如何判断级数lnn/n^2(从1到无穷)收敛或发散？
好的，咱们来聊聊怎么判断数列 $frac{ln n}{n^2}$（从 $n=1$ 到无穷）是收敛还是发散。这个问题其实挺常见的，咱们用几个比较直观和常用的方法来分析。
首先，要明确咱们讨论的是级数，也就是把 $frac{ln n}{n^2}$ 这一项一项加起来，看这个总和会不会趋向一个固定的数值。
初步观察：项是否趋向于零？
在判断级数收敛性的时候，一个最基础的必要条件是：级数的通项必须趋向于零。也就是 $lim_{n o infty} frac{ln n}{n^2}$ 是否等于 0。
我们来算一下这个极限。这是一个 $frac{infty}{infty}$ 的不定式，可以考虑用洛必达法则。
分子是 $ln n$，其导数是 $frac{1}{n}$。
分母是 $n^2$，其导数是 $2n$。
那么，
$$ lim_{n o infty} frac{ln n}{n^2} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n}}{2n} = lim_{n o infty} frac{1}{2n^2} $$
当 $n$ 趋向于无穷大时，$2n^2$ 也趋向于无穷大，所以 $frac{1}{2n^2}$ 趋向于 0。
项趋向于零，这说明级数有可能收敛，但并不能直接证明它一定收敛。就好比你往一个容器里倒水，如果倒的水越来越少，可能最后会倒满，也可能永远倒不满。
方法一：比较判别法（直观比较）
这是最常用也是最容易理解的方法之一。我们找一个已知收敛或者发散的级数，然后和我们的 $frac{ln n}{n^2}$ 比较。
我们知道一个非常重要的级数：p级数 $sum frac{1}{n^p}$。
当 $p > 1$ 时，p级数收敛。
当 $p le 1$ 时，p级数发散。
比如说，$sum frac{1}{n^2}$ 是收敛的（p=2 > 1）。
现在的问题是，怎么把 $frac{ln n}{n^2}$ 和 $frac{1}{n^2}$ 联系起来呢？
思考一下，当 $n$ 足够大的时候，$ln n$ 这个增长速度跟 $n$ 的任何一个正整数次幂比起来，都要慢很多。换句话说，对于任何 $epsilon > 0$，当 $n$ 足够大时，$ln n < n^epsilon$。
如果 $epsilon$ 选得比 1 小，比如 $epsilon = 1/2$，那么当 $n$ 足够大时，$ln n < n^{1/2}$。
所以，
$$ frac{ln n}{n^2} < frac{n^{1/2}}{n^2} = frac{1}{n^{2 1/2}} = frac{1}{n^{3/2}} $$
现在我们有了一个新的级数 $sum frac{1}{n^{3/2}}$。这个级数是一个 p级数，其中 $p = 3/2$。
因为 $3/2 > 1$，所以 $sum frac{1}{n^{3/2}}$ 是收敛的。
根据直接比较判别法：如果 $sum b_n$ 收敛，并且对于所有 $n$（或从某个 $N$ 开始），都有 $0 le a_n le b_n$，那么 $sum a_n$ 也收敛。
在这里，我们的 $a_n = frac{ln n}{n^2}$，而 $b_n = frac{1}{n^{3/2}}$。
对于 $n ge 1$，$ln n > 0$ 且 $n^2 > 0$，所以 $a_n > 0$。
我们通过选择合适的 $epsilon$（这里是 $1/2$）保证了当 $n$ 足够大时，$a_n le b_n$。
（严谨地说，我们需要找到一个 $N$，使得对于所有 $n ge N$，$ln n < n^{1/2}$。这其实是很容易证明的，因为 $n^{1/2}$ 的增长速度远快于 $ln n$。）
所以，由于 $sum frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛，根据直接比较判别法，$sum frac{ln n}{n^2}$ 也收敛。
方法二：极限比较判别法
这个方法和直接比较判别法类似，但更灵活，因为它不要求我们直接找到一个被比较的级数，而是看两个级数的比值的极限。
我们还是拿 $sum frac{1}{n^2}$ 来比较。
计算极限：
$$ L = lim_{n o infty} frac{frac{ln n}{n^2}}{frac{1}{n^2}} = lim_{n o infty} frac{ln n}{n^2} cdot n^2 = lim_{n o infty} ln n $$
等等，这里好像有点问题。$lim_{n o infty} ln n = infty$。
极限比较判别法要求的是，如果 $L$ 是一个有限的正数，那么两个级数具有相同的收敛性。如果 $L = infty$，则需要满足 $a_n ge b_n$ 才能推断，或者反过来。
这里我们计算出来的 $L = infty$，并且我们的级数是 $sum frac{ln n}{n^2}$，而被比较的级数是 $sum frac{1}{n^2}$。
