曲线围成的面积存在但是真的可求吗？还是说看作一种定义？
这个问题问得非常到位，触及了数学中一个非常核心且引人入胜的领域：积分的本质与应用。简单来说，曲线围成的面积“是存在的”，并且在很多情况下“是可求的”，但这背后涉及一系列严谨的数学概念和发展过程。与其说它是一种“定义”，不如说它是数学工具的强大延伸，是我们在理解和度量几何形状时发展出的逻辑。
我们来一点点拆解开来聊聊。
1. 面积的存在：直觉与几何的基石
首先，想象一下我们最熟悉的几何图形：正方形、长方形、三角形。它们围成的面积，我们通过简单的乘法或底乘以高再除以二就能得到。这些都是“直边”图形，它们的面积计算相对直接。
但生活中，曲线无处不在：圆的边界、河流的蜿蜒、山峦的轮廓，甚至是抛物线描绘出的运动轨迹。我们直观上就能感受到，这些曲线也“占据”了一定的空间，它们也围出了“面积”。比如，一个圆形，我们知道它有半径，就能想到它内部被它包裹住的区域，我们称之为圆的面积。
这种“直观上的存在感”是数学概念发展的起点。我们通过观察世界，发现有些图形有大小、有范围，于是数学家们就希望能够量化这种大小，给它一个数值。
2. “可求”的挑战：从直边到曲线
问题就出在“可求”上。对于直边图形，我们有现成的公式。但对于曲线，我们没有现成的、基于“边长”的简单公式。我们无法像丈量直尺一样去测量曲线的长度，更别说直接计算它围成的面积了。
这里就引出了一个核心的数学思想：逼近。既然我们无法直接计算，那就尝试用我们已知的方法（直边图形的面积）去“逼近”它。
祖冲之与割圆术的智慧： 早在几千年前，中国的数学家祖冲之就用类似的方法来计算圆周率。他将圆分割成非常非常多的细小直边图形（多边形），通过增加分割的次数（也就是增加多边形的边数），使得这些多边形越来越“接近”圆的边界。计算这些多边形的面积之和，就能非常接近圆的真实面积。
想象一下，你把一个圆切成很多个薄薄的扇形，每一个扇形近似于一个等腰三角形。这个三角形的底边是圆周上的一小段弧，它的高就是圆的半径。我们知道三角形的面积公式，所以就能计算这些小“三角形”的面积。当分割的次数越来越多，这些小三角形的底边越来越短，它们就越来越贴合圆的弧线。这些小三角形的面积之和，就越来越接近圆的面积。
牛顿与莱布尼茨的微积分革命： 这种“分割、求和、取极限”的思想，在十七世纪被牛顿和莱布尼茨发展成了强大的工具——微积分。
分割（Divide）： 他们想到了一个更精妙的分割方法。不是把曲线围成的面积分割成小三角形，而是将区域沿一个方向（比如x轴）切成无数个极其狭窄的“薄片”。
近似（Approximate）： 每个薄片的高度由曲线函数在那个位置的值决定，而它的宽度趋近于零（一个“无穷小量”）。这个薄片可以被看作一个微小的矩形，其面积可以近似为“高度 × 宽度”。
求和（Sum）： 然后，将所有这些无穷多个微小矩形的面积加起来。
极限（Limit）： 当这些矩形的宽度趋近于零，数量趋近于无穷时，它们的面积之和就精确地等于曲线围成的面积。这个过程就是积分。
3. 积分：从求和到精确计算的桥梁
积分符号“∫”本身就源于拉丁文的“summa”（和），它代表的就是这种“无穷小的累加”。对于一个函数 $f(x)$，它在区间 $[a, b]$ 上围成的面积，就可以通过定积分来计算：
$$ ext{面积} = int_{a}^{b} f(x) , dx $$
这里的 $f(x)$ 是曲线的高度（在某个x值处），$dx$ 代表宽度趋近于零的无穷小量。
所以，曲线围成的面积“是存在的”，因为它在几何上代表了一个被封闭区域的度量。而“可求”，是因为我们发展出了微积分这个强大的工具，能够通过积分来精确地计算出这个面积的值。
积分究竟是定义还是可求？
与其说是“定义”，不如说是一种计算方法和理论框架的建立。
不是纯粹的定义： 如果仅仅是定义，那它就如同“圆的面积是 $pi r^2$”一样，是一个命题，需要有东西来支撑它的合理性。积分的出现，正是为了解决“如何计算非直边图形面积”这个实际问题。它不是凭空设定的，而是建立在“逼近”这个逻辑基础上的。
是计算的工具和理论： 微积分的定义，例如黎曼积分的定义，正是通过将区间 $[a, b]$ 分割成若干小区间，构造上和与下和，当分割越来越细时，如果上和与下和趋于同一个值，我们就说这个函数在这个区间是可积的，而这个值就是积分的值。这个定义本身就是为了量化和计算面积。
