给定曲率下界，平面上什么曲线所围面积最大？
在曲率有下界的限制下，我们想找到一个封闭曲线，它所围住的平面区域面积是最大的。这个问题听起来有些抽象，但我们可以一步步地来剥开它的层层含义。
首先，什么是“曲率”？想象一下你在开车，沿着一条曲线行驶。曲率就是衡量这条曲线在某个点弯曲程度的指标。一个直的直线，曲率是零。而一个非常尖锐的圆角，曲率就会很大。曲率我们可以把它看作是曲线“转弯”的剧烈程度。
“曲率下界”的意思就是，无论我们在这条曲线的哪个地方测量它的弯曲程度，都不会低于某个预设的数值。也就是说，这条曲线不能太“平缓”，不能有任何地方变得像直线一样“没有弯曲”。它必须至少保持一定的弯曲度。
现在我们有了这个限制，那么在这有限的约束下，什么样的封闭曲线能够围出最大的面积呢？
这背后其实隐藏着一个非常深刻的数学原理，而且它的答案出人意料地简单。当我们没有曲率下界的限制时，围住最大面积的封闭曲线是“圆”。这是因为圆在所有周长相同的封闭曲线中拥有最大的面积，这个结论是由等周问题（Isoperimetric problem）告诉我们的。
但是，一旦我们加入了“曲率下界”这个条件，情况就变得有趣起来。
考虑一下如果曲率下界非常非常高，几乎是无穷大。这意味着曲线必须非常非常“弯曲”，就像一个非常非常小的圆。在这种情况下，我们可以想象围出面积的曲线最终会趋向于一个“最圆”的形状，因为越接近圆，在给定周长的情况下面积越大。
那么，如果曲率下界是有限的，但又不是零呢？比如我们规定曲线在任何地方的弯曲程度都不能低于某个值，这个值代表了一个最小的“弯度”。
答案是：一个正圆（a circle）。
是的，即使有了曲率的下限，围出最大面积的依然是正圆。这似乎有些违反直觉，因为我们可能会想，如果曲线必须弯曲，也许一个稍微拉伸或者变形的圆，能够利用它的“额外弯曲”来圈住更大的面积。但事实并非如此。
我们不妨从直观上理解一下：
1. 圆的极致效率： 正圆在围住面积方面有着无与伦比的效率。它将给定的周长最有效地转化为内部的面积。
2. 曲率下界的意义： 当我们设定一个曲率下界（我们称之为 $k_0 > 0$），这意味着我们不允许曲线有“太平缓”的部分。正圆本身就具有恒定的曲率，这个曲率值就是 $1/r$，其中 $r$ 是圆的半径。如果我们设定的曲率下界 $k_0$ 小于或等于这个圆的曲率 $1/r$，那么这个圆就满足了曲率下界的条件。
3. 为什么其他曲线不占优？
比圆“更弯曲”的曲线： 如果我们尝试构建一条比圆在某些地方更弯曲，但在另一些地方也更“平缓”（但仍然满足曲率下界）的曲线，我们需要牺牲一些面积来达到更高的弯曲度。
考虑周长： 假设我们有一个满足曲率下界的曲线，它围出了一个面积 $A$。如果这条曲线不是一个圆，我们总能找到一个周长相同的圆，它围出的面积会更大。而这个圆的曲率是恒定的，而且我们可以调整它的半径，使其曲率不低于给定的下界 $k_0$。
数学上的解释（更深入）： 这是一个相当有深度的几何问题，通常需要用到微积分和变分法来严格证明。可以想象，如果我们有一个不规则的形状，它围出了一个面积，并且满足曲率下界。我们可以尝试将它“平滑化”，使其变得更圆。在平滑的过程中，如果某些区域的曲率低于下界，我们就必须“推挤”它，使其弯曲程度增加，这往往会减小整体的面积。而如果某个区域的曲率远高于下界，我们可以尝试“拉伸”它，使其变得平缓一些，但这又可能触碰到曲率下界的要求。
一个更具体的思考方式是考虑“等周不等式”的推广。等周不等式表明，在所有周长为 $L$ 的封闭曲线中，圆围出的面积最大。当加入曲率下界时，实际上是限定了曲线的“光滑度”和“弯曲度”的最低要求。而圆恰恰是那个在满足最低要求的同时，又把面积最大化的形状。
总结一下：
在曲率有下界（且下界大于零）的限制下，平面上所围面积最大的曲线，依然是正圆。
这个结论告诉我们，即便是我们对曲线施加了“必须弯曲”的限制，圆这种最“完美”的、在面积效率上表现最优的形状，仍然能够在这种限制下脱颖而出，围出最大的面积。它证明了圆在几何形状的普遍性优化中的核心地位。
首先，什么是“曲率”？想象一下你在开车，沿着一条曲线行驶。曲率就是衡量这条曲线在某个点弯曲程度的指标。一个直的直线，曲率是零。而一个非常尖锐的圆角，曲率就会很大。曲率我们可以把它看作是曲线“转弯”的剧烈程度。
“曲率下界”的意思就是，无论我们在这条曲线的哪个地方测量它的弯曲程度，都不会低于某个预设的数值。也就是说，这条曲线不能太“平缓”，不能有任何地方变得像直线一样“没有弯曲”。它必须至少保持一定的弯曲度。
现在我们有了这个限制，那么在这有限的约束下，什么样的封闭曲线能够围出最大的面积呢？
这背后其实隐藏着一个非常深刻的数学原理，而且它的答案出人意料地简单。当我们没有曲率下界的限制时，围住最大面积的封闭曲线是“圆”。这是因为圆在所有周长相同的封闭曲线中拥有最大的面积，这个结论是由等周问题（Isoperimetric problem）告诉我们的。
但是，一旦我们加入了“曲率下界”这个条件，情况就变得有趣起来。
