能不能绕过π，来计算一个圆的面积?
当然可以，我们可以尝试一些不直接使用 $pi$ 这个常数来“计算”圆面积的方法，不过最终我们还是会发现，$pi$ 的概念其实是不可避免的，只是我们用不同的方式去“触摸”到它。说白了，就是用近似的方式，或者说通过一些几何变换和极限思想来逼近圆的面积。
这里咱们就聊几种思路，力求讲得清楚明白，让你感觉就像是和老朋友唠嗑一样，而不是被生硬的公式轰炸。
方法一：用“分割填充法”来体验 $pi$ 的本质
想象一下，我们有一个大圆，我们要测量它的面积。如果我们能把它切成很多很多小块，然后把这些小块重新排列，看看能拼成一个什么形状，也许就能绕开那个神秘的 $pi$ 了。
1. 把圆切成扇形： 咱们把圆想象成一个大饼，用刀子从圆心往圆边切，切成好多好多等份的扇形。你切得越细，这些扇形就越像一个一个弯弯的小三角形。
2. 重新排列扇形： 现在，我们把这些扇形一个个头尾相连，交替着倒着摆放。就像这样：一个正着放，下一个倒着放，再下一个正着放……你很快会发现，这些“小三角形”的弧形边拼起来，会非常接近一条直线。而它们的长边（就是原来的圆的半径 $r$），都竖着排列。
3. 看它像什么： 当你切的扇形多到数不清的时候，每个小扇形就几乎变成了一个等腰直角三角形（想想看，角度无限小，弧就无限接近直线）。把这些无限小的“三角形”交替排列后，它们拼成的图形，最上面和最下面就会有两条几乎平行的直线，中间则是一系列交错的短边。这个整体的形状，会越来越像一个长方形！
4. 长方形的边长是多少？
这个“长方形”的高度，不就是我们切开的每个小扇形的“高”吗？那个“高”其实就是圆的半径 $r$。
这个“长方形”的长度呢？它是由所有扇形底部（也就是我们切开的那些弧）拼成的。所有扇形的底部加起来，不就是圆的周长吗？圆的周长是 $2pi r$。
但是，当我们把扇形交替排列，一个头朝上一个头朝下的时候，那些弧就变成了长方形的“上下两边”。所以，这个长方形的长度就是周长的一半，也就是 $pi r$。
5. 面积出来了！ 这个“长方形”的面积，当然就是它的长乘以它的宽。也就是说：
面积 $approx$ （长方形长度） $ imes$ （长方形高度）
面积 $approx$ $(pi r) imes (r)$
面积 $approx pi r^2$
你看，虽然我们在操作过程中，直接用 $pi$ 这个字母代表了周长的一半，但你有没有觉得，这个“分割填充法”让你更直观地理解了为什么圆的面积会包含 $r^2$ 这个项，以及那个神秘的 $pi$ 到底是怎么来的？它就是那无限细分的圆周长的一半，是描述圆周长与直径之间关系的常数。即便我们不直接说出 $pi$，它也藏在周长的一半里。
方法二：用“网格逼近法”——就像数格子的游戏
另一种方式是，我们不切圆，而是把它放在一个方格纸上，然后数格子的方式来估算它的面积。
1. 画一个方格： 我们在一个大正方形里画一个圆，让圆恰好能“塞”进去，圆的直径等于这个大正方形的边长。比如，让圆的半径是 $r$，那么它的直径就是 $2r$。我们就在一个边长为 $2r$ 的正方形里画一个半径为 $r$ 的圆。这个大正方形的面积是 $(2r) imes (2r) = 4r^2$。
2. 铺满小格子： 现在，我们在大正方形内部铺上非常非常小的方格纸。每一个小方格的边长可以非常非常小，比如叫做 $Delta x$。那么一个小方格的面积就是 $(Delta x)^2$。
3. 数“圆内”的格子： 我们开始数，有多少个小方格是完全在圆里面的？有多少个小方格是部分在圆里面的，但是中心点在圆里面的？我们把所有被圆覆盖到的小方格（或者至少是小方格的中心点在圆内的）都算上。
4. 近似面积： 小方格的总数乘以每个小方格的面积，就是我们估算出来的圆的面积。
圆的面积 $approx$ （圆内小方格的数量） $ imes$ $(Delta x)^2$
