考虑一个半径为 1 的圆，若「随机」选择圆上的弦，求弦长的概率分布？
咱们来聊聊这个有意思的问题：在半径为 1 的圆上“随机”选一条弦，这条弦的长度会遵循什么样的分布规律？
你可能会觉得，“随机”选一条弦不就是随便画一根线段嘛，连接圆上任意两点就行了。但问题就出在这“随机”两个字上。如何定义“随机选择”就决定了弦长的分布。这就像你问一个人“随机”选一个数字，他可能会想 1，也可能会想 π，甚至是 1000。不同的“随机”方法，会带来不同的结果。
所以，咱们得先明确几种“随机”选择弦的方式。
方法一：随机选择弦的两个端点
这是最直观的想法了。咱们可以想象，在圆周上随机选择两个点，然后把它们连起来，就是一条弦。
怎么在圆周上随机选点呢？你可以想象圆周是一个钟面，从 12 点钟开始，你随机拨动指针，指针指向的位置就是一个点。或者你给圆周一个长度（也就是周长，对于半径为 1 的圆，周长是 $2pi$），然后在 $0$ 到 $2pi$ 之间随机选择一个角度（或者说一个位置的参数）。
假设我们选择的第一个点，它的位置可以用角度 $ heta_1$ 来表示，范围是 $[0, 2pi)$。第二个点的位置可以用角度 $ heta_2$ 来表示，范围也是 $[0, 2pi)$。为了简化，我们可以假设第一个点的角度固定在某个位置，比如 $0$（也就是圆上的某个“零点”）。这样，我们只需要随机选择第二个点的角度 $ heta$，$ heta$ 在 $[0, 2pi)$ 上是均匀分布的。
现在，咱们来看看这两点确定的弦有多长。半径为 $R$（这里 $R=1$）的圆，弦的长度 $L$ 可以通过圆心角来计算。假设圆心角为 $alpha$，那么弦长 $L = 2R sin(frac{alpha}{2})$。
咱们选的两个点，它们在圆周上的角度差就是圆心角 $alpha$。所以，我们需要考虑第二个点的角度 $ heta$ 距离第一个点（假设为 $0$）的“距离”。这个角度差 $alpha$ 可以在 $[0, 2pi)$ 上取值。但是，我们关心的弦长，比如连接 $0$ 点和 $ heta$ 点，或者连接 $0$ 点和 $2pi heta$ 点，弦的长度是相同的。所以，我们可以把角度差限定在 $[0, pi]$ 的范围内。换句话说，我们关心的圆心角 $alpha$ 实际上是连接两点的弧度数，但为了计算弦长，我们通常用它对应的“短弧”的圆心角。
更直接点说，如果我们随机选择第二个点的角度 $ heta$，那么 $ heta$ 是在 $[0, 2pi)$ 上均匀分布的。圆心角 $alpha$ 就是 $ heta$ 或者 $2pi heta$，取小的那个。所以，$alpha$ 实际上是在 $[0, pi]$ 上分布的。当 $ heta$ 在 $[0, pi]$ 时，$alpha = heta$。当 $ heta$ 在 $(pi, 2pi)$ 时，$alpha = 2pi heta$。
我们可以考虑 $ heta$ 在 $[0, 2pi)$ 的分布。弦长 $L = 2R sin(frac{alpha}{2})$。这里的 $alpha$ 是两个点之间的角度差，我们取弧度差的绝对值，并把它“折叠”到 $[0, pi]$。
如果 $ heta$ 在 $[0, pi]$ 上均匀分布，那么圆心角 $alpha = heta$。弦长 $L = 2R sin(frac{ heta}{2})$。此时，$frac{ heta}{2}$ 在 $[0, frac{pi}{2}]$ 上均匀分布。记 $x = frac{ heta}{2}$。那么 $x$ 在 $[0, frac{pi}{2}]$ 上均匀分布。弦长 $L = 2 sin(x)$。
我们来求 $L$ 的概率分布。$L$ 的取值范围是 $[0, 2]$。
$P(L le l) = P(2 sin(x) le l) = P(sin(x) le frac{l}{2})$。
因为 $x in [0, frac{pi}{2}]$，$sin(x)$ 是单调递增的。
所以 $P(sin(x) le frac{l}{2}) = P(x le arcsin(frac{l}{2}))$。
由于 $x$ 在 $[0, frac{pi}{2}]$ 上均匀分布，其概率密度函数是 $f(x) = frac{1}{pi/2} = frac{2}{pi}$。
所以，$P(x le arcsin(frac{l}{2})) = int_0^{arcsin(frac{l}{2})} frac{2}{pi} dx = frac{2}{pi} arcsin(frac{l}{2})$。
这是 $L$ 的累积分布函数（CDF）：$F_L(l) = frac{2}{pi} arcsin(frac{l}{2})$，其中 $l in [0, 2]$。
对 CDF 求导，得到概率密度函数（PDF）：
