带有根号的微分方程应当怎么解？例如微分方程：dy/dx=根号下（x-y+3) ？
这道题确实有点意思！你遇到的这个微分方程 $frac{dy}{dx} = sqrt{xy+3}$，看起来有点棘手，因为它里面直接藏着个根号。不过别担心，这类问题往往可以通过一个巧妙的“换元法”来化解。咱们一步一步来，保证你弄懂它。
核心思想：化繁为简
你看， $sqrt{xy+3}$ 这个根号里的东西 $(xy+3)$ 是个关键。如果能把这个“根号里的东西”看成一个整体，一个新变量，那原方程是不是就变得更简单了？这就是我们常用的“换元法”的思路。
步骤详解
1. 引入新变量：
我们设 $u = x y + 3$。
这一步就是把那个看起来麻烦的根号里的东西给“收编”了，让它变成一个独立的变量 $u$。
2. 对新变量进行微分：
既然我们把 $y$ 和 $x$ 的关系转化成了 $u$ 和 $x$ 的关系，那我们得看看 $u$ 怎么随着 $x$ 变化。我们对 $u = x y + 3$ 两边同时对 $x$ 求导：
$frac{du}{dx} = frac{d}{dx}(x y + 3)$
$frac{du}{dx} = frac{dx}{dx} frac{dy}{dx} + frac{d(3)}{dx}$
$frac{du}{dx} = 1 frac{dy}{dx} + 0$
所以，我们得到一个重要的关系：$frac{du}{dx} = 1 frac{dy}{dx}$。
3. 整理出 $frac{dy}{dx}$：
从上一步得到的关系式 $frac{du}{dx} = 1 frac{dy}{dx}$ 中，我们可以轻松地解出 $frac{dy}{dx}$：
$frac{dy}{dx} = 1 frac{du}{dx}$。
4. 代回原方程：
现在，我们把原方程 $frac{dy}{dx} = sqrt{xy+3}$ 和我们引入的新变量 $u$ 以及推导出的 $frac{dy}{dx}$ 的关系式给结合起来：
将 $frac{dy}{dx} = 1 frac{du}{dx}$ 代入原方程的左边。
将 $u = x y + 3$ 代入原方程的右边。
这样，原方程就变成了：
$1 frac{du}{dx} = sqrt{u}$
5. 解新的微分方程：
现在，我们得到了一个关于 $u$ 和 $x$ 的微分方程：$1 frac{du}{dx} = sqrt{u}$。这个方程比原来的好看多了，它是一个变量可分离型的微分方程。
咱们来解它：
首先，把含有 $frac{du}{dx}$ 的项移到一边，常数项和 $u$ 的项移到另一边：
$frac{du}{dx} = 1 sqrt{u}$
接着，分离变量。把所有含 $u$ 的项（包括 $du$）放到一边，所有含 $x$ 的项（包括 $dx$）放到另一边：
$frac{du}{1 sqrt{u}} = dx$
现在，我们要对 $frac{du}{1 sqrt{u}}$ 进行积分。这一步可能需要一点小技巧。
我们可以尝试对分母做个小小的替换，比如设 $v = sqrt{u}$。那么 $u = v^2$，进而 $du = 2v , dv$。
代入积分式：
$int frac{2v , dv}{1 v}$
这个积分可以用部分分式法或者简单地加减一个常数来处理：
$int frac{2v}{1 v} dv = int frac{2(1v) + 2}{1 v} dv = int (2 + frac{2}{1 v}) dv$
$= 2v 2 ln|1 v| + C_1$ （这里 $C_1$ 是积分常数）
别忘了把 $v$ 换回 $sqrt{u}$：
$2sqrt{u} 2 ln|1 sqrt{u}| + C_1$
所以，积分的结果是：
$2sqrt{u} 2 ln|1 sqrt{u}| = x + C_2$ （这里 $C_2$ 是另一个积分常数）
我们把两个常数合并一下，比如令 $C = C_1 C_2$，那么：
$2sqrt{u} 2 ln|1 sqrt{u}| = x + C$
6. 换回原变量：
最后一步，也是非常重要的一步，就是把我们引入的变量 $u$ 换回我们熟悉的 $x$ 和 $y$。记住我们最初的设定：$u = x y + 3$。
将 $u = x y + 3$ 代回上面得到的方程：
