如何证明该级数收敛?
要证明一个级数收敛，我们需要仔细审视它的各项行为以及它们如何累积。我们手里握着的不是一个固定模式的级数，需要对其进行深入的观察和分析。下面，我将一步一步地带你走进证明的逻辑，尽量让每一步都清晰明了。
首先，我们拿到这个级数，假设它是 $sum_{n=1}^{infty} a_n$。要证明它收敛，最根本的出发点在于理解它的部分和序列 $S_N = sum_{n=1}^{N} a_n$。如果这个部分和序列随着 $N$ 趋向无穷而趋于一个有限的定值，那么这个级数就收敛到那个定值。反之，如果 $S_N$ 要么发散到无穷（正无穷或负无穷），要么振荡而不趋于一个固定值，那么这个级数就是发散的。
所以，我们的核心任务就是研究 $S_N$ 的极限行为。然而，很多时候，直接计算 $S_N$ 并找到其极限是极其困难，甚至不可能的。这时候，我们就需要借助各种判敛法则。这些判敛法则提供了一些更间接但更有效的方法来判断级数的收敛性。
我们来看看最常见也最基础的一些判敛方法，并尝试将它们应用于我们手头的级数。
1. 直接比较判敛法 (Direct Comparison Test)
这个方法的核心思想是：如果我们的级数 $a_n$ 的每一项都比另一个已知收敛的级数 $b_n$ 的对应项小或相等（对于所有 $n$ 足够大时），那么我们的级数也一定会收敛。反之，如果我们的级数 $a_n$ 的每一项都比另一个已知发散的级数 $c_n$ 的对应项大或相等（对于所有 $n$ 足够大时），那么我们的级数也会发散。
形式化地说：
如果 $0 le a_n le b_n$ 对于所有 $n ge N_0$，且 $sum b_n$ 收敛，则 $sum a_n$ 收敛。
如果 $0 le c_n le a_n$ 对于所有 $n ge N_0$，且 $sum c_n$ 发散，则 $sum a_n$ 发散。
如何应用？
我们需要找到一个合适的参照级数。这个参照级数通常是我们非常熟悉的，比如p级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$。我们知道，当 $p > 1$ 时，p级数收敛；当 $p le 1$ 时，p级数发散。
所以，如果我们的级数 $a_n$ 的每一项在 $n$ 很大时，都能被一个形如 $frac{C}{n^p}$（$C>0$, $p>1$）的项“压住”，那么它就有可能收敛。反之，如果它每一项都比一个形如 $frac{C}{n^p}$（$C>0$, $p le 1$）的项“抬高”，那么它可能发散。
2. 极限比较判敛法 (Limit Comparison Test)
这个方法比直接比较法更灵活一些。它不要求 $a_n le b_n$，而是关注两个级数项的比值的极限。
形式化地说：
假设 $a_n > 0$ 且 $b_n > 0$ 对于所有 $n$ 足够大。如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = L$，并且 $L$ 是一个有限的、大于零的数 ($0 < L < infty$)，那么 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 具有相同的收敛性。
这个方法的意义在于？
如果两个级数项的比值趋于一个非零常数，这意味着它们在 $n$ 很大时，行为非常相似。就像两个在同一起跑线上奔跑的选手，速度差不多，那么谁先到终点，谁也几乎同时到终点。
如何应用？
同样需要找到一个合适的参照级数 $b_n$（通常是 p级数或几何级数）。然后计算 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n}$。
如果极限是 $L in (0, infty)$，那么就看 $b_n$ 的收敛性来判断 $a_n$ 的收敛性。
特殊情况： 如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = 0$，且 $sum b_n$ 收敛，那么 $sum a_n$ 收敛（因为 $a_n$ 比 $b_n$ “小得更快”）。
特殊情况： 如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = infty$，且 $sum b_n$ 发散，那么 $sum a_n$ 发散（因为 $a_n$ 比 $b_n$ “大得更快”）。
3. 比值判敛法 (Ratio Test)
这个方法关注的是连续两项的比值的绝对值的极限。它特别适用于含有指数或阶乘的级数。
形式化地说：
考虑级数 $sum a_n$。计算 $L = lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$。
如果 $L < 1$，则级数 $sum a_n$ 绝对收敛（绝对收敛意味着收敛）。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，则级数 $sum a_n$ 发散。
