圆的半径为 1，求其内接正五边形边长？
好的，我们来详细讲解如何计算半径为 1 的圆的内接正五边形的边长。
理解问题
圆的半径 (r)： 我们已知圆的半径是 1。
内接正五边形： 正五边形是指所有边长相等、所有内角也相等的五边形。内接正五边形意味着这个五边形的所有顶点都在圆周上。
边长 (s)： 我们要求的是这个正五边形的每一条边的长度。
解决思路：利用几何关系和三角函数
我们可以将圆心、正五边形的两个相邻顶点连接起来。这样会形成一个等腰三角形。由于是正五边形，圆心角（连接圆心和两个相邻顶点的夹角）是相等的。我们可以利用这个等腰三角形的性质和三角函数来求解边长。
详细步骤
1. 分割圆：
一个圆的总角度是 360 度（或 $2pi$ 弧度）。
一个内接正五边形会将圆周平均分成 5 等份。
因此，连接圆心和正五边形任意两个相邻顶点的线段所形成的夹角（我们称之为圆心角）为：
$ ext{圆心角} = frac{360^circ}{5} = 72^circ $
2. 构建等腰三角形：
连接圆心 O 和正五边形的两个相邻顶点 A 和 B。
OA 是圆的半径，长度为 1。
OB 也是圆的半径，长度为 1。
AB 就是我们要找的正五边形的边长，设为 $s$。
三角形 OAB 是一个等腰三角形，因为 OA = OB = 1。
等腰三角形 OAB 的顶角（圆心角）是 $72^circ$。
3. 将等腰三角形“劈开”：
为了利用三角函数，我们通常需要处理直角三角形。
从圆心 O 向底边 AB 作垂线（高）。这条垂线会平分底边 AB 和顶角 AOB。
设垂足为 M。那么，OM 垂直于 AB，并且 AM = MB = $s/2$。
角 AOM = 角 BOM = $72^circ / 2 = 36^circ$。
现在，我们得到了两个全等的直角三角形：三角形 OAM 和三角形 OBM。
4. 在直角三角形 OAM 中应用三角函数：
我们关注直角三角形 OAM。
斜边 OA 的长度是圆的半径，即 1。
角 AOM 是 $36^circ$。
边 AM 是我们要求边长 $s$ 的一半 ($s/2$)。
在直角三角形中，正弦 (sin) 定义为“对边除以斜边”。
对于角 AOM：
$ sin(angle ext{AOM}) = frac{ ext{对边 AM}}{ ext{斜边 OA}} $
代入数值：
$ sin(36^circ) = frac{s/2}{1} $
$ sin(36^circ) = frac{s}{2} $
5. 求解边长 $s$：
从上一步的方程，我们可以解出 $s$：
$ s = 2 imes sin(36^circ) $
6. 计算 $sin(36^circ)$ 的值：
$sin(36^circ)$ 是一个特殊的三角函数值，可以通过一些数学推导得出，但通常我们使用计算器或者已知的数值。
$sin(36^circ) approx 0.587785$
因此，边长 $s$ 为：
$ s approx 2 imes 0.587785 $
$ s approx 1.17557 $
最终答案
半径为 1 的圆的内接正五边形的边长为 $2 sin(36^circ)$。
如果需要一个近似的数值，边长约为 1.17557。
总结一下推导过程：
1. 将圆心与正五边形两相邻顶点连接，形成一个等腰三角形。
2. 计算出该等腰三角形的顶角（圆心角）为 $360^circ/5 = 72^circ$。
3. 从圆心作底边的垂线，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
4. 在其中一个直角三角形中，斜边是圆的半径（1），顶角的一半是 $72^circ/2 = 36^circ$，对边是正五边形边长的一半 ($s/2$)。
5. 利用正弦函数的定义：$sin(36^circ) = frac{s/2}{1}$。
6. 解出 $s = 2 sin(36^circ)$。
希望这个详细的解释能帮助您理解！
理解问题
圆的半径 (r)： 我们已知圆的半径是 1。