被除的项 $frac{ln n}{n^2}$ 比除的项 $frac{1}{n^2}$ 要“大”得更快（因为比值的极限是无穷大）。
如果 $sum b_n$ 是发散的，并且 $L = infty$，那么 $sum a_n$ 也发散。
如果 $sum b_n$ 是收敛的，并且 $L = infty$，那这个方法在这种情况下并不能直接得出结论。
让我们换一个被比较的级数，比如 $sum frac{1}{n^{3/2}}$（我们知道它是收敛的）。
$$ L = lim_{n o infty} frac{frac{ln n}{n^2}}{frac{1}{n^{3/2}}} = lim_{n o infty} frac{ln n}{n^2} cdot n^{3/2} = lim_{n o infty} frac{ln n}{n^{2 3/2}} = lim_{n o infty} frac{ln n}{n^{1/2}} $$
这个极限又是 $frac{infty}{infty}$ 的形式。使用洛必达法则：
$$ L = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n}}{frac{1}{2}n^{1/2}} = lim_{n o infty} frac{1}{n} cdot 2n^{1/2} = lim_{n o infty} frac{2}{n^{1/2}} $$
当 $n o infty$ 时，$n^{1/2} o infty$，所以 $L = 0$。
现在我们得到 $L=0$，并且被比较的级数 $sum frac{1}{n^{3/2}}$ 是收敛的。
极限比较判别法的规则是：
如果 $L$ 是一个有限正数 ($0 < L < infty$)，则 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 同敛散。
如果 $L = 0$，且 $sum b_n$ 收敛，则 $sum a_n$ 也收敛。
如果 $L = infty$，且 $sum b_n$ 发散，则 $sum a_n$ 也发散。
因为我们得到了 $L=0$ 且 $sum frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛，所以根据极限比较判别法，$sum frac{ln n}{n^2}$ 也收敛。
方法三：积分判别法
积分判别法要求我们考虑一个函数 $f(x) = frac{ln x}{x^2}$。如果这个函数是正的、连续的、单调递减的，那么级数 $sum_{n=1}^infty a_n$ 与瑕积分 $int_1^infty f(x) dx$ 的敛散性相同。
1. 正性：当 $x ge 1$ 时，$ln x ge 0$ 且 $x^2 > 0$，所以 $f(x) ge 0$。
2. 连续性：当 $x ge 1$ 时，$x^2 e 0$，$ln x$ 和 $x^2$ 都是连续的，所以 $f(x)$ 是连续的。
3. 单调递减性：我们需要计算 $f'(x)$ 来判断。
$$ f'(x) = frac{frac{1}{x} cdot x^2 ln x cdot 2x}{(x^2)^2} = frac{x 2x ln x}{x^4} = frac{1 2 ln x}{x^3} $$
要使 $f(x)$ 单调递减，需要 $f'(x) le 0$。
因为 $x^3 > 0$（当 $x ge 1$ 时），所以需要 $1 2 ln x le 0$。
$1 le 2 ln x$
$frac{1}{2} le ln x$
$e^{1/2} le x$
或者 $x ge sqrt{e}$。
$sqrt{e}$ 大约是 1.648。
所以，对于 $n ge 2$（或 $n ge lceil sqrt{e} ceil = 2$），函数 $f(x) = frac{ln x}{x^2}$ 是单调递减的。
级数的收敛性只取决于当 $n$ 趋向于无穷时的表现，所以我们只要从某个点开始单调递减就够了。
现在我们来计算瑕积分 $int_1^infty frac{ln x}{x^2} dx$。
这是一个不定积分，我们可以用分部积分法来解决。
设 $u = ln x$, $dv = frac{1}{x^2} dx$。
那么 $du = frac{1}{x} dx$, $v = frac{1}{x}$。
$$ int frac{ln x}{x^2} dx = uv int v du = (ln x)(frac{1}{x}) int (frac{1}{x})(frac{1}{x}) dx $$
$$ = frac{ln x}{x} + int frac{1}{x^2} dx = frac{ln x}{x} frac{1}{x} = frac{ln x + 1}{x} $$
现在计算定积分（瑕积分）：