$f_L(l) = frac{d}{dl} (frac{2}{pi} arcsin(frac{l}{2})) = frac{2}{pi} cdot frac{1}{sqrt{1 (frac{l}{2})^2}} cdot frac{1}{2} = frac{1}{pi sqrt{1 frac{l^2}{4}}} = frac{2}{pi sqrt{4 l^2}}$。
所以，在这种方法下，弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{2}{pi sqrt{4 l^2}}$，对于 $l in [0, 2]$。
你可以看到，这个分布偏向于较长的弦。这是因为，尽管角度是均匀分布的，但角度的变化对弦长的影响不是线性的。当圆心角接近 $pi$ 时，弦长变化很小（接近 $2R$），而当圆心角接近 $0$ 时，弦长变化很大（接近 $0$）。
方法二：随机选择弦的中点
另一种选择弦的方式是，我们随机选择一个点作为弦的中点。这个中点可以是在圆内部的任意一点。
我们考虑圆内的点 $(x, y)$，其到圆心的距离为 $r$（$0 le r le R$）。假设这个点是弦的中点。弦是垂直于连接圆心和中点的半径的。那么这条弦的长度与 $r$ 有关。
如果中点到圆心的距离是 $r$，那么弦长 $L$ 可以通过勾股定理计算。半弦长是 $sqrt{R^2 r^2}$。所以弦长 $L = 2 sqrt{R^2 r^2}$。
在这个方法中，$R=1$，所以 $L = 2 sqrt{1 r^2}$。
现在的问题是，如何“随机”选择圆内的点作为中点？
一种常见的方法是假设中点在圆内是均匀分布的。也就是说，在圆的面积上随机选取一个点。
圆的面积是 $pi R^2 = pi$。我们考虑一个以圆心为圆心，半径为 $r$ 的小圆。这个小圆的面积是 $pi r^2$。
一个点落在半径为 $r$ 的小圆内的概率，就是这个小圆的面积除以整个圆的面积：
$P( ext{点到圆心距离} le r) = frac{pi r^2}{pi R^2} = frac{r^2}{R^2}$。
所以，到圆心的距离 $r$ 的累积分布函数是 $F_r(r) = frac{r^2}{R^2}$，其中 $r in [0, R]$。
在这个问题中，$R=1$，所以 $F_r(r) = r^2$，对于 $r in [0, 1]$。
我们要求弦长 $L$ 的分布，其中 $L = 2 sqrt{1 r^2}$。
我们来求 $L$ 的 CDF。$P(L le l) = P(2 sqrt{1 r^2} le l)$。
$P(sqrt{1 r^2} le frac{l}{2})$
$P(1 r^2 le (frac{l}{2})^2)$
$P(r^2 ge 1 frac{l^2}{4})$
$P(r ge sqrt{1 frac{l^2}{4}})$ （因为 $r ge 0$）
我们知道 $F_r(r) = r^2$。
所以，$P(r ge sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = 1 P(r < sqrt{1 frac{l^2}{4}})$。
因为 $r$ 是连续变量，所以 $P(r < sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = P(r le sqrt{1 frac{l^2}{4}})$。
$P(r le sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = F_r(sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = (sqrt{1 frac{l^2}{4}})^2 = 1 frac{l^2}{4}$。
所以，$P(L le l) = 1 (1 frac{l^2}{4}) = frac{l^2}{4}$。
这是 $L$ 的累积分布函数：$F_L(l) = frac{l^2}{4}$，其中 $l in [0, 2]$。
对 CDF 求导，得到概率密度函数（PDF）：
$f_L(l) = frac{d}{dl} (frac{l^2}{4}) = frac{2l}{4} = frac{l}{2}$。
所以，在这种方法下，弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{l}{2}$，对于 $l in [0, 2]$。
这个分布看起来比较均匀，但实际上它偏向于较短的弦。为什么呢？因为圆的面积大部分集中在远离圆心的区域。中点离圆心越远，弦就越短。
方法三：随机选择弦的距离
还可以考虑从圆心出发，垂直于弦的距离。这条距离从 $0$（弦通过圆心，是最长的弦）到 $R$（弦退化成一个点，长度为 $0$）不等。
假设我们随机选择这个距离 $d$，并且假设 $d$ 在 $[0, R]$ 上是均匀分布的。