内接正五边形： 正五边形是指所有边长相等、所有内角也相等的五边形。内接正五边形意味着这个五边形的所有顶点都在圆周上。
边长 (s)： 我们要求的是这个正五边形的每一条边的长度。
解决思路：利用几何关系和三角函数
我们可以将圆心、正五边形的两个相邻顶点连接起来。这样会形成一个等腰三角形。由于是正五边形，圆心角（连接圆心和两个相邻顶点的夹角）是相等的。我们可以利用这个等腰三角形的性质和三角函数来求解边长。
详细步骤
1. 分割圆：
一个圆的总角度是 360 度（或 $2pi$ 弧度）。
一个内接正五边形会将圆周平均分成 5 等份。
因此，连接圆心和正五边形任意两个相邻顶点的线段所形成的夹角（我们称之为圆心角）为：
$ ext{圆心角} = frac{360^circ}{5} = 72^circ $
2. 构建等腰三角形：
连接圆心 O 和正五边形的两个相邻顶点 A 和 B。
OA 是圆的半径，长度为 1。
OB 也是圆的半径，长度为 1。
AB 就是我们要找的正五边形的边长，设为 $s$。
三角形 OAB 是一个等腰三角形，因为 OA = OB = 1。
等腰三角形 OAB 的顶角（圆心角）是 $72^circ$。
3. 将等腰三角形“劈开”：
为了利用三角函数，我们通常需要处理直角三角形。
从圆心 O 向底边 AB 作垂线（高）。这条垂线会平分底边 AB 和顶角 AOB。
设垂足为 M。那么，OM 垂直于 AB，并且 AM = MB = $s/2$。
角 AOM = 角 BOM = $72^circ / 2 = 36^circ$。
现在，我们得到了两个全等的直角三角形：三角形 OAM 和三角形 OBM。
4. 在直角三角形 OAM 中应用三角函数：
我们关注直角三角形 OAM。
斜边 OA 的长度是圆的半径，即 1。
角 AOM 是 $36^circ$。
边 AM 是我们要求边长 $s$ 的一半 ($s/2$)。
在直角三角形中，正弦 (sin) 定义为“对边除以斜边”。
对于角 AOM：
$ sin(angle ext{AOM}) = frac{ ext{对边 AM}}{ ext{斜边 OA}} $
代入数值：
$ sin(36^circ) = frac{s/2}{1} $
$ sin(36^circ) = frac{s}{2} $
5. 求解边长 $s$：
从上一步的方程，我们可以解出 $s$：
$ s = 2 imes sin(36^circ) $
6. 计算 $sin(36^circ)$ 的值：
$sin(36^circ)$ 是一个特殊的三角函数值，可以通过一些数学推导得出，但通常我们使用计算器或者已知的数值。
$sin(36^circ) approx 0.587785$
因此，边长 $s$ 为：
$ s approx 2 imes 0.587785 $
$ s approx 1.17557 $
最终答案
半径为 1 的圆的内接正五边形的边长为 $2 sin(36^circ)$。
如果需要一个近似的数值，边长约为 1.17557。
总结一下推导过程：
1. 将圆心与正五边形两相邻顶点连接，形成一个等腰三角形。
2. 计算出该等腰三角形的顶角（圆心角）为 $360^circ/5 = 72^circ$。
3. 从圆心作底边的垂线，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
4. 在其中一个直角三角形中，斜边是圆的半径（1），顶角的一半是 $72^circ/2 = 36^circ$，对边是正五边形边长的一半 ($s/2$)。
5. 利用正弦函数的定义：$sin(36^circ) = frac{s/2}{1}$。
6. 解出 $s = 2 sin(36^circ)$。
希望这个详细的解释能帮助您理解！
网友意见
如图，在一直角三角形中满足勾股关系，于是化简
设
则方程可化为
其中只有 满足题意，故
最后得到正五边形边长为
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