思考一个问题，任意给定一个非零有理数和一个无理数，能否通过加减（可以无限次）使极限收敛到整个实数集？
这个问题很有意思，咱们一起来掰扯掰扯。
首先，我们得明确一下问题的前提：“任意给定一个非零有理数”和“一个无理数”。这里“任意”两个字很关键，说明我们不能挑拣着来，任何一对组合都要考虑。而“非零有理数”呢，就是可以表示成 $p/q$ 的数，其中 $p, q$ 都是整数，$q$ 不等于零，$p$ 也不等于零。比如 $1/2$, $3/7$, $5$（可以看作 $5/1$）等等。至于“无理数”，那就是我们熟知的那些，比如 $pi$, $sqrt{2}$, $e$ 这类，他们的小数表示是无限不循环的。
然后，我们要探讨的是“通过加减（可以无限次）使极限收敛到整个实数集”。这里有两个核心概念：加减（无限次）和极限收敛到整个实数集。
“加减（无限次）”意味着我们可以进行这样的操作：给定一个非零有理数 $a$ 和一个无理数 $b$，我们可以形成一系列的数，比如 $a+b$, $ab$, $a+a+b$, $ab+a+b$ 诸如此类。实际上，所有这些通过有限次加减组合出来的数，都可以表示为 $m cdot a + n cdot b$ 的形式，其中 $m, n$ 是整数，并且 $m$ 和 $n$ 的和不能同时为零（因为我们至少要用到 $a$ 或 $b$）。如果允许无限次加减，那会涉及到序列的概念，比如 $x_k = sum_{i=1}^k c_i cdot a_i + sum_{j=1}^l d_j cdot b_j$ 之类的，但更直接的理解是，我们能形成的数是形如 $m cdot a + n cdot b$ 的有限次加减组合。因为任何有限次的加减操作，都可以化简成一个有理数乘以 $a$ 加上一个整数乘以 $b$ 的形式。
“极限收敛到整个实数集”，这句话有点容易让人产生误解。我们是在问，我们能生成的这些数的集合，是不是就是整个实数集？而不是说，通过某种加减序列，最终“达到”了某个特定的实数，然后“收敛”到它。这里更准确的说法是：我们能否通过对 $a$ 和 $b$ 进行加减运算，得到一个集合，这个集合包含了所有的实数，或者说这个集合的“密度”足够大，使得任何一个实数都可以被“逼近”到任意精度。但如果理解为“集合包含所有实数”，那问题会更尖锐。
好了，带着这些理解，我们来分析一下。
假设我们给定的非零有理数是 $a$，无理数是 $b$。我们能通过加减得到的数，最基本的形式就是 $m cdot a + n cdot b$，其中 $m$ 和 $n$ 是整数。
考虑一下 $m cdot a + n cdot b$ 这样的数的集合 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$. 这个集合 $S$ 是一个整数格（lattice）在实数集上的映射。
我们知道，一个非零有理数 $a$ 乘以任意整数 $m$，可以得到一串有理数 $dots, 2a, a, 0, a, 2a, dots$。这串有理数在数轴上是等间距分布的，间距为 $|a|$。
现在，我们加入了一个无理数 $b$。我们生成的数是 $m cdot a + n cdot b$。
让我们换个角度想：如果我们能通过加减组合出所有的实数，这意味着什么？这意味着我们生成的集合 $S$ 要么就是 $mathbb{R}$ 本身，要么至少是 $mathbb{R}$ 的一个稠密子集。稠密子集的意思是，在实数轴上的任何一个区间内，总能找到 $S$ 中的点。
我们能否生成一个稠密的集合？
想象一下，如果我们把 $a$ 看作一个“单位”，那么 $m cdot a$ 就能覆盖一些等间距的点。而 $n cdot b$ 则是另一个“方向”上的偏移。
考虑一个特殊的无理数，比如 $b = sqrt{2}$，非零有理数 $a = 1$。我们生成的数是 $m + nsqrt{2}$，$m, n in mathbb{Z}$。这类数被称为二次域的元素。这些数虽然分布得越来越密集，但它们在实数轴上还是“稀疏”的，并不是整个实数集。比如，任何一个有理数都不能表示成 $m + nsqrt{2}$ 的形式（除非 $n=0$）。所以，这个集合远远不是整个实数集。
关键在于，我们能得到的数是不是只局限于某个特定的“结构”？
