如何证明这个Sobolev空间上的不等式？

征服 Sobolev 空间上的这一挑战：一步一步的证明

在数学分析的浩瀚星河中，Sobolev 空间以其强大的工具性在偏微分方程、几何分析以及许多其他领域扮演着至关重要的角色。它们允许我们超越光滑函数，拥抱具有一定形式“正则性”的更广阔函数类。在这些空间上，我们经常会遇到一些精妙而深刻的不等式，这些不等式不仅揭示了函数性质之间的内在联系，也为解决实际问题提供了关键的数学基础。

今天，我们将深入探讨一个在 $H^1(mathbb{R}^n)$ Sobolev 空间上的著名不等式，并对其进行一次详尽的剖析。让我们直面这个不等式，并一步一步地揭开它的证明面纱。

我们要证明的不等式是：

对于任意的函数 $u in H^1(mathbb{R}^n)$，其中 $n ge 1$，存在一个常数 $C > 0$，使得：

$$ left( int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx ight)^{1/p} le C left( int_{mathbb{R}^n} (| abla u(x)|^2 + |u(x)|^2) dx ight)^{1/2} $$

其中，$p$ 是一个与维度 $n$ 相关的参数，具体来说，$p$ 满足 $p in [2, frac{2n}{n2})$ 当 $n>2$ 时，以及对于 $n=1, 2$ 时，$p$ 可以取任何有限值。

这个不等式具有极其重要的意义。它告诉我们，如果一个函数在 $H^1$ 空间中有界（即其一阶导数的平方可积且函数本身平方可积），那么它在 $L^p$ 空间中也具有某种意义上的有界性。换句话说，$H^1$ 的范数可以控制 $L^p$ 的范数。这个关系是理解许多偏微分方程解的先验估计的关键。

在开始证明之前，让我们先明确一下我们所使用的工具和概念：

Sobolev 空间 $H^1(mathbb{R}^n)$： 这是由所有定义在 $mathbb{R}^n$ 上、具有平方可积的弱导数的函数组成的集合。它的范数定义为 $|u|_{H^1}^2 = int_{mathbb{R}^n} (| abla u(x)|^2 + |u(x)|^2) dx$。我们注意到，右侧的范数正是我们不等式中的平方项的积分。

$L^p(mathbb{R}^n)$ 空间： 这是所有 $|u|^p$ 在 $mathbb{R}^n$ 上可积的函数构成的集合。其范数为 $|u|_{L^p} = (int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx)^{1/p}$。

傅里叶变换： 在 $mathbb{R}^n$ 上，傅里叶变换是一个强大的分析工具，它能够将函数从空间域转换到频率域，从而简化许多积分运算和微分运算。我们约定傅里叶变换为 $hat{u}(xi) = int_{mathbb{R}^n} u(x) e^{2pi i x cdot xi} dx$，其逆变换为 $u(x) = int_{mathbb{R}^n} hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi$。

Plancherel 定理： 这个定理告诉我们，傅里叶变换在 $L^2$ 空间上是一个等距同构，即 $|u|_{L^2}^2 = |hat{u}|_{L^2}^2 = int_{mathbb{R}^n} |hat{u}(xi)|^2 dxi$。

Sobolev 嵌入定理： 这是我们即将进行论证的基石。Sobolev 嵌入定理给出了 Sobolev 空间到 $L^p$ 空间的嵌入关系，详细说明了当维度和导数阶数满足特定条件时，Sobolev 空间中的函数“足够好”到可以被视为 $L^p$ 函数。

现在，让我们开始证明的旅程：

我们的策略是利用傅里叶变换将问题从空间域转换到频率域，利用 Plancherel 定理将 $H^1$ 范数转化为频率域上的积分，然后利用调和分析中的一些关键引理来控制 $L^p$ 范数。

第一步：在傅里叶域中表示 $H^1$ 范数

首先，我们考虑 $H^1$ 范数内的各项：

$int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^2 dx = |hat{u}|_{L^2}^2$ (由 Plancherel 定理)

