如何生成多个互不重叠的不同半径圆？
想要生成一系列互不重叠且半径各不相同的圆，这确实是一个需要细致考量的问题，尤其是在计算机图形学或物理模拟的场景下。它不像看起来那么直接，需要一些策略来保证“互不重叠”这个关键条件。下面我将尽可能详细地介绍实现这一目标的方法和需要注意的细节。
问题的核心挑战
生成多个圆的简单方法是随机生成圆的中心坐标和半径，然后将它们绘制出来。然而，最棘手的部分在于如何确保这些圆“不互相重叠”。如果只是简单地随机生成，很有可能会出现圆相互穿插的情况，这就违背了我们的初衷。
核心策略：迭代放置与碰撞检测
解决这个问题的核心思路是：逐个生成圆，并在生成每个新圆时，检查它是否与之前已生成的圆发生了重叠。如果发生重叠，就调整新圆的参数（位置或半径），直到它不再重叠为止。
半径各不相同这一点相对容易处理，在生成新圆时赋予一个随机的半径即可。关键在于“互不重叠”的实现。
具体步骤详解
第一步：确定生成圆的总数和半径范围
在开始之前，你需要明确几个参数：
圆的总数 (N): 你希望生成多少个圆？
半径范围: 你希望圆的半径落在什么区间内？例如，最小半径是 `min_radius`，最大半径是 `max_radius`。确保 `min_radius` 小于 `max_radius`。
第二步：生成第一个圆（作为起始点）
第一个圆生成起来最简单，因为它没有其他圆需要进行碰撞检测。
1. 生成半径: 从你设定的半径范围内随机生成一个半径 `r1`。
2. 生成中心: 同样，在你的画布或工作区域内随机生成一个中心点 `(x1, y1)`。由于是第一个圆，它自然不会与其他圆重叠。
3. 记录圆: 将这个圆的信息（中心 `(x1, y1)` 和半径 `r1`）记录下来，为后续的碰撞检测做准备。
第三步：逐个生成剩余的圆（迭代与碰撞检测）
现在开始处理剩余的 `N1` 个圆。对于每一个新圆，我们需要一个过程来找到一个“合法的”（不重叠）位置和半径。
1. 生成候选半径: 从设定的半径范围内随机生成一个新的半径 `r_new`。
2. 尝试生成一个合法位置 (核心环节):
随机尝试: 这是最直观的方法。在你的工作区域内随机生成一个候选的中心点 `(x_new, y_new)`。
碰撞检测: 检查这个候选的圆（中心 `(x_new, y_new)`，半径 `r_new`）是否与之前所有已生成的圆发生了重叠。
如何检测两个圆是否重叠？ 这是核心的几何判断。假设我们有两个圆：
圆 A：中心 `(x_a, y_a)`，半径 `r_a`
圆 B：中心 `(x_b, y_b)`，半径 `r_b`
它们重叠的条件是：两个圆心之间的距离小于它们半径之和。
距离计算公式：`distance = sqrt((x_a x_b)^2 + (y_a y_b)^2)`
重叠条件：`distance < r_a + r_b`
为了避免开平方运算，通常使用距离的平方进行比较，这样更高效：`distance_sq = (x_a x_b)^2 + (y_a y_b)^2`
重叠条件（优化后）：`distance_sq < (r_a + r_b)^2`
如果发生重叠: 说明这个候选的中心点 `(x_new, y_new)` 对于当前半径 `r_new` 是无效的。你需要继续尝试新的中心点。回到“随机尝试”这一步，重新生成一个中心点，并再次进行碰撞检测。
如果没有发生重叠: 太好了！这个候选圆是合法的。将它的信息（中心 `(x_new, y_new)` 和半径 `r_new`）记录下来，并添加到已生成圆的列表中。然后，可以开始生成下一个圆。
第四步：处理可能出现的“死锁”或低效问题
上述的“随机尝试”方法在某些情况下可能会非常低效，甚至陷入“死锁”（即很难找到一个合法的随机位置）。想象一下，当画布上已经充满了大大小小的圆时，再想找一个能放得下新圆（尤其是半径较大的新圆）的空隙会变得异常困难。
为了应对这种情况，可以考虑一些优化或替代策略：
1. 增加尝试次数限制: 对于每个新圆，设置一个最大尝试次数。如果尝试了太多次（例如几千次、几万次）仍然找不到合法的随机位置，可能意味着当前的画布状态难以再放置这个半径的圆了。
