如何判断下面这个级数的敛散性？
要判断一个级数的敛散性，就像给一个长长的队伍排序，看看它最终能汇聚成一个固定的点，还是会无穷无尽地散开去。这个“排序”的过程，我们叫做“求和”，而“汇聚成一个固定的点”就是“收敛”，反之则是“发散”。
我们手里有这样一个级数：
$sum_{n=1}^{infty} a_n$
这里的 $a_n$ 就是级数里的每一项。要判断这个级数是收敛还是发散，就像侦探破案一样，有很多不同的方法和线索（判别法）。选择哪种方法，往往取决于 $a_n$ 的具体“长相”。
第一步：审视级数本身 (The Visual Inspection)
在动用复杂的数学工具之前，咱们先瞟一眼这个级数，看看它有没有什么明显的特征。
1. 通项 $a_n$ 的极限： 这是最基本也是最重要的一个检查。如果级数的通项 $a_n$ 不趋向于零（也就是说 $lim_{n o infty} a_n eq 0$ 或者极限不存在），那么这个级数 一定发散。想象一下，如果你队伍里的每个人都在越来越高（或者高度不稳定），那么整个队伍肯定无法收拢。
例子： $sum_{n=1}^{infty} frac{n}{n+1}$。这里的 $a_n = frac{n}{n+1}$。当 $n$ 趋向无穷时，$frac{n}{n+1} = frac{1}{1 + 1/n}$ 趋向于 1。因为 $1 eq 0$，所以这个级数发散。
2. 级数的形式： 级数是 $sum c cdot b_n$ 吗？（c是常数） 还是 $sum (b_n + c_n)$？ 这些都可能影响我们选择的判别法。
第二步：运用判别法 (Employing the Tests)
如果通项 $a_n$ 趋向于零，这只能说明级数 有可能收敛，但不能保证。这时候，我们就需要更精密的“工具”来帮忙了。下面介绍几种常用的判别法：
1. 直观比较法 (The Direct Comparison Test)
这个方法就像通过比较两个已知情况来推断未知情况。如果我们的级数 $a_n$ 的每一项都小于或等于一个已知收敛级数 $b_n$ 的对应项（即 $0 le a_n le b_n$ 对所有 $n$ 成立），那么我们的级数 $a_n$ 也 一定收敛。反之，如果我们的级数 $a_n$ 的每一项都大于或等于一个已知发散级数 $c_n$ 的对应项（即 $0 le c_n le a_n$ 对所有 $n$ 成立），那么我们的级数 $a_n$ 也 一定发散。
关键在于找到一个合适的“参照物”（已知的收敛或发散级数）。常见的参照物有：
几何级数： $sum_{n=1}^{infty} r^n$。 当 $|r| < 1$ 时收敛，当 $|r| ge 1$ 时发散。
p级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$。当 $p > 1$ 时收敛，当 $p le 1$ 时发散。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2 + 1}$ 的敛散性。
我们知道 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 是一个 p级数，其中 $p=2 > 1$，所以它收敛。
观察级数的通项：$a_n = frac{1}{n^2 + 1}$。对于所有的 $n ge 1$，我们都有 $n^2 + 1 > n^2$，所以 $frac{1}{n^2 + 1} < frac{1}{n^2}$。
因此，根据直观比较法，由于 $frac{1}{n^2 + 1} < frac{1}{n^2}$ 且 $sum frac{1}{n^2}$ 收敛，所以 $sum frac{1}{n^2 + 1}$ 也 收敛。
2. 极限比较法 (The Limit Comparison Test)
这个方法比直观比较法更灵活一些，因为它不要求级数项之间的大小关系总是成立，而是看它们的 比值的极限。如果我们有两个级数 $sum a_n$ 和 $sum b_n$，并且它们的通项都大于零，如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = L$，其中 $L$ 是一个 有限的、大于零的常数 ($0 < L < infty$)，那么这两个级数具有相同的敛散性。也就是说，如果 $sum b_n$ 收敛，则 $sum a_n$ 收敛；如果 $sum b_n$ 发散，则 $sum a_n$ 发散。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} frac{2n+1}{n^2+n+1}$ 的敛散性。
这个级数的通项 $a_n = frac{2n+1}{n^2+n+1}$ 当 $n$ 很大时，趋向于 $frac{2n}{n^2} = frac{2}{n}$。
我们选择一个参照级数 $sum b_n = sum frac{1}{n}$。这是一个调和级数（p级数，p=1），已知它 发散。
现在我们计算极限：
$lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{2n+1}{n^2+n+1}}{frac{1}{n}} = lim_{n o infty} frac{2n+1}{n^2+n+1} cdot n = lim_{n o infty} frac{2n^2+n}{n^2+n+1}$
