如何证明一个无理数的整数倍数的小数部分在（0，1）上均匀分布？

要证明一个无理数的整数倍数的小数部分在 (0, 1) 上均匀分布，我们需要借助一个叫做依稀收敛定理（Weyl's Criterion）的强大工具。这个定理非常漂亮，它提供了一种量化和证明“均匀分布”的方法。

首先，我们来明确一下我们要证明什么。我们有一个无理数 $alpha$。我们要考虑的是 $alpha$ 的整数倍数，也就是说，我们考察的是 ${alpha}, {2alpha}, {3alpha}, dots, {nalpha}, dots$ 这些值。这里的 ${cdot}$ 表示小数部分，也就是 $x lfloor x floor$，其中 $lfloor x floor$ 是小于等于 $x$ 的最大整数。这些小数部分都落在区间 $[0, 1)$ 内。我们要证明的是，随着 $n$ 的增大，这些 ${nalpha}$ 的值在区间 $(0, 1)$ 上“均匀地”散布开来。

“均匀分布”在数学上有一个精确的定义。我们可以这样理解：如果我们把 $(0, 1)$ 这个区间分成 $k$ 个等长的子区间，比如 $[0, 1/k), [1/k, 2/k), dots, [(k1)/k, 1)$，那么随着 $n$ 的增大，${nalpha}$ 落入每个子区间的点的数量应该大致相等。更严谨地说，对于任何一个区间 $[a, b) subseteq [0, 1)$，${nalpha}$ 落入这个区间的比例应该等于区间的长度 $ba$。也就是说：

$$ lim_{N o infty} frac{\{n in {1, 2, dots, N} : {nalpha} in [a, b)}}{N} = ba $$

这就是“均匀分布”的定义。

现在，我们引入依稀收敛定理。这个定理说，一个数列 ${x_n}$ 在 $[0, 1)$ 上均匀分布，当且仅当对于每一个整数 $m eq 0$，都有：

$$ lim_{N o infty} frac{1}{N} sum_{n=1}^N e^{2pi i m x_n} = 0 $$

这里的 $e^{2pi i m x_n}$ 是复数。这个条件看起来有点奇怪，但它实际上是在检测 ${x_n}$ 的分布是否会“偏向”于某些特定的模式。如果所有的这些复指数和的平均值都趋于零，就说明不存在这种偏向性，分布就是均匀的。

我们的数列是 ${nalpha}$，所以 $x_n = nalpha$。根据依稀收敛定理，我们只需要证明对于任何一个非零整数 $m$，都有：

$$ lim_{N o infty} frac{1}{N} sum_{n=1}^N e^{2pi i m (nalpha)} = 0 $$

让我们来计算这个和式：

$$ S_N(m) = sum_{n=1}^N e^{2pi i m (nalpha)} = sum_{n=1}^N (e^{2pi i m alpha})^n $$

这是一个等比数列求和。设 $r = e^{2pi i m alpha}$。

情况一： $r = 1$。
这种情况发生在 $malpha$ 是一个整数的时候。因为 $m$ 是非零整数，而 $alpha$ 是无理数，所以 $malpha$ 永远不可能是整数。因此，$r$ 永远不等于 1。

情况二： $r eq 1$。
等比数列求和公式是：
$$ sum_{n=1}^N r^n = r frac{1 r^N}{1 r} $$

所以，
$$ S_N(m) = e^{2pi i m alpha} frac{1 (e^{2pi i m alpha})^N}{1 e^{2pi i m alpha}} = e^{2pi i m alpha} frac{1 e^{2pi i m N alpha}}{1 e^{2pi i m alpha}} $$

我们现在要看 $frac{1}{N} S_N(m)$ 的极限。

$$ frac{1}{N} S_N(m) = frac{1}{N} e^{2pi i m alpha} frac{1 e^{2pi i m N alpha}}{1 e^{2pi i m alpha}} $$

我们知道 $|e^{i heta}| = 1$ 对于任何实数 $ heta$ 都成立。
所以，分子中的 $|1 e^{2pi i m N alpha}|$ 是一个复数的模。
$|1 e^{2pi i m N alpha}| = |e^{ipi m N alpha}(e^{ipi m N alpha} e^{ipi m N alpha})| = |e^{ipi m N alpha}| cdot |2i sin(pi m N alpha)| = 1 cdot 2 |sin(pi m N alpha)|$.

