曲线 cosx + cosy = cos(x + y) 有什么性质？
这条曲线，`cosx + cosy = cos(x + y)`，说实话，初次见到它，确实会让人眼前一亮，它不像那些常见的圆、椭圆那样规整。但仔细琢磨一下，它身上藏着不少有趣的“脾气”。
首先，最直观的感觉是它的对称性。你看，等式 `cosx + cosy = cos(x + y)`，无论把 `x` 换成 `x`，还是把 `y` 换成 `y`，甚至把 `x` 和 `y` 对调一下，原方程都会保持不变。
关于 y 轴的对称性：把 `x` 换成 `x`，方程变成 `cos(x) + cosy = cos(x + y)`。因为 `cos(x) = cosx`，所以方程变成 `cosx + cosy = cos(y x)`。而 `cos(y x) = cos(x y)`，又因为 `cos(x + y)` 里面是 `x + y`，我们再把 `y` 换成 `y`，变成 `cosx + cos(y) = cos(x y)`，也就是 `cosx + cosy = cos(x y)`。哎呀，这里有点绕了，我们换个思路。
关于 y 轴的对称性：如果一个点 `(x, y)` 在曲线上，那么 `cosx + cosy = cos(x + y)` 成立。那么点 `(x, y)` 是否也在曲线上？代入试试：`cos(x) + cosy = cos(x + y)`，即 `cosx + cosy = cos(y x)`。现在看原方程 `cosx + cosy = cos(x + y)`。除非 `cos(y x) = cos(x + y)`，否则它就不对称。什么时候 `cosA = cosB`？当 `A = B + 2kπ` 或 `A = B + 2kπ`。所以，`y x = x + y + 2kπ`（导致 `2x = 2kπ`，即 `x = kπ`，这是特殊的几条竖直线，不是普遍对称）或者 `y x = (x + y) + 2kπ`，即 `y x = x y + 2kπ`，这推导出 `2y = 2kπ`，即 `y = kπ`。所以，关于 y 轴的对称性不是普遍存在的，除非我们限制了 y 的范围。
关于 x 轴的对称性：同理，如果 `(x, y)` 在曲线上，那么 `(x, y)` 是否在曲线上？代入：`cosx + cos(y) = cos(x y)`，即 `cosx + cosy = cos(x y)`。这同样也不是普遍对称。
关于原点 (0,0) 的对称性：如果 `(x, y)` 在曲线上，那么 `(x, y)` 是否在曲线上？代入：`cos(x) + cos(y) = cos(x y)`，即 `cosx + cosy = cos((x + y))`，即 `cosx + cosy = cos(x + y)`。 Aha！ 这一点是成立的。所以，这条曲线关于原点是对称的。这意味着，如果 `(x, y)` 是曲线上的一个点，那么 `(x, y)` 也一定是曲线上的一个点。
关于直线 y=x 的对称性：如果我们交换 `x` 和 `y`，即点 `(y, x)`，方程 `cosy + cosx = cos(y + x)` 也是一样的。所以，这条曲线关于直线 y=x 是对称的。这让曲线看起来更加“平衡”。
关于直线 y=x 的对称性：如果点 `(y, x)` 在曲线上，那么 `cos(y) + cos(x) = cos(y x)`，即 `cosy + cosx = cos((y + x))`，也就是 `cosy + cosx = cos(y + x)`。所以，这条曲线也关于直线 y=x 是对称的。
看到这里，你会发现，尽管它不像个简单的几何图形，但它在几个重要的对称轴（`y=x` 和 `y=x`）上表现出了相当的“规矩”。
其次，我们来看看这条曲线会长什么样子。这需要一些微积分的知识来描绘。
我们可以尝试用极坐标来表示，或者直接分析导数。不过，直接代数处理会更直观地揭示一些有趣的性质。
我们知道三角恒等式 `cos(x + y) = cosx cosy sinx siny`。
所以，原方程 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny`。
移项，得到 `cosx + cosy cosx cosy + sinx siny = 0`。
这看起来还是有点复杂。我们再尝试一下，把 `y` 换成 `y`，得到 `cosx + cosy = cos(x y)`。
所以，`cos(x + y) = cos(x y)`。
这又回到了之前提到的 `x + y = ±(x y) + 2kπ`。
1. 情况一：`x + y = x y + 2kπ`
`2y = 2kπ`，所以 `y = kπ`，其中 `k` 是整数。
