过两球面交线的正圆柱方程怎么求？

好的，我们来聊聊如何求两个球面交线的正圆柱方程。这其实是一个挺有意思的几何问题，涉及到空间曲线的表示和圆柱面的方程。我尽量用一种比较“实在”的方式，就像跟朋友聊天一样，把这个过程说清楚。

咱们先说说什么是“过两球面交线的正圆柱”。

球面交线： 两个球面相交，它们交出来的是一个圆（或者只有一个点，或者完全不相交，但我们讨论的是相交的情况）。这个圆在空间里，就像一个圆环。
正圆柱： 就是我们平时说的圆柱，它的轴线垂直于它的底面。
过两球面交线的正圆柱： 意思就是，我们要找一个圆柱，它的轴线正好垂直于那个由两个球面相交形成的圆所在的平面，而且这个圆柱的底面（或者说它“包裹”着）那个交线圆。

为什么这个圆柱叫“正圆柱”？

我们知道，一般的圆柱，它的“轴线”可以跟底面不成直角。比如，斜着切一个圆柱，得到的截面可能不是圆。但“正圆柱”强调的就是那种“笔直”的圆柱，轴线和底面是垂直的。

核心问题：如何找到这个正圆柱的“姿态”？

要想写出一个圆柱的方程，我们最需要知道的是：

1. 轴线的位置和方向（一条直线）： 这决定了圆柱的“朝向”。
2. 圆柱的半径： 这决定了圆柱的“粗细”。

而我们手头的信息是“两个球面的交线”。所以，关键就是如何从这个交线圆的信息，反推出轴线和半径。

第一步：确定交线圆的性质

设我们有两个球面，它们的方程分别是：

球面1：$(xa_1)^2 + (yb_1)^2 + (zc_1)^2 = r_1^2$
球面2：$(xa_2)^2 + (yb_2)^2 + (zc_2)^2 = r_2^2$

这里 $(a_i, b_i, c_i)$ 是球心，$r_i$ 是半径。

关键点来了： 两个球面的交线，其实是一个圆。我们怎么知道它是个圆呢？

两个球面的方程相减：
$(xa_1)^2 + (yb_1)^2 + (zc_1)^2 r_1^2 = 0$
$(xa_2)^2 + (yb_2)^2 + (zc_2)^2 r_2^2 = 0$

把第二个方程从第一个方程里减去：
$[(xa_1)^2 (xa_2)^2] + [(yb_1)^2 (yb_2)^2] + [(zc_1)^2 (zc_2)^2] (r_1^2 r_2^2) = 0$

展开平方项，比如 $(xa_1)^2 (xa_2)^2 = (x^2 2a_1x + a_1^2) (x^2 2a_2x + a_2^2) = 2(a_2a_1)x + (a_1^2 a_2^2)$。
你会发现，所有的 $x^2, y^2, z^2$ 项都会被约掉。最后得到的是一个关于 $x, y, z$ 的线性方程：

$2(a_2a_1)x + 2(b_2b_1)y + 2(c_2c_1)z + (a_1^2+b_1^2+c_1^2r_1^2) (a_2^2+b_2^2+c_2^2r_2^2) = 0$

这个方程代表的是一个平面。这个平面叫做根平面。

交线的几何意义： 这个根平面包含了两个球面所有的交点。也就是说，两个球面的交线就位于这个平面上。

现在我们知道，交线是一个圆，并且这个圆位于一个特定的平面上。

第二步：确定正圆柱的轴线

我们要找的正圆柱，它的轴线要垂直于这个交线所在的平面。

根平面的法向量： 上面那个线性方程 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的法向量就是 $(A, B, C)$。
在这里，法向量 $vec{n} = (2(a_2a_1), 2(b_2b_1), 2(c_2c_1))$。
这个法向量的方向，就是我们正圆柱轴线的方向。

轴线的方向向量： 我们可以用 $vec{v} = (a_2a_1, b_2b_1, c_2c_1)$ 作为轴线的方向向量（前面那个常数2可以省略，因为我们只关心方向）。

