半径为 2 的圆，其周长和面积相等吗？

这个问题蛮有趣的。从数学的角度来说，我的第一感与 @Rochel1i 最后一段一致。设 是半径为2的圆盘， 是 中所有可求长的曲线的集合， 是 中所有可求面积且边界可求长的点集的集合， 把曲线映到其长度， 把图形映到其边界（这样 就是把图形映到其周长的映射）， 是把图形映到其面积的映射，则 ，即 的面积等于 的周长。就像现在我这个回答的评论区中讨论一样，从数学的角度是可以比较 的面积与周长的，因为它们都是实数，而实数是可以比较的。

这么说在物理上看起来是很奇怪的，因为我们知道面积与周长不能“相等”。那么问题出在哪里呢？主要是，上面定义的映射 与 都是映到 的，也就是之前所说的面积和长度在数学中的标准定义都是一个实数，其类型是相同的（回顾 与 在数学中的标准定义： 定义为曲线上折线段长度之和的上确界，故映到的值是一个实数； 就单纯是一个Lebesgue测度，只不过是限制在 上的，因此映到的值也是实数）。但是看看实数集 这个东西，它本身并不带有“量纲”这个结构，所以数学上周长与面积的“标准定义”没法描述“量纲”这个概念。

那么，如何在数学上去描述“量纲”这个结构呢？或者具体而言，如何重新定义，使得面积和长度是两个类型不同的东西，也即不要让面积和长度只是一个单纯的实数，而是要附加额外的结构？一种办法是将面积与长度人为隔离开。比如，将 改造成 ，然后让第一个分量代表长度，第二个分量代表面积，然后上面提到的 这些映射都改成映到 的。在这种定义下， ， 。我们很高兴地看到，此时 ，即 的面积不等于 的周长。

当然这个方法看起来好像有点愚蠢，因为面积和长度其实不是完全不同，它们本质上是同源的，即面积是具有长度的平方这个量纲的。我们最好将本质上不同的量纲隔离开，然后想出一种方法自动组合出这些量纲的平方、立方等乘积。事实上，题主给出的陶哲轩的那篇博客给出了这样的“量纲结构”的构造。比如 是事先选出的基本量纲（物理中 ），先按照上述方法把这 个量纲隔离开，即 ，其中 是 的一维线性子空间，对应量纲 。然后令 的对偶空间 对应 这个量纲。定义 。然后定义 型“含量纲值”为 中的张量，它对应 这个量纲。两个含量纲值相乘定义为其张量积，但不同型的含量纲值不定义其加法。 在这种定义下，假如说把 看成长度这个量纲，则 （也即是 的一个元素）而 （也即是一个双线性映射 的对偶映射，根据张量的某一种构造）。我们高兴地发现， ，即面积与周长不相等，因为连类型都不一样。