这意味着，当 `y` 是 `π` 的整数倍（比如 `0, π, 2π, π, 2π` 等）时，这条曲线会与这些水平直线相交，并且在这条曲线上，`cosx + cosy = cos(x + kπ)`。
当 `y = 0` (或 `y = 2kπ`) 时： `cosx + cos0 = cos(x)`，即 `cosx + 1 = cosx`，这变成 `1 = 0`，这是不可能的。所以，`y=0` 的直线不与曲线相交。
当 `y = π` (或 `y = (2k+1)π`) 时： `cosx + cosπ = cos(x + π)`，即 `cosx 1 = cosx`。这变成 `2cosx = 1`，即 `cosx = 1/2`。所以，当 `y` 是奇数个 `π` 时，曲线与直线 `y = kπ` (k为奇数) 相交于 `x = ±π/3 + 2mπ` 的点。
等等，我好像在这个地方又绕进去了。让我们回到 `cos(x + y) = cos(x y)`。
这意味着 `x + y = ±(x y) + 2kπ`。
`x + y = x y + 2kπ` => `2y = 2kπ` => `y = kπ` (k为整数)。
如果 `y = kπ`，那么原方程 `cosx + cos(kπ) = cos(x + kπ)`。
如果 `k` 是偶数（`k=2n`），`y=2nπ`。`cosx + 1 = cosx`，即 `1=0`，无解。
如果 `k` 是奇数（`k=2n+1`），`y=(2n+1)π`。`cosx 1 = cosx`，即 `2cosx = 1`，`cosx = 1/2`。
这说明，当 `y` 是奇数个 `π` 的时候，曲线会出现在 `cosx = 1/2` 的地方。也就是说，曲线会和水平直线 `y = (2n+1)π` 相交，交点横坐标是 `x = ±π/3 + 2mπ`。
`x + y = (x y) + 2kπ` => `x + y = x + y + 2kπ` => `2x = 2kπ` => `x = kπ` (k为整数)。
同理，当 `x` 是奇数个 `π` 的时候，曲线会出现在 `cosy = 1/2` 的地方。也就是说，曲线会和竖直线 `x = (2n+1)π` 相交，交点纵坐标是 `y = ±π/3 + 2mπ`。
这揭示了一个很重要的性质：这条曲线会“穿过”或“靠近”一系列由 `x = kπ` 和 `y = kπ` 组成的网格线，尤其是在 `x` 或 `y` 是奇数倍的 `π` 时。
更准确地说，我们可以从 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny` 开始。
令 `u = cosx`, `v = cosy`。那么 `cosx + cosy = uv sinx siny`。
`u + v = uv sinx siny`。
`sinx siny = uv u v`。
我们知道 `sin²x + cos²x = 1`，所以 `sin²x = 1 cos²x = 1 u²`。
以及 `sin²y = 1 v²`。
所以 `sin²x sin²y = (1 u²)(1 v²)`。
`(uv u v)² = (1 u²)(1 v²)`。
展开左边：`(uv)² 2uv(u+v) + (u+v)² = u²v² 2u²v 2uv² + u² + 2uv + v²`。
展开右边：`1 u² v² + u²v²`。
所以，`u²v² 2u²v 2uv² + u² + 2uv + v² = 1 u² v² + u²v²`。
消去 `u²v²`：
` 2u²v 2uv² + u² + 2uv + v² = 1 u² v²`。
移项：
`2u² + 2v² + 2uv 2u²v 2uv² 1 = 0`。
代回 `u = cosx`, `v = cosy`：
`2cos²x + 2cos²y + 2cosx cosy 2cos²x cosy 2cos x cos²y 1 = 0`。
这个形式虽然化简了，但依然不好直接看出曲线形状。
让我们再回到 `cos(x + y) = cos(x y)`。
这说明，在曲线上，`x+y` 和 `xy` 的余弦值相等。
这通常发生在 `x+y` 与 `xy` 相差 `2kπ` 或者互为相反数（加上 `2kπ`）的时候。
`x + y = x y + 2kπ` => `y = kπ`
`x + y = (x y) + 2kπ` => `x + y = x + y + 2kπ` => `2x = 2kπ` => `x = kπ`
这两种情况我们已经讨论过了。
还有一个重要的可能性：`x+y = yx + 2kπ` 这种情况我们已经处理过了，它导致 `x=kπ`。
或者 `x+y = (yx) + 2kπ` => `x+y = y+x + 2kπ` => `2y = 2kπ` => `y=kπ`。