如果 $b$ 是 $a$ 的倍数，比如 $b = k cdot a$，其中 $k$ 是有理数，那么 $m cdot a + n cdot b = m cdot a + n cdot (k cdot a) = (m + n k) cdot a$。因为 $m, n, k$ 都是有理数，所以 $m+nk$ 也是一个有理数。这样我们生成的数仍然是 $a$ 的有理数倍，只是“密度”可能变大了，但集合仍然只是有理数集的一个子集，更不是整个实数集。但问题说的是一个无理数，所以这种情况不会发生。
回到 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$。这里 $a$ 是非零有理数，$b$ 是无理数。
考虑一下 $b/a$ 的值。因为 $a$ 是非零有理数，$b$ 是无理数，所以 $b/a$ 必然是一个无理数。
我们生成的集合 $S$ 中的任意一个元素，都可以写成 $a cdot (m + n cdot (b/a))$。
这意味着，集合 $S$ 中的所有数，都是由 $a$ 和另一个无理数 $(m + n cdot (b/a))$ 的组合产生的。
我们能否生成任意一个实数 $x$？
这意味着，对于任意的实数 $x$，我们需要找到整数 $m$ 和 $n$，使得 $x = m cdot a + n cdot b$。
或者等价地，找到整数 $m$ 和 $n$，使得 $x/a = m + n cdot (b/a)$。
这里的核心问题是，由 $m + n cdot eta$ (其中 $eta$ 是无理数，$m, n$ 是整数) 构成的集合，能否包含实数轴上的所有实数？
答案是：不能。
让我们考虑一下我们能生成的数的“性质”。
如果 $a$ 是一个非零有理数，那么 $m cdot a$ 始终是有理数。
如果 $b$ 是一个无理数，那么 $n cdot b$ (当 $n eq 0$) 始终是无理数。
那么 $m cdot a + n cdot b$ 是什么？
如果 $n=0$，我们得到 $m cdot a$，这是一个有理数。
如果 $n eq 0$，我们得到 $m cdot a + n cdot b$。我们知道，一个有理数加上一个无理数，结果是无理数。
所以，我们生成的集合 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$ 实际上只包含两类数：
1. 有理数：当 $n=0$ 时，我们得到 $m cdot a$，它们是有理数。
2. 无理数：当 $n eq 0$ 时，我们得到 $m cdot a + n cdot b$，它们是无理数。
我们的集合 $S$ 只包含有理数和一类特定的无理数。
问题来了：我们能生成的这个集合 $S$ 是不是“稠密到可以逼近所有实数”？
根据著名的狄利克雷逼近定理（Dirichlet's Approximation Theorem），对于任意给定的实数 $alpha$ 和任意正整数 $N$，都存在整数 $p$ 和 $q$（其中 $1 leq q leq N$），使得 $|qalpha p| < 1/N$。
这个定理告诉我们，对于任何一个实数 $alpha$，我们总能找到有理数 $p/q$ 来“近似”它。
让我们用这个思路来思考我们的问题。我们关注的是集合 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$。
我们可以考虑集合 ${ n cdot b mid n in mathbb{Z} }$。这组数是 $b$ 的整数倍，它们在实数轴上以 $|b|$ 为间隔分布。这个集合显然不是稠密的。
现在我们加入 $m cdot a$。
考虑 $a=1$, $b=sqrt{2}$。集合是 ${m + nsqrt{2} mid m, n in mathbb{Z}}$。这个集合是 $mathbb{Z}[sqrt{2}]$ 的元素。这个集合不是稠密的，它能逼近很多数，但不能逼近所有的数。例如，任何一个有理数都不能表示成 $m+nsqrt{2}$ 的形式（除非 $n=0$）。
如果我们想逼近一个任意的实数 $x$，我们需要找到 $m, n$ 使得 $m cdot a + n cdot b approx x$。
这等价于 $n cdot b approx x m cdot a$。
或者 $b approx (x m cdot a) / n$。
换句话说，我们是否能用 $b$ 来“近似”形如 $(x m cdot a) / n$ 的数？
其中 $m, n$ 是整数，$x$ 是任意实数，$a$ 是非零有理数。