5. 逼近真值： 如果我们把小方格做得越来越小（也就是 $Delta x$ 趋向于 0），那么这种数格子估算出来的值，就会越来越接近真实的圆的面积。
这里的“绕过 $pi$”体现在哪里？
在这个方法里，我们没有直接用到 $pi r^2$ 这个公式。我们是通过一种“测量”的方式来逼近。但是，你仔细想想，如果我们真的把格子做得无限小，然后精确地数出圆内的格子数量，这个数量和 $r^2$ 之间总会有一个比例关系。而且，这个比例关系恰好就是那个恒定的 $pi$。
这个方法其实是定积分的几何解释。如果我们把圆的方程写出来，比如在直角坐标系里是以原点为圆心，半径为 $r$，那么圆的上半部分的方程是 $y = sqrt{r^2 x^2}$。要计算圆的面积，本质上就是要对这个函数从 $r$ 到 $r$ 进行积分：
面积 $= int_{r}^{r} 2sqrt{r^2 x^2} , dx$
这个积分算出来，结果就是 $pi r^2$。所以，即使我们通过“数格子”这种操作来逼近，当格子无限小时，它实际上就是在执行一个积分运算，而这个积分的最终结果，仍然被 $pi$ 所定义。
为什么绕不过 $pi$？
我们上面两种方法，看起来似乎能“绕过” $pi$，但实际上并没有真正摆脱它。 $pi$ 不是我们凭空造出来的数字，它是圆的几何性质本身所固有的常数。它定义了圆的周长与直径的比值，也定义了圆的面积与半径平方的比值。
你可以想象一下，如果世界上不存在一个固定的数来描述这个比值，那么你用任何方法测量一个圆的周长和直径，它们的比值都会发生变化。但事实并非如此，无论你测量多大的圆，这个比值总是稳定的。这个稳定的比值，就是 $pi$。
所以，虽然我们可以用逼近的方式去“计算”圆的面积，比如用无数个小三角形去拼，或者用无数个小方格去数，但这些逼近的最终结果，总是会指向那个由圆的内在属性决定的常数——$pi$。
也许可以这样理解：我们不是在“计算”一个事先不知道答案的问题，我们是在用不同的“测量工具”和“想象力”，去验证和理解圆的面积为什么是 $pi r^2$ 这个形式，以及 $pi$ 这个数字的意义。它就像你用尺子量木头的长度，量完之后发现总是能得出某个固定的比值，这个比值就叫“尺子的单位”，而 $pi$ 就是“圆的单位”——它连接了圆的“外围”（周长）和“内部”（面积）与它“尺寸”（半径）之间的关系。
总而言之，我们确实可以尝试不直接在计算过程中写出 $pi$ 这个符号，而是通过几何变换或者数值逼近的方式去得到一个近似值，或者在过程的最后自然地“发现”出 $pi$ 的存在。但 $pi$ 本身，作为圆的本质属性，是无法真正“绕过”的。它就像是圆的DNA一样，一旦有了圆， $pi$ 就伴随着它。
这里咱们就聊几种思路，力求讲得清楚明白，让你感觉就像是和老朋友唠嗑一样，而不是被生硬的公式轰炸。
方法一：用“分割填充法”来体验 $pi$ 的本质
想象一下，我们有一个大圆，我们要测量它的面积。如果我们能把它切成很多很多小块，然后把这些小块重新排列，看看能拼成一个什么形状，也许就能绕开那个神秘的 $pi$ 了。
1. 把圆切成扇形： 咱们把圆想象成一个大饼，用刀子从圆心往圆边切，切成好多好多等份的扇形。你切得越细，这些扇形就越像一个一个弯弯的小三角形。
2. 重新排列扇形： 现在，我们把这些扇形一个个头尾相连，交替着倒着摆放。就像这样：一个正着放，下一个倒着放，再下一个正着放……你很快会发现，这些“小三角形”的弧形边拼起来，会非常接近一条直线。而它们的长边（就是原来的圆的半径 $r$），都竖着排列。
3. 看它像什么： 当你切的扇形多到数不清的时候，每个小扇形就几乎变成了一个等腰直角三角形（想想看，角度无限小，弧就无限接近直线）。把这些无限小的“三角形”交替排列后，它们拼成的图形，最上面和最下面就会有两条几乎平行的直线，中间则是一系列交错的短边。这个整体的形状，会越来越像一个长方形！