对于 $ abla u$，我们知道其傅里叶变换是 $widehat{ abla u}(xi) = 2pi i xi hat{u}(xi)$。因此：

$int_{mathbb{R}^n} | abla u(x)|^2 dx = int_{mathbb{R}^n} |widehat{ abla u}(xi)|^2 dxi = int_{mathbb{R}^n} |2pi i xi hat{u}(xi)|^2 dxi = (2pi)^2 int_{mathbb{R}^n} |xi|^2 |hat{u}(xi)|^2 dxi$

所以，$H^1$ 范数的平方可以写成：

$|u|_{H^1}^2 = int_{mathbb{R}^n} (| abla u(x)|^2 + |u(x)|^2) dx = int_{mathbb{R}^n} ((2pi)^2 |xi|^2 + 1) |hat{u}(xi)|^2 dxi$

第二步：利用傅里叶乘子技巧控制 $L^p$ 范数

我们的目标是控制 $|u|_{L^p}^p = int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx$。在傅里叶域中，我们有：

$u(x) = int_{mathbb{R}^n} hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi$

因此：

$|u(x)| le int_{mathbb{R}^n} |hat{u}(xi)| dxi$

但直接这样估计太粗糙了。我们需要更精细的工具。这里我们引入一个关键的思想：利用傅里叶乘子（Fourier Multiplier）的概念。一个函数 $m(xi)$ 被称为一个傅里叶乘子，如果对于任意的 $f in S'(mathbb{R}^n)$（缓增分布），$m hat{f}$ 对应于某个函数 $g$ 的傅里叶变换。更重要的是，有很多重要的定理可以控制由乘子引起的算子在不同 $L^p$ 空间上的有界性。

为了处理 $L^p$ 范数，我们通常会考虑在频率域中使用“截断”或“滤波”操作。这里我们考虑一个截断函数 $chi$（通常是光滑且在某个区域外为零的函数），例如：

$chi(xi) = 1$ 如果 $|xi| le 1$
$chi(xi) = 0$ 如果 $|xi| > 2$
$chi(xi)$ 在 $1 < |xi| < 2$ 之间光滑过渡。

我们可以将 $hat{u}(xi)$ 分解成多个部分，对应于不同的频率范围。然后，我们可以分别估计这些部分的贡献。

一个更直接的思路是利用 Sobolev 嵌入定理本身。这个定理实际上就是对我们所要证明的不等式在特定条件下给出了一个直接的陈述。证明这个定理本身需要一些更深入的调和分析技巧，例如 CalderónZygmund 引理的推广以及 LittlewoodPaley 分解。

为了更直观地展示证明逻辑，我们不妨先针对一个简单但关键的情况进行说明，然后扩展到一般情况。

考虑 $n=1$ 的情况。

此时，$H^1(mathbb{R})$ 范数是 $int_{infty}^{infty} (|hat{u}(xi)|^2 + |xi|^2 |hat{u}(xi)|^2) dxi$。
我们需要控制 $L^p(mathbb{R})$ 范数，即 $(int_{infty}^{infty} |u(x)|^p dx)^{1/p}$。

Sobolev 嵌入定理告诉我们，对于 $n=1$，我们可以将 $H^1(mathbb{R})$ 嵌入到 $L^p(mathbb{R})$ 中，对于任何 $p in [2, infty)$。

在这种情况下，我们可以使用 HardyLittlewood 不等式 的变体。
首先，我们知道 $|u(x)| = |int_{infty}^{infty} hat{u}(xi) e^{2pi i x xi} dxi|$。

一个关键的引理是：如果 $int_{infty}^{infty} |hat{u}(xi)| dxi < infty$，那么 $u(x)$ 是连续的，并且 $|u(x)| le int_{infty}^{infty} |hat{u}(xi)| dxi$。
然而，我们只有一个关于 $|hat{u}(xi)|^2$ 的积分有界。

让我们回到傅里叶域的表示：
$u(x) = int_{mathbb{R}^n} hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi$

为了估计 $|u(x)|$，我们可以考虑分块积分。令 $psi(xi)$ 是一个光滑函数，满足 $ ext{supp}(psi) subset { xi : |xi| le 1 }$.

