如果幂级数的收敛圆是B(0,R)，且在收敛圆内一致收敛，那么是否在收敛圆的闭包也一致收敛？
这个问题触及了幂级数收敛性理论中的一个重要概念：收敛圆与闭包上的收敛性。答案是否定的，幂级数在收敛圆的闭包上并不一定一致收敛。我们需要仔细剖析其中的原因。
首先，我们来明确一下“收敛圆”和“收敛圆的闭包”的概念。
收敛圆 $B(0,R)$： 这是指一个以原点 $0$ 为中心，半径为 $R$ 的开圆盘。对于幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$（这里我们以单变量为例，推广到多变量情况原理类似），收敛半径 $R$ 定义为使得级数在 $|x| < R$ 的所有点上收敛，但在 $|x| > R$ 的所有点上发散的那个值。如果 $R = infty$，则在整个实数轴（或复数域）上都收敛。
收敛圆的闭包 $overline{B(0,R)}$： 这指的是收敛圆的边界也包含在内的区域，即 $|x| leq R$ 的所有点。
现在，我们来讨论一下在收敛圆内（即 $B(0,R)$）一致收敛性。如果一个幂级数在 $|x| < R$ 上收敛，我们通常说它在收敛圆内是“逐点收敛”的。然而，在收敛圆的开区间内，幂级数往往是“局部一致收敛”的，或者说在任何更小的闭区间上是一致收敛的。
让我解释一下为什么会这样：
设幂级数为 $f(x) = sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$，收敛半径为 $R$。
对于任意一个小于 $R$ 的正数 $r'$（即 $0 < r' < R$），我们考虑区间 $[r', r']$。
在这个区间上，我们有 $|x| leq r'$。
由于 $r' < R$，根据收敛半径的定义，对于任意的 $|x| leq r'$，幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$ 是收敛的。
更重要的是，存在一个 $M$ 使得对于所有 $n$ 和所有 $|x| leq r'$，都有 $|a_n x^n| leq M_n$，并且 $sum_{n=0}^{infty} M_n$ 是收敛的。
具体来说，我们可以选择 $r''$ 使得 $r' < r'' < R$。那么在 $[r', r']$ 上，$|x| leq r'$。
由于 $r'' < R$，所以 $sum_{n=0}^{infty} |a_n| (r'')^n$ 是收敛的。
令 $M_n = |a_n| (r'')^n$。那么，对于所有 $|x| leq r'$，我们有 $|a_n x^n| = |a_n| |x|^n leq |a_n| (r')^n leq |a_n| (r'')^n = M_n$。
由于 $sum_{n=0}^{infty} M_n = sum_{n=0}^{infty} |a_n| (r'')^n$ 是收敛的（这是 Weierstrass Mtest 的应用），所以根据 Weierstrass Mtest，幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$ 在闭区间 $[r', r']$ 上是一致收敛的。
这表明，在收敛圆的内部，只要是任何一个比它小的闭区间，幂级数都是一致收敛的。
然而，问题出在收敛圆的边界上，即 $|x|=R$ 的点。
在收敛圆的边界上，幂级数可能收敛，也可能发散。
情况一：在收敛圆的边界上收敛。
例如，考虑级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n}$。
它的收敛半径是 $R=1$。
在 $|x| < 1$ 时，级数收敛。
在 $x=1$ 时，级数变为 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$，这是调和级数，发散。
在 $x=1$ 时，级数变为 $sum_{n=1}^{infty} frac{(1)^n}{n}$，这是交错调和级数，收敛（根据莱布尼茨判别法）。
在这个例子中，收敛圆是 $|x|<1$。收敛圆的闭包是 $|x| leq 1$。
在 $|x| leq 1$ 的区域内，级数在 $x=1$ 处发散。因此，在整个闭包 $|x| leq 1$ 上，级数不是处处收敛的，更谈不上一致收敛。
情况二：在收敛圆的边界上也收敛。
例如，考虑级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n^2}$。
它的收敛半径也是 $R=1$。
在 $|x| < 1$ 时，级数收敛。
在 $x=1$ 时，级数变为 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$，这是 p级数，收敛。
