 是严格凹函数时，等号成立的条件是所有 $x_i$ 都相等。
我们已经知道，在区间 $[0, pi]$ 上，$f(x) = sin(x)$ 是严格凹的。因此，等号成立的条件是 $ heta_1 = heta_2 = dots = heta_n$。
由于 $sum_{i=1}^n heta_i = 2pi$，所以每个 $ heta_i$ 都必须等于 $frac{2pi}{n}$。
几何解释
当所有圆心角 $ heta_i$ 都相等时，意味着相邻的两个顶点之间的弧长是相等的。由此连接这些顶点的弦的长度也必然相等。一个所有边都相等的内接于圆的多边形，就是正多边形。
总结证明过程
1. 将多边形面积分解为三角形面积之和： 设圆半径为 $R$，多边形顶点为 $A_1, A_2, dots, A_n$，圆心为 $O$。多边形面积 $S = sum_{i=1}^{n} ext{Area}( riangle OA_i A_{i+1})$。
2. 三角形面积公式： $ ext{Area}( riangle OA_i A_{i+1}) = frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$，其中 $ heta_i = angle A_i O A_{i+1}$。
3. 总面积公式： $S = sum_{i=1}^{n} frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$，且约束条件为 $sum_{i=1}^{n} heta_i = 2pi$。
4. 最大化目标： 最大化 $S$ 等价于最大化 $sum_{i=1}^{n} sin( heta_i)$。
5. 应用 Jensen 不等式： 函数 $f(x) = sin(x)$ 在 $[0, pi]$ 区间上是凹函数。我们关注 $ heta_i in [0, pi]$。
根据 Jensen 不等式，$f(frac{sum heta_i}{n}) ge frac{sum f( heta_i)}{n}$，即 $sin(frac{2pi}{n}) ge frac{1}{n} sum sin( heta_i)$。
6. 得到不等式： $n sin(frac{2pi}{n}) ge sum_{i=1}^{n} sin( heta_i)$。
7. 等号成立条件： 由于 $sin(x)$ 在 $[0, pi]$ 上是严格凹的，等号成立当且仅当 $ heta_1 = heta_2 = dots = heta_n$。
8. 得出结论： 由约束条件 $sum heta_i = 2pi$，可得 $ heta_i = frac{2pi}{n}$。此时，多边形的所有顶点将等距离分布在圆周上，构成了正 $n$ 边形。在这个状态下，多边形的面积取到最大值。
思考与延伸
这个证明非常依赖于 Jensen 不等式及其在三角函数上的应用。它优雅地展示了“均匀性”在优化问题中的重要性。这个结论在几何学中有许多实际的应用，比如在给定周长的情况下，圆是最能围成最大面积的形状；而对于多边形，正多边形在周长固定时面积最大。
这个证明也暗含着一个直观的理解：如果我们有一个面积不大的多边形，可以通过微调顶点的位置来增加面积。比如，如果某个圆心角 $ heta_i$ 和它旁边的 $ heta_j$ 相差较大，我们可以尝试“平均”它们，将 $ heta_i$ 稍微减小一点，将 $ heta_j$ 稍微增大一点，使得它们更接近平均值 $frac{2pi}{n}$。根据凹函数的性质，这种“平均化”的过程总会倾向于增大总面积（或至少不减小），直到所有角度相等为止。
希望这个详尽的解释能帮助你理解为什么圆上若干点构成的最大面积多边形会是正多边形。
问题的设定
我们想象一下，在一个圆的圆周上，选取了 $n$ 个点。这些点按照顺序连接起来，就构成了一个 $n$ 边形，而且这个多边形是内接于这个圆的。我们的任务是证明，当这 $n$ 个点均匀分布时，即它们构成的多边形是正 $n$ 边形时，这个多边形的面积是最大的。
理解面积的构成
一个内接于圆的多边形，我们可以将其视为由圆心和多边形的顶点组成的若干个三角形的组合。假设圆的半径为 $R$。对于内接于圆的任意一个多边形，我们可以将其分解为以圆心为顶点，以多边形相邻顶点为底边的若干个三角形。
