平面上AB为两个给定的凸形，A任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的B覆盖，A能否在B中任意转动?
这个问题很有意思，我们可以这样来一步步剖析：
前提：
A 和 B 都是凸形。 这是关键。凸形有一个很重要的性质，就是它的任意部分都位于它自身的“内部”或者边界上。打个比方，你把一个凸形的边往里拗一下，它就不再是凸形了。
A 可以通过平移，在任何初始角度下都被 B 完全覆盖。 这意味着，A 的“尺寸”和“形状”是满足一个基本条件的：无论 A 是怎么个朝向，只要我们找对了 B 的一个位置，就能让 A 完全“塞”进 B 的空间里。这里的“塞进”不仅仅是指 A 的所有点都在 B 的内部或边界上，还包括 A 和 B 之间没有重叠的部分。
核心问题：
A 能否在 B 中任意转动？换句话说，如果 A 在 B 中被固定（也就是 A 的所有点都在 B 的内部或边界上），那么我们是否可以带着 A 在 B 的内部自由地改变它的角度，而它始终都能保持在 B 的覆盖范围内？
思考过程：
1. 理解“覆盖”的含义： 当说 A 被 B 覆盖时，意味着 A 的所有点都落在 B 的区域内。如果把 A 看作一个“物体”，B 看作一个“容器”，那么这个物体可以完整地放进这个容器里。
2. 理解“通过平移被固定位置的 B 覆盖”： 这个说法有点绕，我们换个角度理解。它的意思是：无论 A 是什么角度，我们总能找到一个平移向量，使得平移后的 A 完全落在 B 的内部。这意味着 A 的“外包围盒”（最小能包住 A 的矩形或者圆）的尺寸和方向，总能被 B 的区域所容纳。
3. 关键点：凸形的性质与容纳能力
凸形的“最小包围圆”： 对于任何一个图形，都可以找到一个最小的圆能够包住它。对于凸形来说，这个最小包围圆有一个非常重要的性质：它能够以“支撑线”的方式和凸形接触。支撑线就是一条与凸形边界相切并且使得凸形的所有点都位于这条线的一侧或在这条线上的直线。
A 的容纳性与 B 的容纳性： 问题说“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”。这其实是在说 B 的“内切圆”（能塞进 B 且最大的圆）要足够大，能够包住 A 在任何角度下的“最小包围圆”。更准确地说，是 B 的“宽”（B 在任意方向上的最小宽度）要大于等于 A 的“直径”（A 在任意方向上的最大宽度）。
4. 引入“宽度”的概念： 对于一个凸形 K，我们定义它在方向 $u$ 上的宽度 $w(K, u)$ 是它在方向 $u$ 上的投影的长度。所谓投影，就是把 K 沿着与 $u$ 垂直的方向“压扁”。凸形在某个方向上的宽度，实际上是穿过该凸形的、在该方向上最远的两个平行支撑线之间的距离。
B 覆盖 A 的条件： 如果 A 可以在 B 中通过平移被覆盖，那么这意味着 A 在任何方向上的宽度，都不能超过 B 在某个特定方向上的宽度。更严谨地说，对于 A 的每一个方向 $u$，存在一个方向 $v$（或者说，存在一个 B 的方向），使得 A 在 $u$ 方向上的宽度 $w(A, u)$ 小于等于 B 在 $v$ 方向上的宽度 $w(B, v)$。
更强的条件： 问题中“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”这个表述，可以理解为：A 的最大宽度（也就是 A 的直径）小于或等于 B 的最小宽度。这里的“直径”指的是凸形 A 在所有方向上的宽度的最大值。
5. 思考“任意转动”的可能性：
如果 A 可以在 B 中任意转动，那么这意味着，无论 A 转到什么角度，它都能够被 B 的“某个位置”完全包含。
我们知道，一个凸形 K 在所有方向上的宽度的最小值，叫做 K 的“最小宽度”。而题目说“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”，这是在说，A 的最大宽度（也就是 A 的直径）小于等于 B 的最小宽度。如果 A 的最大宽度大于 B 的最小宽度，那么 A 在某个方向上的宽度就会超过 B 在任何方向上的宽度，这样 A 就无法被 B 覆盖了。
结论的推导：
让我们来分析一下关键的限制条件：“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”。
这句话的隐含意思是，A 的尺寸（特别是其“最宽”的尺寸） 必须能够被 B 所容纳。如果 A 是一个直径比 B 的“通道”（B 的最小宽度）还要宽的图形，那么无论 A 怎么摆放，它总有某个方向的宽度会超过 B 的最小宽度，也就无法被 B 覆盖了。
因此，如果 A 可以在 B 中任意转动而不被“卡住”，那么 A 的最大宽度必须小于或等于 B 的最小宽度。
但是，反过来看： 如果 A 的最大宽度 等于 B 的最小宽度，并且 A 的形状是一个“细长”的形状（比如一个非常细长的矩形），而 B 是一个“胖”的形状（比如一个圆），那么 A 可以在 B 中自由转动。
然而，如果 A 是一个“宽”的形状（比如一个正方形），而 B 是一个“窄”的形状（比如一个细长的矩形），并且 A 的直径大于 B 的最小宽度，那么 A 就无法在 B 中被完全覆盖了。
所以，这个问题的答案是：A 不能在 B 中任意转动。
为什么不能任意转动？
即使 A 可以通过平移在任何角度下被 B 覆盖，这并不意味着 A 就可以在 B 内部随意旋转。
考虑一个例子：
A：一个正方形。
B：一个比正方形边长稍长，但对角线长度小于正方形对角线的圆形。
