圆的面积 S 与半径的平方 R² 成正比，是从数学上的严格证明，还是一种数学直觉？
圆的面积 $S$ 与半径的平方 $R^2$ 成正比，这不是一种数学直觉，而是从数学上严格证明的结论。虽然很多人可能通过观察或者一些“粗略”的思考方式建立了这种认识，但其根源在于微积分等数学工具的严谨推导。
下面我们来详细阐述这一点：
1. 为什么我们可能产生“直觉”？
在没有严谨数学工具的情况下，我们可能会通过一些非严格的观察来“感受”到这种关系：
比例的观察： 如果我们将一个圆的半径放大一倍，我们直观地感觉它的面积会增长得比半径的增长更快。如果我们尝试用正方形来近似圆，当半径翻倍时，包围它的正方形的边长也翻倍，面积就翻了 $2^2=4$ 倍。这虽然不是圆本身，但提供了一个粗略的参考。
“切片”的类比： 有些人可能会想象将圆切成很多细小的扇形，然后将它们重新排列成一个接近长方形的形状。这个长方形的“长”大约是圆周长的一半 ($pi R$)，“宽”大约是半径 ($R$)，所以面积大约是 $(pi R) imes R = pi R^2$。这种方法虽然接近正确答案，但它在“切片”足够小之前是不精确的。
这些方法都不是严格的证明，它们更像是对现象的一种经验性的观察或者一种近似的解释。它们可以帮助我们建立对 $pi R^2$ 这个公式的“熟悉感”，但并不能作为数学上的证明。
2. 数学上的严格证明
圆的面积 $S$ 与半径的平方 $R^2$ 成正比（即 $S = pi R^2$，其中 $pi$ 是一个常数）是通过微积分的方法严格证明的。最常用的两种方法是：
方法一：利用积分（最严格、最基础）
这种方法的核心思想是将圆分割成无数个无穷小的部分，然后将这些部分的面积累加起来。
极坐标下的积分：
我们可以在极坐标系下考虑圆。在极坐标系中，一个点的位置由距离原点的距离 ($r$) 和与正 x 轴的夹角 ($ heta$) 来表示。
一个无穷小的面积元素 $dA$ 在极坐标系下可以看作是一个非常小的扇环，其宽度近似为 $dr$（半径方向的微小变化），长度近似为圆弧长度 $r d heta$（角度方向的微小变化）。
所以，$dA = r , dr , d heta$。
要计算半径为 $R$ 的圆的面积，我们需要对所有可能的半径和角度进行积分。半径 $r$ 从 $0$ 到 $R$，角度 $ heta$ 从 $0$ 到 $2pi$（一个完整的圆）。
$$S = int_{0}^{2pi} int_{0}^{R} r , dr , d heta$$
我们先对 $r$ 进行积分：
$$int_{0}^{R} r , dr = left[ frac{1}{2} r^2 ight]_{0}^{R} = frac{1}{2} R^2 frac{1}{2} (0)^2 = frac{1}{2} R^2$$
然后将这个结果代入对外层 $ heta$ 的积分：
$$S = int_{0}^{2pi} left( frac{1}{2} R^2 ight) d heta$$
由于 $frac{1}{2} R^2$ 是一个常数（相对于 $ heta$），我们可以将其移到积分号外面：
$$S = frac{1}{2} R^2 int_{0}^{2pi} d heta$$
计算 $int_{0}^{2pi} d heta$：
$$int_{0}^{2pi} d heta = [ heta]_{0}^{2pi} = 2pi 0 = 2pi$$
最后将结果相乘：
$$S = frac{1}{2} R^2 imes 2pi = pi R^2$$
这个结果明确地显示了圆的面积 $S$ 与半径的平方 $R^2$ 成正比，比例常数为 $pi$。
“圆盘积分”的思路（更直观但本质相同）：