在 $x=1$ 时，级数变为 $sum_{n=1}^{infty} frac{(1)^n}{n^2}$，这个级数也是收敛的（绝对收敛）。
在这个例子中，收敛圆是 $|x|<1$。收敛圆的闭包是 $|x| leq 1$。
在闭包 $|x| leq 1$ 上，级数是处处收敛的。但是，它是否一致收敛呢？
根据 Abel 定理（Abel's Theorem），如果一个幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$ 在收敛半径为 $R$ 时，在边界点 $x=R$（这里我们设 $R=1$ 方便讨论）处收敛，那么该幂级数在闭区间 $[0, 1]$ 上是一致收敛的。更一般地说，如果在 $|x| < R$ 时级数收敛，并且在边界 $|x|=R$ 的某个点 $x_0$ 处也收敛，那么级数在包含 $x_0$ 的收敛圆闭包的相应部分上是一致收敛的。
回到 $sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n^2}$ 在 $|x| leq 1$ 上的情况：
当 $x in [1, 1]$ 时，我们可以写成 $|a_n x^n| = |frac{x^n}{n^2}| leq frac{1}{n^2}$。
由于 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 是收敛的，根据 Weierstrass Mtest，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n^2}$ 在闭区间 $[1, 1]$ 上是一致收敛的。
那么，为什么第一个例子（$sum frac{x^n}{n}$）在边界发散，而第二个例子（$sum frac{x^n}{n^2}$）在边界收敛且在闭包上一致收敛呢？
关键在于边界点处的收敛性。如果幂级数在收敛圆的边界上全部发散，那么它在收敛圆的闭包上自然不可能是收敛的，更谈不上一致收敛。即使在边界的某些点收敛，也需要满足一定的条件才能保证在整个闭包上一致收敛。
更普遍地来看，一个幂级数在收敛圆的闭包上一致收敛，当且仅当它在收敛圆的边界上的所有点都收敛。
为什么会这样呢？
1. 如果幂级数在收敛圆的闭包上一致收敛：
如果级数在闭包 $overline{B(0,R)}$ 上一致收敛，那么它一定在 $overline{B(0,R)}$ 的每个点上逐点收敛。因此，它在边界 $|x|=R$ 的所有点上都必须是收敛的。
2. 如果幂级数在收敛圆的边界上的所有点都收敛：
假设幂级数 $sum a_n x^n$ 在 $|x| < R$ 时收敛，并且在 $|x|=R$ 的所有点都收敛。
根据 Abel 定理的一个更强的形式（或者通过其他分析方法），如果级数在 $|x| < R$ 收敛，并在 $|x|=R$ 的所有点上收敛，那么该级数在闭合的圆盘 $overline{B(0,R)}$ 上是一致收敛的。
对于单变量的复值幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n z^n$，收敛半径为 $R$。若该级数在 $|z|=R$ 的所有点上收敛，则它在整个闭圆盘 $|z| leq R$ 上是一致收敛的。
回到最初的提问：
如果幂级数的收敛圆是 $B(0,R)$，且在收敛圆内一致收敛，那么是否在收敛圆的闭包也一致收敛？
不一定。
前面我们已经强调了，在收敛圆的开区间内部，幂级数可以看作是在任何更小的闭区间上是一致收敛的。但是，“在收敛圆内一致收敛”这个表述本身可能有点歧义。通常我们说一个函数在某个集合上一致收敛，是指在该集合上的所有点都收敛，并且收敛具有一致性。
如果我们将其理解为：对于任意取定的 $0 < r' < R$，级数在 $|x| leq r'$ 上一致收敛。那么这是正确的，并且是幂级数性质的直接结果。
但如果问题是问：“如果已知级数在 $|x|
总结来说：
幂级数在收敛半径 $R$ 的开圆盘 $B(0,R)$ 内总是收敛的。
更进一步，幂级数在收敛半径 $R$ 的任何小于 $R$ 的闭区间上都是一致收敛的。
然而，在收敛圆的闭包 $overline{B(0,R)}$ 上是否一致收敛，取决于级数在边界 $|x|=R$ 上的收敛情况。
只有当幂级数在收敛圆的所有边界点上都收敛时，它才会在收敛圆的闭包上一致收敛。
如果级数在边界上的任何一点发散，那么它在整个闭包上就不可能一致收敛。
所以，仅仅知道级数在收敛圆内收敛（即使是在内部的任何子集上都一致收敛），并不能自动推导出它在包含边界的闭包上也能一致收敛。你需要额外的信息，即关于边界收敛性的信息。
首先，我们来明确一下“收敛圆”和“收敛圆的闭包”的概念。