我们知道弦长 $L = 2 sqrt{R^2 d^2}$。这里 $R=1$，所以 $L = 2 sqrt{1 d^2}$。
由于 $d$ 在 $[0, 1]$ 上均匀分布，其概率密度函数是 $f_d(d) = 1$ for $d in [0, 1]$。
我们来求 $L$ 的 CDF。$P(L le l) = P(2 sqrt{1 d^2} le l)$。
$P(sqrt{1 d^2} le frac{l}{2})$
$P(1 d^2 le (frac{l}{2})^2)$
$P(d^2 ge 1 frac{l^2}{4})$
$P(d ge sqrt{1 frac{l^2}{4}})$ （因为 $d ge 0$）
由于 $d$ 在 $[0, 1]$ 上均匀分布，
$P(d ge sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = 1 P(d < sqrt{1 frac{l^2}{4}})$
$= 1 F_d(sqrt{1 frac{l^2}{4}})$
$= 1 sqrt{1 frac{l^2}{4}}$。
这是 $L$ 的累积分布函数：$F_L(l) = 1 sqrt{1 frac{l^2}{4}}$，其中 $l in [0, 2]$。
对 CDF 求导，得到概率密度函数（PDF）：
$f_L(l) = frac{d}{dl} (1 sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = frac{1}{2sqrt{1 frac{l^2}{4}}} cdot (frac{2l}{4}) = frac{1}{2sqrt{1 frac{l^2}{4}}} cdot frac{l}{2} = frac{l}{2sqrt{4 l^2}}$。
所以，在这种方法下，弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{l}{2sqrt{4 l^2}}$，对于 $l in [0, 2]$。
这个分布也偏向于较短的弦，但比方法二更偏向于短弦。当 $l$ 接近 $0$ 时，分母趋近于常数，而分子趋近于 $0$，所以概率密度也趋近于 $0$。当 $l$ 接近 $2$ 时，分母趋近于 $0$，所以概率密度趋于无穷大。
伯特兰悖论
你可能会好奇，为什么会出现这三种不同的概率分布？这就是著名的伯特兰悖论（Bertrand's Paradox）。这个悖论说明，“随机选择弦”这个说法本身是不明确的。不同的选择方式，会导致弦长分布的不同。
这三种方法都“看起来”很随机，但它们的“随机性”体现在不同的参数上：
方法一： 随机选择弦的两个端点。这里的随机性体现在圆周上的角度分布。
方法二： 随机选择弦的中点。这里的随机性体现在圆盘内部的面积分布。
方法三： 随机选择弦到圆心的垂直距离。这里的随机性体现在这个距离的分布。
在没有进一步说明的情况下，我们无法确定哪种分布是“正确”的。通常情况下，在没有特别说明的情况下，大家可能会倾向于方法一（随机选择两个端点），因为它更直接地与“圆上的弦”这个概念相关。
总结一下：
对于半径为 1 的圆：
1. 随机选择弦的两个端点： 弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{2}{pi sqrt{4 l^2}}$，偏向于长弦。
2. 随机选择弦的中点（在中点均匀分布）： 弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{l}{2}$，偏向于短弦。
3. 随机选择弦到圆心的距离（距离均匀分布）： 弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{l}{2sqrt{4 l^2}}$，更偏向于短弦。
这个问题的趣味性就在于，它揭示了在处理“随机性”时，方法的选择至关重要。不同的定义会带来截然不同的结果，这也是概率论中一个值得深入思考的地方。
你可能会觉得，“随机”选一条弦不就是随便画一根线段嘛，连接圆上任意两点就行了。但问题就出在这“随机”两个字上。如何定义“随机选择”就决定了弦长的分布。这就像你问一个人“随机”选一个数字，他可能会想 1，也可能会想 π，甚至是 1000。不同的“随机”方法，会带来不同的结果。
所以，咱们得先明确几种“随机”选择弦的方式。
方法一：随机选择弦的两个端点
这是最直观的想法了。咱们可以想象，在圆周上随机选择两个点，然后把它们连起来，就是一条弦。
怎么在圆周上随机选点呢？你可以想象圆周是一个钟面，从 12 点钟开始，你随机拨动指针，指针指向的位置就是一个点。或者你给圆周一个长度（也就是周长，对于半径为 1 的圆，周长是 $2pi$），然后在 $0$ 到 $2pi$ 之间随机选择一个角度（或者说一个位置的参数）。