所以，
$$ left| frac{1 e^{2pi i m N alpha}}{1 e^{2pi i m alpha}} ight| = frac{|1 e^{2pi i m N alpha}|}{|1 e^{2pi i m alpha}|} = frac{2 |sin(pi m N alpha)|}{|1 e^{2pi i m alpha}|} $$

分母 $|1 e^{2pi i m alpha}|$ 是一个常数（因为 $m$ 和 $alpha$ 是固定的），而且它不等于零，因为 $e^{2pi i m alpha} eq 1$。

因此，我们有：
$$ left| frac{1}{N} S_N(m) ight| = frac{1}{N} left| e^{2pi i m alpha} ight| left| frac{1 e^{2pi i m N alpha}}{1 e^{2pi i m alpha}} ight| = frac{1}{N} cdot 1 cdot frac{2 |sin(pi m N alpha)|}{|1 e^{2pi i m alpha}|} $$

$$ left| frac{1}{N} S_N(m) ight| = frac{2}{|1 e^{2pi i m alpha}|} cdot frac{|sin(pi m N alpha)|}{N} $$

由于 $|sin(pi m N alpha)| le 1$，我们有：
$$ left| frac{1}{N} S_N(m) ight| le frac{2}{|1 e^{2pi i m alpha}|} cdot frac{1}{N} $$

当 $N o infty$ 时，右边的 $frac{2}{|1 e^{2pi i m alpha}|} cdot frac{1}{N}$ 趋于 0。

根据夹逼定理（Squeeze Theorem），这意味着：
$$ lim_{N o infty} left| frac{1}{N} S_N(m) ight| = 0 $$

而如果一个复数的绝对值趋于 0，那么这个复数本身也趋于 0。所以：
$$ lim_{N o infty} frac{1}{N} S_N(m) = 0 $$

至此，我们根据依稀收敛定理的条件证明了：对于任何非零整数 $m$，都有 $lim_{N o infty} frac{1}{N} sum_{n=1}^N e^{2pi i m (nalpha)} = 0$。

结论：
因此，根据依稀收敛定理，数列 ${{nalpha}}_{n=1}^infty$ 在区间 $[0, 1)$ 上是均匀分布的。而题目要求的是在 $(0, 1)$ 上均匀分布。在实际应用中，$[0, 1)$ 和 $(0, 1)$ 的均匀分布是等价的，因为单个点（0 和 1）的概率是零，不会影响整体的分布性质。我们可以通过稍微调整一下依稀收敛定理的表述（例如考虑 $e^{2pi i m (x_n epsilon)}$ 或者使用更细致的区间划分）来严格证明在 $(0, 1)$ 上的均匀分布，但核心的论证思路是一致的。

为什么这个证明是有说服力的？

这个证明的关键在于依稀收敛定理提供了一个非常精妙的“测试”方法。我们知道，如果一个数列在 $[0, 1)$ 上均匀分布，那么它在任何子区间 $[a, b)$ 的“密度”都应该是 $ba$。依稀收敛定理把这个几何的“密度”概念转化成了代数上的求和性质。

复指数函数 $e^{2pi i m x}$ 的性质非常奇特。当 $x$ 在 $[0, 1)$ 上均匀分布时，$e^{2pi i m x}$ 就会在单位圆上“绕圈”。如果 $m$ 是一个非零整数，当 $x$ 遍历 $[0, 1)$ 的时候，$mx$ 会在 $[0, m)$ 上均匀分布。而 $e^{2pi i (mx)}$ 就会在单位圆上绕 $m$ 圈。如果在这一圈里没有任何“偏好性”，也就是说，在任何一个特定角度上的停留时间都差不多，那么当我们将这些值平均起来的时候，它们就会相互抵消，平均值趋于零。

如果 ${nalpha}$ 倾向于聚集在某个区域，比如总是停留在某个小区间，那么 $e^{2pi i m (nalpha)}$ 的值就不会在单位圆上均匀散布，平均值可能就不会趋于零。
反之，如果 ${nalpha}$ 均匀分布，那么 $e^{2pi i m (nalpha)}$ 的值就会在单位圆上“随机”地散布，尽管不是真正的随机，但其平均值根据复分析的性质会趋于零。