收敛圆 $B(0,R)$： 这是指一个以原点 $0$ 为中心，半径为 $R$ 的开圆盘。对于幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$（这里我们以单变量为例，推广到多变量情况原理类似），收敛半径 $R$ 定义为使得级数在 $|x| < R$ 的所有点上收敛，但在 $|x| > R$ 的所有点上发散的那个值。如果 $R = infty$，则在整个实数轴（或复数域）上都收敛。
收敛圆的闭包 $overline{B(0,R)}$： 这指的是收敛圆的边界也包含在内的区域，即 $|x| leq R$ 的所有点。
现在，我们来讨论一下在收敛圆内（即 $B(0,R)$）一致收敛性。如果一个幂级数在 $|x| < R$ 上收敛，我们通常说它在收敛圆内是“逐点收敛”的。然而，在收敛圆的开区间内，幂级数往往是“局部一致收敛”的，或者说在任何更小的闭区间上是一致收敛的。
让我解释一下为什么会这样：
设幂级数为 $f(x) = sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$，收敛半径为 $R$。
对于任意一个小于 $R$ 的正数 $r'$（即 $0 < r' < R$），我们考虑区间 $[r', r']$。
在这个区间上，我们有 $|x| leq r'$。
由于 $r' < R$，根据收敛半径的定义，对于任意的 $|x| leq r'$，幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$ 是收敛的。
更重要的是，存在一个 $M$ 使得对于所有 $n$ 和所有 $|x| leq r'$，都有 $|a_n x^n| leq M_n$，并且 $sum_{n=0}^{infty} M_n$ 是收敛的。
具体来说，我们可以选择 $r''$ 使得 $r' < r'' < R$。那么在 $[r', r']$ 上，$|x| leq r'$。
由于 $r'' < R$，所以 $sum_{n=0}^{infty} |a_n| (r'')^n$ 是收敛的。
令 $M_n = |a_n| (r'')^n$。那么，对于所有 $|x| leq r'$，我们有 $|a_n x^n| = |a_n| |x|^n leq |a_n| (r')^n leq |a_n| (r'')^n = M_n$。
由于 $sum_{n=0}^{infty} M_n = sum_{n=0}^{infty} |a_n| (r'')^n$ 是收敛的（这是 Weierstrass Mtest 的应用），所以根据 Weierstrass Mtest，幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$ 在闭区间 $[r', r']$ 上是一致收敛的。
这表明，在收敛圆的内部，只要是任何一个比它小的闭区间，幂级数都是一致收敛的。
然而，问题出在收敛圆的边界上，即 $|x|=R$ 的点。
在收敛圆的边界上，幂级数可能收敛，也可能发散。
情况一：在收敛圆的边界上收敛。
例如，考虑级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n}$。
它的收敛半径是 $R=1$。
在 $|x| < 1$ 时，级数收敛。
在 $x=1$ 时，级数变为 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$，这是调和级数，发散。
在 $x=1$ 时，级数变为 $sum_{n=1}^{infty} frac{(1)^n}{n}$，这是交错调和级数，收敛（根据莱布尼茨判别法）。
在这个例子中，收敛圆是 $|x|<1$。收敛圆的闭包是 $|x| leq 1$。
在 $|x| leq 1$ 的区域内，级数在 $x=1$ 处发散。因此，在整个闭包 $|x| leq 1$ 上，级数不是处处收敛的，更谈不上一致收敛。
情况二：在收敛圆的边界上也收敛。
例如，考虑级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n^2}$。
它的收敛半径也是 $R=1$。
在 $|x| < 1$ 时，级数收敛。
在 $x=1$ 时，级数变为 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$，这是 p级数，收敛。
在 $x=1$ 时，级数变为 $sum_{n=1}^{infty} frac{(1)^n}{n^2}$，这个级数也是收敛的（绝对收敛）。
在这个例子中，收敛圆是 $|x|<1$。收敛圆的闭包是 $|x| leq 1$。