考虑一下如果曲率下界非常非常高，几乎是无穷大。这意味着曲线必须非常非常“弯曲”，就像一个非常非常小的圆。在这种情况下，我们可以想象围出面积的曲线最终会趋向于一个“最圆”的形状，因为越接近圆，在给定周长的情况下面积越大。
那么，如果曲率下界是有限的，但又不是零呢？比如我们规定曲线在任何地方的弯曲程度都不能低于某个值，这个值代表了一个最小的“弯度”。
答案是：一个正圆（a circle）。
是的，即使有了曲率的下限，围出最大面积的依然是正圆。这似乎有些违反直觉，因为我们可能会想，如果曲线必须弯曲，也许一个稍微拉伸或者变形的圆，能够利用它的“额外弯曲”来圈住更大的面积。但事实并非如此。
我们不妨从直观上理解一下：
1. 圆的极致效率： 正圆在围住面积方面有着无与伦比的效率。它将给定的周长最有效地转化为内部的面积。
2. 曲率下界的意义： 当我们设定一个曲率下界（我们称之为 $k_0 > 0$），这意味着我们不允许曲线有“太平缓”的部分。正圆本身就具有恒定的曲率，这个曲率值就是 $1/r$，其中 $r$ 是圆的半径。如果我们设定的曲率下界 $k_0$ 小于或等于这个圆的曲率 $1/r$，那么这个圆就满足了曲率下界的条件。
3. 为什么其他曲线不占优？
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考虑周长： 假设我们有一个满足曲率下界的曲线，它围出了一个面积 $A$。如果这条曲线不是一个圆，我们总能找到一个周长相同的圆，它围出的面积会更大。而这个圆的曲率是恒定的，而且我们可以调整它的半径，使其曲率不低于给定的下界 $k_0$。
数学上的解释（更深入）： 这是一个相当有深度的几何问题，通常需要用到微积分和变分法来严格证明。可以想象，如果我们有一个不规则的形状，它围出了一个面积，并且满足曲率下界。我们可以尝试将它“平滑化”，使其变得更圆。在平滑的过程中，如果某些区域的曲率低于下界，我们就必须“推挤”它，使其弯曲程度增加，这往往会减小整体的面积。而如果某个区域的曲率远高于下界，我们可以尝试“拉伸”它，使其变得平缓一些，但这又可能触碰到曲率下界的要求。
一个更具体的思考方式是考虑“等周不等式”的推广。等周不等式表明，在所有周长为 $L$ 的封闭曲线中，圆围出的面积最大。当加入曲率下界时，实际上是限定了曲线的“光滑度”和“弯曲度”的最低要求。而圆恰恰是那个在满足最低要求的同时，又把面积最大化的形状。
总结一下：
在曲率有下界（且下界大于零）的限制下，平面上所围面积最大的曲线，依然是正圆。
这个结论告诉我们，即便是我们对曲线施加了“必须弯曲”的限制，圆这种最“完美”的、在面积效率上表现最优的形状，仍然能够在这种限制下脱颖而出，围出最大的面积。它证明了圆在几何形状的普遍性优化中的核心地位。
网友意见
对于平面上的光滑正则简单闭合曲线，如果曲率存在正的下界，那么该曲线围成的面积存在上界且在圆处取到。
【附注】这里光滑要求每一点切向量的导数 存在，从而每一点可以定义曲率。
【证明】正则曲线可以被重新参数化成unit speed。我们有：
由于曲率存在正的下界，所以恒有 。根据达布定理， 恒为正或恒为负。不妨设 恒为正，此时 单调递增（几何上对应着切向量逆时针旋转）。
由于是正则简单闭合曲线，所以卷绕数[1]是1，故
设曲率下界为 ，曲线长度为 ，则有
根据等周不等式，
等号成立当且仅当曲线是圆。
【注意】光滑正则的条件是不可或缺。在微分几何中，我们只对光滑正则曲线定义曲率（因为曲率的定义是 ，光滑和正则分别代表 存在与 ）。
对于分段光滑正则曲线，在接合处曲率未必存在。但如果变通一下，若接合处两边曲率的极限存在且相等，则定义这个极限值为接合处的曲率。这样就把曲率的含义给扩大了。在这个意义下，原命题将不再成立，反例如下：
图中绿色的曲线是由若干半径相等的圆的一部分（半圆、1/4圆）组成的。因此曲率肯定是处处相等的。注意到紫色部分P是可以不断往下复制的（不断往下复制后很明显还能接上），因此绿色曲线面积就可以无限的大，就没有上界了。
注意这个曲线虽然是分段光滑正则的，但不可能全局光滑正则。这是因为，假设该曲线全局光滑正则，那么可以被重新参数化成unit-speed，但是在点A处切向量的导数 会发生突变（从模长为1方向向左，突变到模长为1方向向右），导致不光滑。
参考
- ^ 注意，这里的“卷绕数”是指turning number（或者rotation index），而不是指winding number（尽管正则简单闭合曲线的winding number=turning number）。一般而言，正则简单闭合曲线的turning number=±1，证明详见Do Carmo "Differential Geometry of Curves and Surfaces", 5-7, Theorem 2. 这里由于是逆时针的，所以取+1
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