更直观的理解（非严格）：

想象你把 $(0, 1)$ 区间切成很多小块。对于均匀分布，你数数有多少个 ${nalpha}$ 落在了每一小块里，这个数量应该和块的大小成正比。

现在用依稀收敛定理的思路想：
如果你用一个“探测器”——比如 $e^{2pi i m x}$ 这个函数——来扫描 $(0, 1)$ 区间，这个函数的值在区间上会波动。如果 ${nalpha}$ 在 $(0, 1)$ 上是均匀的，那么这些“探测器”的值的平均值就会被抵消掉，因为它们不会持续停留在某个“高点”或“低点”。

如果 ${nalpha}$ 不是均匀分布的，比如它们更倾向于落在区间的左半部分，那么 $e^{2pi i m x}$ 在左半部分的值的平均值可能就和在右半部分的值的平均值不同，总的平均值就不会是零。

依稀收敛定理的强大之处在于，它把一个关于“密度”的几何问题，转化成了一个关于“复指数平均值”的代数问题，并且这个代数问题可以通过等比数列求和来精确地解决。而 $alpha$ 是无理数这个性质，正是保证了 $e^{2pi i m alpha}$ 不等于 1，从而使得我们的等比数列求和公式有效，并且保证了 $e^{2pi i m N alpha}$ 永远不会“停留在”某个固定的、有利于求和趋于非零的值上。

整个证明过程严谨且具有数学的内在美。它利用了复数、等比数列和极限的性质，最终给出了一个确定性的结果：无理数的整数倍数的小数部分在 $(0, 1)$ 上是真正意义上的均匀分布。

网友意见

实际上，更标准的说法应该是等分布(equidistribution)，而不是均匀分布(uniform distribution)。

这个问题是Stein分析教材第一卷Fourier Analysis: An Introduction中的一个小节，Weyl等分布定理(Weyl's equidistribution theorem)^[1]，主要聚焦在傅立叶级数的应用上。

对于一个实数，记它的小数部分为，我们可以得到如下命题：

若是有理数，则只能表示有限多个不同的数；若是无理数，则所表示的数都是不同的.

这个命题的证明很简单，若，则序列的前项为

序列从第项开始重复。

考虑为无理数的情况，若表示的数不全是不同的，则对于某些有，所以，与是无理数矛盾。

下面我们介绍一下等分布的定义：

对于任意区间，如果在区间上的实数序列满足

其中表示有限集的基数，则称序列是等分布的(equidistributioned).

由定义可知，对于足够大的基数，任意区间上序列数量的占比为区间在区间上长度的占比。也就是说，序列可以均匀地扫过整个区间，每个子区间都能得到一个公平的份额。

为证明整数倍无理数的小数部分序列在区间上等分布，我们首先需要证明一个引理：

引理1. 若是一个周期为1的连续周期函数，是一个无理数，则

证明. 首先考察为指数函数时极限的有效性. 时极限显然成立，时，右侧积分为0，左侧有

因为是无理数，所以，因此当时，左侧也为0. 所以极限成立.
由此可知，若函数满足引理条件，对于任意，函数也满足引理条件，所以引理对一切三角多项式成立.
下面任取，是任意周期为1的连续函数，则存在三角多项式使得. 由前文可知，存在满足

因此，有

引理得证.

接下来，我们就可以完成Weyl等分布定理的证明：

定理. 若是无理数，则序列在区间上是等分布的，其中为正整数.

证明. 选定区间，令函数为区间上的特征函数，即

把特征函数以1为周期延拓到上，将延拓后得到的新函数依然记作. 由此我们可以得到

由引理1可得

我们容易得到，则根据定义，序列在上等分布.
证毕.

由此，我们可以得到结论，一个无理数的整数倍数的小数部分在区间上是等分布的。

参考

^ E.M.Stein, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2003, p105-113.