所以，我们找到了圆柱的轴线的方向。但轴线在哪条线上？

轴线必须穿过交线圆的圆心。

交线圆的圆心： 交线圆的圆心，是根平面与连接两个球心连线（这条线段在根平面上的垂足）的交点。
设球心为 $O_1(a_1, b_1, c_1)$ 和 $O_2(a_2, b_2, c_2)$。连接 $O_1O_2$ 的向量是 $vec{O_1O_2} = (a_2a_1, b_2b_1, c_2c_1)$。
根平面 $2(a_2a_1)x + 2(b_2b_1)y + 2(c_2c_1)z + K = 0$ (其中 K 是常数部分) 的法向量就是 $vec{n} = (a_2a_1, b_2b_1, c_2c_1)$。
你会发现，连接两个球心 $O_1O_2$ 的直线，正好垂直于根平面！

所以，交线圆的圆心，就是直线 $O_1O_2$ 与根平面的交点。
直线 $O_1O_2$ 的参数方程可以写成：
$x = a_1 + t(a_2a_1)$
$y = b_1 + t(b_2b_1)$
$z = c_1 + t(c_2c_1)$

把这个代入根平面方程，就可以解出 $t$ 值，从而找到圆心 $C(x_0, y_0, z_0)$。

$2(a_2a_1)[a_1 + t(a_2a_1)] + 2(b_2b_1)[b_1 + t(b_2b_1)] + 2(c_2c_1)[c_1 + t(c_2c_1)] + K = 0$
$2(a_2a_1)a_1 + 2t(a_2a_1)^2 + 2(b_2b_1)b_1 + 2t(b_2b_1)^2 + 2(c_2c_1)c_1 + 2t(c_2c_1)^2 + K = 0$

$2[t((a_2a_1)^2 + (b_2b_1)^2 + (c_2c_1)^2)] + 2(a_1(a_2a_1) + b_1(b_2b_1) + c_1(c_2c_1)) + K = 0$

解出 $t$。这个 $t$ 对应的点就是交线圆的圆心 $C$。

现在我们知道圆柱的轴线： 它是一条过点 $C(x_0, y_0, z_0)$，方向向量为 $vec{v} = (a_2a_1, b_2b_1, c_2c_1)$ 的直线。

第三步：确定圆柱的半径

圆柱的半径就是交线圆的半径。

交线圆的半径 $r_{交线}$：
我们已经得到了交线圆所在的平面方程 $Ax + By + Cz + D = 0$（比如根平面）。
我们还知道交线圆的圆心 $C(x_0, y_0, z_0)$。
交线圆上的任意一个点，都既在球面1上，也在球面2上。我们取一个点 $P(x, y, z)$ 作为交线圆上的点。
那么，这个点 $P$ 到圆心 $C$ 的距离就是圆的半径。
$r_{交线}^2 = (xx_0)^2 + (yy_0)^2 + (zz_0)^2$

但我们通常直接用球面的信息来计算这个半径。
交线圆的半径 $r_{交线}$ 是球面1（或球面2）的半径 $r_1$ 和球心 $O_1$ 到根平面的距离 $d_1$ 的关系。
想象一下，从球心 $O_1$ 向根平面做垂线，垂足就是交线圆的圆心 $C$。$O_1C$ 的长度就是 $d_1$。
$O_1C$ 加上交线圆半径的平方，等于球半径的平方 ($O_1C^2 + r_{交线}^2 = r_1^2$)。
所以，$r_{交线}^2 = r_1^2 d_1^2$。

$d_1$ 是球心 $O_1(a_1, b_1, c_1)$ 到根平面 $2(a_2a_1)x + 2(b_2b_1)y + 2(c_2c_1)z + K = 0$ 的距离。
$d_1 = frac{|2(a_2a_1)a_1 + 2(b_2b_1)b_1 + 2(c_2c_1)c_1 + K|}{sqrt{(2(a_2a_1))^2 + (2(b_2b_1))^2 + (2(c_2c_1))^2}}$
$d_1 = frac{|2(a_2a_1)a_1 + 2(b_2b_1)b_1 + 2(c_2c_1)c_1 + (a_1^2+b_1^2+c_1^2r_1^2) (a_2^2+b_2^2+c_2^2r_2^2)|}{2sqrt{(a_2a_1)^2 + (b_2b_1)^2 + (c_2c_1)^2}}$