$$ int_1^infty frac{ln x}{x^2} dx = lim_{b o infty} left[ frac{ln x + 1}{x} ight]_1^b $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{ln b + 1}{b} (frac{ln 1 + 1}{1}) ight) $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{ln b + 1}{b} + frac{0 + 1}{1} ight) $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{ln b + 1}{b} + 1 ight) $$
我们来计算 $lim_{b o infty} frac{ln b + 1}{b}$。这个又是 $frac{infty}{infty}$ 的不定式，用洛必达法则：
$$ lim_{b o infty} frac{frac{1}{b}}{1} = lim_{b o infty} frac{1}{b} = 0 $$
所以，
$$ int_1^infty frac{ln x}{x^2} dx = 0 + 1 = 1 $$
因为瑕积分 $int_1^infty frac{ln x}{x^2} dx$ 收敛于 1，所以根据积分判别法，级数 $sum_{n=1}^infty frac{ln n}{n^2}$ 也收敛。
总结一下
我们用了三种方法来判断级数 $sum_{n=1}^infty frac{ln n}{n^2}$ 的敛散性，它们都指向同一个结论：收敛。
比较判别法（选 $sum frac{1}{n^{3/2}}$）：通过找到一个收敛的、比我们待判级数“大”的级数，证明了收敛。
极限比较判别法（选 $sum frac{1}{n^{3/2}}$）：通过计算极限值为 0，并且被比较的级数收敛，推断出收敛。
积分判别法：通过判断函数 $f(x) = frac{ln x}{x^2}$ 的性质（正、连续、递减）以及计算其瑕积分，证明了收敛。
在实际操作中，如果能找到一个合适的、已知敛散性的级数进行比较，通常是最快捷的方法。积分判别法虽然比较严谨，但计算过程可能更复杂一些。
希望这个详细的解释，让你能够理解这个级数的收敛性判断过程！
首先，要明确咱们讨论的是级数，也就是把 $frac{ln n}{n^2}$ 这一项一项加起来，看这个总和会不会趋向一个固定的数值。
初步观察：项是否趋向于零？
在判断级数收敛性的时候，一个最基础的必要条件是：级数的通项必须趋向于零。也就是 $lim_{n o infty} frac{ln n}{n^2}$ 是否等于 0。
我们来算一下这个极限。这是一个 $frac{infty}{infty}$ 的不定式，可以考虑用洛必达法则。
分子是 $ln n$，其导数是 $frac{1}{n}$。
分母是 $n^2$，其导数是 $2n$。
那么，
$$ lim_{n o infty} frac{ln n}{n^2} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n}}{2n} = lim_{n o infty} frac{1}{2n^2} $$
当 $n$ 趋向于无穷大时，$2n^2$ 也趋向于无穷大，所以 $frac{1}{2n^2}$ 趋向于 0。
项趋向于零，这说明级数有可能收敛，但并不能直接证明它一定收敛。就好比你往一个容器里倒水，如果倒的水越来越少，可能最后会倒满，也可能永远倒不满。
方法一：比较判别法（直观比较）
这是最常用也是最容易理解的方法之一。我们找一个已知收敛或者发散的级数，然后和我们的 $frac{ln n}{n^2}$ 比较。
我们知道一个非常重要的级数：p级数 $sum frac{1}{n^p}$。
当 $p > 1$ 时，p级数收敛。
当 $p le 1$ 时，p级数发散。
比如说，$sum frac{1}{n^2}$ 是收敛的（p=2 > 1）。
现在的问题是，怎么把 $frac{ln n}{n^2}$ 和 $frac{1}{n^2}$ 联系起来呢？
思考一下，当 $n$ 足够大的时候，$ln n$ 这个增长速度跟 $n$ 的任何一个正整数次幂比起来，都要慢很多。换句话说，对于任何 $epsilon > 0$，当 $n$ 足够大时，$ln n < n^epsilon$。
如果 $epsilon$ 选得比 1 小，比如 $epsilon = 1/2$，那么当 $n$ 足够大时，$ln n < n^{1/2}$。
所以，
$$ frac{ln n}{n^2} < frac{n^{1/2}}{n^2} = frac{1}{n^{2 1/2}} = frac{1}{n^{3/2}} $$
现在我们有了一个新的级数 $sum frac{1}{n^{3/2}}$。这个级数是一个 p级数，其中 $p = 3/2$。