啊哈，撞枪口上了。（笑）

这一大堆小问放这先当提示，晚上下课以后回来写答案。

回来了，我们来回答问题。

约定记号：我们约定对于集合，表示中元素的个数；对于实数， <x> 表示它的小数部分；对于集合，用来表示集合的示性函数，即

题目 E（等分布问题） 给定一个数列，其中。对任意的，我们令等于该数列的前个数（即）中落在中的数的数目，即如果对任意的，我们都有，我们就称数列在上等分布。

E1) 至 E4) 与这个问题关系不大，故略去。

E5) 证明，数列在上等分布当且仅当对任意的连续函数 ^[1]，我们都有

我们只需要证一个方向。假设对任意的连续函数，

事实上，可以减弱条件，额外要求，下面的全部论证依然成立——因为下面构造的函数都满足这个额外的要求。下面证明 E6 时，就用到了这个“减弱条件的 E5”。

对于和，我们记

这是个连续函数。

所以，对于任意，对取极限得

而，所以对于任意，

另外，对于任意，对取极限得到对于任意，做变量代换得到

注意到上两式对任意的（无论多小的）都成立，所以对于任意，所以数列在 上等分布。

E6) 证明 Weyl 判定准则：数列在上等分布当且仅当对任意，我们都有

我们依然只证明一个方向。假设对任意，我们都有取个共轭就能自然推出这件事对所有非零整数成立。

这里我们要搬出 Weierstrass–Stone 逼近定理（三角函数级数版本）：的周期为的连续函数可以用三角函数级数一致逼近。

所谓“三角函数级数”，就是形如的函数级数。不难看出写成这种形式与写成的形式等价。
这定理就是说，任意周期为的连续函数，存在一列复数，使得
证明见这里：魏尔施特拉斯逼近定理 - 万维百科

这定理显然可以改写成：任意周期为的连续函数，存在一列复数，使得

首先，对于任意正数和函数满足我们可以令具有周期从而使得成为一个的连续函数。

然后，我们对这个使用 Weierstrass–Stone 逼近定理（我们改写后的版本），得到一列，

于是，存在，

于是，

显然，当时，所以

由假设可以推出

所以

上面证明了，对任取的正数成立，所以：

只要函数满足，就有

而 E5 中定义的所有都满足上述要求，所以就能根据 E5 得出结论：

在 上等分布。

E7) 假设是实数，则数列在上等分布当且仅当是无理数。

“仅当”方向是显然的。下面假设是无理数，来证明数列在上等分布。根据 E6 ，这只需证明对于任意正整数，

只需证明，对于任意正无理数，

这是因为

好啦，证完啦！

看猫猫！

课后习题：题目 E 的其余部分。

参考

^ C([0,1]) 指的是“[0,1] -> 复数集的所有连续函数的集合”。

实际上这个问题是有动力系统背景的，被称为唯一遍历性（uniquely ergodic），题中圆周（也即，是长度为1的圆周）的无理旋转（也即每次加上一个无理数）只是一个非常经典的特例。

什么是唯一遍历？

就简单的情况来说，我们先假设一个测度空间，其中是个紧致度量空间，是它的Borel集，是个Borel概率测度，也即可以测量Borel集的“体积”并满足全空间测度（特别的，对于题中的情形，我们可以把视为圆周，视为圆周的Lebesgue测度，或者更简单来说，也就是“长度”）。是一个可测映射，并且使得是不变的（也即任取一个Borel集合，它关于的原像的测度和它自己的测度相等）。

在这些假设之下，我们引入属于动力系统的经典概念：遍历（ergodic）。如果任意不变的Borel集合要么具有满测度要么具有零测度（也即任取Borel集合，一旦有，那么就有或，其实意思就是在测度上来说不存在非平凡的子系统），那么我们称测度关于是遍历的（或是称关于测度是遍历的）。实际上，遍历有好几个等价定义（意味着它的理解方式很多）。

在前面所有假设下，有一个遍历论里程碑式的定理，也即Birkhoff（伯克霍夫）遍历定理：

对于任意，可测函数都 -几乎处处存在，并且 -几乎处处等于常数，也即对于函数来说，几乎所有的点，它们的正向迭代轨道都是等分布的。（而Birkhoff遍历定理的结果实际上也可以作为遍历的等价定义，可以自己用遍历最初的定义试试为什么）

事实上，圆周上的无理旋转的确是关于Lebesgue测度遍历的，但是这并不能得到题目中所需要的事情，因为对于区间的特征函数来说，我们并不能知道0这个点的正向迭代轨道是否是等分布的，因为Birkhoff遍历定理只能对几乎所有的点说话，对于确切的某个点我们有可能一无所知。但实际上，圆周上的无理旋转具有更强的唯一遍历性：