如果 $L = 1$，则该判敛法失效，需要使用其他方法。
直观理解： 如果每一步都缩小固定比例（或比例趋于某个小于1的数），那么这个累加过程最终会收敛到一个值。如果每一步都在扩大（或比例趋于某个大于1的数），那么累加就会无限增长，发散。
如何应用？
我们需要计算 $frac{a_{n+1}}{a_n}$ 的表达式，然后求其极限。这通常涉及到指数的约分和阶乘的展开。
4. 根值判敛法 (Root Test)
与比值判敛法类似，根值判敛法也关注极限，但它使用的是各项的n次方根的绝对值。它对于含有 $n$ 次幂的级数特别有效。
形式化地说：
考虑级数 $sum a_n$。计算 $L = lim_{n o infty} sqrt[n]{|a_n|}$。
如果 $L < 1$，则级数 $sum a_n$ 绝对收敛。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，则级数 $sum a_n$ 发散。
如果 $L = 1$，则该判敛法失效。
直观理解： 如果每一步的“增长率”的 $n$ 次方根趋于某个小于1的数，那么整体的累积是受控的。
如何应用？
计算 $sqrt[n]{|a_n|}$，然后求其极限。这通常涉及到指数和对数的技巧。
5. 交错级数判敛法 (Alternating Series Test)
如果级数是交错的，即项的符号交替出现（如 $1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + dots$），我们可以使用这个专门的判敛法。
形式化地说：
对于交错级数 $sum_{n=1}^{infty} (1)^{n1} b_n$ （其中 $b_n > 0$），如果满足以下两个条件：
1. $b_{n+1} le b_n$ 对于所有 $n$ 足够大（即项的绝对值是非增的）。
2. $lim_{n o infty} b_n = 0$（即项的绝对值趋于零）。
则该交错级数收敛。
直观理解： 如果一项的绝对值越来越小，并且最终趋于零，那么在加加减减的过程中，部分和会围绕着一个值上下波动，并且每次波动的幅度都在减小，最终会“挤”到一个固定的值。
如何应用？
首先确认级数是否交错。然后，将级数写成 $(1)^{n1} b_n$ 的形式，找出 $b_n$。接着验证 $b_n$ 的非增性和趋于零的性质。
总结一下证明的流程：
1. 审视级数的形式： 仔细观察级数的每一项 $a_n$ 的具体表达式。它是否含有指数、阶乘、分数、三角函数、对数等？
2. 判断是否有简单的收敛/发散判据：
通项趋于零的必要条件： 如果 $lim_{n o infty} a_n e 0$（包括趋于非零常数或无穷），则级数一定发散。如果 $lim_{n o infty} a_n = 0$，则不能断定级数收敛，还需要进一步判断。这是检查级数是否发散的一个快速方法。
几何级数： 如果级数是 $sum ar^n$，当 $|r| < 1$ 时收敛，当 $|r| ge 1$ 时发散。
p级数： 如果级数是 $sum frac{1}{n^p}$，当 $p > 1$ 时收敛，当 $p le 1$ 时发散。
交错级数： 检查是否符合交错级数判敛法的条件。
3. 选择合适的判敛法：
如果级数包含阶乘或指数，优先考虑比值判敛法。
如果级数包含n次幂，优先考虑根值判敛法。
如果级数中各项行为相似，但直接比较困难，考虑极限比较判敛法，选择一个熟悉的级数作为参照。
如果级数各项的绝对值与一个已知级数相关，且可以建立不等关系，考虑直接比较判敛法。
如果级数是交错的，并且项的绝对值单调递减趋于零，使用交错级数判敛法。
4. 执行判敛法：
写出计算过程： 清晰地写出你所选择的判敛法涉及的表达式的计算过程，特别是极限的求解。
得出结论： 根据判敛法的结论，明确说明级数是收敛还是发散。如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛（通常我们先证明绝对收敛）。
举个例子来演示一下思考过程：
假设我们要证明级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n^2 2^n}$ 收敛。
第一步：审视级数形式
级数项是 $a_n = frac{n+1}{n^2 2^n}$。可以看到它包含 $n^2$ 和 $2^n$。
第二步：检查通项是否趋于零
$lim_{n o infty} frac{n+1}{n^2 2^n}$。 分母的 $2^n$ 比分子增长得快得多，所以这个极限是 0。必要条件满足，但不能断定收敛。
第三步：选择判敛法
级数中包含 $2^n$，这提示我们使用比值判敛法或者根值判敛法。比值判敛法可能更容易处理这里的阶乘（虽然这里没有阶乘，但有指数）。让我们试试比值判敛法。
第四步：执行比值判敛法
我们需要计算 $lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$。
$a_n = frac{n+1}{n^2 2^n}$