怎么办？
放弃这个圆: 简单粗暴，但保证了整体的成功率。
减小半径: 如果尝试失败，尝试稍微减小当前候选半径 `r_new`，然后再继续尝试放置。
重新排列: 更复杂的策略是，当遇到困难时，可以考虑将之前生成的某些圆稍微调整一下位置，为新圆腾出空间。但这会增加很多复杂性。
增大工作区域: 如果可能，扩大生成圆的区域，增加找到空隙的可能性。
2. 更智能的放置策略（高级）：
基于空隙的放置: 尝试直接识别画布上的空隙，然后将新圆尝试放置在这些空隙的中心附近。这需要更复杂的空间数据结构来管理空隙。
基于“填充”的策略: 想象一下将画布视为一个容器，圆是“填充物”。可以先生成一些较大的圆，然后尝试用较小的圆填充它们之间的空隙。这是一种“打包”问题。
网格划分: 将工作区域划分为网格，并在每个网格单元中尝试放置圆，或者记录每个网格单元被圆占据的程度。
3. 调整半径的生成方式:
先生成小圆: 如果你的目标是生成许多小圆，可以优先生成较小的半径，这样更容易找到不重叠的位置。
考虑圆的分布密度: 如果你希望圆的分布更均匀，可以根据已放置圆的密度来调整新圆的生成位置。
第五步：将生成的圆绘制出来
一旦你成功生成了一系列互不重叠的圆，就可以使用图形库（如 Python 的 Matplotlib, Pygame, 或其他编程语言的相应库）将它们绘制在屏幕上或保存为图片。绘制时，只需要遍历你记录的圆列表，为每个圆指定其中心和半径即可。
总结一下核心流程：
1. 初始化: 定义圆的总数 `N`，半径范围 `[min_r, max_r]`。创建一个列表 `generated_circles` 来存储已成功生成的圆。
2. 生成第一个圆: 随机生成半径 `r1` 和中心 `(x1, y1)`，将其添加到 `generated_circles`。
3. 循环生成剩余圆 (N1 次):
生成候选半径 `r_new`。
循环尝试放置:
随机生成候选中心 `(x_new, y_new)`。
设置一个标志 `is_overlapping = False`。
遍历 `generated_circles` 中的所有已生成圆:
如果 `(x_new, y_new)` 和 `r_new` 与已生成圆 `(x_old, y_old)` 和 `r_old` 重叠（即 `distance_sq((x_new, y_new), (x_old, y_old)) < (r_new + r_old)^2`）：
设置 `is_overlapping = True`。
中断内层循环（因为这个中心点不行了）。
如果 `is_overlapping` 是 `False`:
说明找到了一个合法位置！将新圆 `(x_new, y_new, r_new)` 添加到 `generated_circles`。
中断尝试放置的循环（这个新圆已成功生成）。
如果尝试放置循环次数过多: 考虑进行优化或放弃。
4. 绘制 `generated_circles` 中的所有圆。
需要注意的细节和技巧：
边界条件: 确保生成的圆不会超出你的工作区域的边界。在生成中心点时，需要根据圆的半径留出足够的边距。例如，如果工作区域是 `[0, W]` 和 `[0, H]`，那么生成圆心 `x` 时，应该在 `[r, Wr]` 的范围内，`y` 在 `[r, Hr]` 的范围内。
数值精度: 在进行浮点数比较时，有时候会遇到精度问题。虽然对于半径和距离的比较，直接使用 `<` 通常没问题，但在极少数边界情况下，可以考虑稍微引入一个极小的容差（epsilon），例如 `distance_sq < (r_a + r_b)^2 epsilon`，但这通常不是必需的。
效率考虑: 如果需要生成成千上万个圆，效率会变得非常重要。频繁的碰撞检测会消耗大量时间。考虑使用更优化的数据结构（如四叉树或kd树）来加速查找可能发生碰撞的圆，而不是每次都检查所有已生成的圆。
随机数生成器的种子: 如果你需要重现相同的圆的布局，请设置随机数生成器的种子。