$r_{交线}^2 = r_1^2 d_1^2$。

现在我们知道了圆柱的半径 $R = r_{交线}$。

第四步：写出正圆柱的方程

一个以点 $C(x_0, y_0, z_0)$ 为中心，方向向量为 $vec{v} = (a, b, c)$ （这里 $(a, b, c) = (a_2a_1, b_2b_1, c_2c_1)$），半径为 $R$ 的正圆柱方程，可以用距离来表示。

圆柱上的任意一点 $P(x, y, z)$ 到圆柱轴线的垂直距离都等于半径 $R$。

点 $P(x, y, z)$ 到轴线（过 $C$，方向为 $vec{v}$）的垂直距离的平方：
向量 $CP = (xx_0, yy_0, zz_0)$。
这个向量在方向向量 $vec{v}$ 上的投影是 $ ext{proj}_{vec{v}} CP = frac{CP cdot vec{v}}{|vec{v}|^2} vec{v}$。
垂直于 $vec{v}$ 的分量是 $CP ext{proj}_{vec{v}} CP$。
垂直距离的平方就是 $|CP ext{proj}_{vec{v}} CP|^2$。

另一种更直观的计算垂直距离平方的方法是：
距离平方 $= |CP|^2 ( ext{点到直线的距离公式中的投影长度})^2$
点 $P(x, y, z)$ 到过点 $C(x_0, y_0, z_0)$ 且方向向量为 $vec{v}=(a,b,c)$ 的直线的距离 $d$ 为：
$d = frac{| vec{CP} imes vec{v} |}{|vec{v}|}$
所以，距离的平方 $d^2 = frac{| vec{CP} imes vec{v} |^2}{|vec{v}|^2}$。

我们要求的就是 $d^2 = R^2$。
$vec{CP} = (xx_0, yy_0, zz_0)$
$vec{v} = (a, b, c)$

$vec{CP} imes vec{v} = egin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ xx_0 & yy_0 & zz_0 \ a & b & c end{vmatrix} = ( (yy_0)c (zz_0)b ) mathbf{i} ( (xx_0)c (zz_0)a ) mathbf{j} + ( (xx_0)b (yy_0)a ) mathbf{k}$

$| vec{CP} imes vec{v} |^2 = ((yy_0)c (zz_0)b)^2 + ((xx_0)c (zz_0)a)^2 + ((xx_0)b (yy_0)a)^2$
$|vec{v}|^2 = a^2 + b^2 + c^2$

所以，圆柱的方程是：
$frac{((yy_0)c (zz_0)b)^2 + ((xx_0)c (zz_0)a)^2 + ((xx_0)b (yy_0)a)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = R^2$

这就是我们要求的正圆柱方程。

总结一下步骤：

1. 写出两个球面的方程。
2. 通过相减得到根平面方程 $Ax + By + Cz + D = 0$。
3. 确定轴线方向向量： $vec{v} = (A, B, C)$ （或者更简单的 $(a_2a_1, b_2b_1, c_2c_1)$）。
4. 计算交线圆的圆心 $C(x_0, y_0, z_0)$： 找到直线 $O_1O_2$ 与根平面的交点。
5. 计算交线圆的半径 $R$： $R^2 = r_1^2 d(O_1, ext{根平面})^2$。
6. 利用点到直线的距离公式构造圆柱方程：
$frac{| vec{CP} imes vec{v} |^2}{|vec{v}|^2} = R^2$
其中 $P=(x, y, z)$ 是圆柱上的任意一点，$C$ 是圆心，$vec{v}$ 是轴线方向向量。

一个简化思想：坐标变换

如果觉得上面的公式推导有点繁琐，还可以换个思路：

1. 找到轴线： 确定圆心 $C$ 和方向向量 $vec{v}$。
2. 进行坐标变换：
将坐标系平移，使新的原点与 $C$ 重合。
再进行旋转，使新的 $z'$ 轴（例如）与 $vec{v}$ 方向重合。
在新的坐标系 $(x', y', z')$ 下，圆柱的方程就非常简单了：$x'^2 + y'^2 = R^2$。
3. 将新坐标反变换回旧坐标。