假设我们选择的第一个点，它的位置可以用角度 $ heta_1$ 来表示，范围是 $[0, 2pi)$。第二个点的位置可以用角度 $ heta_2$ 来表示，范围也是 $[0, 2pi)$。为了简化，我们可以假设第一个点的角度固定在某个位置，比如 $0$（也就是圆上的某个“零点”）。这样，我们只需要随机选择第二个点的角度 $ heta$，$ heta$ 在 $[0, 2pi)$ 上是均匀分布的。
现在，咱们来看看这两点确定的弦有多长。半径为 $R$（这里 $R=1$）的圆，弦的长度 $L$ 可以通过圆心角来计算。假设圆心角为 $alpha$，那么弦长 $L = 2R sin(frac{alpha}{2})$。
咱们选的两个点，它们在圆周上的角度差就是圆心角 $alpha$。所以，我们需要考虑第二个点的角度 $ heta$ 距离第一个点（假设为 $0$）的“距离”。这个角度差 $alpha$ 可以在 $[0, 2pi)$ 上取值。但是，我们关心的弦长，比如连接 $0$ 点和 $ heta$ 点，或者连接 $0$ 点和 $2pi heta$ 点，弦的长度是相同的。所以，我们可以把角度差限定在 $[0, pi]$ 的范围内。换句话说，我们关心的圆心角 $alpha$ 实际上是连接两点的弧度数，但为了计算弦长，我们通常用它对应的“短弧”的圆心角。
更直接点说，如果我们随机选择第二个点的角度 $ heta$，那么 $ heta$ 是在 $[0, 2pi)$ 上均匀分布的。圆心角 $alpha$ 就是 $ heta$ 或者 $2pi heta$，取小的那个。所以，$alpha$ 实际上是在 $[0, pi]$ 上分布的。当 $ heta$ 在 $[0, pi]$ 时，$alpha = heta$。当 $ heta$ 在 $(pi, 2pi)$ 时，$alpha = 2pi heta$。
我们可以考虑 $ heta$ 在 $[0, 2pi)$ 的分布。弦长 $L = 2R sin(frac{alpha}{2})$。这里的 $alpha$ 是两个点之间的角度差，我们取弧度差的绝对值，并把它“折叠”到 $[0, pi]$。
如果 $ heta$ 在 $[0, pi]$ 上均匀分布，那么圆心角 $alpha = heta$。弦长 $L = 2R sin(frac{ heta}{2})$。此时，$frac{ heta}{2}$ 在 $[0, frac{pi}{2}]$ 上均匀分布。记 $x = frac{ heta}{2}$。那么 $x$ 在 $[0, frac{pi}{2}]$ 上均匀分布。弦长 $L = 2 sin(x)$。
我们来求 $L$ 的概率分布。$L$ 的取值范围是 $[0, 2]$。
$P(L le l) = P(2 sin(x) le l) = P(sin(x) le frac{l}{2})$。
因为 $x in [0, frac{pi}{2}]$，$sin(x)$ 是单调递增的。
所以 $P(sin(x) le frac{l}{2}) = P(x le arcsin(frac{l}{2}))$。
由于 $x$ 在 $[0, frac{pi}{2}]$ 上均匀分布，其概率密度函数是 $f(x) = frac{1}{pi/2} = frac{2}{pi}$。
所以，$P(x le arcsin(frac{l}{2})) = int_0^{arcsin(frac{l}{2})} frac{2}{pi} dx = frac{2}{pi} arcsin(frac{l}{2})$。
这是 $L$ 的累积分布函数（CDF）：$F_L(l) = frac{2}{pi} arcsin(frac{l}{2})$，其中 $l in [0, 2]$。
对 CDF 求导，得到概率密度函数（PDF）：
$f_L(l) = frac{d}{dl} (frac{2}{pi} arcsin(frac{l}{2})) = frac{2}{pi} cdot frac{1}{sqrt{1 (frac{l}{2})^2}} cdot frac{1}{2} = frac{1}{pi sqrt{1 frac{l^2}{4}}} = frac{2}{pi sqrt{4 l^2}}$。
所以，在这种方法下，弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{2}{pi sqrt{4 l^2}}$，对于 $l in [0, 2]$。
你可以看到，这个分布偏向于较长的弦。这是因为，尽管角度是均匀分布的，但角度的变化对弦长的影响不是线性的。当圆心角接近 $pi$ 时，弦长变化很小（接近 $2R$），而当圆心角接近 $0$ 时，弦长变化很大（接近 $0$）。
方法二：随机选择弦的中点
另一种选择弦的方式是，我们随机选择一个点作为弦的中点。这个中点可以是在圆内部的任意一点。
我们考虑圆内的点 $(x, y)$，其到圆心的距离为 $r$（$0 le r le R$）。假设这个点是弦的中点。弦是垂直于连接圆心和中点的半径的。那么这条弦的长度与 $r$ 有关。