所以，`cos(x + y) = cos(x y)` 并不直接意味着 `x+y = xy` 或 `x+y = (xy)`。
它意味着 `x+y = ±(xy) + 2kπ`。
我们已经得到了 `y = kπ` 或 `x = kπ`。
还有一个可能性是 `cos(x+y)` 和 `cos(xy)` 在某些区间之外相等。
让我们看看 `cosA = cosB` 的通用解：`A = ±B + 2kπ`。
所以，`x + y = ±(x y) + 2kπ` 给出 `x = kπ` 或 `y = kπ`。
仔细看看原方程 `cosx + cosy = cos(x + y)`。
当 `x = 0` 时： `cos0 + cosy = cos(y)` => `1 + cosy = cosy` => `1 = 0`，无解。
所以 `x=0` 的直线不通过这条曲线。
同理，`y=0` 的直线也不通过这条曲线。
这是因为，如果 `x=0`，那么 `cosx = 1`。如果 `y=0`，那么 `cosy = 1`。
原方程是 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny`。
如果 `x=0`，`1 + cosy = cosy 0` => `1=0`。
这意味着，曲线不会出现在 x 轴或 y 轴上。
我们再代入一些特殊值，看看有什么规律：
当 `x = π/2` 时： `cos(π/2) + cosy = cos(π/2 + y)` => `0 + cosy = siny` => `cosy = siny`。
当 `cosy = siny` 时，如果 `cosy ≠ 0`，则 `1 = tan y`，即 `tan y = 1`。
所以，`y = π/4 + kπ`。
因此，曲线会通过点 `(π/2, π/4 + kπ)`。
当 `y = π/2` 时：同理，曲线会通过点 `(π/4 + kπ, π/2)`。
这暗示了曲线在 `x = π/2` 和 `y = π/2` 附近也有一些特殊的行为。
回到 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny`。
尝试因式分解：
`cosx + cosy cosx cosy + sinx siny = 0`
`cosx(1 cosy) + cosy + sinx siny = 0` (这个方向不太对)
换个方式：
`cosx + cosy = cosx cosy sinx siny`
`cosx + cosy cosx cosy + sinx siny = 0`
`cosx(1cosy) + cosy + sinx siny = 0`
或者， `cosx + cosy = cos(x+y)`
`cosx + cosy cos(x+y) = 0`
`cosx + cosy (cosx cosy sinx siny) = 0`
`cosx + cosy cosx cosy + sinx siny = 0`
`cosx(1cosy) + cosy + sinx siny = 0`
如果 `y = π`，`cosx 1 = cos(x+π)` => `cosx 1 = cosx` => `2cosx = 1` => `cosx = 1/2`。
`x = ±π/3 + 2kπ`。
所以，曲线通过 `(π/3, π)`, `(π/3, π)`, `(π/3, 3π)` 等点。
这说明，在 `y = kπ` (k为奇数) 的直线上，曲线不是整个直线，而是零星的点。
让我们再回想一下 `cos(x+y) = cos(xy)`。
这其实意味着 `x+y` 和 `xy` 的角度“对齐”了。
什么时候 `cosA = cosB`？
1. `A = B + 2kπ` => `x+y = xy + 2kπ` => `y = kπ`。
2. `A = B + 2kπ` => `x+y = (xy) + 2kπ` => `x+y = x+y + 2kπ` => `2x = 2kπ` => `x = kπ`。
但是，`cosx + cosy = cos(x+y)` 这个方程，从 `cos(x+y) = cos(xy)` 推导出来，仅仅当 `cosx + cosy` 约等于 `cos(xy)` 的时候才成立。
这意味着，我们不能简单地认为 `cos(x+y) = cos(xy)` 就是原方程的充分必要条件。
我们从 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny` 再推导一下：
`sinx siny = cosx cosy cosx cosy`
`sinx siny = (cosx 1)(cosy 1) 1`
这个形式也很有意思。
`sin²x sin²y = [(cosx 1)(cosy 1) 1]²`
`(1cos²x)(1cos²y) = [(cosx 1)(cosy 1) 1]²`