可以想象将圆沿着半径方向切成无数个非常薄的同心圆环。考虑一个半径为 $r$、厚度为 $dr$ 的圆环。这个圆环的周长大约是 $2pi r$（假设 $dr$ 非常小），它的面积 $dA$ 近似于周长乘以厚度：$dA approx (2pi r) dr$。
要计算整个圆的面积，我们需要将所有这些从 $r=0$ 到 $r=R$ 的圆环的面积累加起来。这就变成了积分：
$$S = int_{0}^{R} 2pi r , dr$$
由于 $2pi$ 是常数，可以提出积分：
$$S = 2pi int_{0}^{R} r , dr$$
计算积分：
$$int_{0}^{R} r , dr = left[ frac{1}{2} r^2 ight]_{0}^{R} = frac{1}{2} R^2$$
所以：
$$S = 2pi imes frac{1}{2} R^2 = pi R^2$$
这种方法同样严格地证明了 $S$ 与 $R^2$ 成正比。
方法二：利用黎曼和（更基础，证明积分的由来）
在微积分发展早期，人们会用分割图形为多个小部分，然后求和的方法来逼近面积。对于圆的面积，可以将其分割成 $n$ 个全等的扇形。
将圆分成 $n$ 个全等的扇形，每个扇形的圆心角为 $frac{2pi}{n}$。
每个扇形的面积可以近似看作一个等腰三角形（当 $n$ 很大时，扇形近似于三角形），底边长近似于圆弧长度的一部分，高近似于半径 $R$。
或者更准确地说，将每个扇形看作一个“薄片”。当 $n$ 趋于无穷大时，每个扇形的面积可以通过其周长的一部分（弧长）乘以其“平均半径”来近似，这最终导向了上面的积分方法。
当 $n$ 非常大时，每个扇形的面积 $dA$ 可以近似为它底边上的宽度（近似为圆周长的一部分）乘以其高度（近似为半径）。更精确地，可以将其看作一个底边长为 $R sin(frac{pi}{n})$ 乘以 $2$ 的小三角形（如果我们将扇形看作一个三角形），或者更简单地将其视为一个细长的矩形条，其长度是弧长 $R imes frac{2pi}{n}$，厚度是“径向”的变化，当我们将圆拆开时，可以将这些条状物排列成一个近似矩形。
若将圆拆成 $n$ 个非常小的扇形，然后将它们“展开”成一个长方形，这个长方形的“长”是圆周长的一半 $pi R$，“宽”是半径 $R$。这个“展开”的过程本身就是一种积分的直观体现。但要使其严格，需要证明这个“展开”过程在 $n o infty$ 时面积收敛于 $pi R^2$。
结论：
圆的面积 $S$ 与半径的平方 $R^2$ 成正比（$S = pi R^2$）不是一种数学直觉，而是通过严谨的数学证明得出的结论。微积分的积分工具是推导这一公式最强大、最基础的数学方法。虽然我们可能通过非严格的观察产生初步的“感觉”，但这些感觉需要通过数学工具来验证和精确化，最终得到的是一个严格的数学定理。
因此，可以肯定地说，这是一个严格证明的结果，而不是仅仅是一种直觉。
下面我们来详细阐述这一点：
1. 为什么我们可能产生“直觉”？
在没有严谨数学工具的情况下，我们可能会通过一些非严格的观察来“感受”到这种关系：
比例的观察： 如果我们将一个圆的半径放大一倍，我们直观地感觉它的面积会增长得比半径的增长更快。如果我们尝试用正方形来近似圆，当半径翻倍时，包围它的正方形的边长也翻倍，面积就翻了 $2^2=4$ 倍。这虽然不是圆本身，但提供了一个粗略的参考。
“切片”的类比： 有些人可能会想象将圆切成很多细小的扇形，然后将它们重新排列成一个接近长方形的形状。这个长方形的“长”大约是圆周长的一半 ($pi R$)，“宽”大约是半径 ($R$)，所以面积大约是 $(pi R) imes R = pi R^2$。这种方法虽然接近正确答案，但它在“切片”足够小之前是不精确的。