在前面的假设下（但是我们不做遍历性的假设），针对，如果上只存在唯一的不变Borel概率测度，那么称是唯一遍历的。

乍看之下，这个唯一遍历确实如其名，但是总感觉只在测度上做了假设似乎没什么可以说的？而实际上这个条件非常强，具有这个性质的系统具有很强的刚性，从唯一遍历的系统有以下的等价定义就可以看出来：

对于任意上的连续函数，我们都有函数列在趋于无穷时一致收敛到常数函数 .（注意，这里任意连续函数绝不能改成任意Lebesgue可积函数，可以想想为什么）

这个等价定义中出现的事情比仅假设遍历而得到的Birkhoff遍历定理强了很多（即便是连续函数，后者也仅仅只能对几乎所有的点说话，但是唯一遍历不仅是针对所有点，而且是直接一致收敛）。而事实上，在以上的假设下，唯一遍历确实也蕴含了遍历（抽象地看，其实所有的不变Borel概率测度放在一起，加上适当的弱星拓扑，会构成一个紧致的凸集，而这个凸集的那些极值点，也即无法写成两个不同的不变Borel概率测度的非平凡凸组合的那些点，构成这个凸集中包含的所有遍历测度。那么当唯一遍历告诉我们这个凸集只有一个点之后，我们知道它是遍历测度）。

题中的序列，每次多一个无理数，相当于是把圆周无理旋转中0的正向迭代的轨道拿了出来，而我们有下面经典的定理：

Kronecker-Weyl Equidistribution Theorem：圆周的无理旋转是唯一遍历的。

虽然唯一遍历的等价定义中是针对连续函数来描述的，但实际上那样的一致收敛性质在各种特殊情况下可以对其他函数也成立。比如在题目中的特殊情况圆周上，就对所有黎曼可积函数都成立（思路大概是用连续函数逼近分段常值函数证明分段常值函数也对，再用分段常值函数去逼近黎曼可积函数）。于是问题所描述的等分布，便对应于在这里考虑区间的特征函数的情形（甚至还可以知道是一致收敛的）。

事实上，我们可以不使用任何三角级数相关的东西，而仅仅使用无理旋转是等距同构以及轨道是稠密的这两件事情，直接得到唯一遍历的等价定义那个事情（从而还可以推出无理旋转是遍历的），过程是非常直接的数学分析，就不在此赘述了。

唯一遍历的系统有不少，最经典的就是环面的例子，圆周的无理旋转是一维环面的情形，高维也有类似的事情，只要决定平移的那个向量各个分量拿出来和1放在一起不是有理相关的（rationally independent），那么对应的平移就是唯一遍历的（还可以推广到可交换的紧致拓扑群上），证明一样可以仅仅使用“等距”还有“存在稠密轨道”就可以。

而另一类非常重要的例子就相对困难很多，它最初是1970年由Furstenberg所发现的：

闭双曲曲面单位切丛上的horocyclic流是唯一遍历的。

Furstenberg最初是用平面上的调和分析证明的，不过后来人们也借助horocyclic流和测地流之间的关系（通过考虑测地流的强稳定和强不稳定叶状结构）给出了更为简洁的证明（比如Ratner似乎一口气给了好几个证明）。

这个事情意味着双曲曲面单位切丛上的horocyclic流的性质与测地流大相径庭（测地流有大量的不变的遍历测度）。horocyclic流的研究可谓是打开了齐性动力系统（homogeneous dynamics）的篇章——研究幂幺(unipotent)子群作用的刚性（horocyclic流就是一个幂幺子群作用的例子），发展到后面被Margulis用来解决了解析数论中著名的Oppenheim猜想，并且后来还出现了Ratner定理这种东西（Ratner她把这类作用下的不变概率测度，还有轨道闭包全部给分类出来了，Oppenheim猜想最后某种意义上可以视为Ratner定理的一个特殊推论），这类研究最终发展成了Eskin-Mirzakhani关于在黎曼曲面的模空间的某些丛上作用的“魔杖定理”（Magic Wand）。对这些话题感兴趣的话，可以看看喵哥的一系列文章和回答，进行一些初步的了解（下面这个是其中之一）：

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