`(1u²)(1v²) = [(u1)(v1) 1]²`
`(1u²)(1v²) = [uv u v + 1 1]²`
`(1u²)(1v²) = (uv u v)²`
`1 u² v² + u²v² = u²v² + u² + v² 2u²v 2uv² + 2uv`
`1 u² v² = u² + v² 2u²v 2uv² + 2uv`
`1 = 2u² + 2v² + 2uv 2u²v 2uv²`
`1 = 2(u² + v² + uv u²v uv²) `
`1 = 2(cos²x + cos²y + cosx cosy cos²x cosy cosx cos²y)`
这个方程 `2(cos²x + cos²y + cosx cosy cos²x cosy cosx cos²y) = 1` 才是原方程的等价形式。
这个形式依然不直观。
我们看看那些已经确定的点：
`(π/2, π/4)`, `(π/2, 3π/4)` 等。
`( π/4, π/2)`, `(3π/4, π/2)` 等。
这些点在 `x = π/2` 或 `y = π/2` 的直线附近。
`cos(π/2) + cosy = cos(π/2 + y)`
`0 + cosy = siny`
`cosy + siny = 0`
`sqrt(2) sin(y + π/4) = 0`
`y + π/4 = kπ`
`y = π/4 + kπ`
所以，曲线在 `x = π/2 + kπ` 的竖直线和 `y = π/2 + kπ` 的水平线上，都会有“弯折”或“顶点”似的部分。
总结一下性质：
1. 对称性：
关于原点 `(0,0)` 对称。
关于直线 `y=x` 对称。
关于直线 `y=x` 对称。
2. 不经过坐标轴： 曲线不通过 `x=0` 和 `y=0` 的直线。
3. 与网格线的关系：
当 `x` 是奇数倍的 `π` 时 (`x = (2n+1)π`)，曲线出现在 `cosy = 1/2` 的地方，即 `y = ±π/3 + 2mπ`。
当 `y` 是奇数倍的 `π` 时 (`y = (2n+1)π`)，曲线出现在 `cosx = 1/2` 的地方，即 `x = ±π/3 + 2mπ`。
在 `x=kπ` 或 `y=kπ` 的点上，方程 `cos(x+y) = cos(xy)` 并不总是成立，但原方程 `cosx+cosy=cos(x+y)` 仍然可以有解。
4. 特殊点的存在：
当 `x = π/2 + kπ` 时，`cos(x) = 0`，方程变成 `cosy = siny`，即 `tan y = 1`，`y = π/4 + mπ`。所以曲线通过 `(π/2 + kπ, π/4 + mπ)`。
当 `y = π/2 + kπ` 时，`cos(y) = 0`，方程变成 `cosx = sinx`，即 `tan x = 1`，`x = π/4 + mπ`。所以曲线通过 `(π/4 + mπ, π/2 + kπ)`。
5. 形状推测：
这些特殊点的存在，比如 `(π/2, π/4)`，`(π/4, π/2)`，以及 `(π/3, π)`，` (π, π/3)`（虽然 `y=π` 时 `cosx=1/2`，但 `x=π` 时 `cosx=1`，所以 `x=π, y=π` 不是交点），暗示了这条曲线可能由一些“弯曲的片段”组成，它们以一种对称的方式排列。
考虑到 `cosx+cosy` 和 `cos(x+y)` 的周期性，这条曲线会周期性地重复。
我们可以想象，在 `x` 和 `y` 都是 `π/2` 的附近，曲线会“拐弯”。
例如，在 `x = π/2` 处，`y` 必须在 `π/4 + kπ` 处。
当 `x` 从 `0` 变化到 `π/2`，`cosx` 从 `1` 降到 `0`。
当 `y` 从 `0` 变化到 `π/2`，`cosy` 从 `1` 降到 `0`。
`cosx + cosy` 从 `2` 降到 `0`。
`cos(x+y)` 从 `1` 降到 `cos(π) = 1`。
在 `x=0, y=0` 处，我们得到 `1+1 = cos(0)`，即 `2 = 1`，不成立。
这再次证明了曲线不通过原点。
形象一点的比喻：如果把它想象成一个图案，它可能像是一系列互相连接的“S”形或者“C”形，在 `y=x` 和 `y=x` 的轴上保持镜像关系。它不会像圆一样平滑，而是在某些地方会有比较尖锐的“转弯”。
这条曲线，`cosx + cosy = cos(x + y)`，从数学上看，它是一个隐函数定义的曲线。它拥有独特的对称性和周期性，并且其形状受到三角函数性质的深刻影响。从 `cos(x+y) = cos(xy)` 这个看似等价的简化，到最终的 `2(cos²x + cos²y + cosx cosy cos²x cosy cosx cos²y) = 1`，它展示了三角函数运算的复杂性，也预示了它不寻常的几何形态。它是一个值得深入探索的数学对象。