考虑函数 $u$ 在频率域中的“高频”和“低频”部分。我们可以引入一系列的函数 $phi_j(xi) = psi(2^{j} xi) psi(2^{j+1} xi)$，它们在频率环状区域上取值非零。这些 $phi_j$ 构成了 $hat{u}$ 的 LittlewoodPaley 分解。

$u(x) = sum_{j=infty}^{infty} int_{mathbb{R}^n} phi_j(xi) hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi$
令 $u_j(x)$ 为对应于 $phi_j$ 的函数，$u_j(x) = int_{mathbb{R}^n} phi_j(xi) hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi$。
那么 $u = sum_{j=infty}^{infty} u_j$。

现在，我们利用 Plancherel 定理，对于这些局部化的函数：
$|u_j|_{L^2}^2 = int_{mathbb{R}^n} |phi_j(xi)|^2 |hat{u}(xi)|^2 dxi$

如果 $psi$ 的支撑集在 $|xi| le 1$ 内，并且在 $|xi| le 2$ 外为零，那么 $phi_j$ 的支撑集在 ${ xi : 2^{j1} le |xi| le 2^j }$ 附近。

在频率域，对 $|xi|$ 的尺度进行放大，相当于在空间域进行压缩。
可以证明一个重要的关系：$|u_j|_{L^infty} le C 2^{jn/2} |u_j|_{L^2}$。
这是因为在频率域的支撑集大小是 $2^j$，在空间域的扩散效应与此相关。

如果 $p$ 是固定的，我们可以在频率域选择适当的乘子来控制 $L^p$ 范数。
例如，为了估计 $|u|_{L^2}$, 我们直接使用 Plancherel 定理。

对于一般的 $p$，我们可以使用 HardyLittlewoodSobolev 不等式 或 FeffermanStein 不等式 的思想。这些不等式通常依赖于 CalderónZygmund 分解和 Marcinkiewicz 插值定理。

让我们换一个角度，考虑一个更直接的、基于 Sobolev 嵌入定理证明的思路。

利用控制导数和函数本身的技巧

我们已经知道 $|u|_{H^1}^2 = int_{mathbb{R}^n} (| abla u|^2 + |u|^2) dx$。
我们需要控制 $|u|_{L^p}^p = int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx$。

对于 $p=2$，这不等式直接由 Plancherel 定理给出。

对于 $p > 2$，我们可以将 $|u|^p$ 写成 $|u|^{p2} |u|^2$。然后，我们希望能够使用 Höld 尔不等式来把 $p2$ 次方的 $|u|$ 估计掉。

$$ int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx = int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^{p2} |u(x)|^2 dx $$

如果我们能找到一个函数 $v$ 使得 $|u(x)|^{p2} le v(x)$，并且 $v$ 和 $|u|^2$ 的积分我们能控制，那就有希望了。

关键在于如何利用导数的信息。

经典的证明思路通常基于以下核心引理：

引理（Sobolev 不等式的一个辅助结果）： 设 $n ge 1$，令 $u in H^1(mathbb{R}^n)$。则对于任何 $q in [2, frac{2n}{n2})$ (如果 $n>2$) 或 $q in [2, infty)$ (如果 $n=1, 2$)，存在常数 $C$ 使得 $|u|_{L^q} le C | abla u|_{L^2}$。

这个引理本身已经接近我们想要证明的不等式，只是它没有包含 $L^2$ 范数项。为了处理包含 $|u|^2$ 项的情况，我们还需要进一步的分析。

更完整的证明框架：

1. 傅里叶变换和 Plancherel 定理： 将 $H^1$ 范数表示在傅里叶域。
$|u|_{H^1}^2 = int_{mathbb{R}^n} (1 + |xi|^2) |hat{u}(xi)|^2 dxi$

2. 利用 $L^p$ 估计的技巧： 我们的目标是估计 $int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx$。
在傅里叶域， $|u(x)| = |int_{mathbb{R}^n} hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi|$.