最关键的一点在于，我们生成的数的集合，始终是具有特定结构的。
如果我们把 $a$ 和 $b$ 看作两个“基向量”，那么 $m cdot a + n cdot b$ 是以这两个基向量为方向的线性组合。在实数集上，这是一个由两个线性无关（因为一个是可约数，一个是无理数）的“向量”张成的集合。
考虑一下，如果 $b$ 是一个超越数，比如 $pi$。非零有理数 $a=1$。我们能生成的数是 $m + npi$ ($m, n in mathbb{Z}$)。这个集合是 ${ dots, 1+pi, pi, 1+pi, 2+pi, dots }$ 加上 ${ dots, 2, 1, 0, 1, 2, dots }$。这个集合是稠密的吗？
比如，你能用 $m+npi$ 来表示 $sqrt{2}$ 吗？
$sqrt{2} = m + npi$
$sqrt{2} m = npi$
如果 $n eq 0$，那么 $pi = (sqrt{2}m)/n$。由于 $m, n$ 是整数，$(sqrt{2}m)/n$ 是一个实数。如果 $n=0$，那么 $sqrt{2} = m$，这是不可能的。如果 $n eq 0$，那么 $(sqrt{2}m)/n$ 可以是有理数（如果 $m=0$ 且 $sqrt{2}/n$ 是有理数，不可能）或者无理数。但我们知道 $pi$ 是超越数，而 $(sqrt{2}m)/n$ 是代数数（因为 $sqrt{2}$ 是代数数）。超越数不能等于代数数。所以，$sqrt{2}$ 不能表示成 $m+npi$ 的形式。
这意味着，我们能生成的集合 不是整个实数集。
那么，是否能通过“加减无限次”这个更广泛的操作来生成整个实数集呢？
思考一下，所有通过有限次加减得到的数，都可以表示成 $m cdot a + n cdot b$ 的形式，其中 $m, n$ 是整数。
如果允许“无限次加减”，这暗示着我们可以构建一个序列，比如 $x_k = sum_{i=1}^{N_k} c_i cdot ( ext{a or b})$ 的形式，其中 $c_i$ 是加减符号。
但是，任何一个有限项的加减组合，都可以化简成形如 $M cdot a + N cdot b$ 的形式，其中 $M, N$ 是整数。
比如：$a b + a + a b = (11+1+1)a + (11)b = 3a 2b$.
所以，“无限次加减”最终能生成的数的集合，还是由形如 $m cdot a + n cdot b$ ($m, n in mathbb{Z}$) 的所有数的集合。
因此，答案是：不能。
我们能生成的数的集合 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$，其中 $a$ 是非零有理数，$b$ 是无理数，不是整个实数集 $mathbb{R}$。
原因在于：
1. 结构的限制： 任意一个生成的数都形式为 $m cdot a + n cdot b$。如果 $b$ 是一个超越数（例如 $pi$），而 $a$ 是 $1$，那么我们生成的数 $m+npi$ 只能是代数数（如果 $n=0$）或者具有特定形式的超越数。而实数集包含了各种各样的超越数，并非所有超越数都能表示成这种形式。例如，我们无法用 $m+npi$ 来表示另一个独立的超越数 $gamma$（如果 $gamma$ 和 $pi$ 之间的关系不是简单的线性关系）。更简单的例子是，如上文所示，我们无法将一个无理数 $sqrt{2}$ 表示成 $m+npi$ 的形式，因为它是一个代数数，而 $m+npi$ 的形式，如果 $n eq 0$，通常会是超越数，但当 $n=0$ 时，它就是有理数。所以，生成的集合中存在有理数，但不存在某些代数数（除非恰好有 $n=0$ 的情况）。
2. 线性无关性： $a$（非零有理数）和 $b$（无理数）虽然在实数集上“不同”，但它们之间的关系是“局限”的。就像在一个二维平面上，如果你只有两个不共线的基向量，你只能张成一个二维平面内的所有点，而无法触及三维空间中的所有点。在这里，虽然我们是在实数集上，但 $a$ 和 $b$ 的关系（即 $b/a$ 是无理数）限制了我们生成的数的“多样性”。
我们生成的集合 $S = { a(m + n(b/a)) mid m, n in mathbb{Z} }$。令 $eta = b/a$，则 $eta$ 是无理数。集合就是 ${ a(m + neta) mid m, n in mathbb{Z} }$.