首先，最直观的感觉是它的对称性。你看，等式 `cosx + cosy = cos(x + y)`，无论把 `x` 换成 `x`，还是把 `y` 换成 `y`，甚至把 `x` 和 `y` 对调一下，原方程都会保持不变。
关于 y 轴的对称性：把 `x` 换成 `x`，方程变成 `cos(x) + cosy = cos(x + y)`。因为 `cos(x) = cosx`，所以方程变成 `cosx + cosy = cos(y x)`。而 `cos(y x) = cos(x y)`，又因为 `cos(x + y)` 里面是 `x + y`，我们再把 `y` 换成 `y`，变成 `cosx + cos(y) = cos(x y)`，也就是 `cosx + cosy = cos(x y)`。哎呀，这里有点绕了，我们换个思路。
关于 y 轴的对称性：如果一个点 `(x, y)` 在曲线上，那么 `cosx + cosy = cos(x + y)` 成立。那么点 `(x, y)` 是否也在曲线上？代入试试：`cos(x) + cosy = cos(x + y)`，即 `cosx + cosy = cos(y x)`。现在看原方程 `cosx + cosy = cos(x + y)`。除非 `cos(y x) = cos(x + y)`，否则它就不对称。什么时候 `cosA = cosB`？当 `A = B + 2kπ` 或 `A = B + 2kπ`。所以，`y x = x + y + 2kπ`（导致 `2x = 2kπ`，即 `x = kπ`，这是特殊的几条竖直线，不是普遍对称）或者 `y x = (x + y) + 2kπ`，即 `y x = x y + 2kπ`，这推导出 `2y = 2kπ`，即 `y = kπ`。所以，关于 y 轴的对称性不是普遍存在的，除非我们限制了 y 的范围。
关于 x 轴的对称性：同理，如果 `(x, y)` 在曲线上，那么 `(x, y)` 是否在曲线上？代入：`cosx + cos(y) = cos(x y)`，即 `cosx + cosy = cos(x y)`。这同样也不是普遍对称。
关于原点 (0,0) 的对称性：如果 `(x, y)` 在曲线上，那么 `(x, y)` 是否在曲线上？代入：`cos(x) + cos(y) = cos(x y)`，即 `cosx + cosy = cos((x + y))`，即 `cosx + cosy = cos(x + y)`。 Aha！ 这一点是成立的。所以，这条曲线关于原点是对称的。这意味着，如果 `(x, y)` 是曲线上的一个点，那么 `(x, y)` 也一定是曲线上的一个点。
关于直线 y=x 的对称性：如果我们交换 `x` 和 `y`，即点 `(y, x)`，方程 `cosy + cosx = cos(y + x)` 也是一样的。所以，这条曲线关于直线 y=x 是对称的。这让曲线看起来更加“平衡”。
关于直线 y=x 的对称性：如果点 `(y, x)` 在曲线上，那么 `cos(y) + cos(x) = cos(y x)`，即 `cosy + cosx = cos((y + x))`，也就是 `cosy + cosx = cos(y + x)`。所以，这条曲线也关于直线 y=x 是对称的。
看到这里，你会发现，尽管它不像个简单的几何图形，但它在几个重要的对称轴（`y=x` 和 `y=x`）上表现出了相当的“规矩”。
其次，我们来看看这条曲线会长什么样子。这需要一些微积分的知识来描绘。
我们可以尝试用极坐标来表示，或者直接分析导数。不过，直接代数处理会更直观地揭示一些有趣的性质。
我们知道三角恒等式 `cos(x + y) = cosx cosy sinx siny`。
所以，原方程 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny`。
移项，得到 `cosx + cosy cosx cosy + sinx siny = 0`。
这看起来还是有点复杂。我们再尝试一下，把 `y` 换成 `y`，得到 `cosx + cosy = cos(x y)`。
所以，`cos(x + y) = cos(x y)`。
这又回到了之前提到的 `x + y = ±(x y) + 2kπ`。
1. 情况一：`x + y = x y + 2kπ`
`2y = 2kπ`，所以 `y = kπ`，其中 `k` 是整数。
这意味着，当 `y` 是 `π` 的整数倍（比如 `0, π, 2π, π, 2π` 等）时，这条曲线会与这些水平直线相交，并且在这条曲线上，`cosx + cosy = cos(x + kπ)`。