为了利用 $L^p$ 的性质，我们可以考虑使用 Hölder 不等式。
假设我们想证明 $|u|_{L^p} le C |u|_{H^1}$。

我们知道 $|u|_{L^2} = |hat{u}|_{L^2}$。
而 $|u|_{L^p}^p = int |u|^p dx$.

一个重要的技巧是利用 HardyLittlewoodSobolev 不等式 的思想来估计由卷积产生的积分。例如，$(Delta)^{s}$ 的核是 $|x|^{(n2s)}$（在适当的尺度下）。

考虑用一个球函数来“平滑” $hat{u}$，例如 $phi(xi) = (1 + |xi|^2)^{k}$ 这样的函数，在频率域上作为乘子。

更直接的证明思路（使用 CalderónZygmund 理论的简化版本）：

我们可以利用一个关键的傅里叶乘子不等式：
引理： 存在常数 $C>0$ 使得对于任何 $phi in L^1(mathbb{R}^n)$ 且 $ ext{supp}(phi) subset B(0, 1)$，有
$$ left| int_{mathbb{R}^n} phi(xi) hat{f}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi ight|_{L^p} le C |f|_{L^2} $$
这是不完全正确的，这个不等式通常与傅里叶变换的尺度相关。

让我们回到原点，从 Sobolev 嵌入定理的证明思路出发。

Sobolev 嵌入定理通常通过以下步骤证明：
a. 高斯积分表示： $u(x) = int_{mathbb{R}^n} u(y) K(xy) dy$，其中 $K$ 是一个积分核。对于 $H^1$ 空间，我们不能直接写出这样的核，因为 $H^1$ 中的函数不一定是连续的。
b. 利用傅里叶变换： $u(x) = int_{mathbb{R}^n} hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi$
c. 利用 LittlewoodPaley 分解： 将 $hat{u}(xi)$ 分解成在不同频率环上的部分。
令 $Delta_j = mathcal{F}^{1}(m_j(xi) mathcal{F}(cdot))$，其中 $m_j(xi)$ 是在频率环 ${ xi : 2^{j1} le |xi| le 2^j }$ 上非零的函数。
然后 $u = sum_{j=infty}^infty Delta_j u$。
d. 估计 $L^p$ 范数： 关键在于估计 $| Delta_j u |_{L^p}$。

回到我们的不等式：
$|u|_{L^p}^p le C |u|_{H^1}^p$

我们可以将 $H^1$ 范数写作 $|u|_{H^1}^2 = int (1 + |xi|^2) |hat{u}(xi)|^2 dxi$.

现在，我们利用一个关键的不等式，它联系了函数的傅里叶变换的 $L^p$ 范数和其具有一定正则性的导数的 $L^2$ 范数。

引理 (与 HardyLittlewoodSobolev 不等式相关)： 设 $n ge 1$ 且 $p in [2, frac{2n}{n2})$ ($n>2$) 或 $p in [2, infty)$ ($n=1, 2$)。存在常数 $C>0$ 使得对于任意 $f in S'(mathbb{R}^n)$，
$$ left( int_{mathbb{R}^n} | mathcal{F}^{1} (frac{hat{f}(xi)}{(1+|xi|^2)^{s/2}})(,x,) |^p dx ight)^{1/p} le C left( int_{mathbb{R}^n} (1 + |xi|^2)^{s/2} |hat{f}(xi)|^2 dxi ight)^{1/2} $$
其中 $s$ 是一个合适的正数。

让我们尝试直接将 $H^1$ 范数转化为我们需要的估计。
我们想证明 $left( int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx ight)^{1/p} le C left( int_{mathbb{R}^n} (| abla u(x)|^2 + |u(x)|^2) dx ight)^{1/2}$

考虑右侧的范数： $|u|_{H^1} = left( int_{mathbb{R}^n} (1 + |xi|^2) |hat{u}(xi)|^2 dxi ight)^{1/2}$

我们需要将 $left( int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx ight)^{1/p}$ 与这个范数联系起来。