为了计算这个极限，我们可以分子分母同除以 $n^2$：
$lim_{n o infty} frac{2 + 1/n}{1 + 1/n + 1/n^2} = frac{2+0}{1+0+0} = 2$
因为极限值 $L=2$ 是一个有限的正数 ($0 < 2 < infty$)，而参照级数 $sum frac{1}{n}$ 是发散的，所以根据极限比较法，原级数 $sum frac{2n+1}{n^2+n+1}$ 也 发散。
3. 比值判别法 (The Ratio Test)
这个方法就像观察级数项的“增长速度”。对于一个各项 $a_n$ 都大于零的级数，我们计算相邻两项的比值的绝对值的极限：
$L = lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$
如果 $L < 1$，则级数 绝对收敛（也意味着收敛）。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，则级数 发散。
如果 $L = 1$，则该判别法 失效，需要换用其他方法。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n!}$ 的敛散性。
$a_n = frac{2^n}{n!}$
$a_{n+1} = frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$
计算极限：
$L = lim_{n o infty} left| frac{frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{frac{2^n}{n!}} ight| = lim_{n o infty} left| frac{2^{n+1}}{(n+1)!} cdot frac{n!}{2^n} ight|$
$L = lim_{n o infty} left| frac{2 cdot 2^n}{(n+1) cdot n!} cdot frac{n!}{2^n} ight| = lim_{n o infty} left| frac{2}{n+1} ight|$
当 $n o infty$ 时，$frac{2}{n+1} o 0$。
所以 $L = 0$。因为 $0 < 1$，所以级数 绝对收敛。
4. 根值判别法 (The Root Test)
这个方法与比值判别法类似，也是考察增长速度，但它是看级数项的“n次方根的极限”。对于各项 $a_n$ 的级数，我们计算通项绝对值的n次方根的极限：
$L = lim_{n o infty} sqrt[n]{left| a_n ight|}$
如果 $L < 1$，则级数 绝对收敛。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，则级数 发散。
如果 $L = 1$，则该判别法 失效。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} left(frac{1}{n+1} ight)^n$ 的敛散性。
$a_n = left(frac{1}{n+1} ight)^n$
计算极限：
$L = lim_{n o infty} sqrt[n]{left| left(frac{1}{n+1} ight)^n ight|} = lim_{n o infty} sqrt[n]{left(frac{1}{n+1} ight)^n} = lim_{n o infty} frac{1}{n+1}$
当 $n o infty$ 时，$frac{1}{n+1} o 0$。
所以 $L = 0$。因为 $0 < 1$，所以级数 绝对收敛。
5. 积分判别法 (The Integral Test)
这个方法是联系级数和积分的桥梁。如果有一个函数 $f(x)$，满足：
1. $f(x)$ 在 $[1, infty)$ 上 连续。
2. $f(x)$ 在 $[1, infty)$ 上 单调递减。
3. $f(x) > 0$ 在 $[1, infty)$ 上。
那么，级数 $sum_{n=1}^{infty} a_n$ 收敛当且仅当 反常积分 $int_{1}^{infty} f(x) dx$ 收敛。其中，$a_n = f(n)$。
例子： 判断 $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n}$ 的敛散性。
我们定义函数 $f(x) = frac{1}{x ln x}$。
对于 $x ge 2$：
1. $f(x)$ 是连续的。
2. 我们可以求导数 $f'(x) = frac{ln x + 1}{(x ln x)^2}$，当 $x ge 2$ 时，$f'(x) < 0$，所以 $f(x)$ 单调递减。
3. $f(x) > 0$。
现在我们计算反常积分：
$int_{2}^{infty} frac{1}{x ln x} dx$
这是一个反常积分，我们可以用换元法来计算。令 $u = ln x$，则 $du = frac{1}{x} dx$。当 $x=2$ 时，$u = ln 2$；当 $x o infty$ 时，$u o infty$。