因为 $3/2 > 1$，所以 $sum frac{1}{n^{3/2}}$ 是收敛的。
根据直接比较判别法：如果 $sum b_n$ 收敛，并且对于所有 $n$（或从某个 $N$ 开始），都有 $0 le a_n le b_n$，那么 $sum a_n$ 也收敛。
在这里，我们的 $a_n = frac{ln n}{n^2}$，而 $b_n = frac{1}{n^{3/2}}$。
对于 $n ge 1$，$ln n > 0$ 且 $n^2 > 0$，所以 $a_n > 0$。
我们通过选择合适的 $epsilon$（这里是 $1/2$）保证了当 $n$ 足够大时，$a_n le b_n$。
（严谨地说，我们需要找到一个 $N$，使得对于所有 $n ge N$，$ln n < n^{1/2}$。这其实是很容易证明的，因为 $n^{1/2}$ 的增长速度远快于 $ln n$。）
所以，由于 $sum frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛，根据直接比较判别法，$sum frac{ln n}{n^2}$ 也收敛。
方法二：极限比较判别法
这个方法和直接比较判别法类似，但更灵活，因为它不要求我们直接找到一个被比较的级数，而是看两个级数的比值的极限。
我们还是拿 $sum frac{1}{n^2}$ 来比较。
计算极限：
$$ L = lim_{n o infty} frac{frac{ln n}{n^2}}{frac{1}{n^2}} = lim_{n o infty} frac{ln n}{n^2} cdot n^2 = lim_{n o infty} ln n $$
等等，这里好像有点问题。$lim_{n o infty} ln n = infty$。
极限比较判别法要求的是，如果 $L$ 是一个有限的正数，那么两个级数具有相同的收敛性。如果 $L = infty$，则需要满足 $a_n ge b_n$ 才能推断，或者反过来。
这里我们计算出来的 $L = infty$，并且我们的级数是 $sum frac{ln n}{n^2}$，而被比较的级数是 $sum frac{1}{n^2}$。
被除的项 $frac{ln n}{n^2}$ 比除的项 $frac{1}{n^2}$ 要“大”得更快（因为比值的极限是无穷大）。
如果 $sum b_n$ 是发散的，并且 $L = infty$，那么 $sum a_n$ 也发散。
如果 $sum b_n$ 是收敛的，并且 $L = infty$，那这个方法在这种情况下并不能直接得出结论。
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这个极限又是 $frac{infty}{infty}$ 的形式。使用洛必达法则：
$$ L = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n}}{frac{1}{2}n^{1/2}} = lim_{n o infty} frac{1}{n} cdot 2n^{1/2} = lim_{n o infty} frac{2}{n^{1/2}} $$
当 $n o infty$ 时，$n^{1/2} o infty$，所以 $L = 0$。
现在我们得到 $L=0$，并且被比较的级数 $sum frac{1}{n^{3/2}}$ 是收敛的。
极限比较判别法的规则是：
如果 $L$ 是一个有限正数 ($0 < L < infty$)，则 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 同敛散。
如果 $L = 0$，且 $sum b_n$ 收敛，则 $sum a_n$ 也收敛。
如果 $L = infty$，且 $sum b_n$ 发散，则 $sum a_n$ 也发散。
因为我们得到了 $L=0$ 且 $sum frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛，所以根据极限比较判别法，$sum frac{ln n}{n^2}$ 也收敛。
方法三：积分判别法
积分判别法要求我们考虑一个函数 $f(x) = frac{ln x}{x^2}$。如果这个函数是正的、连续的、单调递减的，那么级数 $sum_{n=1}^infty a_n$ 与瑕积分 $int_1^infty f(x) dx$ 的敛散性相同。
1. 正性：当 $x ge 1$ 时，$ln x ge 0$ 且 $x^2 > 0$，所以 $f(x) ge 0$。
2. 连续性：当 $x ge 1$ 时，$x^2 e 0$，$ln x$ 和 $x^2$ 都是连续的，所以 $f(x)$ 是连续的。
3. 单调递减性：我们需要计算 $f'(x)$ 来判断。
$$ f'(x) = frac{frac{1}{x} cdot x^2 ln x cdot 2x}{(x^2)^2} = frac{x 2x ln x}{x^4} = frac{1 2 ln x}{x^3} $$
