如何证明这个与树有关的递推式？
揭秘树的奥秘：一个引人入胜的递推式证明之旅
在计算机科学和数学的广阔天地里，树状结构以其层层递进、枝繁叶茂的优雅形态，深深地吸引着我们。而围绕着这些结构，我们常常能发现一些迷人的递推式，它们如同DNA一般，蕴含着树木本身的生长规律。今天，我们就来一同探索其中一个关于树的递推式，并用一种抽丝剥茧、娓娓道来的方式，将其证明的过程一一呈现。
请允许我先卖个关子，我们即将探讨的递推式，它描述的是一类特定树木（我们稍后会揭晓是哪种）的某种重要性质。假设我们有一个大小为 $n$ 的树，它的某个关键数值（比如节点数、边数，甚至是某个特殊的标记）可以用一个递推关系来表示。
故事的开端：定义我们的主角——二叉搜索树（BST）
让我们先把目光聚焦在一种非常常见且重要的树结构上：二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）。它的定义很简单：
1. 它是一棵二叉树。
2. 每个节点都有一个键值。
3. 对于任意节点，其左子树中所有节点的键值都小于该节点自身的键值。
4. 对于任意节点，其右子树中所有节点的键值都大于该节点自身的键值。
5. 左子树和右子树本身也都是二叉搜索树。
正是这种清晰的定义，使得二叉搜索树在数据检索、排序等领域大放异彩。
递推式的诞生：节点数量的秘密
我们不妨从一个最基础的性质开始：节点数量。一棵拥有 $n$ 个节点的二叉搜索树，它的结构可能千差万别，取决于节点插入的顺序。然而，我们能否找到一个递推式来描述它的一些更深层次的属性呢？
今天，我们要证明的递推式，它实际上与构建一棵包含 $n$ 个不同键值的二叉搜索树的不同结构的数量有关。让我们用 $C_n$ 来表示能够由 $n$ 个不同键值构建出的不同二叉搜索树的个数。
现在，让我们尝试从一个非常小的 $n$ 值开始，观察这个数字是如何增长的：
$n = 0$ (空树): 只有一种情况，就是空树本身。所以 $C_0 = 1$。
$n = 1$ (一个节点): 只有一个节点，自然也是一种结构。所以 $C_1 = 1$。
$n = 2$ (两个节点): 假设我们有键值 ${1, 2}$。
如果根节点是 1，那么 2 只能放在右子树。
如果根节点是 2，那么 1 只能放在左子树。
所以有 2 种不同的结构。$C_2 = 2$。
$n = 3$ (三个节点): 假设我们有键值 ${1, 2, 3}$。
根节点是 1: 左子树为空，右子树包含 ${2, 3}$。右子树有 $C_2 = 2$ 种结构。
根节点是 2: 左子树包含 ${1}$ ($C_1=1$ 种结构)，右子树包含 ${3}$ ($C_1=1$ 种结构)。总共 $C_1 imes C_1 = 1 imes 1 = 1$ 种结构。
根节点是 3: 左子树包含 ${1, 2}$ ($C_2=2$ 种结构)，右子树为空。总共 $C_2 imes C_0 = 2 imes 1 = 2$ 种结构。
总计 $2 + 1 + 2 = 5$ 种结构。所以 $C_3 = 5$。
我们得到了一个序列：$C_0 = 1, C_1 = 1, C_2 = 2, C_3 = 5$。这是否让你想起某个熟悉的数列？没错，这就是卡特兰数（Catalan numbers）的开端！
卡特兰数有一个经典的递推公式：
$$C_n = sum_{i=0}^{n1} C_i C_{n1i}$$
其中，$C_0 = 1$。
现在，我们的任务就是证明，这个公式是如何从二叉搜索树的结构中自然而然地产生的。
证据的搜寻：从根节点开始的推理
要证明这个递推式，我们需要从一棵任意大小为 $n$ 的二叉搜索树入手。
让我们考虑一棵包含 $n$ 个不同键值的二叉搜索树。由于它是二叉搜索树，任何一个节点都可以成为这棵树的根。假设我们选择了一个键值作为根节点。一旦根节点确定，所有的键值就被自然地分成了两部分：
1. 小于根节点键值的键值集合: 这些键值只能构成根节点的左子树。
2. 大于根节点键值的键值集合: 这些键值只能构成根节点的右子树。
更重要的是，由于二叉搜索树的性质，左子树本身必须是一棵二叉搜索树，右子树也必须是一棵二叉搜索树。
现在，让我们来具体分析一下：
假设我们有 $n$ 个键值，它们是 $k_1 < k_2 < dots < k_n$。