积分变为：
$int_{ln 2}^{infty} frac{1}{u} du = [ln|u|]_{ln 2}^{infty} = lim_{b o infty} (ln b) ln(ln 2)$
因为 $lim_{b o infty} ln b = infty$，所以这个积分 发散。
根据积分判别法，级数 $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n}$ 也 发散。
6. 交错级数判别法 (The Alternating Series Test)
这种方法专门用于判断形如 $sum_{n=1}^{infty} (1)^{n1} b_n$ 或 $sum_{n=1}^{infty} (1)^n b_n$ 的交错级数。如果满足以下两个条件：
1. $b_n > 0$。
2. $b_n$ 单调递减（即 $b_{n+1} le b_n$ 对所有 $n$ 成立）。
3. $lim_{n o infty} b_n = 0$。
那么，这个交错级数 收敛。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} (1)^{n1} frac{1}{n}$ 的敛散性。
这是一个莱布尼茨级数（调和交错级数）。
令 $b_n = frac{1}{n}$。
1. $b_n = frac{1}{n} > 0$ 对于 $n ge 1$。
2. $b_{n+1} = frac{1}{n+1} le frac{1}{n} = b_n$，所以 $b_n$ 单调递减。
3. $lim_{n o infty} b_n = lim_{n o infty} frac{1}{n} = 0$。
所有条件都满足，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} (1)^{n1} frac{1}{n}$ 收敛。
7. 条件收敛与绝对收敛 (Conditional vs. Absolute Convergence)
有时候，一个级数 $sum a_n$ 可能不收敛，但它对应的 绝对值级数 $sum |a_n|$ 却收敛。这种情况下，原级数称为 条件收敛。如果 $sum a_n$ 和 $sum |a_n|$ 都收敛，则原级数称为 绝对收敛。
绝对收敛是比收敛更强的性质，因为如果一个级数绝对收敛，那么它本身也一定收敛。
比值判别法和根值判别法判断的是绝对收敛性。
交错级数判别法判断的是收敛性，但可能不是绝对收敛。例如 $sum (1)^{n1} frac{1}{n}$ 是条件收敛的，因为 $sum frac{1}{n}$ 发散。
第三步：综合运用与选择 (Putting it All Together)
就像面对一个复杂的谜题，我们可能会尝试不同的线索和工具。
从最简单的开始： 总是先检查通项的极限是否为零。
观察级数的结构：
如果级数中包含阶乘或指数项，比值判别法 通常是很好的选择。
如果级数项有 $n$ 的高次幂，并且形式比较简单，极限比较法 是个不错的工具。
如果级数项是某个表达式的 $n$ 次幂，根值判别法 可能有用。
如果级数是交错的，优先考虑 交错级数判别法。
如果级数各项是正的，并且可以找到一个合适的连续单调递减函数，积分判别法 是一个选择（但通常计算比较麻烦）。
如果能找到一个简单的、已知敛散性的级数进行比较，直观比较法 和 极限比较法 都很有用。
不要怕尝试： 如果一种判别法失效（例如比值判别法得到的极限是 1），不要灰心，换一种方法试试看。
判断级数的敛散性是一个循序渐进的过程，需要耐心和对各种判别法的熟练掌握。多做练习，多观察级数的特点，你就能越来越得心应手地解决这些问题。
我们手里有这样一个级数：
$sum_{n=1}^{infty} a_n$
这里的 $a_n$ 就是级数里的每一项。要判断这个级数是收敛还是发散，就像侦探破案一样，有很多不同的方法和线索（判别法）。选择哪种方法，往往取决于 $a_n$ 的具体“长相”。
第一步：审视级数本身 (The Visual Inspection)
在动用复杂的数学工具之前，咱们先瞟一眼这个级数，看看它有没有什么明显的特征。
1. 通项 $a_n$ 的极限： 这是最基本也是最重要的一个检查。如果级数的通项 $a_n$ 不趋向于零（也就是说 $lim_{n o infty} a_n eq 0$ 或者极限不存在），那么这个级数 一定发散。想象一下，如果你队伍里的每个人都在越来越高（或者高度不稳定），那么整个队伍肯定无法收拢。
例子： $sum_{n=1}^{infty} frac{n}{n+1}$。这里的 $a_n = frac{n}{n+1}$。当 $n$ 趋向无穷时，$frac{n}{n+1} = frac{1}{1 + 1/n}$ 趋向于 1。因为 $1 eq 0$，所以这个级数发散。
2. 级数的形式： 级数是 $sum c cdot b_n$ 吗？（c是常数） 还是 $sum (b_n + c_n)$？ 这些都可能影响我们选择的判别法。
第二步：运用判别法 (Employing the Tests)