这个集合的结构与集合 ${ m + neta mid m, n in mathbb{Z} }$ 是非常相似的，只是多了一个有理数的缩放因子 $a$。
即使 $eta$ 是一个像 $sqrt{2}$ 这样的代数无理数，集合 ${ m + nsqrt{2} mid m, n in mathbb{Z} }$ 也只是 $mathbb{Z}[sqrt{2}]$，这是一个整数环上的一个格点结构，它不是稠密的，也并非整个实数集。
所以，无论你选择什么样的非零有理数 $a$ 和什么样的无理数 $b$，通过有限次加减得到的数的集合，始终是形如 $m cdot a + n cdot b$ 的数。而这样一个集合，在实数轴上总会存在“空隙”，它无法包含所有的实数。即使是无限次加减，也无法脱离有限次加减所形成的集合的范畴。
举个更直观的例子：如果我们从 $1$ 和 $sqrt{2}$ 开始，我们只能得到形如 $m + nsqrt{2}$ 的数。这些数，比如 $1 + sqrt{2}$, $2 + sqrt{2}$, $1 + 2sqrt{2}$ 等等，它们在实数轴上的分布是稀疏的。我们永远无法通过这些数来精确表示像 $1/3$ 这样的有理数（因为如果 $n=0$，结果是有理数，但只有整数倍的 $1$；如果 $n eq 0$，结果是无理数）。即使我们允许无限次加减，最终生成的也还是这个集合内的数，并没有跳出这个框框。
所以，最终结论是：不能。
首先，我们得明确一下问题的前提：“任意给定一个非零有理数”和“一个无理数”。这里“任意”两个字很关键，说明我们不能挑拣着来，任何一对组合都要考虑。而“非零有理数”呢，就是可以表示成 $p/q$ 的数，其中 $p, q$ 都是整数，$q$ 不等于零，$p$ 也不等于零。比如 $1/2$, $3/7$, $5$（可以看作 $5/1$）等等。至于“无理数”，那就是我们熟知的那些，比如 $pi$, $sqrt{2}$, $e$ 这类，他们的小数表示是无限不循环的。
然后，我们要探讨的是“通过加减（可以无限次）使极限收敛到整个实数集”。这里有两个核心概念：加减（无限次）和极限收敛到整个实数集。
“加减（无限次）”意味着我们可以进行这样的操作：给定一个非零有理数 $a$ 和一个无理数 $b$，我们可以形成一系列的数，比如 $a+b$, $ab$, $a+a+b$, $ab+a+b$ 诸如此类。实际上，所有这些通过有限次加减组合出来的数，都可以表示为 $m cdot a + n cdot b$ 的形式，其中 $m, n$ 是整数，并且 $m$ 和 $n$ 的和不能同时为零（因为我们至少要用到 $a$ 或 $b$）。如果允许无限次加减，那会涉及到序列的概念，比如 $x_k = sum_{i=1}^k c_i cdot a_i + sum_{j=1}^l d_j cdot b_j$ 之类的，但更直接的理解是，我们能形成的数是形如 $m cdot a + n cdot b$ 的有限次加减组合。因为任何有限次的加减操作，都可以化简成一个有理数乘以 $a$ 加上一个整数乘以 $b$ 的形式。
“极限收敛到整个实数集”，这句话有点容易让人产生误解。我们是在问，我们能生成的这些数的集合，是不是就是整个实数集？而不是说，通过某种加减序列，最终“达到”了某个特定的实数，然后“收敛”到它。这里更准确的说法是：我们能否通过对 $a$ 和 $b$ 进行加减运算，得到一个集合，这个集合包含了所有的实数，或者说这个集合的“密度”足够大，使得任何一个实数都可以被“逼近”到任意精度。但如果理解为“集合包含所有实数”，那问题会更尖锐。
好了，带着这些理解，我们来分析一下。
假设我们给定的非零有理数是 $a$，无理数是 $b$。我们能通过加减得到的数，最基本的形式就是 $m cdot a + n cdot b$，其中 $m$ 和 $n$ 是整数。
考虑一下 $m cdot a + n cdot b$ 这样的数的集合 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$. 这个集合 $S$ 是一个整数格（lattice）在实数集上的映射。
我们知道，一个非零有理数 $a$ 乘以任意整数 $m$，可以得到一串有理数 $dots, 2a, a, 0, a, 2a, dots$。这串有理数在数轴上是等间距分布的，间距为 $|a|$。
现在，我们加入了一个无理数 $b$。我们生成的数是 $m cdot a + n cdot b$。
让我们换个角度想：如果我们能通过加减组合出所有的实数，这意味着什么？这意味着我们生成的集合 $S$ 要么就是 $mathbb{R}$ 本身，要么至少是 $mathbb{R}$ 的一个稠密子集。稠密子集的意思是，在实数轴上的任何一个区间内，总能找到 $S$ 中的点。
我们能否生成一个稠密的集合？