可以这么理解：
面积的存在 是一个几何上的直观认识。
积分 是数学家们创造出来的、能够精确计算这种面积的工具和理论。
是否存在“存在但不可求”的情况？
理论上，数学是严谨的。如果一个几何图形在概念上是确定的，它的面积也应该是有确定数值的。但是，在实际的数学研究中，确实存在一些函数（或者说它们围成的图形），其积分难以找到一个初等函数来表示。
例如，高斯积分 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} , dx$ 是一个非常重要的积分，它等于 $sqrt{pi}$。但是，它的被积函数 $e^{x^2}$ 没有初等反导数（也就是说，你找不到一个用四则运算、指数、对数、三角函数等组合起来的简单函数，它的导数是 $e^{x^2}$）。这意味着我们无法像计算 $int x^2 dx = frac{1}{3}x^3 + C$ 那样，找到一个“简单的”公式来表示 $int e^{x^2} dx$。
但是，这不代表它不可求。科学家们仍然可以通过数值积分的方法（将积分区间分成很多小段，然后用近似的方法计算面积之和）来得到非常精确的数值结果。比如，在统计学中，误差函数（erf(x)）就与高斯积分紧密相关，它被广泛使用。
所以，即使没有一个“漂亮”的初等函数表达形式，它的值依然是确定的，可以通过其他方法求得，我们说它是“可求的”。
总结一下：
1. 存在性： 曲线围成的面积，在几何上是直观存在的，我们能感受到它占据的空间。
2. 可求性： 在数学上，通过微积分的工具（积分），我们能够精确地计算出这些面积。这背后是“分割、求和、取极限”的严谨过程。
3. 与定义的区别： 积分不是一个纯粹的定义，而是为了解决计算非直边图形面积问题而发展出的方法论和计算框架。它提供了一种量化和计算面积的“规则”。
4. 特殊情况： 确实存在一些积分，其结果无法用初等函数表示，但这并不妨碍我们通过数值方法等手段获得其精确的数值，所以它们仍然是“可求的”。
我们之所以能够学习和使用微积分，正是因为数学家们成功地将那些“模糊的直观”转化为了“清晰可计算”的数学语言。曲线围成的面积，是数学精确性的一个绝佳例证，它告诉我们，即使面对看似复杂的问题，通过逻辑和工具，我们也能找到解决之道。
我们来一点点拆解开来聊聊。
1. 面积的存在：直觉与几何的基石
首先，想象一下我们最熟悉的几何图形：正方形、长方形、三角形。它们围成的面积，我们通过简单的乘法或底乘以高再除以二就能得到。这些都是“直边”图形，它们的面积计算相对直接。
但生活中，曲线无处不在：圆的边界、河流的蜿蜒、山峦的轮廓，甚至是抛物线描绘出的运动轨迹。我们直观上就能感受到，这些曲线也“占据”了一定的空间，它们也围出了“面积”。比如，一个圆形，我们知道它有半径，就能想到它内部被它包裹住的区域，我们称之为圆的面积。
这种“直观上的存在感”是数学概念发展的起点。我们通过观察世界，发现有些图形有大小、有范围，于是数学家们就希望能够量化这种大小，给它一个数值。
2. “可求”的挑战：从直边到曲线
问题就出在“可求”上。对于直边图形，我们有现成的公式。但对于曲线，我们没有现成的、基于“边长”的简单公式。我们无法像丈量直尺一样去测量曲线的长度，更别说直接计算它围成的面积了。
这里就引出了一个核心的数学思想：逼近。既然我们无法直接计算，那就尝试用我们已知的方法（直边图形的面积）去“逼近”它。
祖冲之与割圆术的智慧： 早在几千年前，中国的数学家祖冲之就用类似的方法来计算圆周率。他将圆分割成非常非常多的细小直边图形（多边形），通过增加分割的次数（也就是增加多边形的边数），使得这些多边形越来越“接近”圆的边界。计算这些多边形的面积之和，就能非常接近圆的真实面积。
想象一下，你把一个圆切成很多个薄薄的扇形，每一个扇形近似于一个等腰三角形。这个三角形的底边是圆周上的一小段弧，它的高就是圆的半径。我们知道三角形的面积公式，所以就能计算这些小“三角形”的面积。当分割的次数越来越多，这些小三角形的底边越来越短，它们就越来越贴合圆的弧线。这些小三角形的面积之和，就越来越接近圆的面积。
牛顿与莱布尼茨的微积分革命： 这种“分割、求和、取极限”的思想，在十七世纪被牛顿和莱布尼茨发展成了强大的工具——微积分。
分割（Divide）： 他们想到了一个更精妙的分割方法。不是把曲线围成的面积分割成小三角形，而是将区域沿一个方向（比如x轴）切成无数个极其狭窄的“薄片”。
