过两给定的点平分圆面积的最短曲线是什么？
这个问题很有意思，我们来好好聊聊。假设我们有两个点，它们在同一个圆上。我们要找一条穿过这两点的曲线，能够把圆的面积一分为二，而且这条曲线还要尽可能地短。
直观的思考：直线是首选？
最先想到的可能就是直线。如果这两点是圆的直径上的两个点，那么连接它们的直线就是直径。直径不仅平分了圆的面积，它也是连接这两点最短的直线段。这看起来是件很自然的事情。
但是，如果这两个点不是直径上的呢？那么连接它们的直线段会把圆分成两个大小不一的弓形。这个直线段显然不能平分圆的面积。
面积平分是关键
要平分圆的面积，我们脑子里会出现很多可能性。
直线段加上弧线？ 也许我们可以画一条直线连接这两个点，然后再用一段圆弧来“补齐”另一边的面积，让总面积相等。听起来有点复杂，而且直线段加上圆弧，长度会比直线长很多。
穿过圆心的曲线？ 如果我们画一条穿过圆心的曲线，并且这条曲线能正好经过这两个点，那么它一定会把圆分成两个半圆，面积自然就平分了。
关键来了：什么样的曲线能穿过圆心并且连接两个不一定是直径上的点？
我们现在有了两个点，它们在圆上。我们要找到一条穿过这两个点的曲线，并且这条曲线要让圆的面积均分。同时，我们还希望这条曲线尽可能地短。
想一想，什么曲线能同时保证平分面积并且相对较短？
如果两个点是对径点（直径两端），那是最简单的情况。 连接这两个点的直线就是直径，它平分了圆的面积，并且是连接这两点的最短路径。
但如果这两个点不是对径点呢？
我们想象一下，如果有一条曲线要通过这两个点，并且要平分圆的面积。这条曲线的“长度”是一个重要的考量。
结论的出现：经过圆心的直线段才是答案
经过仔细思考和分析（这个分析过程涉及一些几何和微积分的知识，但我们可以用更形象的语言来描述），连接这两个点的、同时经过圆心的直线段是平分圆面积的最短曲线。
为什么是这样呢？
1. 平分面积的保证： 如果这条直线段穿过圆心，那么它必然是圆的一条直径。任何直径都能将圆分成两个完全相同的半圆，面积自然就平分了。
2. 最短曲线的思考：
我们知道，两点之间的最短直线距离就是连接它们的直线段。但是，这条直线段不一定能平分面积。
如果我们要平分面积，就不能仅仅考虑连接两点的直线段。我们必须考虑一个“整体”的边界，它要包含这两个点，并且让圆被分成两半。
考虑任何一条不经过圆心的曲线来平分圆的面积。这条曲线的“曲折”程度很可能会更高，或者需要更复杂的形状来补偿面积。相对而言，一条直的线段总是更经济的。
当这条线段还被限制要穿过圆心时，它变成了一条直径。它不仅连接了两点（如果那两个点恰好构成直径），更重要的是，它完美地完成了平分面积的任务，并且是以一种最“直接”的方式实现的。
打个比方：
想象一下你有一张圆形的面包，你想把它切成两半，并且要切出一个最短的刀痕，而你希望切痕上必须包含两个特定的标记点（也就是你说的两个点）。
如果这两个标记点刚好在面包的最宽处（直径两端），那么你只需要沿着直径切一刀，这刀痕最短，面也刚好分成两半。
如果这两个标记点不在最宽处，你还是想切出最短的刀痕，并且要分成两半。你会发现，如果你的刀痕不穿过面包的中心点，你就很难精确地把面积分成两半，而且为了补偿面积，你的刀痕可能就需要变得弯曲或者很长，才能绕开一些区域。但如果你的刀痕必须穿过中心，并且要尽量短，那自然就是连接中心和这两个点（如果它们都在一条直线上）的最短切法。
所以，最终的答案是：连接这两个点的、并且穿过圆心的直线段。
换句话说，如果这两个点本身就能构成一条直径，那么连接它们的直线就是答案。如果这两个点不能构成直径，那么我们需要找到一条过圆心的直线，这条直线同时也要“经过”这两个点。但是，一个圆心只有一条直线能同时经过它和圆上的某两个点，除非这两个点本身就在同一条穿过圆心的直线上（也就是直径）。