要使 $f(x)$ 单调递减，需要 $f'(x) le 0$。
因为 $x^3 > 0$（当 $x ge 1$ 时），所以需要 $1 2 ln x le 0$。
$1 le 2 ln x$
$frac{1}{2} le ln x$
$e^{1/2} le x$
或者 $x ge sqrt{e}$。
$sqrt{e}$ 大约是 1.648。
所以，对于 $n ge 2$（或 $n ge lceil sqrt{e} ceil = 2$），函数 $f(x) = frac{ln x}{x^2}$ 是单调递减的。
级数的收敛性只取决于当 $n$ 趋向于无穷时的表现，所以我们只要从某个点开始单调递减就够了。
现在我们来计算瑕积分 $int_1^infty frac{ln x}{x^2} dx$。
这是一个不定积分，我们可以用分部积分法来解决。
设 $u = ln x$, $dv = frac{1}{x^2} dx$。
那么 $du = frac{1}{x} dx$, $v = frac{1}{x}$。
$$ int frac{ln x}{x^2} dx = uv int v du = (ln x)(frac{1}{x}) int (frac{1}{x})(frac{1}{x}) dx $$
$$ = frac{ln x}{x} + int frac{1}{x^2} dx = frac{ln x}{x} frac{1}{x} = frac{ln x + 1}{x} $$
现在计算定积分（瑕积分）：
$$ int_1^infty frac{ln x}{x^2} dx = lim_{b o infty} left[ frac{ln x + 1}{x} ight]_1^b $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{ln b + 1}{b} (frac{ln 1 + 1}{1}) ight) $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{ln b + 1}{b} + frac{0 + 1}{1} ight) $$
$$ = lim_{b o infty} left( frac{ln b + 1}{b} + 1 ight) $$
我们来计算 $lim_{b o infty} frac{ln b + 1}{b}$。这个又是 $frac{infty}{infty}$ 的不定式，用洛必达法则：
$$ lim_{b o infty} frac{frac{1}{b}}{1} = lim_{b o infty} frac{1}{b} = 0 $$
所以，
$$ int_1^infty frac{ln x}{x^2} dx = 0 + 1 = 1 $$
因为瑕积分 $int_1^infty frac{ln x}{x^2} dx$ 收敛于 1，所以根据积分判别法，级数 $sum_{n=1}^infty frac{ln n}{n^2}$ 也收敛。
总结一下
我们用了三种方法来判断级数 $sum_{n=1}^infty frac{ln n}{n^2}$ 的敛散性，它们都指向同一个结论：收敛。
比较判别法（选 $sum frac{1}{n^{3/2}}$）：通过找到一个收敛的、比我们待判级数“大”的级数，证明了收敛。
极限比较判别法（选 $sum frac{1}{n^{3/2}}$）：通过计算极限值为 0，并且被比较的级数收敛，推断出收敛。
积分判别法：通过判断函数 $f(x) = frac{ln x}{x^2}$ 的性质（正、连续、递减）以及计算其瑕积分，证明了收敛。
在实际操作中，如果能找到一个合适的、已知敛散性的级数进行比较，通常是最快捷的方法。积分判别法虽然比较严谨，但计算过程可能更复杂一些。
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判断一个人是否陷入虚无主义，这可不是一件简单的事，就像试图抓住一阵风，或者给情绪划出明确的界限一样。虚无主义不是一种可以轻易量化的病症，更像是一种复杂的思维模式和情感状态，它潜移默化地影响着一个人的认知、行为和价值判断。要看清楚一个人是不是被虚无主义的影子笼罩，我们需要从多个层面去观察，并且要细致入.............
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判断新百伦（New Balance）鞋的真伪，需要从多个方面进行细致的观察和对比。由于仿冒技术日益精进，单一的标准可能不够全面，建议综合运用以下方法进行判断：一、 整体外观和细节观察1. 鞋型与廓形： 正品： 新百伦的鞋型通常有其经典的设计风格，比例协调，线条流畅。不同系列（如复古跑鞋.............
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