如果通项 $a_n$ 趋向于零，这只能说明级数 有可能收敛，但不能保证。这时候，我们就需要更精密的“工具”来帮忙了。下面介绍几种常用的判别法：
1. 直观比较法 (The Direct Comparison Test)
这个方法就像通过比较两个已知情况来推断未知情况。如果我们的级数 $a_n$ 的每一项都小于或等于一个已知收敛级数 $b_n$ 的对应项（即 $0 le a_n le b_n$ 对所有 $n$ 成立），那么我们的级数 $a_n$ 也 一定收敛。反之，如果我们的级数 $a_n$ 的每一项都大于或等于一个已知发散级数 $c_n$ 的对应项（即 $0 le c_n le a_n$ 对所有 $n$ 成立），那么我们的级数 $a_n$ 也 一定发散。
关键在于找到一个合适的“参照物”（已知的收敛或发散级数）。常见的参照物有：
几何级数： $sum_{n=1}^{infty} r^n$。 当 $|r| < 1$ 时收敛，当 $|r| ge 1$ 时发散。
p级数： $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$。当 $p > 1$ 时收敛，当 $p le 1$ 时发散。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2 + 1}$ 的敛散性。
我们知道 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 是一个 p级数，其中 $p=2 > 1$，所以它收敛。
观察级数的通项：$a_n = frac{1}{n^2 + 1}$。对于所有的 $n ge 1$，我们都有 $n^2 + 1 > n^2$，所以 $frac{1}{n^2 + 1} < frac{1}{n^2}$。
因此，根据直观比较法，由于 $frac{1}{n^2 + 1} < frac{1}{n^2}$ 且 $sum frac{1}{n^2}$ 收敛，所以 $sum frac{1}{n^2 + 1}$ 也 收敛。
2. 极限比较法 (The Limit Comparison Test)
这个方法比直观比较法更灵活一些，因为它不要求级数项之间的大小关系总是成立，而是看它们的 比值的极限。如果我们有两个级数 $sum a_n$ 和 $sum b_n$，并且它们的通项都大于零，如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = L$，其中 $L$ 是一个 有限的、大于零的常数 ($0 < L < infty$)，那么这两个级数具有相同的敛散性。也就是说，如果 $sum b_n$ 收敛，则 $sum a_n$ 收敛；如果 $sum b_n$ 发散，则 $sum a_n$ 发散。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} frac{2n+1}{n^2+n+1}$ 的敛散性。
这个级数的通项 $a_n = frac{2n+1}{n^2+n+1}$ 当 $n$ 很大时，趋向于 $frac{2n}{n^2} = frac{2}{n}$。
我们选择一个参照级数 $sum b_n = sum frac{1}{n}$。这是一个调和级数（p级数，p=1），已知它 发散。
现在我们计算极限：
$lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{2n+1}{n^2+n+1}}{frac{1}{n}} = lim_{n o infty} frac{2n+1}{n^2+n+1} cdot n = lim_{n o infty} frac{2n^2+n}{n^2+n+1}$
为了计算这个极限，我们可以分子分母同除以 $n^2$：
$lim_{n o infty} frac{2 + 1/n}{1 + 1/n + 1/n^2} = frac{2+0}{1+0+0} = 2$
因为极限值 $L=2$ 是一个有限的正数 ($0 < 2 < infty$)，而参照级数 $sum frac{1}{n}$ 是发散的，所以根据极限比较法，原级数 $sum frac{2n+1}{n^2+n+1}$ 也 发散。
3. 比值判别法 (The Ratio Test)
这个方法就像观察级数项的“增长速度”。对于一个各项 $a_n$ 都大于零的级数，我们计算相邻两项的比值的绝对值的极限：
$L = lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$
如果 $L < 1$，则级数 绝对收敛（也意味着收敛）。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，则级数 发散。
如果 $L = 1$，则该判别法 失效，需要换用其他方法。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} frac{2^n}{n!}$ 的敛散性。
$a_n = frac{2^n}{n!}$
$a_{n+1} = frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$
计算极限：
