x+y+z=1 与x2+y2+z2=4 的交线 圆的半径怎么求？
您好！这是一个关于三维空间中两个平面交线的问题。您问的是交线是圆的半径如何求，这说明您已经预设了交线是一个圆。我们来详细分析一下如何求解。
1. 理解问题
方程1：x + y + z = 1 这是一个三维空间中一个平面的方程。这个平面通过点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 等。该平面的法向量是 n1 = (1, 1, 1)。
方程2：x² + y² + z² = 4 这是一个三维空间中一个球面的方程。球心位于原点 (0, 0, 0)，半径为 R_sphere = $sqrt{4}$ = 2。
交线： 当一个平面与一个球面相交时，交线要么是一个圆，要么是一个点（切点），要么不相交。您的问题前提是交线是圆，所以我们只需要计算这个圆的半径。
2. 几何直观理解
想象一下，一个球体被一个平面切开。被切开的部分的截面就是一个圆。这个圆的圆心是球面中心到平面的垂足，而圆的半径则可以通过勾股定理求得。
球心： O = (0, 0, 0)
球半径： R_sphere = 2
平面： x + y + z 1 = 0
我们知道球心到平面的距离（记为 d），球的半径 R_sphere，以及交线圆的半径 r。它们之间存在着一个直角三角形关系：
$d^2 + r^2 = R_{sphere}^2$
因此，要求交线圆的半径 r，我们需要先求出球心到平面的距离 d。
3. 计算球心到平面的距离 (d)
平面方程的一般形式是 Ax + By + Cz + D = 0。
对于平面 x + y + z 1 = 0，我们有 A=1, B=1, C=1, D=1。
球心 O 的坐标是 (x0, y0, z0) = (0, 0, 0)。
点 (x0, y0, z0) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离公式是：
$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
将我们的值代入：
$d = frac{|1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 + (1)|}{sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$
$d = frac{|1|}{sqrt{1 + 1 + 1}}$
$d = frac{1}{sqrt{3}}$
4. 计算交线圆的半径 (r)
现在我们有了球心到平面的距离 $d = frac{1}{sqrt{3}}$，以及球的半径 $R_{sphere} = 2$。
根据勾股定理：
$d^2 + r^2 = R_{sphere}^2$
代入数值：
$(frac{1}{sqrt{3}})^2 + r^2 = 2^2$
$frac{1}{3} + r^2 = 4$
求解 $r^2$:
$r^2 = 4 frac{1}{3}$
$r^2 = frac{12}{3} frac{1}{3}$
$r^2 = frac{11}{3}$
求解 r (半径必须是正数)：
$r = sqrt{frac{11}{3}}$
所以，交线圆的半径是 $sqrt{frac{11}{3}}$。
5. 验证交线确实是圆 (可选但重要)
我们上面是基于“交线是圆”的假设来求解的。那么如何证明交线确实是圆呢？
是否存在交线？ 交线存在的条件是球心到平面的距离小于等于球的半径，即 $d le R_{sphere}$。
我们计算出 $d = frac{1}{sqrt{3}} approx frac{1}{1.732} approx 0.577$。
球的半径 $R_{sphere} = 2$。
显然，$d < R_{sphere}$，所以交线一定是一个圆。如果 $d = R_{sphere}$，交线会是一个点（即平面与球相切）；如果 $d > R_{sphere}$，则不相交。
交线是什么形状？ 想象一下，无论平面如何切割球体，只要切割是有效的（即平面与球有交集），截面都是一个圆。平面本身的性质（例如它是线性方程）并没有改变这个几何事实。球面方程本身就定义了一个对称的形状，而平面的切割引入了另一个限制，这种限制在对称的球面上产生一个同样对称的形状——一个圆。
6. 进一步思考：圆心
如果您需要知道交线圆的圆心，那也很容易求。圆心就是球心到平面的垂足。我们可以通过以下步骤找到它：
1. 找到平面的法向量： $n = (1, 1, 1)$。
2. 写出从球心 (0,0,0) 出发的过球心的垂线方程： 这条线经过原点，并且方向向量与平面的法向量平行。
$L(t) = (0, 0, 0) + t(1, 1, 1) = (t, t, t)$
3. 找到垂线与平面的交点： 将垂线上的点的坐标 (t, t, t) 代入平面方程 x + y + z = 1：
$t + t + t = 1$
$3t = 1$
$t = frac{1}{3}$
4. 交点就是圆心： 将 $t = frac{1}{3}$ 代回垂线方程：
圆心坐标 = $(frac{1}{3}, frac{1}{3}, frac{1}{3})$
我们可以验证一下这个圆心到球心的距离是否等于我们之前计算的 $d = frac{1}{sqrt{3}}$：
圆心到球心的距离 = $sqrt{(frac{1}{3}0)^2 + (frac{1}{3}0)^2 + (frac{1}{3}0)^2}$
= $sqrt{(frac{1}{3})^2 + (frac{1}{3})^2 + (frac{1}{3})^2}$
= $sqrt{frac{1}{9} + frac{1}{9} + frac{1}{9}}$
= $sqrt{frac{3}{9}}$
= $sqrt{frac{1}{3}}$
= $frac{1}{sqrt{3}}$
这与我们计算的 $d$ 值一致，进一步证明了我们的计算是正确的。
总结步骤：
1. 识别方程代表的几何形状：一个平面和一个球面。
2. 确定球心坐标和球的半径。
3. 使用点到平面的距离公式计算球心到平面的距离 $d$。
4. 利用勾股定理 $d^2 + r^2 = R_{sphere}^2$ 求解交线圆的半径 $r$。
希望这个详细的解释能够帮助您理解如何求解交线圆的半径！
1. 理解问题