如果我们将键值 $k_i$ 作为根节点，那么：
左子树将由比 $k_i$ 小的所有键值构成，即 ${k_1, k_2, dots, k_{i1}}$。这个集合的大小是 $i1$。
右子树将由比 $k_i$ 大的所有键值构成，即 ${k_{i+1}, k_{i+2}, dots, k_n}$。这个集合的大小是 $n i$。
由于左子树和右子树内部的相对顺序是不变的，这意味着从 ${k_1, dots, k_{i1}}$ 这 $i1$ 个键值构成的二叉搜索树，其结构的数量只取决于这 $i1$ 个键值的相对大小，而与它们具体的数值无关。同理，从 ${k_{i+1}, dots, k_n}$ 这 $ni$ 个键值构成的二叉搜索树，其结构数量也只取决于这 $ni$ 个键值的相对大小。
因此，如果根节点是 $k_i$，那么构成这棵树的左子树的不同结构的数量是 $C_{i1}$，而构成这棵树的右子树的不同结构的数量是 $C_{ni}$。
根据乘法原理，当根节点固定为 $k_i$ 时，能够构建出的不同二叉搜索树的数量就是 $C_{i1} imes C_{ni}$。
将所有可能性汇聚：递推式的形成
我们知道，根节点可以是任何一个键值。在 $n$ 个键值的情况下，我们可以选择 ${k_1, k_2, dots, k_n}$ 中的任意一个作为根节点。
选择 $k_1$ 作为根节点： 左子树包含 $0$ 个节点 ($C_0$)，右子树包含 $n1$ 个节点 ($C_{n1}$)。总数为 $C_0 C_{n1}$。
选择 $k_2$ 作为根节点： 左子树包含 $1$ 个节点 ($C_1$)，右子树包含 $n2$ 个节点 ($C_{n2}$)。总数为 $C_1 C_{n2}$。
选择 $k_3$ 作为根节点： 左子树包含 $2$ 个节点 ($C_2$)，右子树包含 $n3$ 个节点 ($C_{n3}$)。总数为 $C_2 C_{n3}$。
...
选择 $k_i$ 作为根节点： 左子树包含 $i1$ 个节点 ($C_{i1}$)，右子树包含 $ni$ 个节点 ($C_{ni}$)。总数为 $C_{i1} C_{ni}$。
...
选择 $k_n$ 作为根节点： 左子树包含 $n1$ 个节点 ($C_{n1}$)，右子树包含 $0$ 个节点 ($C_0$)。总数为 $C_{n1} C_0$。
由于这些情况是互斥的（一棵树只有一个根节点），因此，总共可以构建的二叉搜索树的数量 $C_n$ 就是所有这些情况的总和。
所以，我们得到了：
$$C_n = C_0 C_{n1} + C_1 C_{n2} + C_2 C_{n3} + dots + C_{i1} C_{ni} + dots + C_{n1} C_0$$
这个公式可以用求和符号表示为：
$$C_n = sum_{i=1}^{n} C_{i1} C_{ni}$$
或者，通过令 $j = i1$，当 $i=1$ 时，$j=0$；当 $i=n$ 时，$j=n1$。则 $ni = n(j+1) = n1j$。所以上式也可以写成：
$$C_n = sum_{j=0}^{n1} C_j C_{n1j}$$
这就是我们想要证明的卡特兰数的递推公式！
最后的检阅：严谨与清晰
回顾整个证明过程，我们从二叉搜索树的基本定义出发，巧妙地利用了其结构特性：任何节点都可以作为根，并且根节点将其他节点按照大小划分到左子树和右子树。通过枚举所有可能的根节点选择，并结合乘法原理和加法原理，我们成功地将总的结构数量 $C_n$ 表示为关于更小子树数量的递推和。
这个证明不仅展示了数学的严谨，更揭示了二叉搜索树在结构上的内在规律。从 $C_0=1$ 开始，我们可以一步步计算出 $C_1, C_2, C_3 dots$，验证我们推导出的递推式是否与我们最初观察到的例子相符。
通过这次证明之旅，我们不仅仅是得到了一个公式，更是深入理解了二叉搜索树是如何通过组合小的结构来构建大的结构。这种思想，在计算机科学中无处不在，它如同种子般，孕育出无数复杂的算法和数据结构。希望这次详尽的解析，能让你对树的奥秘有更深一层的感悟。