$L = lim_{n o infty} left| frac{frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{frac{2^n}{n!}} ight| = lim_{n o infty} left| frac{2^{n+1}}{(n+1)!} cdot frac{n!}{2^n} ight|$
$L = lim_{n o infty} left| frac{2 cdot 2^n}{(n+1) cdot n!} cdot frac{n!}{2^n} ight| = lim_{n o infty} left| frac{2}{n+1} ight|$
当 $n o infty$ 时，$frac{2}{n+1} o 0$。
所以 $L = 0$。因为 $0 < 1$，所以级数 绝对收敛。
4. 根值判别法 (The Root Test)
这个方法与比值判别法类似，也是考察增长速度，但它是看级数项的“n次方根的极限”。对于各项 $a_n$ 的级数，我们计算通项绝对值的n次方根的极限：
$L = lim_{n o infty} sqrt[n]{left| a_n ight|}$
如果 $L < 1$，则级数 绝对收敛。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，则级数 发散。
如果 $L = 1$，则该判别法 失效。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} left(frac{1}{n+1} ight)^n$ 的敛散性。
$a_n = left(frac{1}{n+1} ight)^n$
计算极限：
$L = lim_{n o infty} sqrt[n]{left| left(frac{1}{n+1} ight)^n ight|} = lim_{n o infty} sqrt[n]{left(frac{1}{n+1} ight)^n} = lim_{n o infty} frac{1}{n+1}$
当 $n o infty$ 时，$frac{1}{n+1} o 0$。
所以 $L = 0$。因为 $0 < 1$，所以级数 绝对收敛。
5. 积分判别法 (The Integral Test)
这个方法是联系级数和积分的桥梁。如果有一个函数 $f(x)$，满足：
1. $f(x)$ 在 $[1, infty)$ 上 连续。
2. $f(x)$ 在 $[1, infty)$ 上 单调递减。
3. $f(x) > 0$ 在 $[1, infty)$ 上。
那么，级数 $sum_{n=1}^{infty} a_n$ 收敛当且仅当 反常积分 $int_{1}^{infty} f(x) dx$ 收敛。其中，$a_n = f(n)$。
例子： 判断 $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n}$ 的敛散性。
我们定义函数 $f(x) = frac{1}{x ln x}$。
对于 $x ge 2$：
1. $f(x)$ 是连续的。
2. 我们可以求导数 $f'(x) = frac{ln x + 1}{(x ln x)^2}$，当 $x ge 2$ 时，$f'(x) < 0$，所以 $f(x)$ 单调递减。
3. $f(x) > 0$。
现在我们计算反常积分：
$int_{2}^{infty} frac{1}{x ln x} dx$
这是一个反常积分，我们可以用换元法来计算。令 $u = ln x$，则 $du = frac{1}{x} dx$。当 $x=2$ 时，$u = ln 2$；当 $x o infty$ 时，$u o infty$。
积分变为：
$int_{ln 2}^{infty} frac{1}{u} du = [ln|u|]_{ln 2}^{infty} = lim_{b o infty} (ln b) ln(ln 2)$
因为 $lim_{b o infty} ln b = infty$，所以这个积分 发散。
根据积分判别法，级数 $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n}$ 也 发散。
6. 交错级数判别法 (The Alternating Series Test)
这种方法专门用于判断形如 $sum_{n=1}^{infty} (1)^{n1} b_n$ 或 $sum_{n=1}^{infty} (1)^n b_n$ 的交错级数。如果满足以下两个条件：
1. $b_n > 0$。
2. $b_n$ 单调递减（即 $b_{n+1} le b_n$ 对所有 $n$ 成立）。
3. $lim_{n o infty} b_n = 0$。
那么，这个交错级数 收敛。
例子： 判断 $sum_{n=1}^{infty} (1)^{n1} frac{1}{n}$ 的敛散性。
这是一个莱布尼茨级数（调和交错级数）。
令 $b_n = frac{1}{n}$。
1. $b_n = frac{1}{n} > 0$ 对于 $n ge 1$。
2. $b_{n+1} = frac{1}{n+1} le frac{1}{n} = b_n$，所以 $b_n$ 单调递减。
3. $lim_{n o infty} b_n = lim_{n o infty} frac{1}{n} = 0$。