如果中点到圆心的距离是 $r$，那么弦长 $L$ 可以通过勾股定理计算。半弦长是 $sqrt{R^2 r^2}$。所以弦长 $L = 2 sqrt{R^2 r^2}$。
在这个方法中，$R=1$，所以 $L = 2 sqrt{1 r^2}$。
现在的问题是，如何“随机”选择圆内的点作为中点？
一种常见的方法是假设中点在圆内是均匀分布的。也就是说，在圆的面积上随机选取一个点。
圆的面积是 $pi R^2 = pi$。我们考虑一个以圆心为圆心，半径为 $r$ 的小圆。这个小圆的面积是 $pi r^2$。
一个点落在半径为 $r$ 的小圆内的概率，就是这个小圆的面积除以整个圆的面积：
$P( ext{点到圆心距离} le r) = frac{pi r^2}{pi R^2} = frac{r^2}{R^2}$。
所以，到圆心的距离 $r$ 的累积分布函数是 $F_r(r) = frac{r^2}{R^2}$，其中 $r in [0, R]$。
在这个问题中，$R=1$，所以 $F_r(r) = r^2$，对于 $r in [0, 1]$。
我们要求弦长 $L$ 的分布，其中 $L = 2 sqrt{1 r^2}$。
我们来求 $L$ 的 CDF。$P(L le l) = P(2 sqrt{1 r^2} le l)$。
$P(sqrt{1 r^2} le frac{l}{2})$
$P(1 r^2 le (frac{l}{2})^2)$
$P(r^2 ge 1 frac{l^2}{4})$
$P(r ge sqrt{1 frac{l^2}{4}})$ （因为 $r ge 0$）
我们知道 $F_r(r) = r^2$。
所以，$P(r ge sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = 1 P(r < sqrt{1 frac{l^2}{4}})$。
因为 $r$ 是连续变量，所以 $P(r < sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = P(r le sqrt{1 frac{l^2}{4}})$。
$P(r le sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = F_r(sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = (sqrt{1 frac{l^2}{4}})^2 = 1 frac{l^2}{4}$。
所以，$P(L le l) = 1 (1 frac{l^2}{4}) = frac{l^2}{4}$。
这是 $L$ 的累积分布函数：$F_L(l) = frac{l^2}{4}$，其中 $l in [0, 2]$。
对 CDF 求导，得到概率密度函数（PDF）：
$f_L(l) = frac{d}{dl} (frac{l^2}{4}) = frac{2l}{4} = frac{l}{2}$。
所以，在这种方法下，弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{l}{2}$，对于 $l in [0, 2]$。
这个分布看起来比较均匀，但实际上它偏向于较短的弦。为什么呢？因为圆的面积大部分集中在远离圆心的区域。中点离圆心越远，弦就越短。
方法三：随机选择弦的距离
还可以考虑从圆心出发，垂直于弦的距离。这条距离从 $0$（弦通过圆心，是最长的弦）到 $R$（弦退化成一个点，长度为 $0$）不等。
假设我们随机选择这个距离 $d$，并且假设 $d$ 在 $[0, R]$ 上是均匀分布的。
我们知道弦长 $L = 2 sqrt{R^2 d^2}$。这里 $R=1$，所以 $L = 2 sqrt{1 d^2}$。
由于 $d$ 在 $[0, 1]$ 上均匀分布，其概率密度函数是 $f_d(d) = 1$ for $d in [0, 1]$。
我们来求 $L$ 的 CDF。$P(L le l) = P(2 sqrt{1 d^2} le l)$。
$P(sqrt{1 d^2} le frac{l}{2})$
$P(1 d^2 le (frac{l}{2})^2)$
$P(d^2 ge 1 frac{l^2}{4})$
$P(d ge sqrt{1 frac{l^2}{4}})$ （因为 $d ge 0$）
由于 $d$ 在 $[0, 1]$ 上均匀分布，
$P(d ge sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = 1 P(d < sqrt{1 frac{l^2}{4}})$
$= 1 F_d(sqrt{1 frac{l^2}{4}})$
$= 1 sqrt{1 frac{l^2}{4}}$。