4. 长方形的边长是多少？
这个“长方形”的高度，不就是我们切开的每个小扇形的“高”吗？那个“高”其实就是圆的半径 $r$。
这个“长方形”的长度呢？它是由所有扇形底部（也就是我们切开的那些弧）拼成的。所有扇形的底部加起来，不就是圆的周长吗？圆的周长是 $2pi r$。
但是，当我们把扇形交替排列，一个头朝上一个头朝下的时候，那些弧就变成了长方形的“上下两边”。所以，这个长方形的长度就是周长的一半，也就是 $pi r$。
5. 面积出来了！ 这个“长方形”的面积，当然就是它的长乘以它的宽。也就是说：
面积 $approx$ （长方形长度） $ imes$ （长方形高度）
面积 $approx$ $(pi r) imes (r)$
面积 $approx pi r^2$
你看，虽然我们在操作过程中，直接用 $pi$ 这个字母代表了周长的一半，但你有没有觉得，这个“分割填充法”让你更直观地理解了为什么圆的面积会包含 $r^2$ 这个项，以及那个神秘的 $pi$ 到底是怎么来的？它就是那无限细分的圆周长的一半，是描述圆周长与直径之间关系的常数。即便我们不直接说出 $pi$，它也藏在周长的一半里。
方法二：用“网格逼近法”——就像数格子的游戏
另一种方式是，我们不切圆，而是把它放在一个方格纸上，然后数格子的方式来估算它的面积。
1. 画一个方格： 我们在一个大正方形里画一个圆，让圆恰好能“塞”进去，圆的直径等于这个大正方形的边长。比如，让圆的半径是 $r$，那么它的直径就是 $2r$。我们就在一个边长为 $2r$ 的正方形里画一个半径为 $r$ 的圆。这个大正方形的面积是 $(2r) imes (2r) = 4r^2$。
2. 铺满小格子： 现在，我们在大正方形内部铺上非常非常小的方格纸。每一个小方格的边长可以非常非常小，比如叫做 $Delta x$。那么一个小方格的面积就是 $(Delta x)^2$。
3. 数“圆内”的格子： 我们开始数，有多少个小方格是完全在圆里面的？有多少个小方格是部分在圆里面的，但是中心点在圆里面的？我们把所有被圆覆盖到的小方格（或者至少是小方格的中心点在圆内的）都算上。
4. 近似面积： 小方格的总数乘以每个小方格的面积，就是我们估算出来的圆的面积。
圆的面积 $approx$ （圆内小方格的数量） $ imes$ $(Delta x)^2$
5. 逼近真值： 如果我们把小方格做得越来越小（也就是 $Delta x$ 趋向于 0），那么这种数格子估算出来的值，就会越来越接近真实的圆的面积。
这里的“绕过 $pi$”体现在哪里？
在这个方法里，我们没有直接用到 $pi r^2$ 这个公式。我们是通过一种“测量”的方式来逼近。但是，你仔细想想，如果我们真的把格子做得无限小，然后精确地数出圆内的格子数量，这个数量和 $r^2$ 之间总会有一个比例关系。而且，这个比例关系恰好就是那个恒定的 $pi$。
这个方法其实是定积分的几何解释。如果我们把圆的方程写出来，比如在直角坐标系里是以原点为圆心，半径为 $r$，那么圆的上半部分的方程是 $y = sqrt{r^2 x^2}$。要计算圆的面积，本质上就是要对这个函数从 $r$ 到 $r$ 进行积分：
面积 $= int_{r}^{r} 2sqrt{r^2 x^2} , dx$
这个积分算出来，结果就是 $pi r^2$。所以，即使我们通过“数格子”这种操作来逼近，当格子无限小时，它实际上就是在执行一个积分运算，而这个积分的最终结果，仍然被 $pi$ 所定义。
为什么绕不过 $pi$？
我们上面两种方法，看起来似乎能“绕过” $pi$，但实际上并没有真正摆脱它。 $pi$ 不是我们凭空造出来的数字，它是圆的几何性质本身所固有的常数。它定义了圆的周长与直径的比值，也定义了圆的面积与半径平方的比值。