$a_{n+1} = frac{(n+1)+1}{(n+1)^2 2^{n+1}} = frac{n+2}{(n+1)^2 2^{n+1}}$
$frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{frac{n+2}{(n+1)^2 2^{n+1}}}{frac{n+1}{n^2 2^n}} = frac{n+2}{(n+1)^2 2^{n+1}} cdot frac{n^2 2^n}{n+1}$
我们来化简这个表达式：
$frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{n+2}{n+1} cdot frac{n^2}{(n+1)^2} cdot frac{2^n}{2^{n+1}}$
$frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{n+2}{n+1} cdot left(frac{n}{n+1} ight)^2 cdot frac{1}{2}$
现在计算极限：
$lim_{n o infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n o infty} left[ frac{n+2}{n+1} cdot left(frac{n}{n+1} ight)^2 cdot frac{1}{2} ight]$
分别计算各项的极限：
$lim_{n o infty} frac{n+2}{n+1} = lim_{n o infty} frac{1 + 2/n}{1 + 1/n} = frac{1+0}{1+0} = 1$
$lim_{n o infty} frac{n}{n+1} = lim_{n o infty} frac{1}{1 + 1/n} = frac{1}{1+0} = 1$
所以，$lim_{n o infty} left(frac{n}{n+1} ight)^2 = 1^2 = 1$
将这些极限值代入：
$L = 1 cdot 1 cdot frac{1}{2} = frac{1}{2}$
得出结论：
因为 $L = frac{1}{2} < 1$，根据比值判敛法，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n^2 2^n}$ 是绝对收敛的。
重要提醒：
“对于所有 $n$ 足够大时” 这个条件很重要。很多不等式或性质可能不是从 $n=1$ 开始就成立，但只要从某个固定的 $N_0$ 开始成立，我们就可以使用它们来证明收敛性。因为级数的收敛性只与级数的“尾巴”有关，前面的有限项不影响收敛与否。
掌握常用级数的收敛性是关键。 p级数和几何级数是我们最熟悉的“邻居”。
不要害怕尝试。 有时候，一种方法可能行不通，你需要换一种方法。多练习不同的级数和不同的判敛法，你会越来越熟练。
思路的清晰性比用词的华丽更重要。 证明的核心在于逻辑链条的严密性。
希望这些详细的解释能帮助你理解如何严谨地证明级数的收敛性。记住，每一步的推理都应该是有理有据的。
首先，我们拿到这个级数，假设它是 $sum_{n=1}^{infty} a_n$。要证明它收敛，最根本的出发点在于理解它的部分和序列 $S_N = sum_{n=1}^{N} a_n$。如果这个部分和序列随着 $N$ 趋向无穷而趋于一个有限的定值，那么这个级数就收敛到那个定值。反之，如果 $S_N$ 要么发散到无穷（正无穷或负无穷），要么振荡而不趋于一个固定值，那么这个级数就是发散的。
所以，我们的核心任务就是研究 $S_N$ 的极限行为。然而，很多时候，直接计算 $S_N$ 并找到其极限是极其困难，甚至不可能的。这时候，我们就需要借助各种判敛法则。这些判敛法则提供了一些更间接但更有效的方法来判断级数的收敛性。
我们来看看最常见也最基础的一些判敛方法，并尝试将它们应用于我们手头的级数。
1. 直接比较判敛法 (Direct Comparison Test)
这个方法的核心思想是：如果我们的级数 $a_n$ 的每一项都比另一个已知收敛的级数 $b_n$ 的对应项小或相等（对于所有 $n$ 足够大时），那么我们的级数也一定会收敛。反之，如果我们的级数 $a_n$ 的每一项都比另一个已知发散的级数 $c_n$ 的对应项大或相等（对于所有 $n$ 足够大时），那么我们的级数也会发散。
形式化地说：
如果 $0 le a_n le b_n$ 对于所有 $n ge N_0$，且 $sum b_n$ 收敛，则 $sum a_n$ 收敛。
如果 $0 le c_n le a_n$ 对于所有 $n ge N_0$，且 $sum c_n$ 发散，则 $sum a_n$ 发散。
如何应用？
我们需要找到一个合适的参照级数。这个参照级数通常是我们非常熟悉的，比如p级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$。我们知道，当 $p > 1$ 时，p级数收敛；当 $p le 1$ 时，p级数发散。