这是 $L$ 的累积分布函数：$F_L(l) = 1 sqrt{1 frac{l^2}{4}}$，其中 $l in [0, 2]$。
对 CDF 求导，得到概率密度函数（PDF）：
$f_L(l) = frac{d}{dl} (1 sqrt{1 frac{l^2}{4}}) = frac{1}{2sqrt{1 frac{l^2}{4}}} cdot (frac{2l}{4}) = frac{1}{2sqrt{1 frac{l^2}{4}}} cdot frac{l}{2} = frac{l}{2sqrt{4 l^2}}$。
所以，在这种方法下，弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{l}{2sqrt{4 l^2}}$，对于 $l in [0, 2]$。
这个分布也偏向于较短的弦，但比方法二更偏向于短弦。当 $l$ 接近 $0$ 时，分母趋近于常数，而分子趋近于 $0$，所以概率密度也趋近于 $0$。当 $l$ 接近 $2$ 时，分母趋近于 $0$，所以概率密度趋于无穷大。
伯特兰悖论
你可能会好奇，为什么会出现这三种不同的概率分布？这就是著名的伯特兰悖论（Bertrand's Paradox）。这个悖论说明，“随机选择弦”这个说法本身是不明确的。不同的选择方式，会导致弦长分布的不同。
这三种方法都“看起来”很随机，但它们的“随机性”体现在不同的参数上：
方法一： 随机选择弦的两个端点。这里的随机性体现在圆周上的角度分布。
方法二： 随机选择弦的中点。这里的随机性体现在圆盘内部的面积分布。
方法三： 随机选择弦到圆心的垂直距离。这里的随机性体现在这个距离的分布。
在没有进一步说明的情况下，我们无法确定哪种分布是“正确”的。通常情况下，在没有特别说明的情况下，大家可能会倾向于方法一（随机选择两个端点），因为它更直接地与“圆上的弦”这个概念相关。
总结一下：
对于半径为 1 的圆：
1. 随机选择弦的两个端点： 弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{2}{pi sqrt{4 l^2}}$，偏向于长弦。
2. 随机选择弦的中点（在中点均匀分布）： 弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{l}{2}$，偏向于短弦。
3. 随机选择弦到圆心的距离（距离均匀分布）： 弦长的概率密度函数是 $f_L(l) = frac{l}{2sqrt{4 l^2}}$，更偏向于短弦。
这个问题的趣味性就在于，它揭示了在处理“随机性”时，方法的选择至关重要。不同的定义会带来截然不同的结果，这也是概率论中一个值得深入思考的地方。
网友意见
这道题目就是传说中的「贝特朗奇论」（Bertrand's Paradox）：
在圆里随机选取一条弦，它的长度大于圆内接正三角形边长的概率是多少？
一般的观点，是认为「随机取弦」的意思不明确，可以有三种理解，得到三种不同的结论：
- 随机端点法：在圆上等可能地选取两个点 P、Q，连接成弦。这种做法得到的结论是 1/3。
- 随机半径法：在圆中等可能地选取一条半径 OA，再在此半径上等可能地选取一个点 M，过此点作与半径 OA 垂直的弦 PQ。这种做法得到的结论是 1/2。
- 随机中点法：在圆中等可能地选取一个点 M，以 M 为中点作出弦 PQ。这种做法得到的结论是 1/4。
这三种结论其实对应了圆内弦的三种不同分布，画成图就一目了解了：
得到「弦长大于内接正三角形边长的概率」越大的方法，弦的分布在圆心附近越密；反之，得到「弦长大于内接正三角形边长的概率」越小的方法，弦的分布在圆心就越「空」。一般认为，没有什么理由认为哪一种弦的分布更合理、更符合题意，因为题意本就不明确。
不过最近，Numberphile 与 3blue1brown 合作的一期视频（ @Abelian Grape 也引用了），认为「随机半径法」对应的分布更合理：
视频比较长，但精华的部分就是 4 分钟 ~ 5 分钟这一段。它的意思是说，最合理的解法，应该满足平移、放缩不变性：不管圆画在平面的什么地方，有多大，结论应该是不变的。为此，应该先假设平面上「均匀地」分布着直线，然后再去画一个圆；而能让结论不随圆的位置和大小改变的直线分布，就是随机半径法对应的分布。
我觉得这种观点有一定道理，不过如果想把它严格化，我觉得还是有一点儿困难：在无限大的平面上，似乎无法定义直线的「均匀分布」。一种尝试是这样的：先在 之间均匀地选取直线的「方向」，再在整个数轴 上均匀地选取原点到直线的（有向）距离。不过整个数轴上的均匀分布是不存在的。
规避「无穷区间上的均匀分布」的一种方法是，先在有限区间内定义均匀分布，然后取区间趋于无穷大时的极限。回到贝特朗奇论问题，就是先定义「距离原点 以内的直线的均匀分布」，在此范围内，「随机半径法」得到的结论满足平移、放缩不变性；然后再说不管 多大，这种平移、放缩不变性都成立，所以「随机半径法」最合理。