近似（Approximate）： 每个薄片的高度由曲线函数在那个位置的值决定，而它的宽度趋近于零（一个“无穷小量”）。这个薄片可以被看作一个微小的矩形，其面积可以近似为“高度 × 宽度”。
求和（Sum）： 然后，将所有这些无穷多个微小矩形的面积加起来。
极限（Limit）： 当这些矩形的宽度趋近于零，数量趋近于无穷时，它们的面积之和就精确地等于曲线围成的面积。这个过程就是积分。
3. 积分：从求和到精确计算的桥梁
积分符号“∫”本身就源于拉丁文的“summa”（和），它代表的就是这种“无穷小的累加”。对于一个函数 $f(x)$，它在区间 $[a, b]$ 上围成的面积，就可以通过定积分来计算：
$$ ext{面积} = int_{a}^{b} f(x) , dx $$
这里的 $f(x)$ 是曲线的高度（在某个x值处），$dx$ 代表宽度趋近于零的无穷小量。
所以，曲线围成的面积“是存在的”，因为它在几何上代表了一个被封闭区域的度量。而“可求”，是因为我们发展出了微积分这个强大的工具，能够通过积分来精确地计算出这个面积的值。
积分究竟是定义还是可求？
与其说是“定义”，不如说是一种计算方法和理论框架的建立。
不是纯粹的定义： 如果仅仅是定义，那它就如同“圆的面积是 $pi r^2$”一样，是一个命题，需要有东西来支撑它的合理性。积分的出现，正是为了解决“如何计算非直边图形面积”这个实际问题。它不是凭空设定的，而是建立在“逼近”这个逻辑基础上的。
是计算的工具和理论： 微积分的定义，例如黎曼积分的定义，正是通过将区间 $[a, b]$ 分割成若干小区间，构造上和与下和，当分割越来越细时，如果上和与下和趋于同一个值，我们就说这个函数在这个区间是可积的，而这个值就是积分的值。这个定义本身就是为了量化和计算面积。
可以这么理解：
面积的存在 是一个几何上的直观认识。
积分 是数学家们创造出来的、能够精确计算这种面积的工具和理论。
是否存在“存在但不可求”的情况？
理论上，数学是严谨的。如果一个几何图形在概念上是确定的，它的面积也应该是有确定数值的。但是，在实际的数学研究中，确实存在一些函数（或者说它们围成的图形），其积分难以找到一个初等函数来表示。
例如，高斯积分 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} , dx$ 是一个非常重要的积分，它等于 $sqrt{pi}$。但是，它的被积函数 $e^{x^2}$ 没有初等反导数（也就是说，你找不到一个用四则运算、指数、对数、三角函数等组合起来的简单函数，它的导数是 $e^{x^2}$）。这意味着我们无法像计算 $int x^2 dx = frac{1}{3}x^3 + C$ 那样，找到一个“简单的”公式来表示 $int e^{x^2} dx$。
但是，这不代表它不可求。科学家们仍然可以通过数值积分的方法（将积分区间分成很多小段，然后用近似的方法计算面积之和）来得到非常精确的数值结果。比如，在统计学中，误差函数（erf(x)）就与高斯积分紧密相关，它被广泛使用。
所以，即使没有一个“漂亮”的初等函数表达形式，它的值依然是确定的，可以通过其他方法求得，我们说它是“可求的”。
总结一下：
1. 存在性： 曲线围成的面积，在几何上是直观存在的，我们能感受到它占据的空间。
2. 可求性： 在数学上，通过微积分的工具（积分），我们能够精确地计算出这些面积。这背后是“分割、求和、取极限”的严谨过程。
3. 与定义的区别： 积分不是一个纯粹的定义，而是为了解决计算非直边图形面积问题而发展出的方法论和计算框架。它提供了一种量化和计算面积的“规则”。
4. 特殊情况： 确实存在一些积分，其结果无法用初等函数表示，但这并不妨碍我们通过数值方法等手段获得其精确的数值，所以它们仍然是“可求的”。
我们之所以能够学习和使用微积分，正是因为数学家们成功地将那些“模糊的直观”转化为了“清晰可计算”的数学语言。曲线围成的面积，是数学精确性的一个绝佳例证，它告诉我们，即使面对看似复杂的问题，通过逻辑和工具，我们也能找到解决之道。
网友意见
面积是用Jordan测度严格定义的，建议看一下相关内容。（中科大数学分析讲义第二册）
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