如何用级数证明三角函数的和差角公式？
好的，咱们今天来聊聊如何用级数的方法，一层一层地剥开，让那些看似神秘的三角函数和差角公式，在我们眼前展现出它最本质的模样。这可不是简单的套公式，而是从更根本的数学语言——泰勒级数出发，理解它们诞生的逻辑。
咱们的目标是推导出像 $sin(x+y)$ 和 $cos(x+y)$ 这样的公式。
第一步：打好基础——泰勒级数是什么？
在深入之前，我们得先对泰勒级数有个清晰的认识。你可以把泰勒级数想象成一个“万能公式”，它可以把一个“表现良好”的函数，在某个点的附近，用一系列的“多项式”来近似。而且，近似的程度可以无限提高，只要你愿意加更多的项。
对于我们关心的 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 这两个函数，它们在 $x=0$ 点附近的泰勒级数（也叫做麦克劳林级数）是这样的：
$sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + dots = sum_{n=0}^{infty} (1)^n frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$cos(x) = 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} frac{x^6}{6!} + dots = sum_{n=0}^{infty} (1)^n frac{x^{2n}}{(2n)!}$
这里，$n!$ 表示阶乘，$n! = n imes (n1) imes dots imes 2 imes 1$。
大家可以观察一下这两个级数，它们是不是很有规律？项的符号在正负之间交替，分母是阶乘，分子是 $x$ 的奇数幂（$sin$) 或偶数幂（$cos$）。这些幂次和阶乘的对应关系，是它们之所以能表示这些函数的关键。
第二步：引入指数函数——欧拉公式的桥梁
为什么我们要引入指数函数呢？因为指数函数有着非常漂亮的性质，尤其是它和三角函数之间存在一个非常深刻的联系——欧拉公式：
$e^{ix} = cos(x) + isin(x)$
这里的 $e$ 是自然对数的底数，大约是 2.71828；$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$。
我们也可以把 $e^{ix}$ 用泰勒级数展开：
$e^z = 1 + z + frac{z^2}{2!} + frac{z^3}{3!} + frac{z^4}{4!} + dots$
现在，我们把 $z$ 替换成 $ix$：
$e^{ix} = 1 + (ix) + frac{(ix)^2}{2!} + frac{(ix)^3}{3!} + frac{(ix)^4}{4!} + frac{(ix)^5}{5!} + dots$
来一步步化简它：
$(ix)^2 = i^2 x^2 = x^2$
$(ix)^3 = i^3 x^3 = i^2 cdot i cdot x^3 = ix^3$
$(ix)^4 = i^4 x^4 = (i^2)^2 x^4 = (1)^2 x^4 = x^4$
$(ix)^5 = i^5 x^5 = i^4 cdot i cdot x^5 = ix^5$
依此类推，你会发现 $i$ 的幂次是按照 $i, 1, i, 1$ 循环的。
所以，$e^{ix}$ 就变成了：
$e^{ix} = 1 + ix frac{x^2}{2!} ifrac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + ifrac{x^5}{5!} dots$
现在，我们把实数项和虚数项分开：
$e^{ix} = left( 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} dots ight) + i left( x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots ight)$
你看到了吗？括号里的实数部分正是 $cos(x)$ 的泰勒级数，虚数部分乘以 $i$ 之后，括号里的虚数部分正是 $sin(x)$ 的泰勒级数！
这就证明了欧拉公式 $e^{ix} = cos(x) + isin(x)$。这个公式简直就是一座连接指数世界和三角世界的桥梁，让我们可以用指数函数的优美性质来处理三角函数。
第三步：利用欧拉公式推导和差角公式
有了欧拉公式，推导和差角公式就变得非常顺畅了。
我们想要求 $sin(x+y)$ 和 $cos(x+y)$，我们可以先把它们看作是 $e^{i(x+y)}$ 的实部和虚部。
根据指数的性质，$e^{i(x+y)} = e^{ix} cdot e^{iy}$。
现在，我们把 $e^{ix}$ 和 $e^{iy}$ 分别用欧拉公式展开：
$e^{ix} = cos(x) + isin(x)$
$e^{iy} = cos(y) + isin(y)$
那么，$e^{i(x+y)}$ 就等于：
$e^{i(x+y)} = (cos(x) + isin(x)) cdot (cos(y) + isin(y))$
我们来仔细地展开这个乘积：
$e^{i(x+y)} = cos(x)cos(y) + icos(x)sin(y) + isin(x)cos(y) + i^2sin(x)sin(y)$
别忘了 $i^2 = 1$：
$e^{i(x+y)} = cos(x)cos(y) + icos(x)sin(y) + isin(x)cos(y) sin(x)sin(y)$
同样，我们将实数项和虚数项分开：