在计算机科学和数学的广阔天地里，树状结构以其层层递进、枝繁叶茂的优雅形态，深深地吸引着我们。而围绕着这些结构，我们常常能发现一些迷人的递推式，它们如同DNA一般，蕴含着树木本身的生长规律。今天，我们就来一同探索其中一个关于树的递推式，并用一种抽丝剥茧、娓娓道来的方式，将其证明的过程一一呈现。
请允许我先卖个关子，我们即将探讨的递推式，它描述的是一类特定树木（我们稍后会揭晓是哪种）的某种重要性质。假设我们有一个大小为 $n$ 的树，它的某个关键数值（比如节点数、边数，甚至是某个特殊的标记）可以用一个递推关系来表示。
故事的开端：定义我们的主角——二叉搜索树（BST）
让我们先把目光聚焦在一种非常常见且重要的树结构上：二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）。它的定义很简单：
1. 它是一棵二叉树。
2. 每个节点都有一个键值。
3. 对于任意节点，其左子树中所有节点的键值都小于该节点自身的键值。
4. 对于任意节点，其右子树中所有节点的键值都大于该节点自身的键值。
5. 左子树和右子树本身也都是二叉搜索树。
正是这种清晰的定义，使得二叉搜索树在数据检索、排序等领域大放异彩。
递推式的诞生：节点数量的秘密
我们不妨从一个最基础的性质开始：节点数量。一棵拥有 $n$ 个节点的二叉搜索树，它的结构可能千差万别，取决于节点插入的顺序。然而，我们能否找到一个递推式来描述它的一些更深层次的属性呢？
今天，我们要证明的递推式，它实际上与构建一棵包含 $n$ 个不同键值的二叉搜索树的不同结构的数量有关。让我们用 $C_n$ 来表示能够由 $n$ 个不同键值构建出的不同二叉搜索树的个数。
现在，让我们尝试从一个非常小的 $n$ 值开始，观察这个数字是如何增长的：
$n = 0$ (空树): 只有一种情况，就是空树本身。所以 $C_0 = 1$。
$n = 1$ (一个节点): 只有一个节点，自然也是一种结构。所以 $C_1 = 1$。
$n = 2$ (两个节点): 假设我们有键值 ${1, 2}$。
如果根节点是 1，那么 2 只能放在右子树。
如果根节点是 2，那么 1 只能放在左子树。
所以有 2 种不同的结构。$C_2 = 2$。
$n = 3$ (三个节点): 假设我们有键值 ${1, 2, 3}$。
根节点是 1: 左子树为空，右子树包含 ${2, 3}$。右子树有 $C_2 = 2$ 种结构。
根节点是 2: 左子树包含 ${1}$ ($C_1=1$ 种结构)，右子树包含 ${3}$ ($C_1=1$ 种结构)。总共 $C_1 imes C_1 = 1 imes 1 = 1$ 种结构。
根节点是 3: 左子树包含 ${1, 2}$ ($C_2=2$ 种结构)，右子树为空。总共 $C_2 imes C_0 = 2 imes 1 = 2$ 种结构。
总计 $2 + 1 + 2 = 5$ 种结构。所以 $C_3 = 5$。
我们得到了一个序列：$C_0 = 1, C_1 = 1, C_2 = 2, C_3 = 5$。这是否让你想起某个熟悉的数列？没错，这就是卡特兰数（Catalan numbers）的开端！
卡特兰数有一个经典的递推公式：
$$C_n = sum_{i=0}^{n1} C_i C_{n1i}$$
其中，$C_0 = 1$。
现在，我们的任务就是证明，这个公式是如何从二叉搜索树的结构中自然而然地产生的。
证据的搜寻：从根节点开始的推理
要证明这个递推式，我们需要从一棵任意大小为 $n$ 的二叉搜索树入手。
让我们考虑一棵包含 $n$ 个不同键值的二叉搜索树。由于它是二叉搜索树，任何一个节点都可以成为这棵树的根。假设我们选择了一个键值作为根节点。一旦根节点确定，所有的键值就被自然地分成了两部分：
1. 小于根节点键值的键值集合: 这些键值只能构成根节点的左子树。
2. 大于根节点键值的键值集合: 这些键值只能构成根节点的右子树。
更重要的是，由于二叉搜索树的性质，左子树本身必须是一棵二叉搜索树，右子树也必须是一棵二叉搜索树。
现在，让我们来具体分析一下：
假设我们有 $n$ 个键值，它们是 $k_1 < k_2 < dots < k_n$。
如果我们将键值 $k_i$ 作为根节点，那么：
左子树将由比 $k_i$ 小的所有键值构成，即 ${k_1, k_2, dots, k_{i1}}$。这个集合的大小是 $i1$。