所有条件都满足，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} (1)^{n1} frac{1}{n}$ 收敛。
7. 条件收敛与绝对收敛 (Conditional vs. Absolute Convergence)
有时候，一个级数 $sum a_n$ 可能不收敛，但它对应的 绝对值级数 $sum |a_n|$ 却收敛。这种情况下，原级数称为 条件收敛。如果 $sum a_n$ 和 $sum |a_n|$ 都收敛，则原级数称为 绝对收敛。
绝对收敛是比收敛更强的性质，因为如果一个级数绝对收敛，那么它本身也一定收敛。
比值判别法和根值判别法判断的是绝对收敛性。
交错级数判别法判断的是收敛性，但可能不是绝对收敛。例如 $sum (1)^{n1} frac{1}{n}$ 是条件收敛的，因为 $sum frac{1}{n}$ 发散。
第三步：综合运用与选择 (Putting it All Together)
就像面对一个复杂的谜题，我们可能会尝试不同的线索和工具。
从最简单的开始： 总是先检查通项的极限是否为零。
观察级数的结构：
如果级数中包含阶乘或指数项，比值判别法 通常是很好的选择。
如果级数项有 $n$ 的高次幂，并且形式比较简单，极限比较法 是个不错的工具。
如果级数项是某个表达式的 $n$ 次幂，根值判别法 可能有用。
如果级数是交错的，优先考虑 交错级数判别法。
如果级数各项是正的，并且可以找到一个合适的连续单调递减函数，积分判别法 是一个选择（但通常计算比较麻烦）。
如果能找到一个简单的、已知敛散性的级数进行比较，直观比较法 和 极限比较法 都很有用。
不要怕尝试： 如果一种判别法失效（例如比值判别法得到的极限是 1），不要灰心，换一种方法试试看。
判断级数的敛散性是一个循序渐进的过程，需要耐心和对各种判别法的熟练掌握。多做练习，多观察级数的特点，你就能越来越得心应手地解决这些问题。
网友意见
这题可以用初等方法做。需要一些技巧。
其中 。可以看出，如果我们能证明对充分大的 有 ，上面不等式右边的前两项就发散（调和级数），最后一项有界，所以原级数发散。所以我们用反证法，假设存在任意大的 使得 。
那项容易估计：
。因此我们知道，存在 使得 （当 ）。
要估计这项，可以先平方，再用上面的方法估计：
其中 ， ， 是最接近 的整数。
设 ，那么
由不等式 ，有 ，所以 （当 ）。由 的定义，如果把区间 等分为 段，那么一定有一段里有两个整数 使得 ，并且 都不小于 ，其中 是 离最接近 的整数的距离。所以 和 都不大于 。这样就有 和 （当 ）。令 ，我们得到存在整数 使得 ，这与 是无理数矛盾。
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好的，咱们来聊聊极坐标下，这种形式的曲线： $r = frac{sin(k heta)}{sin((n+k) heta)} l$ 。 这玩意儿可不是一般的简单，要判断它的形状，得一点一点地拆解，而且这过程中有很多有趣的地方。首先，咱们得明确几个参数的含义： $r$：这是咱们熟悉的距离原点的距离。.............
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要判定一个人的生活主要来源是其劳动收入，这涉及到多个层面的考量，而且具体到实际操作中，不同的机构或情境下会有细微的差别。但总的来说，核心是考察劳动所得在总收入中的占比，以及这种劳动是否具有持续性、普遍性和对维持基本生活水平的支撑作用。我们可以从以下几个方面来详细解读：一、 核心要素：劳动所得的实质性.............
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看到新闻里那个高中生毫不犹豫地为老伯施展心肺复苏，我心里真是百感交集。这孩子，小小年纪，面对突发状况，能做出这样的反应，真的让人由衷地佩服。那么，他当时采取的急救措施到底对不对？咱们一起来捋一捋，顺便也说说，到底什么情况下，我们才需要挺身而出，为别人做心肺复苏。一、那个高中生的急救措施，够不够专业？.............
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要是不打算上车，单凭肉眼观察一列列车，想要准确判断出它究竟归属于哪个铁路局、哪个客运段，这确实是个不小的挑战，因为这些信息通常不会直接写在车厢外表上。不过，我们还是可以通过一些细枝末节，像个“铁路侦探”一样，尝试着抽丝剥茧，找出一些线索。首先，最直接也是最常见的一个线索，就是看看列车的涂装和车身标识.............
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刚接触葡萄酒，看到那些密密麻麻的酒标，确实会让人有点儿晕。不过别担心，酒标就像葡萄酒的“身份证”，仔细看，里面藏着不少信息，足够我们对它有个初步的了解，判断一下是好是坏，大概是什么样的风格。咱们就从头到尾，把酒标上的学问掰开了揉碎了讲讲。第一步：找准核心信息，看懂“谁是谁”酒标上最显眼的，往往是酒庄.............