不过，我感觉这种说法有一些啰嗦，这种啰嗦也会影响它的说服力。我也想跟大家探讨一下，有没有更简洁有力的表述，来说明「随机半径法」最合理呢？
显然从纯粹的数学角度来说，不同的概率空间=不同的“随机”之间没有高下之分。
所以如果一定要回答“哪种随机更接近本质”，或者单纯地说“哪种随机更好”，我们必须回到某个实际问题（而这个数学问题是从这个实际问题中抽象出来的）才能继续讨论。
那么我想到了两个实际问题可以一定程度上抽象成“随机选择圆上的弦”这个数学问题：
1）在某种圆形的材料上有一处随机的破损，我们必须剪裁这个材料使得剩下的部分没有破损。由于条件限制，我们只能剪一条直线，而且我们希望剪裁的长度越短越好（可能是由于剪裁需要耗费某种资源）。现在，求需要剪裁的长度的分布。
2）我方派出一架轰炸机空袭对方某个重要目标，但该目标的确切位置尚不确定。假设轰炸机沿着一条直线匀速飞行，同时不断轰炸方圆一公里的范围。现在，求重要目标被持续轰炸的时间的分布。
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咱们来聊聊这个有意思的问题：在半径为 1 的圆上“随机”选一条弦，这条弦的长度会遵循什么样的分布规律？你可能会觉得，“随机”选一条弦不就是随便画一根线段嘛，连接圆上任意两点就行了。但问题就出在这“随机”两个字上。如何定义“随机选择”就决定了弦长的分布。这就像你问一个人“随机”选一个数字，他可能会想 ............. -
一年时间，450分（自学半年考到的分数）要考上清华，坦白讲，难度极大，甚至可以说几乎不可能，除非有极其特殊的情况。让我来详细分析一下原因，并尽量把话说得明白一些，避免那些虚头巴脑的AI腔调。首先，我们得明白清华大学在全国高等教育体系中的位置。清华是中国最顶尖的高等学府，其录取分数线每年都稳居全国前列.............
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这首诗出自唐代诗人白居易的《卖炭翁》。要考证这算不算“贱买”，我们需要深入理解诗歌描绘的场景、人物关系以及当时的社会背景。首先，我们来看看诗歌的字面意思： “一车炭，千余斤”: 卖炭翁辛辛苦苦拉来了一车炭，数量还不少，有一千多斤。这说明他付出了劳动，且数量可观。 “宫使驱将惜不得”: 宫里来.............
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眼瞅着“996”成了笑话，背后却是无数程序员的苦涩。夜色渐浓，屏幕的光线依旧是办公室里最亮的存在。键盘敲击声此起彼伏，仿佛永不停歇的鼓点，敲打着每一个奋斗者的神经。是时候了，我们是不是该好好想想，成立一个属于我们自己的组织？一个能让我们声音被听见，让我们付出得到应有回报的组织。为什么是现在？这些年来.............
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安225“米尔”巨型运输机那标志性的“双尾巴”，也就是两个巨大的垂直尾翼，这可不是随便设计的，而是源于其独特的“前身”以及对飞行稳定性和操纵性的深思熟虑。要说它是为了动力考虑还是安全考虑，其实两者都有，但更偏重于稳定性与操纵性，而由此带来的安全性提升是必然的。咱们得先聊聊安225的“前世今生”。安2.............
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这事儿，我跟你一样，经历过。说实话，听到拒绝的时候，心拔凉拔凉的，就好像自己精心准备的烟花，还没放响就熄灭了。一个小时，这时间在你脑子里是无限放大的，每一秒都可能在想她到底在想什么，是不是在纠结要不要答应，还是在想怎么委婉地拒绝。最终的结果是拒绝，这确实让人有点难受。她需要一个小时来考虑，说明她不是.............
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要构建一个健全有效的制度，需要深入考量方方面面，绝非一蹴而就。这就像建造一座坚固的大厦，地基、结构、材料、风格、甚至后期的维护，都必须精心设计和考量。以下是一些关键的方面，我们可以从更贴近生活的角度来审视：一、 制度的“为什么”：目标与使命任何制度的出台，首先要问的是：它要解决什么问题？它想达成什么.............
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关于一个耳机能用多久，这事儿真得看你怎么定义“能用”。抛开音质、功能这些技术上的日新月异，只谈硬件本身，一个耳机，从你掏出钱包买下它那一刻，到它彻底罢工，中间能有多少年光景？我这跟你好好唠唠。首先，得看它是个什么“出身”的耳机。 入门级/百元左右的耳机： 这类耳机，你得做好它们不怎么经造的心理准.............