这个过程的核心在于迭代放置和碰撞检测。通过反复尝试并验证，最终可以生成满足“互不重叠”和“半径不同”要求的圆的集合。虽然理论上可能存在无法放置的情况（例如，画布太小，半径太大），但通过合理的参数设置和适当的尝试策略，大多数情况下都能得到令人满意的结果。
问题的核心挑战
生成多个圆的简单方法是随机生成圆的中心坐标和半径，然后将它们绘制出来。然而，最棘手的部分在于如何确保这些圆“不互相重叠”。如果只是简单地随机生成，很有可能会出现圆相互穿插的情况，这就违背了我们的初衷。
核心策略：迭代放置与碰撞检测
解决这个问题的核心思路是：逐个生成圆，并在生成每个新圆时，检查它是否与之前已生成的圆发生了重叠。如果发生重叠，就调整新圆的参数（位置或半径），直到它不再重叠为止。
半径各不相同这一点相对容易处理，在生成新圆时赋予一个随机的半径即可。关键在于“互不重叠”的实现。
具体步骤详解
第一步：确定生成圆的总数和半径范围
在开始之前，你需要明确几个参数：
圆的总数 (N): 你希望生成多少个圆？
半径范围: 你希望圆的半径落在什么区间内？例如，最小半径是 `min_radius`，最大半径是 `max_radius`。确保 `min_radius` 小于 `max_radius`。
第二步：生成第一个圆（作为起始点）
第一个圆生成起来最简单，因为它没有其他圆需要进行碰撞检测。
1. 生成半径: 从你设定的半径范围内随机生成一个半径 `r1`。
2. 生成中心: 同样，在你的画布或工作区域内随机生成一个中心点 `(x1, y1)`。由于是第一个圆，它自然不会与其他圆重叠。
3. 记录圆: 将这个圆的信息（中心 `(x1, y1)` 和半径 `r1`）记录下来，为后续的碰撞检测做准备。
第三步：逐个生成剩余的圆（迭代与碰撞检测）
现在开始处理剩余的 `N1` 个圆。对于每一个新圆，我们需要一个过程来找到一个“合法的”（不重叠）位置和半径。
1. 生成候选半径: 从设定的半径范围内随机生成一个新的半径 `r_new`。
2. 尝试生成一个合法位置 (核心环节):
随机尝试: 这是最直观的方法。在你的工作区域内随机生成一个候选的中心点 `(x_new, y_new)`。
碰撞检测: 检查这个候选的圆（中心 `(x_new, y_new)`，半径 `r_new`）是否与之前所有已生成的圆发生了重叠。
如何检测两个圆是否重叠？ 这是核心的几何判断。假设我们有两个圆：
圆 A：中心 `(x_a, y_a)`，半径 `r_a`
圆 B：中心 `(x_b, y_b)`，半径 `r_b`
它们重叠的条件是：两个圆心之间的距离小于它们半径之和。
距离计算公式：`distance = sqrt((x_a x_b)^2 + (y_a y_b)^2)`
重叠条件：`distance < r_a + r_b`
为了避免开平方运算，通常使用距离的平方进行比较，这样更高效：`distance_sq = (x_a x_b)^2 + (y_a y_b)^2`
重叠条件（优化后）：`distance_sq < (r_a + r_b)^2`
如果发生重叠: 说明这个候选的中心点 `(x_new, y_new)` 对于当前半径 `r_new` 是无效的。你需要继续尝试新的中心点。回到“随机尝试”这一步，重新生成一个中心点，并再次进行碰撞检测。
如果没有发生重叠: 太好了！这个候选圆是合法的。将它的信息（中心 `(x_new, y_new)` 和半径 `r_new`）记录下来，并添加到已生成圆的列表中。然后，可以开始生成下一个圆。
第四步：处理可能出现的“死锁”或低效问题
上述的“随机尝试”方法在某些情况下可能会非常低效，甚至陷入“死锁”（即很难找到一个合法的随机位置）。想象一下，当画布上已经充满了大大小小的圆时，再想找一个能放得下新圆（尤其是半径较大的新圆）的空隙会变得异常困难。
为了应对这种情况，可以考虑一些优化或替代策略：
1. 增加尝试次数限制: 对于每个新圆，设置一个最大尝试次数。如果尝试了太多次（例如几千次、几万次）仍然找不到合法的随机位置，可能意味着当前的画布状态难以再放置这个半径的圆了。
怎么办？
放弃这个圆: 简单粗暴，但保证了整体的成功率。