想象一下，如果我们把 $a$ 看作一个“单位”，那么 $m cdot a$ 就能覆盖一些等间距的点。而 $n cdot b$ 则是另一个“方向”上的偏移。
考虑一个特殊的无理数，比如 $b = sqrt{2}$，非零有理数 $a = 1$。我们生成的数是 $m + nsqrt{2}$，$m, n in mathbb{Z}$。这类数被称为二次域的元素。这些数虽然分布得越来越密集，但它们在实数轴上还是“稀疏”的，并不是整个实数集。比如，任何一个有理数都不能表示成 $m + nsqrt{2}$ 的形式（除非 $n=0$）。所以，这个集合远远不是整个实数集。
关键在于，我们能得到的数是不是只局限于某个特定的“结构”？
如果 $b$ 是 $a$ 的倍数，比如 $b = k cdot a$，其中 $k$ 是有理数，那么 $m cdot a + n cdot b = m cdot a + n cdot (k cdot a) = (m + n k) cdot a$。因为 $m, n, k$ 都是有理数，所以 $m+nk$ 也是一个有理数。这样我们生成的数仍然是 $a$ 的有理数倍，只是“密度”可能变大了，但集合仍然只是有理数集的一个子集，更不是整个实数集。但问题说的是一个无理数，所以这种情况不会发生。
回到 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$。这里 $a$ 是非零有理数，$b$ 是无理数。
考虑一下 $b/a$ 的值。因为 $a$ 是非零有理数，$b$ 是无理数，所以 $b/a$ 必然是一个无理数。
我们生成的集合 $S$ 中的任意一个元素，都可以写成 $a cdot (m + n cdot (b/a))$。
这意味着，集合 $S$ 中的所有数，都是由 $a$ 和另一个无理数 $(m + n cdot (b/a))$ 的组合产生的。
我们能否生成任意一个实数 $x$？
这意味着，对于任意的实数 $x$，我们需要找到整数 $m$ 和 $n$，使得 $x = m cdot a + n cdot b$。
或者等价地，找到整数 $m$ 和 $n$，使得 $x/a = m + n cdot (b/a)$。
这里的核心问题是，由 $m + n cdot eta$ (其中 $eta$ 是无理数，$m, n$ 是整数) 构成的集合，能否包含实数轴上的所有实数？
答案是：不能。
让我们考虑一下我们能生成的数的“性质”。
如果 $a$ 是一个非零有理数，那么 $m cdot a$ 始终是有理数。
如果 $b$ 是一个无理数，那么 $n cdot b$ (当 $n eq 0$) 始终是无理数。
那么 $m cdot a + n cdot b$ 是什么？
如果 $n=0$，我们得到 $m cdot a$，这是一个有理数。
如果 $n eq 0$，我们得到 $m cdot a + n cdot b$。我们知道，一个有理数加上一个无理数，结果是无理数。
所以，我们生成的集合 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$ 实际上只包含两类数：
1. 有理数：当 $n=0$ 时，我们得到 $m cdot a$，它们是有理数。
2. 无理数：当 $n eq 0$ 时，我们得到 $m cdot a + n cdot b$，它们是无理数。
我们的集合 $S$ 只包含有理数和一类特定的无理数。
问题来了：我们能生成的这个集合 $S$ 是不是“稠密到可以逼近所有实数”？
根据著名的狄利克雷逼近定理（Dirichlet's Approximation Theorem），对于任意给定的实数 $alpha$ 和任意正整数 $N$，都存在整数 $p$ 和 $q$（其中 $1 leq q leq N$），使得 $|qalpha p| < 1/N$。
这个定理告诉我们，对于任何一个实数 $alpha$，我们总能找到有理数 $p/q$ 来“近似”它。
让我们用这个思路来思考我们的问题。我们关注的是集合 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$。
我们可以考虑集合 ${ n cdot b mid n in mathbb{Z} }$。这组数是 $b$ 的整数倍，它们在实数轴上以 $|b|$ 为间隔分布。这个集合显然不是稠密的。
现在我们加入 $m cdot a$。
考虑 $a=1$, $b=sqrt{2}$。集合是 ${m + nsqrt{2} mid m, n in mathbb{Z}}$。这个集合是 $mathbb{Z}[sqrt{2}]$ 的元素。这个集合不是稠密的，它能逼近很多数，但不能逼近所有的数。例如，任何一个有理数都不能表示成 $m+nsqrt{2}$ 的形式（除非 $n=0$）。
如果我们想逼近一个任意的实数 $x$，我们需要找到 $m, n$ 使得 $m cdot a + n cdot b approx x$。