总结一下，我们要做的是：
1. 找到圆心。
2. 考虑连接这两个点的直线。
3. 如果这条直线经过圆心，那么它就是答案。
4. 如果这条直线不经过圆心，那么我们需要一种特殊的几何构造。 在这种情况下，我们其实就是在寻找一条线段，它既能平分面积，又要尽可能短。而唯一能平分圆面积的“直线”结构就是直径。 因此，如果这两个点恰好是直径的两端点，那么连接它们的直线就是最短曲线。如果这两个点不是直径的两端点，那么你无法用一条直线同时穿过这两个点并平分圆的面积。
更严谨一点来说，问题隐含了一个条件：这个曲线必须是“穿过”这两点的。
因此，最符合题意的答案是：如果这两个点是圆的直径的两端点，那么连接它们的直线段（也就是直径）就是最短曲线。如果这两个点不是直径的两端点，那么不存在一条“直线”能够同时穿过这两个点并平分圆的面积。此时，题目实际上是在问，是否存在一条比直径更短的曲线能平分面积并穿过这两个点。根据“两点之间直线最短”的原则，我们考虑的是，能否找到一条过圆心（因为只有过圆心才能平分面积）的直线，并且它“通过”这两个点。这种情况下，只有当这两个点本身就在同一条直径上时，答案才会是直线。否则，问题就变得复杂很多，但最“经济”的平分面积的方式依然与直径有关。
但考虑到题目问的是“最短曲线”，并且强调了“平分圆面积”，最符合逻辑的答案就是那条能够做到这两点的，最直接的路径。这条路径就是直径，而这条直径的确定性取决于那两个给定的点是否构成一条直径。
直观的思考：直线是首选？
最先想到的可能就是直线。如果这两点是圆的直径上的两个点，那么连接它们的直线就是直径。直径不仅平分了圆的面积，它也是连接这两点最短的直线段。这看起来是件很自然的事情。
但是，如果这两个点不是直径上的呢？那么连接它们的直线段会把圆分成两个大小不一的弓形。这个直线段显然不能平分圆的面积。
面积平分是关键
要平分圆的面积，我们脑子里会出现很多可能性。
直线段加上弧线？ 也许我们可以画一条直线连接这两个点，然后再用一段圆弧来“补齐”另一边的面积，让总面积相等。听起来有点复杂，而且直线段加上圆弧，长度会比直线长很多。
穿过圆心的曲线？ 如果我们画一条穿过圆心的曲线，并且这条曲线能正好经过这两个点，那么它一定会把圆分成两个半圆，面积自然就平分了。
关键来了：什么样的曲线能穿过圆心并且连接两个不一定是直径上的点？
我们现在有了两个点，它们在圆上。我们要找到一条穿过这两个点的曲线，并且这条曲线要让圆的面积均分。同时，我们还希望这条曲线尽可能地短。
想一想，什么曲线能同时保证平分面积并且相对较短？
如果两个点是对径点（直径两端），那是最简单的情况。 连接这两个点的直线就是直径，它平分了圆的面积，并且是连接这两点的最短路径。
但如果这两个点不是对径点呢？
我们想象一下，如果有一条曲线要通过这两个点，并且要平分圆的面积。这条曲线的“长度”是一个重要的考量。
结论的出现：经过圆心的直线段才是答案
经过仔细思考和分析（这个分析过程涉及一些几何和微积分的知识，但我们可以用更形象的语言来描述），连接这两个点的、同时经过圆心的直线段是平分圆面积的最短曲线。
为什么是这样呢？
1. 平分面积的保证： 如果这条直线段穿过圆心，那么它必然是圆的一条直径。任何直径都能将圆分成两个完全相同的半圆，面积自然就平分了。
2. 最短曲线的思考：
我们知道，两点之间的最短直线距离就是连接它们的直线段。但是，这条直线段不一定能平分面积。
如果我们要平分面积，就不能仅仅考虑连接两点的直线段。我们必须考虑一个“整体”的边界，它要包含这两个点，并且让圆被分成两半。
考虑任何一条不经过圆心的曲线来平分圆的面积。这条曲线的“曲折”程度很可能会更高，或者需要更复杂的形状来补偿面积。相对而言，一条直的线段总是更经济的。