$e^{i(x+y)} = (cos(x)cos(y) sin(x)sin(y)) + i(cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y))$
另一方面，我们知道 $e^{i(x+y)}$ 也可以用欧拉公式直接表示成：
$e^{i(x+y)} = cos(x+y) + isin(x+y)$
现在，我们有了两个等式，它们都等于 $e^{i(x+y)}$。这意味着它们的实部和虚部必然相等：
实部相等： $cos(x+y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y)$
虚部相等： $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ （注意这里虚部是 $sin(x+y)$，所以等号右边的虚部系数是 $sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$）
bingo！我们仅用泰勒级数（通过欧拉公式的桥梁）就漂亮地推导出了三角函数的和角公式。
一些补充和思考：
1. 级数的收敛性： 这里我们依赖于泰勒级数的收敛性。幸运的是，$sin(x)$、$cos(x)$ 和 $e^x$ 的泰勒级数在整个实数域上都是收敛的，所以我们的推导是可靠的。
2. 直接用级数展开？ 你可能会问，为什么不直接用 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 的级数去展开 $sin(x+y)$ 和 $cos(x+y)$ 呢？ 理论上是可以的，但这会非常非常复杂。想象一下把 $sin(x+y)$ 写成泰勒级数，你需要计算 $(x+y)$ 的奇数次幂的导数，然后除以阶乘。比如 $sin(x+y)$ 在 $0$ 点的泰勒级数的第一项是 $(x+y)$，第二项是 $frac{(x+y)^3}{3!}$，以此类推。然后你需要用二项式定理展开 $(x+y)^n$，再按 $x$ 和 $y$ 分组。这个过程会非常繁琐，而且很容易出错。而通过欧拉公式和指数函数的性质，一切都变得优雅和直接。
3. 复数的重要性： 这个过程充分展示了复数在数学中的强大作用。很多在实数域内难以处理的问题，一旦引入复数，就变得豁然开朗。欧拉公式就是其中的一个绝佳例子。
4. 对公式的理解： 这样做的好处不仅仅是推导出了公式，更重要的是，它让你看到了这些公式背后更深层次的数学联系。三角函数不再是孤立的存在，而是与指数函数紧密相连，共享着同一套指数运算的规律。
希望这样的讲解，能让你对如何用级数证明三角函数和差角公式有了更清晰、更深入的认识。这就像是看建筑物的地基和钢筋结构，了解了这些，才能真正欣赏到它宏伟的“外观”。
咱们的目标是推导出像 $sin(x+y)$ 和 $cos(x+y)$ 这样的公式。
第一步：打好基础——泰勒级数是什么？
在深入之前，我们得先对泰勒级数有个清晰的认识。你可以把泰勒级数想象成一个“万能公式”，它可以把一个“表现良好”的函数，在某个点的附近，用一系列的“多项式”来近似。而且，近似的程度可以无限提高，只要你愿意加更多的项。
对于我们关心的 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 这两个函数，它们在 $x=0$ 点附近的泰勒级数（也叫做麦克劳林级数）是这样的：
$sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + dots = sum_{n=0}^{infty} (1)^n frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$cos(x) = 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} frac{x^6}{6!} + dots = sum_{n=0}^{infty} (1)^n frac{x^{2n}}{(2n)!}$
这里，$n!$ 表示阶乘，$n! = n imes (n1) imes dots imes 2 imes 1$。
大家可以观察一下这两个级数，它们是不是很有规律？项的符号在正负之间交替，分母是阶乘，分子是 $x$ 的奇数幂（$sin$) 或偶数幂（$cos$）。这些幂次和阶乘的对应关系，是它们之所以能表示这些函数的关键。
第二步：引入指数函数——欧拉公式的桥梁
为什么我们要引入指数函数呢？因为指数函数有着非常漂亮的性质，尤其是它和三角函数之间存在一个非常深刻的联系——欧拉公式：
$e^{ix} = cos(x) + isin(x)$
这里的 $e$ 是自然对数的底数，大约是 2.71828；$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$。
我们也可以把 $e^{ix}$ 用泰勒级数展开：
$e^z = 1 + z + frac{z^2}{2!} + frac{z^3}{3!} + frac{z^4}{4!} + dots$
现在，我们把 $z$ 替换成 $ix$：
$e^{ix} = 1 + (ix) + frac{(ix)^2}{2!} + frac{(ix)^3}{3!} + frac{(ix)^4}{4!} + frac{(ix)^5}{5!} + dots$
来一步步化简它：
$(ix)^2 = i^2 x^2 = x^2$
$(ix)^3 = i^3 x^3 = i^2 cdot i cdot x^3 = ix^3$
$(ix)^4 = i^4 x^4 = (i^2)^2 x^4 = (1)^2 x^4 = x^4$
$(ix)^5 = i^5 x^5 = i^4 cdot i cdot x^5 = ix^5$
依此类推，你会发现 $i$ 的幂次是按照 $i, 1, i, 1$ 循环的。