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台湾法院对一名大陆船长下令射杀海盗判处26年重刑，这无疑是一件极其复杂且引发广泛争议的事件。要理解这其中的深层含义，我们需要从多个角度来剖析。事件本身的回顾与背景首先，我们必须清晰地梳理事件的经过。那是一名大陆渔船船长，在海上遭遇海盗袭击时，为了保护船员和渔获，下令船员使用武器进行反击，并最终导致部.............
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搜狗号码通 Lite能在不越狱的情况下判断骚扰电话，这背后其实是一套相当精巧的系统运作。它并非依赖于设备的底层权限，而是通过一系列“聪明”的机制来识别可疑来电。首先，最核心的机制叫做“号码数据库”。你可以想象搜狗号码通 Lite维护着一个庞大的“黑名单”和“白名单”数据库。这个数据库是怎么来的呢？这.............
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在民事诉讼和行政诉讼中，当原告和被告双方都未能提供足够的证据来充分证明其主张时，法官的判决会比证据充分时更为复杂和微妙。法官并非可以随意决定，而是需要在法律框架内，运用一些原则和方法来处理这种情况。以下将详细阐述法官在证据不足的情况下如何作出判决：核心原则：证据规则与证明责任无论民事还是行政诉讼，都.............
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2019年美洲杯季军争夺战，阿根廷对阵智利，这场比赛的结局充满了戏剧性，而其中最令人印象深刻的，莫过于梅西和梅德尔在比赛中段爆发的冲突，导致两人双双被罚下。事情发生在比赛的第37分钟，当时比分是20，阿根廷领先。梅西带球推进，梅德尔上前进行防守。从录像回放来看，梅德尔在逼抢过程中有一个抬膝的动作，虽.............
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这件事情确实让人非常揪心，也引发了许多关于乘客安全、驾驶员责任以及法律界定的讨论。我们来尝试从几个角度梳理一下这个事件，并试着理解为什么法院会做出这样的判决。首先，从事实层面来看，我们知道： 乘客多次要求下车被拒： 这是事件的核心冲突点之一。乘客似乎有强烈的下车意愿，但司机未能满足。 乘客跳.............
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俄亥俄州禁止医生在判定胎儿带有唐氏综合症的情况下进行人工流产的法律，是一项极具争议性的议题，涉及复杂的伦理、法律、医学和社会层面考量。以下将从不同角度进行详细评价：1. 支持者的观点及其论据： 保护生命权，特别是被视为“弱势”群体的生命权： 支持者认为，所有生命都应该受到保护，无论其是否有残疾。.............
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这起事件确实触及了一个复杂且备受关注的社会议题：酒后驾驶的悲剧以及共同饮酒者在其中的责任划分。从法律和情理两个层面来看，都值得我们深入探讨。如何看待男子醉驾出车祸死亡，7 位同饮者被判罚赔偿？这件事情的处理结果，我认为是一种基于法律规定，但可能在公众认知中引发一些争议的体现。从法律角度来说，判罚同饮.............
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在讨论这个问题之前，我们得明白一个核心的法律原则：正当防卫。 这是判断一个人在面对危险时采取行动的合法性与否的关键。假设这么一个场景：一个精神病人，在没有其他任何征兆或原因的情况下，突然持凶器（比如刀子、棍子）对你进行追杀。你跑不过，也无法通过其他方式摆脱危险，为了保住自己的生命，你不得不进行反击，.............
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判断自己是否适合成为一名自由职业者，以及自由职业者的核心技能，是一个需要深入思考的问题。这不仅仅是关于选择一种工作方式，更是关于一种生活方式的转变。下面我将详细阐述这两个方面： 如何判断自己是否适合成为一名自由职业者？判断是否适合成为一名自由职业者，需要从多个维度进行自我审视，包括你的性格特质、工作.............
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判断一部作品是“反战”还是“反战败”，需要深入剖析其核心立意、叙事角度、人物塑造以及情感表达。两者虽然都涉及战争，但其出发点和落脚点截然不同。核心区别： 反战 (Antiwar): 根本上反对战争本身，认为战争是残酷的、不人道的、毁灭性的，不应发生。其批判对象是战争行为、战争的根源、战争带来的痛.............
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