所以，如果我们的级数 $a_n$ 的每一项在 $n$ 很大时，都能被一个形如 $frac{C}{n^p}$（$C>0$, $p>1$）的项“压住”，那么它就有可能收敛。反之，如果它每一项都比一个形如 $frac{C}{n^p}$（$C>0$, $p le 1$）的项“抬高”，那么它可能发散。
2. 极限比较判敛法 (Limit Comparison Test)
这个方法比直接比较法更灵活一些。它不要求 $a_n le b_n$，而是关注两个级数项的比值的极限。
形式化地说：
假设 $a_n > 0$ 且 $b_n > 0$ 对于所有 $n$ 足够大。如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = L$，并且 $L$ 是一个有限的、大于零的数 ($0 < L < infty$)，那么 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 具有相同的收敛性。
这个方法的意义在于？
如果两个级数项的比值趋于一个非零常数，这意味着它们在 $n$ 很大时，行为非常相似。就像两个在同一起跑线上奔跑的选手，速度差不多，那么谁先到终点，谁也几乎同时到终点。
如何应用？
同样需要找到一个合适的参照级数 $b_n$（通常是 p级数或几何级数）。然后计算 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n}$。
如果极限是 $L in (0, infty)$，那么就看 $b_n$ 的收敛性来判断 $a_n$ 的收敛性。
特殊情况： 如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = 0$，且 $sum b_n$ 收敛，那么 $sum a_n$ 收敛（因为 $a_n$ 比 $b_n$ “小得更快”）。
特殊情况： 如果 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = infty$，且 $sum b_n$ 发散，那么 $sum a_n$ 发散（因为 $a_n$ 比 $b_n$ “大得更快”）。
3. 比值判敛法 (Ratio Test)
这个方法关注的是连续两项的比值的绝对值的极限。它特别适用于含有指数或阶乘的级数。
形式化地说：
考虑级数 $sum a_n$。计算 $L = lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$。
如果 $L < 1$，则级数 $sum a_n$ 绝对收敛（绝对收敛意味着收敛）。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，则级数 $sum a_n$ 发散。
如果 $L = 1$，则该判敛法失效，需要使用其他方法。
直观理解： 如果每一步都缩小固定比例（或比例趋于某个小于1的数），那么这个累加过程最终会收敛到一个值。如果每一步都在扩大（或比例趋于某个大于1的数），那么累加就会无限增长，发散。
如何应用？
我们需要计算 $frac{a_{n+1}}{a_n}$ 的表达式，然后求其极限。这通常涉及到指数的约分和阶乘的展开。
4. 根值判敛法 (Root Test)
与比值判敛法类似，根值判敛法也关注极限，但它使用的是各项的n次方根的绝对值。它对于含有 $n$ 次幂的级数特别有效。
形式化地说：
考虑级数 $sum a_n$。计算 $L = lim_{n o infty} sqrt[n]{|a_n|}$。
如果 $L < 1$，则级数 $sum a_n$ 绝对收敛。
如果 $L > 1$ 或 $L = infty$，则级数 $sum a_n$ 发散。
如果 $L = 1$，则该判敛法失效。
直观理解： 如果每一步的“增长率”的 $n$ 次方根趋于某个小于1的数，那么整体的累积是受控的。
如何应用？
计算 $sqrt[n]{|a_n|}$，然后求其极限。这通常涉及到指数和对数的技巧。
5. 交错级数判敛法 (Alternating Series Test)
如果级数是交错的，即项的符号交替出现（如 $1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + dots$），我们可以使用这个专门的判敛法。
形式化地说：
对于交错级数 $sum_{n=1}^{infty} (1)^{n1} b_n$ （其中 $b_n > 0$），如果满足以下两个条件：
1. $b_{n+1} le b_n$ 对于所有 $n$ 足够大（即项的绝对值是非增的）。
2. $lim_{n o infty} b_n = 0$（即项的绝对值趋于零）。
则该交错级数收敛。
直观理解： 如果一项的绝对值越来越小，并且最终趋于零，那么在加加减减的过程中，部分和会围绕着一个值上下波动，并且每次波动的幅度都在减小，最终会“挤”到一个固定的值。
如何应用？