在闭包 $|x| leq 1$ 上，级数是处处收敛的。但是，它是否一致收敛呢？
根据 Abel 定理（Abel's Theorem），如果一个幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$ 在收敛半径为 $R$ 时，在边界点 $x=R$（这里我们设 $R=1$ 方便讨论）处收敛，那么该幂级数在闭区间 $[0, 1]$ 上是一致收敛的。更一般地说，如果在 $|x| < R$ 时级数收敛，并且在边界 $|x|=R$ 的某个点 $x_0$ 处也收敛，那么级数在包含 $x_0$ 的收敛圆闭包的相应部分上是一致收敛的。
回到 $sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n^2}$ 在 $|x| leq 1$ 上的情况：
当 $x in [1, 1]$ 时，我们可以写成 $|a_n x^n| = |frac{x^n}{n^2}| leq frac{1}{n^2}$。
由于 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 是收敛的，根据 Weierstrass Mtest，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{x^n}{n^2}$ 在闭区间 $[1, 1]$ 上是一致收敛的。
那么，为什么第一个例子（$sum frac{x^n}{n}$）在边界发散，而第二个例子（$sum frac{x^n}{n^2}$）在边界收敛且在闭包上一致收敛呢？
关键在于边界点处的收敛性。如果幂级数在收敛圆的边界上全部发散，那么它在收敛圆的闭包上自然不可能是收敛的，更谈不上一致收敛。即使在边界的某些点收敛，也需要满足一定的条件才能保证在整个闭包上一致收敛。
更普遍地来看，一个幂级数在收敛圆的闭包上一致收敛，当且仅当它在收敛圆的边界上的所有点都收敛。
为什么会这样呢？
1. 如果幂级数在收敛圆的闭包上一致收敛：
如果级数在闭包 $overline{B(0,R)}$ 上一致收敛，那么它一定在 $overline{B(0,R)}$ 的每个点上逐点收敛。因此，它在边界 $|x|=R$ 的所有点上都必须是收敛的。
2. 如果幂级数在收敛圆的边界上的所有点都收敛：
假设幂级数 $sum a_n x^n$ 在 $|x| < R$ 时收敛，并且在 $|x|=R$ 的所有点都收敛。
根据 Abel 定理的一个更强的形式（或者通过其他分析方法），如果级数在 $|x| < R$ 收敛，并在 $|x|=R$ 的所有点上收敛，那么该级数在闭合的圆盘 $overline{B(0,R)}$ 上是一致收敛的。
对于单变量的复值幂级数 $sum_{n=0}^{infty} a_n z^n$，收敛半径为 $R$。若该级数在 $|z|=R$ 的所有点上收敛，则它在整个闭圆盘 $|z| leq R$ 上是一致收敛的。
回到最初的提问：
如果幂级数的收敛圆是 $B(0,R)$，且在收敛圆内一致收敛，那么是否在收敛圆的闭包也一致收敛？
不一定。
前面我们已经强调了，在收敛圆的开区间内部，幂级数可以看作是在任何更小的闭区间上是一致收敛的。但是，“在收敛圆内一致收敛”这个表述本身可能有点歧义。通常我们说一个函数在某个集合上一致收敛，是指在该集合上的所有点都收敛，并且收敛具有一致性。
如果我们将其理解为：对于任意取定的 $0 < r' < R$，级数在 $|x| leq r'$ 上一致收敛。那么这是正确的，并且是幂级数性质的直接结果。
但如果问题是问：“如果已知级数在 $|x|
总结来说：
幂级数在收敛半径 $R$ 的开圆盘 $B(0,R)$ 内总是收敛的。
更进一步，幂级数在收敛半径 $R$ 的任何小于 $R$ 的闭区间上都是一致收敛的。
然而，在收敛圆的闭包 $overline{B(0,R)}$ 上是否一致收敛，取决于级数在边界 $|x|=R$ 上的收敛情况。
只有当幂级数在收敛圆的所有边界点上都收敛时，它才会在收敛圆的闭包上一致收敛。
如果级数在边界上的任何一点发散，那么它在整个闭包上就不可能一致收敛。
所以，仅仅知道级数在收敛圆内收敛（即使是在内部的任何子集上都一致收敛），并不能自动推导出它在包含边界的闭包上也能一致收敛。你需要额外的信息，即关于边界收敛性的信息。
网友意见
(The Poisson kernel)
在 时一致收敛（Weierstrass M-test），但是在 时发散，例如可以取 .
如果觉得这个幂带着绝对值有点别扭，可以只看 这一部分或者只看另一部分。
（知乎这个公式编辑器真难用，没有mathds天理难容！！！）
另外还可以证明
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