这等价于 $n cdot b approx x m cdot a$。
或者 $b approx (x m cdot a) / n$。
换句话说，我们是否能用 $b$ 来“近似”形如 $(x m cdot a) / n$ 的数？
其中 $m, n$ 是整数，$x$ 是任意实数，$a$ 是非零有理数。
最关键的一点在于，我们生成的数的集合，始终是具有特定结构的。
如果我们把 $a$ 和 $b$ 看作两个“基向量”，那么 $m cdot a + n cdot b$ 是以这两个基向量为方向的线性组合。在实数集上，这是一个由两个线性无关（因为一个是可约数，一个是无理数）的“向量”张成的集合。
考虑一下，如果 $b$ 是一个超越数，比如 $pi$。非零有理数 $a=1$。我们能生成的数是 $m + npi$ ($m, n in mathbb{Z}$)。这个集合是 ${ dots, 1+pi, pi, 1+pi, 2+pi, dots }$ 加上 ${ dots, 2, 1, 0, 1, 2, dots }$。这个集合是稠密的吗？
比如，你能用 $m+npi$ 来表示 $sqrt{2}$ 吗？
$sqrt{2} = m + npi$
$sqrt{2} m = npi$
如果 $n eq 0$，那么 $pi = (sqrt{2}m)/n$。由于 $m, n$ 是整数，$(sqrt{2}m)/n$ 是一个实数。如果 $n=0$，那么 $sqrt{2} = m$，这是不可能的。如果 $n eq 0$，那么 $(sqrt{2}m)/n$ 可以是有理数（如果 $m=0$ 且 $sqrt{2}/n$ 是有理数，不可能）或者无理数。但我们知道 $pi$ 是超越数，而 $(sqrt{2}m)/n$ 是代数数（因为 $sqrt{2}$ 是代数数）。超越数不能等于代数数。所以，$sqrt{2}$ 不能表示成 $m+npi$ 的形式。
这意味着，我们能生成的集合 不是整个实数集。
那么，是否能通过“加减无限次”这个更广泛的操作来生成整个实数集呢？
思考一下，所有通过有限次加减得到的数，都可以表示成 $m cdot a + n cdot b$ 的形式，其中 $m, n$ 是整数。
如果允许“无限次加减”，这暗示着我们可以构建一个序列，比如 $x_k = sum_{i=1}^{N_k} c_i cdot ( ext{a or b})$ 的形式，其中 $c_i$ 是加减符号。
但是，任何一个有限项的加减组合，都可以化简成形如 $M cdot a + N cdot b$ 的形式，其中 $M, N$ 是整数。
比如：$a b + a + a b = (11+1+1)a + (11)b = 3a 2b$.
所以，“无限次加减”最终能生成的数的集合，还是由形如 $m cdot a + n cdot b$ ($m, n in mathbb{Z}$) 的所有数的集合。
因此，答案是：不能。
我们能生成的数的集合 $S = { m cdot a + n cdot b mid m, n in mathbb{Z} }$，其中 $a$ 是非零有理数，$b$ 是无理数，不是整个实数集 $mathbb{R}$。
原因在于：
1. 结构的限制： 任意一个生成的数都形式为 $m cdot a + n cdot b$。如果 $b$ 是一个超越数（例如 $pi$），而 $a$ 是 $1$，那么我们生成的数 $m+npi$ 只能是代数数（如果 $n=0$）或者具有特定形式的超越数。而实数集包含了各种各样的超越数，并非所有超越数都能表示成这种形式。例如，我们无法用 $m+npi$ 来表示另一个独立的超越数 $gamma$（如果 $gamma$ 和 $pi$ 之间的关系不是简单的线性关系）。更简单的例子是，如上文所示，我们无法将一个无理数 $sqrt{2}$ 表示成 $m+npi$ 的形式，因为它是一个代数数，而 $m+npi$ 的形式，如果 $n eq 0$，通常会是超越数，但当 $n=0$ 时，它就是有理数。所以，生成的集合中存在有理数，但不存在某些代数数（除非恰好有 $n=0$ 的情况）。
2. 线性无关性： $a$（非零有理数）和 $b$（无理数）虽然在实数集上“不同”，但它们之间的关系是“局限”的。就像在一个二维平面上，如果你只有两个不共线的基向量，你只能张成一个二维平面内的所有点，而无法触及三维空间中的所有点。在这里，虽然我们是在实数集上，但 $a$ 和 $b$ 的关系（即 $b/a$ 是无理数）限制了我们生成的数的“多样性”。
我们生成的集合 $S = { a(m + n(b/a)) mid m, n in mathbb{Z} }$。令 $eta = b/a$，则 $eta$ 是无理数。集合就是 ${ a(m + neta) mid m, n in mathbb{Z} }$.