首先确认级数是否交错。然后，将级数写成 $(1)^{n1} b_n$ 的形式，找出 $b_n$。接着验证 $b_n$ 的非增性和趋于零的性质。
总结一下证明的流程：
1. 审视级数的形式： 仔细观察级数的每一项 $a_n$ 的具体表达式。它是否含有指数、阶乘、分数、三角函数、对数等？
2. 判断是否有简单的收敛/发散判据：
通项趋于零的必要条件： 如果 $lim_{n o infty} a_n e 0$（包括趋于非零常数或无穷），则级数一定发散。如果 $lim_{n o infty} a_n = 0$，则不能断定级数收敛，还需要进一步判断。这是检查级数是否发散的一个快速方法。
几何级数： 如果级数是 $sum ar^n$，当 $|r| < 1$ 时收敛，当 $|r| ge 1$ 时发散。
p级数： 如果级数是 $sum frac{1}{n^p}$，当 $p > 1$ 时收敛，当 $p le 1$ 时发散。
交错级数： 检查是否符合交错级数判敛法的条件。
3. 选择合适的判敛法：
如果级数包含阶乘或指数，优先考虑比值判敛法。
如果级数包含n次幂，优先考虑根值判敛法。
如果级数中各项行为相似，但直接比较困难，考虑极限比较判敛法，选择一个熟悉的级数作为参照。
如果级数各项的绝对值与一个已知级数相关，且可以建立不等关系，考虑直接比较判敛法。
如果级数是交错的，并且项的绝对值单调递减趋于零，使用交错级数判敛法。
4. 执行判敛法：
写出计算过程： 清晰地写出你所选择的判敛法涉及的表达式的计算过程，特别是极限的求解。
得出结论： 根据判敛法的结论，明确说明级数是收敛还是发散。如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛（通常我们先证明绝对收敛）。
举个例子来演示一下思考过程：
假设我们要证明级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n^2 2^n}$ 收敛。
第一步：审视级数形式
级数项是 $a_n = frac{n+1}{n^2 2^n}$。可以看到它包含 $n^2$ 和 $2^n$。
第二步：检查通项是否趋于零
$lim_{n o infty} frac{n+1}{n^2 2^n}$。 分母的 $2^n$ 比分子增长得快得多，所以这个极限是 0。必要条件满足，但不能断定收敛。
第三步：选择判敛法
级数中包含 $2^n$，这提示我们使用比值判敛法或者根值判敛法。比值判敛法可能更容易处理这里的阶乘（虽然这里没有阶乘，但有指数）。让我们试试比值判敛法。
第四步：执行比值判敛法
我们需要计算 $lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$。
$a_n = frac{n+1}{n^2 2^n}$
$a_{n+1} = frac{(n+1)+1}{(n+1)^2 2^{n+1}} = frac{n+2}{(n+1)^2 2^{n+1}}$
$frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{frac{n+2}{(n+1)^2 2^{n+1}}}{frac{n+1}{n^2 2^n}} = frac{n+2}{(n+1)^2 2^{n+1}} cdot frac{n^2 2^n}{n+1}$
我们来化简这个表达式：
$frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{n+2}{n+1} cdot frac{n^2}{(n+1)^2} cdot frac{2^n}{2^{n+1}}$
$frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{n+2}{n+1} cdot left(frac{n}{n+1} ight)^2 cdot frac{1}{2}$
现在计算极限：
$lim_{n o infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n o infty} left[ frac{n+2}{n+1} cdot left(frac{n}{n+1} ight)^2 cdot frac{1}{2} ight]$
分别计算各项的极限：
$lim_{n o infty} frac{n+2}{n+1} = lim_{n o infty} frac{1 + 2/n}{1 + 1/n} = frac{1+0}{1+0} = 1$
$lim_{n o infty} frac{n}{n+1} = lim_{n o infty} frac{1}{1 + 1/n} = frac{1}{1+0} = 1$
所以，$lim_{n o infty} left(frac{n}{n+1} ight)^2 = 1^2 = 1$
将这些极限值代入：
$L = 1 cdot 1 cdot frac{1}{2} = frac{1}{2}$
得出结论：