这种方法在理论上更优雅，但实际操作中，进行准确的旋转矩阵计算也需要细心。

例子（简单示意）：

假设有两个球面：
球面1：$x^2 + y^2 + z^2 = 4$ (球心 $O_1=(0,0,0)$, 半径 $r_1=2$)
球面2：$(x1)^2 + y^2 + z^2 = 4$ (球心 $O_2=(1,0,0)$, 半径 $r_2=2$)

1. 相减：
$x^2+y^2+z^2 4 = 0$
$(x1)^2+y^2+z^2 4 = 0$
相减得：$x^2 (x1)^2 = 0 implies x^2 (x^2 2x + 1) = 0 implies 2x 1 = 0$。
根平面是 $x = 1/2$。

2. 轴线方向： 根平面是 $1x + 0y + 0z 1/2 = 0$，所以法向量是 $(1, 0, 0)$。轴线方向向量 $vec{v} = (1, 0, 0)$。
这也和 $O_1O_2$ 向量 $(1,0,0)$ 一致。

3. 圆心： 根平面 $x=1/2$ 与直线 $O_1O_2$ (也就是 $x$ 轴，$y=0, z=0$) 的交点是 $(1/2, 0, 0)$。所以圆心 $C=(1/2, 0, 0)$。

4. 半径：
球心 $O_1=(0,0,0)$ 到根平面 $x1/2=0$ 的距离 $d_1 = frac{|01/2|}{sqrt{1^2}} = 1/2$。
交线圆半径 $R$ 满足 $R^2 = r_1^2 d_1^2 = 2^2 (1/2)^2 = 4 1/4 = 15/4$。
所以 $R = sqrt{15}/2$。

5. 圆柱方程：
圆心 $C=(1/2, 0, 0)$，方向向量 $vec{v}=(1, 0, 0)$，半径 $R=sqrt{15}/2$。
设 $P=(x, y, z)$ 是圆柱上的点。
$vec{CP} = (x1/2, y, z)$。
$vec{v} = (1, 0, 0)$。
$|vec{v}|^2 = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1$。
$vec{CP} imes vec{v} = egin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ x1/2 & y & z \ 1 & 0 & 0 end{vmatrix} = (0 0)mathbf{i} (0 (x1/2))mathbf{j} + (0 y)mathbf{k} = (x1/2)mathbf{j} ymathbf{k}$
$| vec{CP} imes vec{v} |^2 = (x1/2)^2 + (y)^2 = (x1/2)^2 + y^2$

所以圆柱方程是：
$frac{(x1/2)^2 + y^2}{1} = (sqrt{15}/2)^2 = 15/4$
$(x1/2)^2 + y^2 = 15/4$

这个结果有点意外，它看起来像个圆柱，但轴线却是 $x$ 轴。仔细想想，我们的交线是在平面 $x=1/2$ 上的一个圆，圆心是 $(1/2, 0, 0)$。如果圆柱轴线是 $x$ 轴，它和交线圆所在的平面 ($x=1/2$) 并不垂直。

问题出在哪里？
这里要区分“过两球面交线的正圆柱”和“以两球面交线圆为底面的正圆柱”。
我上面的推导，是找到了交线圆，然后找了一个“跟交线圆所在的平面垂直”且“包含交线圆”的正圆柱。
但原文更可能的理解是：这个圆柱的轴线，就是连接两个球心的直线。

如果轴线就是连接球心 $O_1O_2$ 的直线，并且这个圆柱“恰好”能包住交线圆，那么半径怎么确定？
这种情况下，轴线的方向就是 $vec{v} = O_2 O_1$。
半径 $R$ 应该是什么？
如果圆柱“包裹”住交线，那么它的半径 $R$ 应该大于等于交线圆的半径。
但“正圆柱方程”这个说法，通常意味着它有一个确定的半径，并且这个圆柱是由交线圆“确定”的。