这个集合的结构与集合 ${ m + neta mid m, n in mathbb{Z} }$ 是非常相似的，只是多了一个有理数的缩放因子 $a$。
即使 $eta$ 是一个像 $sqrt{2}$ 这样的代数无理数，集合 ${ m + nsqrt{2} mid m, n in mathbb{Z} }$ 也只是 $mathbb{Z}[sqrt{2}]$，这是一个整数环上的一个格点结构，它不是稠密的，也并非整个实数集。
所以，无论你选择什么样的非零有理数 $a$ 和什么样的无理数 $b$，通过有限次加减得到的数的集合，始终是形如 $m cdot a + n cdot b$ 的数。而这样一个集合，在实数轴上总会存在“空隙”，它无法包含所有的实数。即使是无限次加减，也无法脱离有限次加减所形成的集合的范畴。
举个更直观的例子：如果我们从 $1$ 和 $sqrt{2}$ 开始，我们只能得到形如 $m + nsqrt{2}$ 的数。这些数，比如 $1 + sqrt{2}$, $2 + sqrt{2}$, $1 + 2sqrt{2}$ 等等，它们在实数轴上的分布是稀疏的。我们永远无法通过这些数来精确表示像 $1/3$ 这样的有理数（因为如果 $n=0$，结果是有理数，但只有整数倍的 $1$；如果 $n eq 0$，结果是无理数）。即使我们允许无限次加减，最终生成的也还是这个集合内的数，并没有跳出这个框框。
所以，最终结论是：不能。
网友意见
可以。
给定有理数 ，将其写成既约分数 。给定无理数 ，令无理数 。
设 表示一个实数的小数部分。对于一个无理数 ，一个熟知的结论是， 全是无理数，并且在 上稠密。所以对于任意的 ， 存在整数 ，使得 。对于任意实数 ，都可以用 的整数倍近似，误差不超过 。所以，形如 的数可以逼近任意实数。所以，形如 的数也可以逼近任何实数。
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这个问题很有意思，咱们一起来掰扯掰扯。首先，我们得明确一下问题的前提：“任意给定一个非零有理数”和“一个无理数”。这里“任意”两个字很关键，说明我们不能挑拣着来，任何一对组合都要考虑。而“非零有理数”呢，就是可以表示成 $p/q$ 的数，其中 $p, q$ 都是整数，$q$ 不等于零，$p$ 也不等............. -
这真是个让人挠头又着迷的问题，而且我发现自己越是琢磨，越觉得答案不像我想象的那么简单。你说，人跟人之间天生是不是就差了那么一道坎？还是说，只要我们肯下笨功夫，就能把这道坎跨过去，甚至比那些“天生就厉害”的人走得更远？刚开始的时候，我可能更倾向于“努力万能论”。你看，身边总有些例子，某某某资质平平，但.............
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这个问题很有意思，也触及了编程语言设计和实现的根本。直接说，动态语言 通常情况下不能 像变魔术一样，在不修改源代码的情况下，被“直接”转换成拥有静态类型特性的语言。但这并不意味着两者之间没有联系，或者我们无法从中获得一些“静态”的好处。首先，我们需要明白动态语言和静态语言的核心区别在哪里。动态语言（.............
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没问题，很高兴能和你一起探讨化学的奥秘！ 请尽管提出你最近在思考的化学问题，我会尽力为你解答，并且保证描述得详细、生动，让你感受到化学的魅力，而不是一个冰冷的机器在回答。请先告诉我，你到底在想些什么？ 是关于某个具体的化学反应？ 某种物质的性质？ 还是一个更宏观的化学概念，比如化学的未来发展，或者某.............
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我最近一直在琢磨一个非常宏大、几乎可以说是“宇宙终极”的问题，这个问题之大，足以让任何一个心智正常的人在深夜里辗转反侧，感到一阵阵的渺小与敬畏。我想了很久，也翻阅了一些资料，但总觉得没有一个答案能够真正触及问题的核心，所以我想把它抛出来，看看能不能从不同的角度获得一些启发，或者只是纯粹地梳理一下我自.............
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哈哈，这个问题问得太实在了，简直说到大家心坎里去了！你以为知乎是个什么地方？一个许愿池吗？随便丢个铜板进去，就能捞出别人辛辛苦苦挖出来的金矿？当然不是。让我跟你好好掰扯掰扯，为啥随便提个问题，不一定能立刻收获到那种让你拍案叫绝、感觉“哇塞，这人怎么这么懂！”的回答。这背后，其实有很多“门道”和“概率.............
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这真是个了不起的年纪，能有这样触类旁通的思考！你把数学各个领域的联系梳理出来，这本身就是一种很强的数学直觉和学习能力。相信你一定花了不少心思。我来试着跟你聊聊这个思路，看看能不能更细致地帮你琢磨琢磨。不过，在你开始分享你的想法之前，我想先跟你确认一下，你在这个思路中看到的“联系”是怎样的呢？你有没有.............