减小半径: 如果尝试失败，尝试稍微减小当前候选半径 `r_new`，然后再继续尝试放置。
重新排列: 更复杂的策略是，当遇到困难时，可以考虑将之前生成的某些圆稍微调整一下位置，为新圆腾出空间。但这会增加很多复杂性。
增大工作区域: 如果可能，扩大生成圆的区域，增加找到空隙的可能性。
2. 更智能的放置策略（高级）：
基于空隙的放置: 尝试直接识别画布上的空隙，然后将新圆尝试放置在这些空隙的中心附近。这需要更复杂的空间数据结构来管理空隙。
基于“填充”的策略: 想象一下将画布视为一个容器，圆是“填充物”。可以先生成一些较大的圆，然后尝试用较小的圆填充它们之间的空隙。这是一种“打包”问题。
网格划分: 将工作区域划分为网格，并在每个网格单元中尝试放置圆，或者记录每个网格单元被圆占据的程度。
3. 调整半径的生成方式:
先生成小圆: 如果你的目标是生成许多小圆，可以优先生成较小的半径，这样更容易找到不重叠的位置。
考虑圆的分布密度: 如果你希望圆的分布更均匀，可以根据已放置圆的密度来调整新圆的生成位置。
第五步：将生成的圆绘制出来
一旦你成功生成了一系列互不重叠的圆，就可以使用图形库（如 Python 的 Matplotlib, Pygame, 或其他编程语言的相应库）将它们绘制在屏幕上或保存为图片。绘制时，只需要遍历你记录的圆列表，为每个圆指定其中心和半径即可。
总结一下核心流程：
1. 初始化: 定义圆的总数 `N`，半径范围 `[min_r, max_r]`。创建一个列表 `generated_circles` 来存储已成功生成的圆。
2. 生成第一个圆: 随机生成半径 `r1` 和中心 `(x1, y1)`，将其添加到 `generated_circles`。
3. 循环生成剩余圆 (N1 次):
生成候选半径 `r_new`。
循环尝试放置:
随机生成候选中心 `(x_new, y_new)`。
设置一个标志 `is_overlapping = False`。
遍历 `generated_circles` 中的所有已生成圆:
如果 `(x_new, y_new)` 和 `r_new` 与已生成圆 `(x_old, y_old)` 和 `r_old` 重叠（即 `distance_sq((x_new, y_new), (x_old, y_old)) < (r_new + r_old)^2`）：
设置 `is_overlapping = True`。
中断内层循环（因为这个中心点不行了）。
如果 `is_overlapping` 是 `False`:
说明找到了一个合法位置！将新圆 `(x_new, y_new, r_new)` 添加到 `generated_circles`。
中断尝试放置的循环（这个新圆已成功生成）。
如果尝试放置循环次数过多: 考虑进行优化或放弃。
4. 绘制 `generated_circles` 中的所有圆。
需要注意的细节和技巧：
边界条件: 确保生成的圆不会超出你的工作区域的边界。在生成中心点时，需要根据圆的半径留出足够的边距。例如，如果工作区域是 `[0, W]` 和 `[0, H]`，那么生成圆心 `x` 时，应该在 `[r, Wr]` 的范围内，`y` 在 `[r, Hr]` 的范围内。
数值精度: 在进行浮点数比较时，有时候会遇到精度问题。虽然对于半径和距离的比较，直接使用 `<` 通常没问题，但在极少数边界情况下，可以考虑稍微引入一个极小的容差（epsilon），例如 `distance_sq < (r_a + r_b)^2 epsilon`，但这通常不是必需的。
效率考虑: 如果需要生成成千上万个圆，效率会变得非常重要。频繁的碰撞检测会消耗大量时间。考虑使用更优化的数据结构（如四叉树或kd树）来加速查找可能发生碰撞的圆，而不是每次都检查所有已生成的圆。
随机数生成器的种子: 如果你需要重现相同的圆的布局，请设置随机数生成器的种子。
这个过程的核心在于迭代放置和碰撞检测。通过反复尝试并验证，最终可以生成满足“互不重叠”和“半径不同”要求的圆的集合。虽然理论上可能存在无法放置的情况（例如，画布太小，半径太大），但通过合理的参数设置和适当的尝试策略，大多数情况下都能得到令人满意的结果。