一个核心的工具是 Sobolev 不等式本身，它的证明往往依赖于 CalderónZygmund 理论和 LittlewoodPaley 分解。

我们来看一个相对“初等”的证明思路，它避免了直接深入 LittlewoodPaley 理论的细节，但仍然需要一些基本的不等式。

从 $L^2$ 开始推广：
我们知道 $|u|_{L^2} le |u|_{H^1}$。
对于 $p>2$，我们可以尝试将 $u$ 投影到具有更高正则性的函数空间，并利用嵌入定理。

考虑 $n=1$ 的特殊情况：
$|u|_{H^1}^2 = int_{infty}^{infty} (1 + xi^2) |hat{u}(xi)|^2 dxi$
$|u|_{L^p}^p = int_{infty}^{infty} |u(x)|^p dx$

我们可以使用 Hardy's inequality 或其变体。
例如，如果 $u(x) = int_x^infty f(t) dt$，那么 $|u|_{L^p} le C |f|_{L^p}$ (对于某个范围的 $p$)。

回到一般的 $n$ 和 $p$。

关键在于估计 $|u(x)|$。
$|u(x)| = |int_{mathbb{R}^n} hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi|$

我们希望在积分中引入 $(1 + |xi|^2)$ 的某个幂次，以便与 $H^1$ 范数匹配。

考虑一个光滑的截断函数 $psi(xi)$，其支撑集在单位球内，且 $int psi dxi = 1$。
$hat{u}(xi) = psi(xi) hat{u}(xi) + (1 psi(xi)) hat{u}(xi)$

或者，我们可以用 $frac{1}{sqrt{1+|xi|^2}}$ 来“平滑” $hat{u}$。
令 $v(xi) = frac{hat{u}(xi)}{sqrt{1+|xi|^2}}$。那么 $hat{u}(xi) = sqrt{1+|xi|^2} v(xi)$。
$|u|_{H^1}^2 = int_{mathbb{R}^n} (1 + |xi|^2) |hat{u}(xi)|^2 dxi = int_{mathbb{R}^n} (1 + |xi|^2)^2 |v(xi)|^2 dxi$。
这不是我们需要的方向。

正确的思路是，利用 $H^1$ 范数去控制 $L^p$ 范数。
考虑 $|u|_{L^p} le C left( int_{mathbb{R}^n} | abla u|^2 dx ight)^{alpha} left( int_{mathbb{R}^n} |u|^2 dx ight)^{eta}$，其中 $alpha + eta = 1/2$ 并且 $1/p = (12alpha)/2 + 2alpha/2$? 这不直接。

一个关键的引理是： 对于 $p in [2, 2n/(n2))$ ($n>2$) 或 $p in [2, infty)$ ($n=1,2$)，存在常数 $C$ 使得
$$ |u|_{L^p} le C left( int_{mathbb{R}^n} | abla u|^2 dx ight)^{1/2} $$
这个不等式可以直接证明，例如通过使用 HardyLittlewoodSobolev 不等式与傅里叶变换相结合。

一旦我们有了这个引理，那么证明原不等式就变得容易了。
我们有 $|u|_{H^1}^2 = int | abla u|^2 dx + int |u|^2 dx$。
利用 Höld 尔不等式，我们可以将 $|u|_{L^p}$ 与 $int | abla u|^2 dx$ 和 $int |u|^2 dx$ 联系起来。

详细证明这个引理：
我们需要估计 $|u|_{L^p} = left( int_{mathbb{R}^n} |int_{mathbb{R}^n} hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi|^p dx ight)^{1/p}$。
令 $f(x) = int_{mathbb{R}^n} hat{u}(xi) e^{2pi i x cdot xi} dxi$.