当 `y = 0` (或 `y = 2kπ`) 时： `cosx + cos0 = cos(x)`，即 `cosx + 1 = cosx`，这变成 `1 = 0`，这是不可能的。所以，`y=0` 的直线不与曲线相交。
当 `y = π` (或 `y = (2k+1)π`) 时： `cosx + cosπ = cos(x + π)`，即 `cosx 1 = cosx`。这变成 `2cosx = 1`，即 `cosx = 1/2`。所以，当 `y` 是奇数个 `π` 时，曲线与直线 `y = kπ` (k为奇数) 相交于 `x = ±π/3 + 2mπ` 的点。
等等，我好像在这个地方又绕进去了。让我们回到 `cos(x + y) = cos(x y)`。
这意味着 `x + y = ±(x y) + 2kπ`。
`x + y = x y + 2kπ` => `2y = 2kπ` => `y = kπ` (k为整数)。
如果 `y = kπ`，那么原方程 `cosx + cos(kπ) = cos(x + kπ)`。
如果 `k` 是偶数（`k=2n`），`y=2nπ`。`cosx + 1 = cosx`，即 `1=0`，无解。
如果 `k` 是奇数（`k=2n+1`），`y=(2n+1)π`。`cosx 1 = cosx`，即 `2cosx = 1`，`cosx = 1/2`。
这说明，当 `y` 是奇数个 `π` 的时候，曲线会出现在 `cosx = 1/2` 的地方。也就是说，曲线会和水平直线 `y = (2n+1)π` 相交，交点横坐标是 `x = ±π/3 + 2mπ`。
`x + y = (x y) + 2kπ` => `x + y = x + y + 2kπ` => `2x = 2kπ` => `x = kπ` (k为整数)。
同理，当 `x` 是奇数个 `π` 的时候，曲线会出现在 `cosy = 1/2` 的地方。也就是说，曲线会和竖直线 `x = (2n+1)π` 相交，交点纵坐标是 `y = ±π/3 + 2mπ`。
这揭示了一个很重要的性质：这条曲线会“穿过”或“靠近”一系列由 `x = kπ` 和 `y = kπ` 组成的网格线，尤其是在 `x` 或 `y` 是奇数倍的 `π` 时。
更准确地说，我们可以从 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny` 开始。
令 `u = cosx`, `v = cosy`。那么 `cosx + cosy = uv sinx siny`。
`u + v = uv sinx siny`。
`sinx siny = uv u v`。
我们知道 `sin²x + cos²x = 1`，所以 `sin²x = 1 cos²x = 1 u²`。
以及 `sin²y = 1 v²`。
所以 `sin²x sin²y = (1 u²)(1 v²)`。
`(uv u v)² = (1 u²)(1 v²)`。
展开左边：`(uv)² 2uv(u+v) + (u+v)² = u²v² 2u²v 2uv² + u² + 2uv + v²`。
展开右边：`1 u² v² + u²v²`。
所以，`u²v² 2u²v 2uv² + u² + 2uv + v² = 1 u² v² + u²v²`。
消去 `u²v²`：
` 2u²v 2uv² + u² + 2uv + v² = 1 u² v²`。
移项：
`2u² + 2v² + 2uv 2u²v 2uv² 1 = 0`。
代回 `u = cosx`, `v = cosy`：
`2cos²x + 2cos²y + 2cosx cosy 2cos²x cosy 2cos x cos²y 1 = 0`。
这个形式虽然化简了，但依然不好直接看出曲线形状。
让我们再回到 `cos(x + y) = cos(x y)`。
这说明，在曲线上，`x+y` 和 `xy` 的余弦值相等。
这通常发生在 `x+y` 与 `xy` 相差 `2kπ` 或者互为相反数（加上 `2kπ`）的时候。
`x + y = x y + 2kπ` => `y = kπ`
`x + y = (x y) + 2kπ` => `x + y = x + y + 2kπ` => `2x = 2kπ` => `x = kπ`
这两种情况我们已经讨论过了。
还有一个重要的可能性：`x+y = yx + 2kπ` 这种情况我们已经处理过了，它导致 `x=kπ`。
或者 `x+y = (yx) + 2kπ` => `x+y = y+x + 2kπ` => `2y = 2kπ` => `y=kπ`。
所以，`cos(x + y) = cos(x y)` 并不直接意味着 `x+y = xy` 或 `x+y = (xy)`。
它意味着 `x+y = ±(xy) + 2kπ`。
我们已经得到了 `y = kπ` 或 `x = kπ`。