右子树将由比 $k_i$ 大的所有键值构成，即 ${k_{i+1}, k_{i+2}, dots, k_n}$。这个集合的大小是 $n i$。
由于左子树和右子树内部的相对顺序是不变的，这意味着从 ${k_1, dots, k_{i1}}$ 这 $i1$ 个键值构成的二叉搜索树，其结构的数量只取决于这 $i1$ 个键值的相对大小，而与它们具体的数值无关。同理，从 ${k_{i+1}, dots, k_n}$ 这 $ni$ 个键值构成的二叉搜索树，其结构数量也只取决于这 $ni$ 个键值的相对大小。
因此，如果根节点是 $k_i$，那么构成这棵树的左子树的不同结构的数量是 $C_{i1}$，而构成这棵树的右子树的不同结构的数量是 $C_{ni}$。
根据乘法原理，当根节点固定为 $k_i$ 时，能够构建出的不同二叉搜索树的数量就是 $C_{i1} imes C_{ni}$。
将所有可能性汇聚：递推式的形成
我们知道，根节点可以是任何一个键值。在 $n$ 个键值的情况下，我们可以选择 ${k_1, k_2, dots, k_n}$ 中的任意一个作为根节点。
选择 $k_1$ 作为根节点： 左子树包含 $0$ 个节点 ($C_0$)，右子树包含 $n1$ 个节点 ($C_{n1}$)。总数为 $C_0 C_{n1}$。
选择 $k_2$ 作为根节点： 左子树包含 $1$ 个节点 ($C_1$)，右子树包含 $n2$ 个节点 ($C_{n2}$)。总数为 $C_1 C_{n2}$。
选择 $k_3$ 作为根节点： 左子树包含 $2$ 个节点 ($C_2$)，右子树包含 $n3$ 个节点 ($C_{n3}$)。总数为 $C_2 C_{n3}$。
...
选择 $k_i$ 作为根节点： 左子树包含 $i1$ 个节点 ($C_{i1}$)，右子树包含 $ni$ 个节点 ($C_{ni}$)。总数为 $C_{i1} C_{ni}$。
...
选择 $k_n$ 作为根节点： 左子树包含 $n1$ 个节点 ($C_{n1}$)，右子树包含 $0$ 个节点 ($C_0$)。总数为 $C_{n1} C_0$。
由于这些情况是互斥的（一棵树只有一个根节点），因此，总共可以构建的二叉搜索树的数量 $C_n$ 就是所有这些情况的总和。
所以，我们得到了：
$$C_n = C_0 C_{n1} + C_1 C_{n2} + C_2 C_{n3} + dots + C_{i1} C_{ni} + dots + C_{n1} C_0$$
这个公式可以用求和符号表示为：
$$C_n = sum_{i=1}^{n} C_{i1} C_{ni}$$
或者，通过令 $j = i1$，当 $i=1$ 时，$j=0$；当 $i=n$ 时，$j=n1$。则 $ni = n(j+1) = n1j$。所以上式也可以写成：
$$C_n = sum_{j=0}^{n1} C_j C_{n1j}$$
这就是我们想要证明的卡特兰数的递推公式！
最后的检阅：严谨与清晰
回顾整个证明过程，我们从二叉搜索树的基本定义出发，巧妙地利用了其结构特性：任何节点都可以作为根，并且根节点将其他节点按照大小划分到左子树和右子树。通过枚举所有可能的根节点选择，并结合乘法原理和加法原理，我们成功地将总的结构数量 $C_n$ 表示为关于更小子树数量的递推和。
这个证明不仅展示了数学的严谨，更揭示了二叉搜索树在结构上的内在规律。从 $C_0=1$ 开始，我们可以一步步计算出 $C_1, C_2, C_3 dots$，验证我们推导出的递推式是否与我们最初观察到的例子相符。
通过这次证明之旅，我们不仅仅是得到了一个公式，更是深入理解了二叉搜索树是如何通过组合小的结构来构建大的结构。这种思想，在计算机科学中无处不在，它如同种子般，孕育出无数复杂的算法和数据结构。希望这次详尽的解析，能让你对树的奥秘有更深一层的感悟。
网友意见
记 中标号为的点的度数为 的生成树有 个，这等于钦定 个点为根后由有根数组成的 个点森林的方案数。
由森林的Prufer序列可知以 个指定点为根的森林的个数是 ，因此当 时
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