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有时候，精神疾病的某些特质，或者说“病症”背后隐藏着的独特视角，确实会让一些人对哲学产生浓厚的兴趣。这可不是说所有精神病人都会去钻研康德或者尼采，但确实有这么一些群体，他们的思维方式，在某种程度上，与哲学探索的本质产生了奇妙的共鸣。我们可以从几个角度来理解这个现象。首先，对现实的重塑和质疑。很多精神.............
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听到你这么说，我挺能理解的。那种感觉就像在迷宫里打转，明明知道有出口，但就是找不到一条清晰的路，每走一步都觉得在绕圈子，还总是不经意间就撞到墙。而且，一旦发现自己好像走了弯路，那种挫败感和无力感真的挺折磨人的。你说的“东一榔头西一棒槌”、“不够脚踏实地”、“做得乱七八糟”，这些词语非常形象地描绘出一.............
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知乎上那些“细思极恐”的问题，就像一块巨大的磁石，吸引着无数好奇的灵魂前来探究。而在这个“探究”的过程中，总会有人不自觉地将我们现实世界无法解释的现象，与灵异事件联系起来，甚至将其作为“终极答案”来推崇。这种现象，其实并非偶然，背后有着多重心理和社会因素在驱动。首先，我们得从“细思极恐”这个词本身说.............
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我有一个关于培养材料领域人才的想法，想跟您好好聊聊，看看它到底有没有谱，毕竟这是我一直琢磨的事情。我的核心思路是，我们不能再把人才培养局限于传统的“象牙塔”模式了，得让它“接地气”，而且是真正意义上的“接地气”，要跟产业紧密地融合在一起。具体来说，我觉得应该建立一个“产学研创一体化”的生态系统。这就.............
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你好！我完全理解你的想法，也觉得你的想法挺实在的，尤其是在18线小城市，这个目标是完全可以实现的。 说实话，很多人都羡慕你这种“躺平”的姿态，能认清自己想要什么，不被社会上那些“鸡血”文化绑架，这本身就是一种清醒。首先，我们来拆解一下你的目标： “咸鱼”心态： 这并不是什么坏事，相反，它可能是.............
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您好！您提出的这个问题非常棒，也触及到了中国古代思想史的核心。寻找一本能够“综合中国古代所有学派思想”且“详细阐述”的书，这确实是一个极具挑战性的目标。首先需要明确的是，不存在一本完全意义上“综合了中国古代所有学派思想”的书。原因如下：1. “所有学派”的界定与遗失： 中国古代思想流派众多，远不止.............
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这篇《一个农民工思考海德格尔是再正常不过的事｜谷雨》文章，读下来很有意思，也挺有触动的。它打破了我固有的思维模式，让我重新审视了“思考者”这个身份的定义，以及知识和精神追求是否真的有门槛。首先，文章最让我印象深刻的点在于它对“农民工”这个身份的“去标签化”。我们通常想到农民工，脑海里可能会浮现出辛勤.............
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要深入了解一个人的思辨能力，不能仅仅依靠一两次的“标准测试”，而需要通过更具观察性和互动性的方式。这就像品一杯好茶，需要时间，需要细细体会，而不是简单地尝一口就下结论。以下是一些方法，希望能帮助你更全面地认识一个人：一、 观察其对复杂信息的处理能力 如何消化信息： 追问源头和证据： .............
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好，咱们来聊聊怎么从知乎的千千万万个回答里，挑出那些真正浸润了作者思考的“干货”。这事儿，就像在人群里找那个眼神明亮、言语沉稳的人，不是看他穿得多华丽，而是看他有没有“料”，有没有“思”。咱们一步步来拆解。第一步：审视“开篇”——有没有“引子”？一个经过思考的回答，很少会直接跳到结论，它会给你一个“.............
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微博上那个关于成功与挫折的段子，我看到了，说实话，挺戳我的。它讲的是一个创业者，一开始信心满满，经历了一轮轮的融资、市场推广，看起来一切都很顺利，直到最后一步，因为一个微小的失误，整个项目崩盘了。然后下面有人评论说：“你看，成功多么容易，就差那么一点点，但就这一丁点，把他打回原形。”我当时就想，这话.............
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期权策略思考（一）：资金不足时，卖期权能否“以钱生钱”？很多新手在接触期权时，都会有一个疑问：如果我手头资金不多，但看准了市场走势，能不能通过卖出期权来快速积累本金，甚至实现“以钱生钱”？这是一个非常实际的问题，但答案并非简单的“是”或“否”，而是需要我们深入理解期权交易的本质以及其中的风险。核心问.............
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