因为 $L = frac{1}{2} < 1$，根据比值判敛法，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{n^2 2^n}$ 是绝对收敛的。
重要提醒：
“对于所有 $n$ 足够大时” 这个条件很重要。很多不等式或性质可能不是从 $n=1$ 开始就成立，但只要从某个固定的 $N_0$ 开始成立，我们就可以使用它们来证明收敛性。因为级数的收敛性只与级数的“尾巴”有关，前面的有限项不影响收敛与否。
掌握常用级数的收敛性是关键。 p级数和几何级数是我们最熟悉的“邻居”。
不要害怕尝试。 有时候，一种方法可能行不通，你需要换一种方法。多练习不同的级数和不同的判敛法，你会越来越熟练。
思路的清晰性比用词的华丽更重要。 证明的核心在于逻辑链条的严密性。
希望这些详细的解释能帮助你理解如何严谨地证明级数的收敛性。记住，每一步的推理都应该是有理有据的。
网友意见
这个问题在MSE上已经有人回答过了https://math.stackexchange.com/q/809346，先用summation by parts化简一下，注意到
记 ，则原式化为 。
上述恒等变形我们通常称作阿贝尔求和（Abel's summation formula)： 其中
下面，我们的重点是考察 的渐近形态，首先 会不会是一个有界量呢？很遗憾不是，关于 的无界性，陶哲轩亲自给出过回复，具体参见 sin (k^2)的前n项和有界吗？虽然无界，但是其可以被控制住，这里需要用到exponentiel sum的一个相关理论 weyl sum estimation。
通常 ，我们将形如 称作 Weyl Sum，其中 是一个实系数多项式。
(Weyl inequality for quadratic monomials) 对任意实数 满足 ，其中a为整数，q为自然数，且 。
（关于weyl inequality，可参考http://math.uga.edu/~lyall/Research/SarkozyGreen.pdf）
应用weyl's inequality(取 ， )
考虑
由weyl's inequality的lemma1：
可得
进一步，
这样， ；另一方面，由比较判别法也很容易得到 收敛。
（事实上，weyl's equidistribution theorem的推论有 ,这篇文章http://www-personal.umich.edu/~saykhan/content/notes/weyl.pdf有具体的介绍）
更一般的，我们可以考虑高次的情形 ，详见https://math.stackexchange.com/q/2270，作法差不多，也是要用到weyl inequality，只是阶的估计要更精细点。
我们有
。下面，
，其中 是 与离它最近的整数的距离；此和式还显然小于 。
这样就有 。
考虑 这 个数，则一定有一个长度 的区间包含至少两个数 和 ，因此，如果令 ，我们可以找到正整数 使得 。
注意到如果 ，那么
。所以
对最里面的和式，从每个 减掉一个适当的整数对 没有影响，因此可以把这些 都变成 中的数。如果选出那些非负的，从小到大排序，那么由上面的不等式，第 个 ，所以非负的那些组成的和式
同理，非正的那些组成的和式也不大于这个数，所以整个最里面的和式不超过 。综上，有
。
到这里我们还需要找到一个 的下界。从 我们有 。在这里我们用一个著名定理[1][2]：存在 使得对任意整数 和充分大的整数 有 。所以对充分大的 有 。记 。
因此 。这就证明了第二个问题。对于第一个问题，
，所以级数收敛。
如果只需要证明第二个问题，那么可以用一个更初等的方法做，不需要引用那个证明很复杂的“著名定理”。然而第二个问题的结论比第一个问题结论弱。我希望第一个问题也可以通过某种技巧用初等方法证明，但我没想出来，就留给别的答主吧。
编辑：第二个问题其实不难，我之前想的方法太复杂。直接用上面的不等式可得 如果 ，那么 ，这样下面的估计可以优化成
，所以
。这样就有
。要让这个充分小，就需要让 充分大。实际上，只要 ，就有 。所以
。然而这个方法仍然证明不了第一个问题，还是因为推不出一个类似 的下界。
参考
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要证明一个级数收敛，我们需要仔细审视它的各项行为以及它们如何累积。我们手里握着的不是一个固定模式的级数，需要对其进行深入的观察和分析。下面，我将一步一步地带你走进证明的逻辑，尽量让每一步都清晰明了。首先，我们拿到这个级数，假设它是 $sum_{n=1}^{infty} a_n$。要证明它收敛，最根本............. -
当然，我们来聊聊如何判断一个级数是否收敛，并且我尽量用一种自然、不过于“标准答案”的方式来讲解。首先，你要明白，级数收敛的意思是，把无穷多个数加起来，最后得到一个确定的、有限的数值，而不是一个越来越大的数或者永远变来变去。在证明级数收敛性的时候，我们通常会使用一些“工具”或者说“判别法”。这些判别法.............