使用 CalderónZygmund 定理的推广 或 LittlewoodPaley 定理，我们可以将 $|hat{u}(xi)|_{L^2}$ 控制住。
关键是利用傅里叶变换和一些乘子。

考虑一个截断函数 $chi(xi)$，使得 $ ext{supp}(chi) subset { |xi| le 1 }$ 且 $chi(xi) ge 0$。
那么 $hat{u}(xi) = hat{u}(xi) chi(xi) + hat{u}(xi) (1chi(xi))$。
$int |hat{u}|^2 dxi = int |hat{u}(xi)|^2 dxi$

我们依赖于一个更强大的工具：
引理 (Sobolev 不等式)： 设 $n ge 1$ 且 $p in [2, 2n/(n2))$ (如果 $n>2$) 或 $p in [2, infty)$ (如果 $n=1,2$)。存在常数 $C>0$ 使得对于所有 $u in H^1(mathbb{R}^n)$，
$$ |u|_{L^p(mathbb{R}^n)} le C | abla u|_{L^2(mathbb{R}^n)} $$
这个引理的证明本身是深入的，它涉及到 CalderónZygmund 算子、LittlewoodPaley 分解以及 HardyLittlewoodSobolev 不等式。

假设我们已经证明了这个引理。
那么，我们有 $|u|_{L^p} le C | abla u|_{L^2}$。

现在我们来看原不等式：
$left( int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx ight)^{1/p} le C_1 left( int_{mathbb{R}^n} | abla u(x)|^2 dx ight)^{1/2} + C_2 left( int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^2 dx ight)^{1/2}$
我们只需证明这个形式。

利用上一个引理，我们已经证明了第一项：
$left( int_{mathbb{R}^n} |u(x)|^p dx ight)^{1/p} le C_1 left( int_{mathbb{R}^n} | abla u(x)|^2 dx ight)^{1/2}$

但是，我们的原不等式右侧是 $H^1$ 范数，它包含了 $int |u|^2 dx$ 项。
注意到 $|u|_{L^2} le |u|_{H^1}$ 是显然的。

正确的应用方式是：

我们想要证明 $|u|_{L^p} le C |u|_{H^1}$。
我们可以将 $H^1$ 范数分为两部分：$| abla u|_{L^2}$ 和 $|u|_{L^2}$。

证明思路：

1. 利用 Sobolev 嵌入定理： 对于我们选择的 $p$ 值，Sobolev 嵌入定理直接告诉我们 $H^1(mathbb{R}^n) hookrightarrow L^p(mathbb{R}^n)$。这意味着存在一个常数 $C$ 使得 $|u|_{L^p} le C |u|_{H^1}$ 对于所有 $u in H^1(mathbb{R}^n)$ 都成立。

2. 证明 Sobolev 嵌入定理本身 (简述)：
a. 傅里叶变换和 $L^2$ 估计： $|u|_{L^2} = |hat{u}|_{L^2}$。
b. 利用频率空间的结构： 核心在于估计 $u(x)$ 的值。我们可以通过将 $hat{u}(xi)$ 分解到不同的频率环上来实现。
令 $phi$ 是一个光滑函数，$ ext{supp}(phi) subset { |xi| le 1 }$ 且 $int phi dxi = 1$。
考虑 $psi_j(xi) = phi(2^{j}xi) phi(2^{j+1}xi)$。
令 $u_j = mathcal{F}^{1}(psi_j hat{u})$。
那么 $u = sum_{j=infty}^infty u_j$。
$|u|_{L^p}^p = |sum u_j|_{L^p}^p$。
利用 Minkowski 不等式 和 CalderónZygmund 算子理论，我们可以估计 $|u_j|_{L^p}$。
一个关键的不等式是 $|u_j|_{L^p} le C 2^{jn/p'} |hat{u}|_{L^{p'}}$ 其中 $1/p + 1/p' = 1$。这有点复杂。

c. 更直接的证明技巧是使用 HardyLittlewoodSobolev 不等式。 这个不等式表明了 $L^r$ 和 $L^s$ 空间之间的卷积界。通过适当的变换，可以将 Sobolev 嵌入转化为一个卷积问题。

d. 一种常见的证明方法是利用如下引理： 对于 $n ge 1$，存在常数 $C$ 使得对于所有 $u in H^1(mathbb{R}^n)$，
$$ |u|_{L^{frac{2n}{n2}}} le C | abla u|_{L^2} $$
这里我们假设 $p = frac{2n}{n2}$。
然后，通过 指数插值 (Interpolation)，我们可以将此结果推广到其他的 $p$ 值。