网友意见
这个问题就算没人邀请，我也一定要答。有一次和公司一个美术扯皮，最后他竟然威胁我说：“我画个圈圈诅咒你！”我立马反击道：“我写个程序，画一大坨圈圈诅咒你！而且我还会用N种方法画。”
（1）第一种方法
写个循环，循环中随机生成一个圈圈的圆心坐标位置、半径。然后判断圈圈是否与已有的圈圈发生碰撞。如果有碰撞让它滚蛋，否则画圈圈。
（2）第二种方法
还是写个循环，循环中随机生成一个圈圈的圆心坐标位置，然后判断这个坐标点是否在已有的圈圈内部，如果是就让它滚蛋，否则计算出与它到距离最近圈圈的距离，并以此画圈圈。
（3）第三种方法
有时需要将一堆指定半径的圈圈，无碰撞的放置在某一空间中。这就需要一套物理碰撞算法，感觉很难，不要怕，圈圈之间的碰撞检测是所有碰撞检测中最容易的。碰到这一情况，首先要找到一个中心点，然后将所有的圈圈按照与该中心点的距离远近进行排序，依次将每一个圈圈朝向党中心靠近，最后实现大和谐。
这种方法中需要克服的一个难点是，如何实现三个圈圈的两两相碰。解决这一问题，需要用到一个数学公式：余弦定理，已知三角形的三边长度，求三个角度。这算是我在实际编程中用过最高深的数学知识之一。
我写的一个小游戏：连泡泡用的就是这一方法。
鼠标左键拖动泡泡到另一个与之相同颜色的泡泡旁边，松开鼠标左键，两个泡泡就会自动合并。将所有相同颜色的泡泡连到一块即过关。挺无聊的一个游戏，玩多了容易得强迫症。
（4）第四种方法
让所有圈圈围向一个中心，这样太过集中，体现了独裁专制，这政治不正确吗。有时可能只是想让圈圈放到一个大框里。这时的处理方式和前一个类似，只是修改一下圈圈的排序方式，让圈圈按照朝向某一方向的远近进行排序，并且朝着该方向移动。
我还写过两个更无聊的小游戏：
掐泡泡，在这个游戏中场景中含有若干个大小颜色不同的泡泡，同色泡泡碰撞后会合并成一个大点的泡泡，当泡泡大到一定程度后会破裂消失。泡泡会不停变多，鼠标也需要不停地点击泡泡。当泡泡挤到最下方时，游戏结束。
打泡泡，和上个游戏类似，场景中含有若干个大小颜色不同的泡泡，界面下方可以发射不同颜色的泡泡，击中同色泡泡后会与之合并成一个大点的泡泡，当泡泡大到一定程度后会破裂消失。同样，当泡泡挤到最下方时，游戏结束。
（5）第五种方法
前四种方法，每添加一个圈圈时，都需要遍历已有圈圈判断是否与之碰撞。当圈圈数目增大时，效率不高啊。第五种方法可以轻松画出大规模的圈圈：
先以固定步长生成规则的正方形网格点；
然后对网格点进行随机移动，移动距离不要超过固定步长;
移动后的网格点为圈圈的圆心;
计算出每一个网格点与其周围8个网格点的最近距离;
最近距离的一半为圈圈的半径；
画圈圈，就这么简单搞定。
发一下该算法的C代码：
inline void hash22(float px, float py, float& hx, float& hy) { float n = sinf(px * 7.0f + py * 157.0f); hx = 2097152.0f*n; hy = 262144.0f*n; hx = hx - floorf(hx); hy = hy - floorf(hy); } // 查找最近的相邻顶点 float nearest_dis_2d(float x, float y) { float ox, oy; hash22(x, y, ox, oy); // 当前顶点偏移 float d, r = 2.0f; float vx, vy; for(int i = -1; i <= 1; i++) { for(int j = -1; j <= 1; j++) { if (i == 0 && j == 0) { continue; } hash22(i + x, j + y, vx, vy); vx += float(i) - ox; vy += float(j) - oy; d = vx*vx + vy*vy; if (d < r) { r = d; } } } return