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这道题是关于正项级数收敛性的一个经典结论，也是证明数列极限的一个重要工具。下面我们来详细地一步步推导和理解。问题描述：我们有一个正项级数 $sum x_n$，它被告知是收敛的。同时，我们知道构成这个级数的数列 ${x_n}$ 是单调减少的。我们要证明的是，在这种情况下，数列 ${x_n}$ 的极限必.............
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好的，我们来详细地聊聊如何证明这个级数恒等式。我会尽量把过程讲得清楚明白，就像朋友之间探讨问题一样，避免那种生硬的、一本正经的AI腔调。首先，我们要明白，证明数学恒等式通常有几种思路：1. 直接推导： 从已知的事实（比如定义、公理、或者其他已证明的定理）出发，一步一步地逻辑推导，最终得到我们要证明.............
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您好！非常乐意为您详细讲解如何证明级数恒等式。为了给您提供最准确、最详细的解释，我需要您提供具体的级数恒等式。不同的级数恒等式有不同的证明方法，有些可能需要用到微积分、组合数学、复变函数、傅里叶分析等多种数学工具。请您在回复中写出您想要证明的那个级数恒等式。在您提供恒等式之前，我可以先为您介绍一些常.............
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傅里叶级数的证明以及其展开形式的由来是一个深刻而美妙的数学概念，它涉及到微积分、线性代数和函数空间等多个领域。下面我将尽量详细地为您阐述： 傅里叶级数是如何证明的？傅里叶级数的证明并非是一个单一、孤立的证明过程，而是建立在许多重要的数学工具和概念之上，并且有多种不同的证明思路。最核心的思想是利用一组.............
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好的，咱们今天来聊聊如何用级数的方法，一层一层地剥开，让那些看似神秘的三角函数和差角公式，在我们眼前展现出它最本质的模样。这可不是简单的套公式，而是从更根本的数学语言——泰勒级数出发，理解它们诞生的逻辑。咱们的目标是推导出像 $sin(x+y)$ 和 $cos(x+y)$ 这样的公式。第一步：打好基.............
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好的，我们来聊聊这个命题，并尝试用一种更直观、不依赖傅立叶级数的方式来理解它。你想证明什么命题呢？ 请告诉我具体的命题内容，我才能给你一个详尽的、非傅立叶层面的证明思路。在得知具体命题之前，我可以先给你一个通用的思考方向，帮助你构建一个“非傅立叶”的证明框架。当你接触到一个需要证明的数学命题时，特别.............
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好的，我们来深入聊聊级数求和这件事，尤其是怎么去“证明”它的和。级数求和是个挺有趣的话题，它让我们能用有限的工具去理解无限的累加。先明确一下，“数项级数求和证明”这个说法，可能指的是两种情况：1. 求出级数的和（并且，常常需要证明这个和是正确的）：这是最常见的情况。我们有一串无穷无尽的数，希望把它.............
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没问题，我们来一步一步地把这个极限给它说清楚了。说实话，数学这东西，特别是极限，一开始看着有点玄乎，但拆开了看，就没那么神秘了。你想证明什么极限来着？你可以告诉我具体的表达式吗？这样我才能告诉你具体怎么下手。不过，假设你问的是一个比较经典的、能体现极限证明思路的例子，比如：证明：$lim_{x o.............