考虑多边形的一条边，连接圆上相邻的两个顶点 $A$ 和 $B$。以圆心 $O$ 为顶点，与 $A$ 和 $B$ 构成的三角形 $OAB$ 的面积是 $frac{1}{2} R cdot R sin( heta)$，其中 $ heta$ 是圆心角 $angle AOB$。这个公式我们都知道，是三角形面积的经典公式。
多边形的总面积就是所有这些三角形面积之和。如果我们将多边形分解成 $n$ 个三角形，每个三角形的底边都是圆上的弦，顶点都是圆心，那么总面积就是：
$S = sum_{i=1}^{n} frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$
其中 $ heta_i$ 是圆心角 $angle A_i O A_{i+1}$（这里 $A_{n+1} = A_1$），并且所有这些圆心角的和必须是 $2pi$（一个完整的圆周角）：
$sum_{i=1}^{n} heta_i = 2pi$
我们的目标是最大化这个面积 $S$。
核心的数学工具：三角函数与不等式
要最大化 $S = sum_{i=1}^{n} frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$，实际上就是最大化 $sum_{i=1}^{n} sin( heta_i)$，因为 $frac{1}{2} R^2$ 是一个常数。而我们需要在 $sum_{i=1}^{n} heta_i = 2pi$ 的约束条件下进行。
这里，我们可以引入一个重要的数学概念——Jensen 不等式。Jensen 不等式是关于凸函数（或凹函数）的。我们来看一下 $sin(x)$ 函数在 $[0, pi]$ 区间上的性质。对于一个圆，我们构成的多边形的每个圆心角 $ heta_i$ 都在 $[0, 2pi]$ 区间内。然而，如果某个 $ heta_i$ 大于 $pi$，那么对应的弦 $A_i A_{i+1}$ 就会与圆心相连的另一条半径形成一个劣弧，而多边形通常是取优弧来连接的。但更关键的是，如果 $ heta_i > pi$，那么 $sin( heta_i)$ 会是负的，这显然会减小总面积。因此，我们只考虑 $ heta_i in [0, pi]$ 的情况。
在区间 $[0, pi]$ 上，函数 $f(x) = sin(x)$ 是一个凹函数。凹函数的定义是：对于区间内的任意两个点 $x_1, x_2$，以及任意实数 $lambda in [0, 1]$，都有 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
Jensen 不等式对于凹函数的形式是：
对于凹函数 $f$ 和任意的 $x_1, x_2, dots, x_n$ 以及非负实数 $lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n$ 使得 $sum_{i=1}^n lambda_i = 1$，我们有：
$f(sum_{i=1}^n lambda_i x_i) ge sum_{i=1}^n lambda_i f(x_i)$
在我们的问题中，我们可以将所有 $ heta_i$ 除以 $n$，得到平均值 $ar{ heta} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} heta_i = frac{2pi}{n}$。然后，我们可以令 $lambda_i = frac{1}{n}$。这样，Jensen 不等式就变成了：
$sin(frac{1}{n} sum_{i=1}^n heta_i) ge frac{1}{n} sum_{i=1}^n sin( heta_i)$
代入我们的约束条件 $sum_{i=1}^n heta_i = 2pi$，得到：
$sin(frac{2pi}{n}) ge frac{1}{n} sum_{i=1}^n sin( heta_i)$
我们将不等式两边同乘以 $n$：
$n sin(frac{2pi}{n}) ge sum_{i=1}^n sin( heta_i)$
这告诉我们，当所有 $ heta_i$ 相等时，即 $ heta_1 = heta_2 = dots = heta_n = frac{2pi}{n}$ 时，$sum_{i=1}^n sin( heta_i)$ 的值会达到最大，等于 $n sin(frac{2pi}{n})$。
何时等号成立？
Jensen 不等式中，当 $f$ 是严格凹函数时，等号成立的条件是所有 $x_i$ 都相等。