sqrtf(r); } // 使用worley画圈圈 float circle_worley2d(float x, float y) { float fx = floorf(x); float fy = floorf(y); float gx = x - fx; float gy = y - fy; float vx, vy; float d, r = 3.0f; float si, sj; for(int i = -1; i <= 1; i++) { for(int j = -1; j <= 1; j++) { hash22(i + fx, j + fy, vx, vy); vx += float(i) - gx; vy += float(j) - gy; d = vx*vx + vy*vy; if (d < r) { r = d; si = i + fx; sj = j + fy; } } } d = sqrtf(r) / nearest_dis_2d(si, sj) * 2.0f; return d; } 代码中调用函数circle_worley2d，输入是平面上的一个二维坐标，返回值为1时，表示该坐标位于圆上。用上面的代码可以生成如下图像：
虽然这种方法对空间的利用率并不高，但它的运算复杂度与圈圈的数目无关。
（6）第六种方法:
上一种方法中,float circle_worley2d(float x, float y)函数,可以很容易地改成三维的
float circle_worley3d(float x, float y, float z)。
用三维的可以生成空间中若干个互相不重叠的球,如下图所示:
并且利用circle_worley3d函数可以实现球面上画圈圈:
当然,扩展到三维后的circle_worley3d函数，可以在任意一个三维图形上画圈圈。下图为将许多圈圈画在一个圈圈上:
（7）终极圈圈诅咒
球面上画圈圈有什么用处呢？可以生成陨石坑。
将生成圈圈的算法迭代个若干次，就能生成一个布满陨石坑的星球：
不过这个球不是我做的，生成它的代码在：Shadertoy.
我生成的球是这样：
当我看到这个星球时，有一种强烈的冲动：把这个球从显示器中拿出来，然后砸在某人脸上。这滋味想想就觉得酸爽。
====================
附上篇国外一大叔写的文章:Random space filling tiling of the plane
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您好！很高兴能就“生、化方向高档次文章越来越多带理论计算”这一现象，和您进行一次深入的探讨。这确实是一个非常值得关注的趋势，而且在我看来，这并非偶然，而是科学发展到一定阶段的必然结果，并且对生命科学和化学研究的未来有着深远的影响。为什么会出现这种现象？我们可以从几个层面来剖析：1. 理解的深度需求.............
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一个经济学家提出“央行多印 2 万亿，用 10 年多生 5000 万孩子”的建议，这绝对是个能让人眼前一亮、甚至有点石破天惊的说法。咱们不妨掰开了揉碎了，好好说道说道这个提议的逻辑、可行性以及它背后可能隐藏的复杂性。提议的逻辑：为什么会冒出这么个点子？表面上看，这个建议似乎是将两个毫不相干的事情——.............
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俄罗斯鼓励生育的政策，特别是对女性提供的长达三年带薪产假以及多次生育的经济激励，可以说是当地社会和政府在应对人口结构挑战的一个重要举措。这项政策背后，既有对家庭的关怀，也有着对国家未来发展的考量。首先，我们来看看这项政策的具体内容。俄罗斯的女性可以享受最多三年的带薪产假。这三年里，母亲可以安心在家照.............
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