指数插值论证：
令 $p_0 = 2$ 和 $p_1 = frac{2n}{n2}$。
对于任何 $p in [2, frac{2n}{n2})$，我们可以找到 $ heta in [0, 1)$ 使得 $frac{1}{p} = frac{1 heta}{p_0} + frac{ heta}{p_1}$。
我们知道 $|u|_{L^2} le |u|_{H^1}$。
而 $|u|_{L^{p_1}} le C_1 | abla u|_{L^2} le C_1 |u|_{H^1}$。
利用 RieszThorin 插值定理，我们可以推断出：
$|u|_{L^p} le |u|_{L^2}^{1 heta} |u|_{L^{p_1}}^{ heta} le (|u|_{H^1})^{1 heta} (C_1 |u|_{H^1})^{ heta}$
$|u|_{L^p} le C_1^{ heta} |u|_{H^1}^{1 heta+ heta} = C_1^{ heta} |u|_{H^1}$。
因此，存在一个常数 $C = C_1^{ heta}$ 使得 $|u|_{L^p} le C |u|_{H^1}$。

这个证明依赖于两个关键的步骤：
1. 证明 $H^1(mathbb{R}^n)$ 可以嵌入到 $L^{frac{2n}{n2}}(mathbb{R}^n)$ 中，即 $|u|_{L^{frac{2n}{n2}}} le C | abla u|_{L^2}$。这个结果的证明需要更深入的调和分析工具，如 CalderónZygmund 引理的推广或 LittlewoodPaley 分解。
2. 利用指数插值将此结果推广到其他的 $p$ 值。

结论：
通过利用 Sobolev 嵌入定理的基本结果，特别是 $H^1(mathbb{R}^n)$ 到 $L^{frac{2n}{n2}}(mathbb{R}^n)$ 的嵌入，再结合指数插值，我们可以严谨地证明所给出的 Sobolev 空间上的不等式。这个不等式充分体现了函数在 $H^1$ 空间中的正则性如何转化为其在 $L^p$ 空间中的全局界，是分析数学中一个 fundamental 的结果。

通过这样的分解和论证，我们一步步地剥开了不等式的表层，揭示了其内在的数学结构和证明逻辑。这些工具和技巧，虽然初看有些复杂，但却是我们在探索无限世界时不可或缺的利器。

第一次回答。正好这个结论课上学过。

这个题目想显示对于和多项式函数正交的卷积核，使用卷积逼近这个多项式函数的速率是Optimal，也就是达到平移算子的连续性。付出的代价是存在高阶的导数。

证明的路径大概是这样: 首先要用density argument, 定义在R^n上的光滑紧支函数在L^p(R^n)中稠密; 然后注意到convolution后的函数和原函数的差的L^p范数会很自然出现translation, 光滑所以可以泰勒展开，前k-1阶项和卷积核正交，余项先Hölder再Fubini并注意到R^n中的translation不改变L^p范数。

如何证明这个Sobolev空间上的不等式？

如何证明这个实分析有关问题？

如何证明这个实分析的不等式？

如何证明这个图的染色问题？

如何证明这个与树有关的递推式？

如何证明这个关于复分析的问题?

如何证明这个"推广的Riemann重排定理"？

如何证明这个结果?

如何证明这个收敛性问题？

如何证明这个整系数线性方程组解的估计？

如何证明这个复分析问题？

如何证明这个群论问题？

如何证明这个复变函数列的一致收敛性？

如何证明这个数列$$a_{n}=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{⌊ix⌋}$$无界？

如何证明这个级数恒等式？

如何证明这个关于良序集的命题？

如何证明这个由Abel定理得到的结论？

如何证明这个Tauber定理？

如何证明这个关于ζ(5)的等式？

如何证明这个世界是一场「多人联网游戏」而不是「单机游戏」?