还有一个可能性是 `cos(x+y)` 和 `cos(xy)` 在某些区间之外相等。
让我们看看 `cosA = cosB` 的通用解：`A = ±B + 2kπ`。
所以，`x + y = ±(x y) + 2kπ` 给出 `x = kπ` 或 `y = kπ`。
仔细看看原方程 `cosx + cosy = cos(x + y)`。
当 `x = 0` 时： `cos0 + cosy = cos(y)` => `1 + cosy = cosy` => `1 = 0`，无解。
所以 `x=0` 的直线不通过这条曲线。
同理，`y=0` 的直线也不通过这条曲线。
这是因为，如果 `x=0`，那么 `cosx = 1`。如果 `y=0`，那么 `cosy = 1`。
原方程是 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny`。
如果 `x=0`，`1 + cosy = cosy 0` => `1=0`。
这意味着，曲线不会出现在 x 轴或 y 轴上。
我们再代入一些特殊值，看看有什么规律：
当 `x = π/2` 时： `cos(π/2) + cosy = cos(π/2 + y)` => `0 + cosy = siny` => `cosy = siny`。
当 `cosy = siny` 时，如果 `cosy ≠ 0`，则 `1 = tan y`，即 `tan y = 1`。
所以，`y = π/4 + kπ`。
因此，曲线会通过点 `(π/2, π/4 + kπ)`。
当 `y = π/2` 时：同理，曲线会通过点 `(π/4 + kπ, π/2)`。
这暗示了曲线在 `x = π/2` 和 `y = π/2` 附近也有一些特殊的行为。
回到 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny`。
尝试因式分解：
`cosx + cosy cosx cosy + sinx siny = 0`
`cosx(1 cosy) + cosy + sinx siny = 0` (这个方向不太对)
换个方式：
`cosx + cosy = cosx cosy sinx siny`
`cosx + cosy cosx cosy + sinx siny = 0`
`cosx(1cosy) + cosy + sinx siny = 0`
或者， `cosx + cosy = cos(x+y)`
`cosx + cosy cos(x+y) = 0`
`cosx + cosy (cosx cosy sinx siny) = 0`
`cosx + cosy cosx cosy + sinx siny = 0`
`cosx(1cosy) + cosy + sinx siny = 0`
如果 `y = π`，`cosx 1 = cos(x+π)` => `cosx 1 = cosx` => `2cosx = 1` => `cosx = 1/2`。
`x = ±π/3 + 2kπ`。
所以，曲线通过 `(π/3, π)`, `(π/3, π)`, `(π/3, 3π)` 等点。
这说明，在 `y = kπ` (k为奇数) 的直线上，曲线不是整个直线，而是零星的点。
让我们再回想一下 `cos(x+y) = cos(xy)`。
这其实意味着 `x+y` 和 `xy` 的角度“对齐”了。
什么时候 `cosA = cosB`？
1. `A = B + 2kπ` => `x+y = xy + 2kπ` => `y = kπ`。
2. `A = B + 2kπ` => `x+y = (xy) + 2kπ` => `x+y = x+y + 2kπ` => `2x = 2kπ` => `x = kπ`。
但是，`cosx + cosy = cos(x+y)` 这个方程，从 `cos(x+y) = cos(xy)` 推导出来，仅仅当 `cosx + cosy` 约等于 `cos(xy)` 的时候才成立。
这意味着，我们不能简单地认为 `cos(x+y) = cos(xy)` 就是原方程的充分必要条件。
我们从 `cosx + cosy = cosx cosy sinx siny` 再推导一下：
`sinx siny = cosx cosy cosx cosy`
`sinx siny = (cosx 1)(cosy 1) 1`
这个形式也很有意思。
`sin²x sin²y = [(cosx 1)(cosy 1) 1]²`
`(1cos²x)(1cos²y) = [(cosx 1)(cosy 1) 1]²`
`(1u²)(1v²) = [(u1)(v1) 1]²`
`(1u²)(1v²) = [uv u v + 1 1]²`
`(1u²)(1v²) = (uv u v)²`