当这条线段还被限制要穿过圆心时，它变成了一条直径。它不仅连接了两点（如果那两个点恰好构成直径），更重要的是，它完美地完成了平分面积的任务，并且是以一种最“直接”的方式实现的。
打个比方：
想象一下你有一张圆形的面包，你想把它切成两半，并且要切出一个最短的刀痕，而你希望切痕上必须包含两个特定的标记点（也就是你说的两个点）。
如果这两个标记点刚好在面包的最宽处（直径两端），那么你只需要沿着直径切一刀，这刀痕最短，面也刚好分成两半。
如果这两个标记点不在最宽处，你还是想切出最短的刀痕，并且要分成两半。你会发现，如果你的刀痕不穿过面包的中心点，你就很难精确地把面积分成两半，而且为了补偿面积，你的刀痕可能就需要变得弯曲或者很长，才能绕开一些区域。但如果你的刀痕必须穿过中心，并且要尽量短，那自然就是连接中心和这两个点（如果它们都在一条直线上）的最短切法。
所以，最终的答案是：连接这两个点的、并且穿过圆心的直线段。
换句话说，如果这两个点本身就能构成一条直径，那么连接它们的直线就是答案。如果这两个点不能构成直径，那么我们需要找到一条过圆心的直线，这条直线同时也要“经过”这两个点。但是，一个圆心只有一条直线能同时经过它和圆上的某两个点，除非这两个点本身就在同一条穿过圆心的直线上（也就是直径）。
总结一下，我们要做的是：
1. 找到圆心。
2. 考虑连接这两个点的直线。
3. 如果这条直线经过圆心，那么它就是答案。
4. 如果这条直线不经过圆心，那么我们需要一种特殊的几何构造。 在这种情况下，我们其实就是在寻找一条线段，它既能平分面积，又要尽可能短。而唯一能平分圆面积的“直线”结构就是直径。 因此，如果这两个点恰好是直径的两端点，那么连接它们的直线就是最短曲线。如果这两个点不是直径的两端点，那么你无法用一条直线同时穿过这两个点并平分圆的面积。
更严谨一点来说，问题隐含了一个条件：这个曲线必须是“穿过”这两点的。
因此，最符合题意的答案是：如果这两个点是圆的直径的两端点，那么连接它们的直线段（也就是直径）就是最短曲线。如果这两个点不是直径的两端点，那么不存在一条“直线”能够同时穿过这两个点并平分圆的面积。此时，题目实际上是在问，是否存在一条比直径更短的曲线能平分面积并穿过这两个点。根据“两点之间直线最短”的原则，我们考虑的是，能否找到一条过圆心（因为只有过圆心才能平分面积）的直线，并且它“通过”这两个点。这种情况下，只有当这两个点本身就在同一条直径上时，答案才会是直线。否则，问题就变得复杂很多，但最“经济”的平分面积的方式依然与直径有关。
但考虑到题目问的是“最短曲线”，并且强调了“平分圆面积”，最符合逻辑的答案就是那条能够做到这两点的，最直接的路径。这条路径就是直径，而这条直径的确定性取决于那两个给定的点是否构成一条直径。
网友意见
变分法过于暴力了，我们简单一点，用初中几何+等周定理来做
如图，方便起见我们令两定点关于y轴对称且在单位圆上，然后先找到平分面积的圆弧。这里假定 ，对于 的情形易知最短的是直径，对于 由等周定理简单得是内切圆
蓝色弓形的面积为 ,因此红色部分的面积为
用 表示为
由 可以确定 的值，从而确定圆心O的位置。
接下来，我们画出两定点在圆O上对应的劣弧 ，其与单位圆上的劣弧围成一个固定区域（黄色部分），其面积为 ，具体值无关紧要。
现在，假定有一条曲线 过F和F'且平分圆面积，则 和 围成封闭曲线 ，其包围的面积为 等于圆O面积。根据等周定理，其周长必定不小于圆O的周长，从而 的总长必定不小于优弧 的长度；取到等号时 必然是圆，因此最小值点是唯一的。
综上所述，过两给定点且平分圆面积的最短曲线是圆弧（或直径），其圆心位置需要解一个超越方程才能得到。
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