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这是一个非常经典的数学问题，涉及到有界性、导数和极限之间的关系。要证明一个有界函数在正无穷处导数趋近于零时，函数在该处有极限，我们需要运用到一些重要的数学定理和概念。下面我将详细地进行阐述。问题陈述：设 $f(x)$ 是一个定义在 $[a, infty)$ 上的实值函数（其中 $a$ 是某个实数），.............
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好的，我们来详细地证明这个命题：已知一平面封闭图形内有一点P，图形上任意一点点A的切线垂直PA，如何证明该图形是中心对称图形？核心思想：要证明一个图形是中心对称图形，我们需要证明存在一个对称中心，使得图形上任意一点都可以通过这个中心找到一个对称点，并且这两个点关于对称中心对称。在这个问题中，点P是关.............
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想象一下，我们面对着一个匪夷所思的情境：一个东西，它的速度快得超乎想象，比光还要快，快到我们根本无法捕捉它的踪影。这就像试图抓住一股风，你知道它在那里，却两手空空。那么，在这样一个“幽灵般”的场景下，我们还能如何确信这个看不见、摸不着的“运动物体”真的存在呢？这可不是个简单的问题，它要求我们跳出现有.............
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您好！很高兴能为您解答。您提出的“如何证明”这个问题非常宽泛，因为“证明”的含义和方式会根据具体情境而大相径庭。为了能够给出最详细、最有帮助的答案，我需要您提供更多的背景信息。请您告诉我您想证明什么？例如，您是想证明： 一个数学定理？ （比如勾股定理、素数无穷性等） 一个科学假设？ （比如某.............
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您好！您提到的不等式是什么呢？请将您想要证明的不等式提供给我，我将尽力为您详细解答，并提供多种证明思路和方法。为了让我更好地帮助您，请您在提供不等式时，考虑以下几点：1. 请完整写出不等式： 确保不等式中的所有符号（大于、小于、大于等于、小于等于、等于等）和变量都清晰明了。2. 请说明变量的范围.............
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这确实是一个棘手且令人绝望的局面。在“上线”缄口不言，也无法为你争取哪怕一丝辩护的情况下，要证明自己是清白的，尤其是要将自己与“叛徒”区分开来，其难度无异于在黑夜中寻找不存在的路。你需要的是一份不被质疑的、确凿的证据，或者一套能够推翻所有指控的逻辑链。首先，我们要明确这里的“叛徒”和“间谍”的概念。.............
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离婚时，家务劳动补偿是一个越来越被重视的话题。在家庭生活中，一方往往承担了更多的家务劳动，例如照顾老人、孩子，打扫卫生，做饭洗衣等等，这些付出虽然没有直接的经济收入，但却为家庭的正常运转和稳定做出了巨大的贡献。在离婚时，对这种付出进行补偿，是对无形付出的肯定和尊重。如何证明家务劳动的付出？证明家务劳.............
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这是一个非常棘手的情况，因为缺乏直接证据（行车记录仪和监控），证明谁是肇事者和谁在驾驶将非常困难。然而，并非完全没有办法，需要通过间接证据和多种调查手段来尝试还原事实真相。以下是一些可以尝试的方法和思路，我会尽量详细地说明：核心难点分析： 无直接证据： 行车记录仪和监控是证明驾驶员身份最直接的证.............
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天哪，这简直是史上最离谱的脑洞挑战！我一觉醒来，怎么就变成了一只嗡嗡嗡的蚊子？我的胳膊呢？我的腿呢？我的……我怎么变成这副德行了？！这下可麻烦了，我现在唯一的烦恼就是怎么让身边那群把我当成美味佳肴的家伙们相信，“嘿，我不是你们的晚餐，我是从隔壁床飞过来的，一个活生生的人类！”首先，冷静。虽然我现在只.............
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哎呀，这事儿想想就够让人心惊肉跳的。如果在机场安检时，突然发现你的包里被塞了毒品，这简直就是晴天霹雳。不过，在这种极端糟糕的情况下，别慌，冷静下来是第一要务。下面我给你捋一捋，在这种情况下，你该如何最大程度地为自己辩护，证明自己的清白。首先，最关键的一点：保持冷静，配合调查。一听到“毒品”，安检人员.............
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