方程1：x + y + z = 1 这是一个三维空间中一个平面的方程。这个平面通过点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 等。该平面的法向量是 n1 = (1, 1, 1)。
方程2：x² + y² + z² = 4 这是一个三维空间中一个球面的方程。球心位于原点 (0, 0, 0)，半径为 R_sphere = $sqrt{4}$ = 2。
交线： 当一个平面与一个球面相交时，交线要么是一个圆，要么是一个点（切点），要么不相交。您的问题前提是交线是圆，所以我们只需要计算这个圆的半径。
2. 几何直观理解
想象一下，一个球体被一个平面切开。被切开的部分的截面就是一个圆。这个圆的圆心是球面中心到平面的垂足，而圆的半径则可以通过勾股定理求得。
球心： O = (0, 0, 0)
球半径： R_sphere = 2
平面： x + y + z 1 = 0
我们知道球心到平面的距离（记为 d），球的半径 R_sphere，以及交线圆的半径 r。它们之间存在着一个直角三角形关系：
$d^2 + r^2 = R_{sphere}^2$
因此，要求交线圆的半径 r，我们需要先求出球心到平面的距离 d。
3. 计算球心到平面的距离 (d)
平面方程的一般形式是 Ax + By + Cz + D = 0。
对于平面 x + y + z 1 = 0，我们有 A=1, B=1, C=1, D=1。
球心 O 的坐标是 (x0, y0, z0) = (0, 0, 0)。
点 (x0, y0, z0) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离公式是：
$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
将我们的值代入：
$d = frac{|1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 + (1)|}{sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$
$d = frac{|1|}{sqrt{1 + 1 + 1}}$
$d = frac{1}{sqrt{3}}$
4. 计算交线圆的半径 (r)
现在我们有了球心到平面的距离 $d = frac{1}{sqrt{3}}$，以及球的半径 $R_{sphere} = 2$。
根据勾股定理：
$d^2 + r^2 = R_{sphere}^2$
代入数值：
$(frac{1}{sqrt{3}})^2 + r^2 = 2^2$
$frac{1}{3} + r^2 = 4$
求解 $r^2$:
$r^2 = 4 frac{1}{3}$
$r^2 = frac{12}{3} frac{1}{3}$
$r^2 = frac{11}{3}$
求解 r (半径必须是正数)：
$r = sqrt{frac{11}{3}}$
所以，交线圆的半径是 $sqrt{frac{11}{3}}$。
5. 验证交线确实是圆 (可选但重要)
我们上面是基于“交线是圆”的假设来求解的。那么如何证明交线确实是圆呢？
是否存在交线？ 交线存在的条件是球心到平面的距离小于等于球的半径，即 $d le R_{sphere}$。
我们计算出 $d = frac{1}{sqrt{3}} approx frac{1}{1.732} approx 0.577$。
球的半径 $R_{sphere} = 2$。
显然，$d < R_{sphere}$，所以交线一定是一个圆。如果 $d = R_{sphere}$，交线会是一个点（即平面与球相切）；如果 $d > R_{sphere}$，则不相交。
交线是什么形状？ 想象一下，无论平面如何切割球体，只要切割是有效的（即平面与球有交集），截面都是一个圆。平面本身的性质（例如它是线性方程）并没有改变这个几何事实。球面方程本身就定义了一个对称的形状，而平面的切割引入了另一个限制，这种限制在对称的球面上产生一个同样对称的形状——一个圆。
6. 进一步思考：圆心
如果您需要知道交线圆的圆心，那也很容易求。圆心就是球心到平面的垂足。我们可以通过以下步骤找到它：
1. 找到平面的法向量： $n = (1, 1, 1)$。
2. 写出从球心 (0,0,0) 出发的过球心的垂线方程： 这条线经过原点，并且方向向量与平面的法向量平行。
$L(t) = (0, 0, 0) + t(1, 1, 1) = (t, t, t)$
3. 找到垂线与平面的交点： 将垂线上的点的坐标 (t, t, t) 代入平面方程 x + y + z = 1：
$t + t + t = 1$
$3t = 1$
$t = frac{1}{3}$
4. 交点就是圆心： 将 $t = frac{1}{3}$ 代回垂线方程：
圆心坐标 = $(frac{1}{3}, frac{1}{3}, frac{1}{3})$
我们可以验证一下这个圆心到球心的距离是否等于我们之前计算的 $d = frac{1}{sqrt{3}}$：
圆心到球心的距离 = $sqrt{(frac{1}{3}0)^2 + (frac{1}{3}0)^2 + (frac{1}{3}0)^2}$
= $sqrt{(frac{1}{3})^2 + (frac{1}{3})^2 + (frac{1}{3})^2}$
= $sqrt{frac{1}{9} + frac{1}{9} + frac{1}{9}}$
= $sqrt{frac{3}{9}}$
= $sqrt{frac{1}{3}}$
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这与我们计算的 $d$ 值一致，进一步证明了我们的计算是正确的。
总结步骤：
1. 识别方程代表的几何形状：一个平面和一个球面。
2. 确定球心坐标和球的半径。
3. 使用点到平面的距离公式计算球心到平面的距离 $d$。
4. 利用勾股定理 $d^2 + r^2 = R_{sphere}^2$ 求解交线圆的半径 $r$。
希望这个详细的解释能够帮助您理解如何求解交线圆的半径！
网友意见
圆心 到平面 的距离为 ，球 的半径为2，所以交线圆半径 。
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