重新理解“过两球面交线的正圆柱”：
一种常见的理解是，这个正圆柱的轴线是连接两个球心的直线，而圆柱的半径等于交线圆的半径。
在这种情况下，轴线方向是 $vec{v} = (a_2a_1, b_2b_1, c_2c_1)$。
圆心 $C$ 仍然是 $O_1O_2$ 与根平面的交点。
半径 $R$ 仍然是交线圆的半径。
那么，圆柱方程就是：
$frac{| vec{CP} imes vec{v} |^2}{|vec{v}|^2} = R^2$

回到上面的例子：
$O_1=(0,0,0), O_2=(1,0,0), C=(1/2,0,0), vec{v}=(1,0,0), R^2=15/4$。
$vec{CP} = (x1/2, y, z)$。
$vec{v} = (1, 0, 0)$。
$|vec{v}|^2 = 1$。
$vec{CP} imes vec{v} = (x1/2)mathbf{j} ymathbf{k}$
$| vec{CP} imes vec{v} |^2 = (x1/2)^2 + y^2$
方程是 $(x1/2)^2 + y^2 = 15/4$。

这个方程描述的是一个轴线是 $x$ 轴，圆心在 $(1/2, 0, 0)$ 处的圆柱。
但问题是，轴线 $x$ 轴和交线圆所在的平面 $x=1/2$ 并不垂直！

难道“正圆柱”在这里的含义是指“轴线垂直于根平面”？
如果是这样，那么我的第一种推导是正确的：
轴线方向是根平面的法向量。
轴线过交线圆的圆心。
半径是交线圆的半径。

再看我第一个例子：
根平面 $x = 1/2$。轴线方向 $vec{v}=(1,0,0)$。
圆心 $C=(1/2, 0, 0)$。
半径 $R=sqrt{15}/2$。

如果圆柱的轴线就是根平面的法向量方向，并且过圆心。
那么，轴线应该是一个过 $(1/2, 0, 0)$ 并且方向是 $(1, 0, 0)$ 的直线，也就是 $x$ 轴本身。
这个轴线（$x$ 轴）确实和根平面 $x=1/2$ 是垂直的！
所以，我的那个推导是符合“轴线垂直于根平面”的理解的。

问题的关键在于对“过两球面交线的正圆柱”的定义。
通常，当说到“某曲线”的正圆柱时，是指圆柱的轴线垂直于该曲线所在的平面，并且圆柱包含该曲线。

如果定义为：轴线是 $O_1O_2$ 连线，半径是交线半径。
那么，这种圆柱不一定是“正圆柱”（轴线不一定垂直于交线所在的平面）。

如果定义为：轴线垂直于交线所在的平面，且过交线圆心，半径等于交线半径。
那么，轴线方向就是根平面的法向量。
这就是我前面推导的那个，最终得到了 $(x1/2)^2 + y^2 = 15/4$ 的结果。
这个圆柱的轴线是 $x$ 轴，它确实垂直于交线所在的平面 $x=1/2$。

所以，根据“轴线垂直于交线所在的平面”这个更标准的几何定义，我的第一个推导是正确的。

让我们再检查一下。
球面1：$x^2+y^2+z^2 = 4$
球面2：$(x1)^2+y^2+z^2 = 4$
交线在平面 $x=1/2$ 上。
圆心在 $(1/2, 0, 0)$。
半径 $R=sqrt{15}/2$。
轴线是过 $(1/2, 0, 0)$ 且垂直于 $x=1/2$ 平面的直线，即 $x$ 轴。
方程是 $(x1/2)^2 + y^2 = R^2$ 吗？
不，轴线是 $x$ 轴，其方向向量是 $(1,0,0)$。
从一个点 $(x,y,z)$ 到 $x$ 轴的距离平方是 $y^2+z^2$。
所以，如果轴线是 $x$ 轴，方程应该是 $y^2+z^2 = R^2$。
但这个圆柱的“圆心”在哪里？轴线是 $x$ 轴，它穿越了整个 $x$ 轴。
如果圆柱的“轴线”要过交线圆的圆心 $(1/2,0,0)$，并且是 $x$ 轴，那这个描述就有点重叠了。