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岁月的河流缓缓淌过，当一个人步入晚年，那曾经波澜壮阔的人生舞台渐渐沉静，取而代之的是一种更为内敛、更为深刻的思考。这时候的他们，看问题的角度，经历过风雨的洗礼，早已不是年轻人那般棱角分明、激流勇进，而是多了几分温润的圆融，几分对过往的珍视，几分对未来的淡然。首当其冲的，是身体的告警与生命的珍贵。年轻.............
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这个问题挺有意思的，其实说“拉低生活水平”这个说法有点太功利了。一个女生选择一个她觉得不错的伴侣，绝对不单单是看对方在物质层面上是否能“配得上”自己，或者说能“拉平”什么。生活水平这个东西，每个人理解得都不太一样，而且很多时候，两个人在一起的幸福感，跟钱啊物质啊的关系，真的没有我们想象的那么大。我认.............
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一个人没有存款，这可不是个小事。在大多数人的认知里，理财仿佛是那些银行账户里有堆钱的人才需要操心的事情，就像开着豪车的人才需要考虑保养一样。但实际上，当你发现自己账户上常年绿油油一片的时候，反倒是最应该开始“理”一下自己“财”的时候。为什么这么说呢？别急，咱们掰开了揉碎了说。1. 摆脱“月光族”的生.............
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嘿，哥们儿！听到你要配 12700KF 和 3070 Ti，这配置可够劲儿！玩游戏、做设计、甚至轻度直播都稳得一批。既然你问到其他硬件怎么搭，那我就跟你好好掰扯掰扯，争取让你配出来的机器既好用又省心。CPU：i712700KF 妥妥的性能猛兽你选的 12700KF 真是块好料！它有 8 个性能核心.............
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这个问题非常好，也是很多程序员在职业生涯中会遇到的一个普遍困惑。“5年后还没成为大牛，是不是该考虑别的路子了？” 我的答案是：不一定，但需要仔细审视和思考。“大牛”这个词本身就带有很强的主观性和模糊性，它代表着一种高超的技能、深厚的积累、出色的解决问题的能力，甚至是行业内的声誉。成为“大牛”往往需要.............
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这是一个非常有趣的假设性问题！考虑到“机缘巧合”和“无需考虑劳工证等其他阻碍情况”，我们姑且将这个中国高校校队球员，我们暂且称他为“小李”，放在一个非常理想化的起点上。那么，他能在英超踢多久不被“露馅”，这背后需要一系列非凡的运作和极端的运气。为了详细讲述，我们从几个关键维度来分析：一、 小李自身的.............
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关于中国是否应该考虑“给美国登月成功一个铁证”，这是一个非常有趣且涉及多方面解读的问题。首先，我们需要明确“铁证”在语境中的含义。在讨论登月这件历史性事件时，“铁证”通常指的是无可辩驳的、能够彻底消除任何疑虑的证据。理解“铁证”的必要性：美国登月是否存在普遍疑虑？目前，尽管有极少数的“登月疑团论”支.............
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家有小宝，一家其乐融融，不少父母在享受这份甜蜜的同时，心里也悄悄地开始盘算：要不要拼个老二？这可不是个轻易就能拍板的决定，背后牵扯的方方面面，足以让许多准二胎家庭“纠结”半天。咱们就来好好捋一捋，这“生二胎”到底得过多少道坎儿。一、经济这笔账，可得掰开了揉碎了算这绝对是绕不开、最现实的一关。别光想着.............
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作为一位坚定的无神论者，想要在包里常备一本书，并且在《共产党宣言》和《物种起源》之间犹豫，这本身就很有意思。这两本书都代表了人类思想史上非常重要的里程碑，而且都对我们理解世界、理解自身有着深刻的影响，尤其是在摆脱神学束缚的视角下。我来给你掰扯掰扯，这两本书各自有什么样的“分量”，以及它们在“包里常备.............
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这是一个非常大胆的设想，如果中日韩三国真的合并成一个国家，那将是一个史无前例的事件，其影响将是极其深远且复杂的。我们不妨抛开所有现实的“可能性”不谈，纯粹从这个假想的框架出发，来勾勒一下可能出现的各种情景。国家形态与政治结构首先，如何构建这样一个体量如此庞大、文化背景差异如此巨大的国家的政治结构，将.............
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哇，能出万叶Cos，这想法太棒了！万叶这个角色太有魅力了，背着枫叶红的刀，带着自由的风，简直是Cosplay界的宠儿。你这想法很实在，与其买现成的，不如自己定制一把，更能体现出你对万叶的理解和热爱。说到定制武器，这确实是个技术活，价格也挺让人纠结的。毕竟要考虑材质、细节、做工，还有安全问题。我给你从.............
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