$2sqrt{x y + 3} 2 ln|1 sqrt{x y + 3}| = x + C$
这就是我们微分方程的通解。你可能会想，还能不能把 $y$ 给解出来？在这个形式下，直接将 $y$ 显式地表示出来会非常困难，甚至不可能。通常情况下，能得到这种隐式解就已经非常满意了。
一些补充说明：
定义域的考虑：
在整个求解过程中，我们需要注意根号 $sqrt{xy+3}$ 必须是非负的，即 $xy+3 ge 0$。同时，在积分 $int frac{du}{1 sqrt{u}}$ 中，分母 $1sqrt{u}$ 不能为零，所以 $sqrt{u} e 1$，这意味着 $u e 1$。将 $u$ 换回 $xy+3$，就是 $xy+3 e 1$。另外，在对数 $ln|1 sqrt{u}|$ 中，也有 $1sqrt{u} e 0$ 的限制。
常数 $C$ 的意义：
积分过程中出现的常数 $C$ 是非常重要的，它代表了满足这个微分方程的无穷多个可能函数。不同的 $C$ 值对应着不同的解曲线。如果题目给出某个初始条件（比如当 $x=x_0$ 时，$y=y_0$），我们就可以用这个条件来确定出具体的 $C$ 值，从而得到一个特解。
其他解法？
对于这种带根号的微分方程，换元法通常是最直接有效的途径。如果根号里的表达式更复杂，可能需要更高级的换元技巧，但基本思路是一致的：把复杂的表达式变成一个简单的变量，然后转化方程，求解，最后换回原变量。
总而言之，遇到带根号的微分方程，别被表面的“难看”吓到，先试试把根号里的东西当作一个整体，进行换元，把方程转化为一个更容易处理的形式，然后再一步一步地攻克。这个过程就像是剥洋葱，层层递进，最终找到问题的答案。
核心思想：化繁为简
你看， $sqrt{xy+3}$ 这个根号里的东西 $(xy+3)$ 是个关键。如果能把这个“根号里的东西”看成一个整体，一个新变量，那原方程是不是就变得更简单了？这就是我们常用的“换元法”的思路。
步骤详解
1. 引入新变量：
我们设 $u = x y + 3$。
这一步就是把那个看起来麻烦的根号里的东西给“收编”了，让它变成一个独立的变量 $u$。
2. 对新变量进行微分：
既然我们把 $y$ 和 $x$ 的关系转化成了 $u$ 和 $x$ 的关系，那我们得看看 $u$ 怎么随着 $x$ 变化。我们对 $u = x y + 3$ 两边同时对 $x$ 求导：
$frac{du}{dx} = frac{d}{dx}(x y + 3)$
$frac{du}{dx} = frac{dx}{dx} frac{dy}{dx} + frac{d(3)}{dx}$
$frac{du}{dx} = 1 frac{dy}{dx} + 0$
所以，我们得到一个重要的关系：$frac{du}{dx} = 1 frac{dy}{dx}$。
3. 整理出 $frac{dy}{dx}$：
从上一步得到的关系式 $frac{du}{dx} = 1 frac{dy}{dx}$ 中，我们可以轻松地解出 $frac{dy}{dx}$：
$frac{dy}{dx} = 1 frac{du}{dx}$。
4. 代回原方程：
现在，我们把原方程 $frac{dy}{dx} = sqrt{xy+3}$ 和我们引入的新变量 $u$ 以及推导出的 $frac{dy}{dx}$ 的关系式给结合起来：
将 $frac{dy}{dx} = 1 frac{du}{dx}$ 代入原方程的左边。
将 $u = x y + 3$ 代入原方程的右边。
这样，原方程就变成了：
$1 frac{du}{dx} = sqrt{u}$
5. 解新的微分方程：
现在，我们得到了一个关于 $u$ 和 $x$ 的微分方程：$1 frac{du}{dx} = sqrt{u}$。这个方程比原来的好看多了，它是一个变量可分离型的微分方程。
咱们来解它：
首先，把含有 $frac{du}{dx}$ 的项移到一边，常数项和 $u$ 的项移到另一边：
$frac{du}{dx} = 1 sqrt{u}$
接着，分离变量。把所有含 $u$ 的项（包括 $du$）放到一边，所有含 $x$ 的项（包括 $dx$）放到另一边：
$frac{du}{1 sqrt{u}} = dx$