澄清定义：
一个圆柱，由一条轴线（一条直线）和一个半径 $R$ 确定。圆柱上的任意点到轴线的垂直距离等于 $R$。
“过两球面交线的正圆柱”：
1. 轴线： 垂直于包含交线的平面（根平面）的直线。
2. 轴线位置： 穿过交线圆的圆心。
3. 半径： 交线圆的半径。

所以，对于示例：
根平面 $x = 1/2$。
交线圆圆心 $C = (1/2, 0, 0)$。
轴线方向 $vec{v} = (1, 0, 0)$。
轴线是一条过 $C=(1/2, 0, 0)$ 且方向为 $vec{v}=(1, 0, 0)$ 的直线。 这条直线就是 $x$ 轴。
半径 $R = sqrt{15}/2$。

那么，一个过点 $C(1/2, 0, 0)$，方向为 $vec{v}=(1, 0, 0)$，半径为 $R$ 的圆柱方程是：
$P=(x, y, z)$
$vec{CP} = (x1/2, y, z)$
$vec{v} = (1, 0, 0)$
$|vec{v}|^2 = 1$
$vec{CP} imes vec{v} = (y cdot 0 z cdot 0)mathbf{i} ((x1/2)cdot 0 zcdot 1)mathbf{j} + ((x1/2)cdot 0 ycdot 1)mathbf{k}$
$vec{CP} imes vec{v} = zmathbf{j} ymathbf{k}$
$| vec{CP} imes vec{v} |^2 = z^2 + (y)^2 = z^2 + y^2$

方程是 $frac{z^2 + y^2}{1} = R^2 = 15/4$。
所以，$y^2 + z^2 = 15/4$。

这个方程 $y^2+z^2=15/4$ 描述的是一个以 $x$ 轴为轴线，半径为 $sqrt{15}/2$ 的圆柱。
它确实通过了交线圆的圆心 $(1/2, 0, 0)$ (因为代入 $y=0, z=0$ 成立)。
它的轴线 ($x$ 轴) 确实垂直于交线所在的平面 ($x=1/2$)。

嗯，这个理解是通的。
我的第一个推导，用点到直线的距离公式：
$frac{((yy_0)c (zz_0)b)^2 + ((xx_0)c (zz_0)a)^2 + ((xx_0)b (yy_0)a)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = R^2$
代入 $C=(1/2, 0, 0)$，$vec{v}=(a,b,c)=(1,0,0)$，$R^2=15/4$：
$x_0=1/2, y_0=0, z_0=0, a=1, b=0, c=0$
$frac{((y0)cdot 0 (z0)cdot 0)^2 + ((x1/2)cdot 0 (z0)cdot 1)^2 + ((x1/2)cdot 0 (y0)cdot 1)^2}{1^2 + 0^2 + 0^2} = 15/4$
$frac{0 + (z)^2 + (y)^2}{1} = 15/4$
$z^2 + y^2 = 15/4$

一致了！ 这种理解是正确的。

总结再一遍，并且稍微精炼：

1. 根平面：由两个球面方程相减得到一个线性方程 $Ax+By+Cz+D=0$。这就是包含交线的平面。
2. 圆柱轴线：
方向： 根平面的法向量 $vec{v}=(A, B, C)$。
位置： 交线圆的圆心 $C$。圆心是直线 $O_1O_2$ (由两个球心 $O_1, O_2$ 确定的直线) 与根平面的交点。
3. 圆柱半径：交线圆的半径 $R$。可以通过 $R^2 = r_1^2 d(O_1, ext{根平面})^2$ 计算。
4. 圆柱方程：利用点 $P(x, y, z)$ 到过点 $C$ 方向为 $vec{v}$ 的直线的距离平方等于 $R^2$ 来构造：
$frac{| vec{CP} imes vec{v} |^2}{|vec{v}|^2} = R^2$
展开后就是最终的代数方程。

这个过程确实是需要耐心去计算。希望能讲得足够细了。

两球方程做差

这个是两球交线圆 所在平面 ，此平面的单位法向量

与所求圆柱面母线平行. 而圆柱对称轴通过原点，只需知道圆柱半径 即可列出圆柱方程：

而圆柱半径，通过简单的平面几何计算可得. 先计算原点（球心）到平面 的距离

其中 .

由勾股定理可知

代入 即可得圆柱方程.