这些方法都不是严格的证明，它们更像是对现象的一种经验性的观察或者一种近似的解释。它们可以帮助我们建立对 $pi R^2$ 这个公式的“熟悉感”，但并不能作为数学上的证明。
2. 数学上的严格证明
圆的面积 $S$ 与半径的平方 $R^2$ 成正比（即 $S = pi R^2$，其中 $pi$ 是一个常数）是通过微积分的方法严格证明的。最常用的两种方法是：
方法一：利用积分（最严格、最基础）
这种方法的核心思想是将圆分割成无数个无穷小的部分，然后将这些部分的面积累加起来。
极坐标下的积分：
我们可以在极坐标系下考虑圆。在极坐标系中，一个点的位置由距离原点的距离 ($r$) 和与正 x 轴的夹角 ($ heta$) 来表示。
一个无穷小的面积元素 $dA$ 在极坐标系下可以看作是一个非常小的扇环，其宽度近似为 $dr$（半径方向的微小变化），长度近似为圆弧长度 $r d heta$（角度方向的微小变化）。
所以，$dA = r , dr , d heta$。
要计算半径为 $R$ 的圆的面积，我们需要对所有可能的半径和角度进行积分。半径 $r$ 从 $0$ 到 $R$，角度 $ heta$ 从 $0$ 到 $2pi$（一个完整的圆）。
$$S = int_{0}^{2pi} int_{0}^{R} r , dr , d heta$$
我们先对 $r$ 进行积分：
$$int_{0}^{R} r , dr = left[ frac{1}{2} r^2 ight]_{0}^{R} = frac{1}{2} R^2 frac{1}{2} (0)^2 = frac{1}{2} R^2$$
然后将这个结果代入对外层 $ heta$ 的积分：
$$S = int_{0}^{2pi} left( frac{1}{2} R^2 ight) d heta$$
由于 $frac{1}{2} R^2$ 是一个常数（相对于 $ heta$），我们可以将其移到积分号外面：
$$S = frac{1}{2} R^2 int_{0}^{2pi} d heta$$
计算 $int_{0}^{2pi} d heta$：
$$int_{0}^{2pi} d heta = [ heta]_{0}^{2pi} = 2pi 0 = 2pi$$
最后将结果相乘：
$$S = frac{1}{2} R^2 imes 2pi = pi R^2$$
这个结果明确地显示了圆的面积 $S$ 与半径的平方 $R^2$ 成正比，比例常数为 $pi$。
“圆盘积分”的思路（更直观但本质相同）：
可以想象将圆沿着半径方向切成无数个非常薄的同心圆环。考虑一个半径为 $r$、厚度为 $dr$ 的圆环。这个圆环的周长大约是 $2pi r$（假设 $dr$ 非常小），它的面积 $dA$ 近似于周长乘以厚度：$dA approx (2pi r) dr$。
要计算整个圆的面积，我们需要将所有这些从 $r=0$ 到 $r=R$ 的圆环的面积累加起来。这就变成了积分：
$$S = int_{0}^{R} 2pi r , dr$$
由于 $2pi$ 是常数，可以提出积分：
$$S = 2pi int_{0}^{R} r , dr$$
计算积分：
$$int_{0}^{R} r , dr = left[ frac{1}{2} r^2 ight]_{0}^{R} = frac{1}{2} R^2$$
所以：
$$S = 2pi imes frac{1}{2} R^2 = pi R^2$$
这种方法同样严格地证明了 $S$ 与 $R^2$ 成正比。
方法二：利用黎曼和（更基础，证明积分的由来）
在微积分发展早期，人们会用分割图形为多个小部分，然后求和的方法来逼近面积。对于圆的面积，可以将其分割成 $n$ 个全等的扇形。