现在，我们要对 $frac{du}{1 sqrt{u}}$ 进行积分。这一步可能需要一点小技巧。
我们可以尝试对分母做个小小的替换，比如设 $v = sqrt{u}$。那么 $u = v^2$，进而 $du = 2v , dv$。
代入积分式：
$int frac{2v , dv}{1 v}$
这个积分可以用部分分式法或者简单地加减一个常数来处理：
$int frac{2v}{1 v} dv = int frac{2(1v) + 2}{1 v} dv = int (2 + frac{2}{1 v}) dv$
$= 2v 2 ln|1 v| + C_1$ （这里 $C_1$ 是积分常数）
别忘了把 $v$ 换回 $sqrt{u}$：
$2sqrt{u} 2 ln|1 sqrt{u}| + C_1$
所以，积分的结果是：
$2sqrt{u} 2 ln|1 sqrt{u}| = x + C_2$ （这里 $C_2$ 是另一个积分常数）
我们把两个常数合并一下，比如令 $C = C_1 C_2$，那么：
$2sqrt{u} 2 ln|1 sqrt{u}| = x + C$
6. 换回原变量：
最后一步，也是非常重要的一步，就是把我们引入的变量 $u$ 换回我们熟悉的 $x$ 和 $y$。记住我们最初的设定：$u = x y + 3$。
将 $u = x y + 3$ 代回上面得到的方程：
$2sqrt{x y + 3} 2 ln|1 sqrt{x y + 3}| = x + C$
这就是我们微分方程的通解。你可能会想，还能不能把 $y$ 给解出来？在这个形式下，直接将 $y$ 显式地表示出来会非常困难，甚至不可能。通常情况下，能得到这种隐式解就已经非常满意了。
一些补充说明：
定义域的考虑：
在整个求解过程中，我们需要注意根号 $sqrt{xy+3}$ 必须是非负的，即 $xy+3 ge 0$。同时，在积分 $int frac{du}{1 sqrt{u}}$ 中，分母 $1sqrt{u}$ 不能为零，所以 $sqrt{u} e 1$，这意味着 $u e 1$。将 $u$ 换回 $xy+3$，就是 $xy+3 e 1$。另外，在对数 $ln|1 sqrt{u}|$ 中，也有 $1sqrt{u} e 0$ 的限制。
常数 $C$ 的意义：
积分过程中出现的常数 $C$ 是非常重要的，它代表了满足这个微分方程的无穷多个可能函数。不同的 $C$ 值对应着不同的解曲线。如果题目给出某个初始条件（比如当 $x=x_0$ 时，$y=y_0$），我们就可以用这个条件来确定出具体的 $C$ 值，从而得到一个特解。
其他解法？
对于这种带根号的微分方程，换元法通常是最直接有效的途径。如果根号里的表达式更复杂，可能需要更高级的换元技巧，但基本思路是一致的：把复杂的表达式变成一个简单的变量，然后转化方程，求解，最后换回原变量。
总而言之，遇到带根号的微分方程，别被表面的“难看”吓到，先试试把根号里的东西当作一个整体，进行换元，把方程转化为一个更容易处理的形式，然后再一步一步地攻克。这个过程就像是剥洋葱，层层递进，最终找到问题的答案。
网友意见
带根号就要把根号做掉，令 ，方程化为最好解的那种形式。
某本微分方程教材有一道经典的换元法的题， 。这个例题引出一类方程：
做变换 ，有全微分 ，再得微商：
然后得：
在这里 ，自然就很简单了。
不过，左边的积分是否可求得初等表达式不是考虑的范围。
但是题目问的是“带有根号的微分方程”，只不过是举了一个根号下恰好是线性的函数例子而已。上面的分析虽然没错但是跑题了。
如果指的是这种类型：
的话。
…
想要求通法，如果我运气不太差的话，应该是没有的/狗头
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这道题确实有点意思！你遇到的这个微分方程 $frac{dy}{dx} = sqrt{xy+3}$，看起来有点棘手，因为它里面直接藏着个根号。不过别担心，这类问题往往可以通过一个巧妙的“换元法”来化解。咱们一步一步来，保证你弄懂它。核心思想：化繁为简你看， $sqrt{xy+3}$ 这个根号里的东西 ............. -
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