我们已经知道，在区间 $[0, pi]$ 上，$f(x) = sin(x)$ 是严格凹的。因此，等号成立的条件是 $ heta_1 = heta_2 = dots = heta_n$。
由于 $sum_{i=1}^n heta_i = 2pi$，所以每个 $ heta_i$ 都必须等于 $frac{2pi}{n}$。
几何解释
当所有圆心角 $ heta_i$ 都相等时，意味着相邻的两个顶点之间的弧长是相等的。由此连接这些顶点的弦的长度也必然相等。一个所有边都相等的内接于圆的多边形，就是正多边形。
总结证明过程
1. 将多边形面积分解为三角形面积之和： 设圆半径为 $R$，多边形顶点为 $A_1, A_2, dots, A_n$，圆心为 $O$。多边形面积 $S = sum_{i=1}^{n} ext{Area}( riangle OA_i A_{i+1})$。
2. 三角形面积公式： $ ext{Area}( riangle OA_i A_{i+1}) = frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$，其中 $ heta_i = angle A_i O A_{i+1}$。
3. 总面积公式： $S = sum_{i=1}^{n} frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$，且约束条件为 $sum_{i=1}^{n} heta_i = 2pi$。
4. 最大化目标： 最大化 $S$ 等价于最大化 $sum_{i=1}^{n} sin( heta_i)$。
5. 应用 Jensen 不等式： 函数 $f(x) = sin(x)$ 在 $[0, pi]$ 区间上是凹函数。我们关注 $ heta_i in [0, pi]$。
根据 Jensen 不等式，$f(frac{sum heta_i}{n}) ge frac{sum f( heta_i)}{n}$，即 $sin(frac{2pi}{n}) ge frac{1}{n} sum sin( heta_i)$。
6. 得到不等式： $n sin(frac{2pi}{n}) ge sum_{i=1}^{n} sin( heta_i)$。
7. 等号成立条件： 由于 $sin(x)$ 在 $[0, pi]$ 上是严格凹的，等号成立当且仅当 $ heta_1 = heta_2 = dots = heta_n$。
8. 得出结论： 由约束条件 $sum heta_i = 2pi$，可得 $ heta_i = frac{2pi}{n}$。此时，多边形的所有顶点将等距离分布在圆周上，构成了正 $n$ 边形。在这个状态下，多边形的面积取到最大值。
思考与延伸
这个证明非常依赖于 Jensen 不等式及其在三角函数上的应用。它优雅地展示了“均匀性”在优化问题中的重要性。这个结论在几何学中有许多实际的应用，比如在给定周长的情况下，圆是最能围成最大面积的形状；而对于多边形，正多边形在周长固定时面积最大。
这个证明也暗含着一个直观的理解：如果我们有一个面积不大的多边形，可以通过微调顶点的位置来增加面积。比如，如果某个圆心角 $ heta_i$ 和它旁边的 $ heta_j$ 相差较大，我们可以尝试“平均”它们，将 $ heta_i$ 稍微减小一点，将 $ heta_j$ 稍微增大一点，使得它们更接近平均值 $frac{2pi}{n}$。根据凹函数的性质，这种“平均化”的过程总会倾向于增大总面积（或至少不减小），直到所有角度相等为止。
希望这个详尽的解释能帮助你理解为什么圆上若干点构成的最大面积多边形会是正多边形。
网友意见
单位圆上的凸 边形取得面积最大值时，圆心 必位于它的内部。
证明是很容易的。设 就是这凸 边形，圆心 位于它的外部，则 这 个顺时针排列的顶点必定位于单位圆的同一个半圆弧上。这时，显然有 考虑这三角形 假使我们调整 位置使它变为 这 是弦 中点与圆心 连线与圆的不在前述半圆弧上的那个交点，这时， 保持不变，但 显然变大了，于是总的 也将随之变大。这说明，如果圆心 位于凸 边形的外部，我们总可以调整顶点的位置、让圆心 变到形内以使凸 边形面积增大，于是结论得证。
单位圆上的凸 边形取得面积最大值时，必是正 边形。
基于 的结论，将的各个顶点分别与形内的 相连，并设
于是有 注意到 在 上是凹函数，于是依 不等式，成立 当且仅当 时成立等式。由此即证。
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