将圆分成 $n$ 个全等的扇形，每个扇形的圆心角为 $frac{2pi}{n}$。
每个扇形的面积可以近似看作一个等腰三角形（当 $n$ 很大时，扇形近似于三角形），底边长近似于圆弧长度的一部分，高近似于半径 $R$。
或者更准确地说，将每个扇形看作一个“薄片”。当 $n$ 趋于无穷大时，每个扇形的面积可以通过其周长的一部分（弧长）乘以其“平均半径”来近似，这最终导向了上面的积分方法。
当 $n$ 非常大时，每个扇形的面积 $dA$ 可以近似为它底边上的宽度（近似为圆周长的一部分）乘以其高度（近似为半径）。更精确地，可以将其看作一个底边长为 $R sin(frac{pi}{n})$ 乘以 $2$ 的小三角形（如果我们将扇形看作一个三角形），或者更简单地将其视为一个细长的矩形条，其长度是弧长 $R imes frac{2pi}{n}$，厚度是“径向”的变化，当我们将圆拆开时，可以将这些条状物排列成一个近似矩形。
若将圆拆成 $n$ 个非常小的扇形，然后将它们“展开”成一个长方形，这个长方形的“长”是圆周长的一半 $pi R$，“宽”是半径 $R$。这个“展开”的过程本身就是一种积分的直观体现。但要使其严格，需要证明这个“展开”过程在 $n o infty$ 时面积收敛于 $pi R^2$。
结论：
圆的面积 $S$ 与半径的平方 $R^2$ 成正比（$S = pi R^2$）不是一种数学直觉，而是通过严谨的数学证明得出的结论。微积分的积分工具是推导这一公式最强大、最基础的数学方法。虽然我们可能通过非严格的观察产生初步的“感觉”，但这些感觉需要通过数学工具来验证和精确化，最终得到的是一个严格的数学定理。
因此，可以肯定地说，这是一个严格证明的结果，而不是仅仅是一种直觉。
网友意见
量纲分析即可。
如果默认性质已经好到是二维微分流形了，只是要正比这个结论的话，完全不需要像 @杨树森 讨论那么一般的面积公式。
当然，严格来说，得先说明圆内是个二维区域，而不是分形之类的恶心玩意。
只要是个二维区域，体积（测度）一定正比于尺度的平方，而圆只有一个尺度即半径，所以正比于半径平方。
在现代数学中，过去没有严格定义的几何量，比如长度、面积、体积，都有了严格定义，不再依赖于直观。借此问题我想科普在现代数学如何将长度、面积这些几何量严格定义，这需要用到导数、偏导数（包括Jacobi行列式）和Riemann积分（即定积分）的定义，我将它们附在最后，而极限的定义我就不再重复了。
与很多微积分教材不同的是，我倾向于从一开始就抛弃形如
的表示曲线和区域的方法，而是用参数表示，因为这样可以更本质地看出一维曲线和二维区域的含义和区别，以及理解为何长度和面积如此定义。
为了简便，这次只讨论二维空间
中的长度和面积。首先我们明确二维空间 中曲线和区域的定义，曲线是指连续函数
区域是指连续函数
例如圆是一条曲线，它是
圆内是一个区域，它是
这里使用了弧度制、三角函数和圆周率概念，它们是我在过去的文章里讲过的，我将相应文章的链接附在最后。
然后给出长度和面积的定义。设
可微，则曲线 的长度是指
设
可微，则区域 的面积是指
其中 是行列式，定义为
在此我想介绍行列式的几何意义，一个二阶行列式的绝对值是以它的列向量为基向量的单位平行四边形的面积，由此可以看出上述行列式即Jacobi行列式的意义就是类似于导数刻画曲线的变化率那样，刻画了平面区域的变化率，从而此积分可以作为平面区域的面积。
最后计算圆的长度和圆内的面积。圆
的长度为
圆内
的面积为
导数的定义为
偏导数的定义为
Riemann积分的定义为
其中
弧度制、三角函数和圆周率的严格定义请参阅
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