`1 u² v² + u²v² = u²v² + u² + v² 2u²v 2uv² + 2uv`
`1 u² v² = u² + v² 2u²v 2uv² + 2uv`
`1 = 2u² + 2v² + 2uv 2u²v 2uv²`
`1 = 2(u² + v² + uv u²v uv²) `
`1 = 2(cos²x + cos²y + cosx cosy cos²x cosy cosx cos²y)`
这个方程 `2(cos²x + cos²y + cosx cosy cos²x cosy cosx cos²y) = 1` 才是原方程的等价形式。
这个形式依然不直观。
我们看看那些已经确定的点：
`(π/2, π/4)`, `(π/2, 3π/4)` 等。
`( π/4, π/2)`, `(3π/4, π/2)` 等。
这些点在 `x = π/2` 或 `y = π/2` 的直线附近。
`cos(π/2) + cosy = cos(π/2 + y)`
`0 + cosy = siny`
`cosy + siny = 0`
`sqrt(2) sin(y + π/4) = 0`
`y + π/4 = kπ`
`y = π/4 + kπ`
所以，曲线在 `x = π/2 + kπ` 的竖直线和 `y = π/2 + kπ` 的水平线上，都会有“弯折”或“顶点”似的部分。
总结一下性质：
1. 对称性：
关于原点 `(0,0)` 对称。
关于直线 `y=x` 对称。
关于直线 `y=x` 对称。
2. 不经过坐标轴： 曲线不通过 `x=0` 和 `y=0` 的直线。
3. 与网格线的关系：
当 `x` 是奇数倍的 `π` 时 (`x = (2n+1)π`)，曲线出现在 `cosy = 1/2` 的地方，即 `y = ±π/3 + 2mπ`。
当 `y` 是奇数倍的 `π` 时 (`y = (2n+1)π`)，曲线出现在 `cosx = 1/2` 的地方，即 `x = ±π/3 + 2mπ`。
在 `x=kπ` 或 `y=kπ` 的点上，方程 `cos(x+y) = cos(xy)` 并不总是成立，但原方程 `cosx+cosy=cos(x+y)` 仍然可以有解。
4. 特殊点的存在：
当 `x = π/2 + kπ` 时，`cos(x) = 0`，方程变成 `cosy = siny`，即 `tan y = 1`，`y = π/4 + mπ`。所以曲线通过 `(π/2 + kπ, π/4 + mπ)`。
当 `y = π/2 + kπ` 时，`cos(y) = 0`，方程变成 `cosx = sinx`，即 `tan x = 1`，`x = π/4 + mπ`。所以曲线通过 `(π/4 + mπ, π/2 + kπ)`。
5. 形状推测：
这些特殊点的存在，比如 `(π/2, π/4)`，`(π/4, π/2)`，以及 `(π/3, π)`，` (π, π/3)`（虽然 `y=π` 时 `cosx=1/2`，但 `x=π` 时 `cosx=1`，所以 `x=π, y=π` 不是交点），暗示了这条曲线可能由一些“弯曲的片段”组成，它们以一种对称的方式排列。
考虑到 `cosx+cosy` 和 `cos(x+y)` 的周期性，这条曲线会周期性地重复。
我们可以想象，在 `x` 和 `y` 都是 `π/2` 的附近，曲线会“拐弯”。
例如，在 `x = π/2` 处，`y` 必须在 `π/4 + kπ` 处。
当 `x` 从 `0` 变化到 `π/2`，`cosx` 从 `1` 降到 `0`。
当 `y` 从 `0` 变化到 `π/2`，`cosy` 从 `1` 降到 `0`。
`cosx + cosy` 从 `2` 降到 `0`。
`cos(x+y)` 从 `1` 降到 `cos(π) = 1`。
在 `x=0, y=0` 处，我们得到 `1+1 = cos(0)`，即 `2 = 1`，不成立。
这再次证明了曲线不通过原点。
形象一点的比喻：如果把它想象成一个图案，它可能像是一系列互相连接的“S”形或者“C”形，在 `y=x` 和 `y=x` 的轴上保持镜像关系。它不会像圆一样平滑，而是在某些地方会有比较尖锐的“转弯”。
这条曲线，`cosx + cosy = cos(x + y)`，从数学上看，它是一个隐函数定义的曲线。它拥有独特的对称性和周期性，并且其形状受到三角函数性质的深刻影响。从 `cos(x+y) = cos(xy)` 这个看似等价的简化，到最终的 `2(cos²x + cos²y + cosx cosy cos²x cosy cosx cos²y) = 1`，它展示了三角函数运算的复杂性，也预示了它不寻常的几何形态。它是一个值得深入探索的数学对象。
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