所以，$e^{ix}$ 就变成了：
$e^{ix} = 1 + ix frac{x^2}{2!} ifrac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + ifrac{x^5}{5!} dots$
现在，我们把实数项和虚数项分开：
$e^{ix} = left( 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} dots ight) + i left( x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots ight)$
你看到了吗？括号里的实数部分正是 $cos(x)$ 的泰勒级数，虚数部分乘以 $i$ 之后，括号里的虚数部分正是 $sin(x)$ 的泰勒级数！
这就证明了欧拉公式 $e^{ix} = cos(x) + isin(x)$。这个公式简直就是一座连接指数世界和三角世界的桥梁，让我们可以用指数函数的优美性质来处理三角函数。
第三步：利用欧拉公式推导和差角公式
有了欧拉公式，推导和差角公式就变得非常顺畅了。
我们想要求 $sin(x+y)$ 和 $cos(x+y)$，我们可以先把它们看作是 $e^{i(x+y)}$ 的实部和虚部。
根据指数的性质，$e^{i(x+y)} = e^{ix} cdot e^{iy}$。
现在，我们把 $e^{ix}$ 和 $e^{iy}$ 分别用欧拉公式展开：
$e^{ix} = cos(x) + isin(x)$
$e^{iy} = cos(y) + isin(y)$
那么，$e^{i(x+y)}$ 就等于：
$e^{i(x+y)} = (cos(x) + isin(x)) cdot (cos(y) + isin(y))$
我们来仔细地展开这个乘积：
$e^{i(x+y)} = cos(x)cos(y) + icos(x)sin(y) + isin(x)cos(y) + i^2sin(x)sin(y)$
别忘了 $i^2 = 1$：
$e^{i(x+y)} = cos(x)cos(y) + icos(x)sin(y) + isin(x)cos(y) sin(x)sin(y)$
同样，我们将实数项和虚数项分开：
$e^{i(x+y)} = (cos(x)cos(y) sin(x)sin(y)) + i(cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y))$
另一方面，我们知道 $e^{i(x+y)}$ 也可以用欧拉公式直接表示成：
$e^{i(x+y)} = cos(x+y) + isin(x+y)$
现在，我们有了两个等式，它们都等于 $e^{i(x+y)}$。这意味着它们的实部和虚部必然相等：
实部相等： $cos(x+y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y)$
虚部相等： $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ （注意这里虚部是 $sin(x+y)$，所以等号右边的虚部系数是 $sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$）
bingo！我们仅用泰勒级数（通过欧拉公式的桥梁）就漂亮地推导出了三角函数的和角公式。
一些补充和思考：
1. 级数的收敛性： 这里我们依赖于泰勒级数的收敛性。幸运的是，$sin(x)$、$cos(x)$ 和 $e^x$ 的泰勒级数在整个实数域上都是收敛的，所以我们的推导是可靠的。
2. 直接用级数展开？ 你可能会问，为什么不直接用 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 的级数去展开 $sin(x+y)$ 和 $cos(x+y)$ 呢？ 理论上是可以的，但这会非常非常复杂。想象一下把 $sin(x+y)$ 写成泰勒级数，你需要计算 $(x+y)$ 的奇数次幂的导数，然后除以阶乘。比如 $sin(x+y)$ 在 $0$ 点的泰勒级数的第一项是 $(x+y)$，第二项是 $frac{(x+y)^3}{3!}$，以此类推。然后你需要用二项式定理展开 $(x+y)^n$，再按 $x$ 和 $y$ 分组。这个过程会非常繁琐，而且很容易出错。而通过欧拉公式和指数函数的性质，一切都变得优雅和直接。
3. 复数的重要性： 这个过程充分展示了复数在数学中的强大作用。很多在实数域内难以处理的问题，一旦引入复数，就变得豁然开朗。欧拉公式就是其中的一个绝佳例子。
4. 对公式的理解： 这样做的好处不仅仅是推导出了公式，更重要的是，它让你看到了这些公式背后更深层次的数学联系。三角函数不再是孤立的存在，而是与指数函数紧密相连，共享着同一套指数运算的规律。
希望这样的讲解，能让你对如何用级数证明三角函数和差角公式有了更清晰、更深入的认识。这就像是看建筑物的地基和钢筋结构，了解了这些，才能真正欣赏到它宏伟的“外观”。
网友意见
写出正余弦的泰勒级数，直接用级数柯西乘积定义计算就行，只是要注意凑一下二项式定理。
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好的，咱们今天来聊聊如何用级数的方法，一层一层地剥开，让那些看似神秘的三角函数和差角公式，在我们眼前展现出它最本质的模样。这可不是简单的套公式，而是从更根本的数学语言——泰勒级数出发，理解它们诞生的逻辑。咱们的目标是推导出像 $sin(x+y)$ 和 $cos(x+y)$ 这样的公式。第一步：打好基............. -
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