你可以想象一下，如果世界上不存在一个固定的数来描述这个比值，那么你用任何方法测量一个圆的周长和直径，它们的比值都会发生变化。但事实并非如此，无论你测量多大的圆，这个比值总是稳定的。这个稳定的比值，就是 $pi$。
所以，虽然我们可以用逼近的方式去“计算”圆的面积，比如用无数个小三角形去拼，或者用无数个小方格去数，但这些逼近的最终结果，总是会指向那个由圆的内在属性决定的常数——$pi$。
也许可以这样理解：我们不是在“计算”一个事先不知道答案的问题，我们是在用不同的“测量工具”和“想象力”，去验证和理解圆的面积为什么是 $pi r^2$ 这个形式，以及 $pi$ 这个数字的意义。它就像你用尺子量木头的长度，量完之后发现总是能得出某个固定的比值，这个比值就叫“尺子的单位”，而 $pi$ 就是“圆的单位”——它连接了圆的“外围”（周长）和“内部”（面积）与它“尺寸”（半径）之间的关系。
总而言之，我们确实可以尝试不直接在计算过程中写出 $pi$ 这个符号，而是通过几何变换或者数值逼近的方式去得到一个近似值，或者在过程的最后自然地“发现”出 $pi$ 的存在。但 $pi$ 本身，作为圆的本质属性，是无法真正“绕过”的。它就像是圆的DNA一样，一旦有了圆， $pi$ 就伴随着它。
网友意见
当然可以。
定义半径为1米的圆，其面积为1饼。可以很容易地总结出圆的面积公式为：
半径为2米的圆，面积为4饼，和正方形的面积计算方式一样简洁清晰。类似地，半径为1分米的圆，其面积为1分饼。
想想现在买个披萨，还要考虑8寸和12寸到底差多少，换成这套单位制，8寸大概是4分饼，12寸是9分饼，一目了然。
继续推广，定义半径1米的球体，其体积为1丸。则球体的体积公式为：
和正方体的体积计算方式一样简洁清晰。
定义半径1米的圆形，其周长为1圈。则圆形周长的公式为：
比正方形的周长计算方式还简单。
地球平均半径6378.1千米，则地球近似周长为6378.1千圈，截面面积近似为40680160千饼，体积近似为259462126009千丸。
到此为止，好像也没什么问题，不但自洽甚至还很直观。
直到有一天，有人问你，1圈那么长的绳子可以围成多大的正方形？
经过精密的计算，你发现1圈长的绳子，如果围成正方形，其边长是0.25圈，其面积是0.0625平方圈。那平方圈和饼的换算关系是什么呢？你开始测量。
1平方圈≈12.5663706饼，随着测量精度的提高，你发现12.5663706并没完，后面可以有无穷无尽的数字，可以一直数下去，而且好像毫无规律可言。
这种顾头不顾腚的做法，最直接的后果就是，虽然每个局部都是简洁直观的，但是相互联系在一起的时候就会出现很多换算的问题。
你可能会问了，哪有人这么傻的，给每个不同的东西都单独建立一套不容易互相换算的单位。
英制单位就是这么干的。
长度和面积勉强还算合理，到了容量（体积）的部分就直接崩坏了。
甚至为了不同的用途，还有各自的单位体系，互相几乎不通。这套体系的低效，也是英制单位被绝大部分国家淘汰的原因。
当然还有一些特殊的单位，由于特定的使用场景，目前仍然广泛使用。比如宝石计重的单位克拉。
即便如此，克拉和克之间的换算关系，也从原本的1克拉=0.205克简化成了1克拉=0.2克。
所以1平方圈≈12.5663706饼这种换算方式，是肯定无法广泛使用的。
聪明如你，是不是早都发现了12.5663706其实是4π？
这个更好玩，不知道为啥没人看：
圆的面积等于周长乘以直径除以4。因为
周长可以通过绳子绕一圈然后测量绳子的长度，直径可以使用游标卡尺来测量，没有用到π。
你可以考虑把 换成
以及还有（逃
根据圆的方程，半径为 的圆的面积为
。
运用积分换元 得到
。
实际上 ，所以其实也没啥区别，，，
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