在这种情况下：
无论正方形 A 怎么转，它的“对角线”方向总是它最宽的距离。
如果这个正方形的对角线长度（A 的最大宽度）小于或等于圆 B 的直径（B 的最大宽度），那么 A 就可以通过平移被 B 覆盖。
但是，如果正方形 A 的对角线长度正好等于圆 B 的直径，那么当正方形 A 的对角线方向与圆 B 的直径方向重合时，它刚好被覆盖。但如果正方形 A 稍微旋转一点点，它的边就会“顶”出圆 B 的边界。
更通用的解释是基于“支撑线”：
一个凸形 K 在任意方向上的宽度是它在那个方向上的支撑线之间的距离。
问题给出的条件“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”，实际上是在说，A 的最大宽度（它的“直径”）必须小于或等于 B 的最小宽度。如果 A 的最大宽度大于 B 的最小宽度，那么总会有 A 的某个方向上的宽度比 B 的最小宽度还要大，从而无法被 B 覆盖。
但是，即使 A 的最大宽度小于或等于 B 的最小宽度，A 也未必能在 B 中任意转动。
为了让 A 能在 B 中任意转动，需要满足一个更强的条件：A 的最小宽度必须大于或等于 B 的最大宽度（如果 B 是一个包含 A 的容器的话，这里是反过来的意思）。或者换个角度理解，是 A 的所有方向上的宽度都小于或等于 B 在某个特定方向上的宽度，并且这个特定方向可以随着 A 的旋转而变化。
问题的核心在于： 即使 A 可以被 B 覆盖，A 的“形状”与 B 的“形状”之间的匹配程度，也限制了 A 的转动自由度。
举个具体的例子来反驳“可以任意转动”：
A：一个细长的矩形。
B：一个比 A 的细长边略宽，但比 A 的长边窄的圆形。
在这种情况下，A 可以在某个角度下被 B 覆盖（比如，将 A 的长边平行于圆形直径的方向放置）。但是，如果我们将 A 旋转 90 度，让它的细长边成为最宽的部分，而这个细长边的长度又大于圆形的直径，那么 A 就无法被 B 覆盖了。
然而，题目明确说了“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”。这意味着 A 的最大宽度（直径）一定小于或等于 B 的最小宽度。
现在，我们来重新审视一下“任意转动”的含义。
如果 A 可以在 B 中任意转动，意味着我们可以在 B 的内部将 A 旋转任意角度，并且 A 的所有点始终保持在 B 的内部。
结论：A 不能在 B 中任意转动。
详细解释原因：
假设 A 可以任意转动。这意味着，对于 A 的任意一个角度 $ heta$，我们都可以找到一个位置（平移向量），使得 A 在角度 $ heta$ 下被 B 完全覆盖。
现在考虑一个反例。
A 是一个“瘦长”的矩形。
B 是一个正方形。
假设矩形 A 的长是 $l$，宽是 $w$，且 $l > w$。
正方形 B 的边长是 $s$。
根据题意，“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”。这意味着，无论矩形 A 如何旋转，它都能被 B 覆盖。
如果 A 是一个非常细长的矩形，例如 $l=10$, $w=1$，而 B 是一个边长为 $s=5$ 的正方形。
当矩形 A 的长边与正方形 B 的某个边平行时，它刚好被覆盖。
但是，如果我们将矩形 A 旋转 45 度，它的“宽度”就变成了它对角线方向上的投影长度。矩形 A 的对角线长度是 $sqrt{10^2 + 1^2} = sqrt{101} approx 10.05$。而正方形 B 的对角线长度是 $5sqrt{2} approx 7.07$。
在这种情况下，当矩形 A 旋转 45 度时，它的最宽处（对角线）就超过了正方形 B 的对角线，它就无法被 B 覆盖了。
这与题目的前提“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”矛盾。
那么，是不是我的例子不符合前提？
对的，我的例子不符合前提。 如果 A 的形状是那个细长矩形，而 B 是那个正方形，那么“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”这个条件就不会成立。
正确理解题意：
“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”这句话，实际上是在说：A 的“直径”（A 在所有方向上的宽度的最大值）小于或等于 B 的“最小宽度”。
如果 A 的直径大于 B 的最小宽度，那么总有 A 的某个方向上的宽度会超过 B 的最小宽度，从而 A 无法被 B 覆盖。
现在，再回到核心问题：“A 能否在 B 中任意转动？”
答案仍然是：A 不能在 B 中任意转动。
原因分析：
即使 A 的最大宽度 $le$ B 的最小宽度，也存在 A 在 B 中转动受限的情况。
我们引入一个概念叫做“外接圆”（最小圆 C_A 包围 A）和“内切圆”（最大圆 C_B 包含在 B 内）。
题目条件意味着 B 的“容纳能力”足够大，可以包住 A 在任何方向上的投影。
让我们考虑“A 能在 B 中任意转动”的充分必要条件。
这个条件等价于：对于 A 的任何一个角度 $alpha$，存在一个平移向量 $t$，使得 A 经过旋转 $alpha$ 并平移 $t$ 后，仍然被 B 完全覆盖。
但是，我们可以找到反例说明这一点不成立。
假设 A 是一个非常扁的椭圆，B 是一个圆形。
如果椭圆 A 的长轴比圆 B 的直径短，那么 A 可以在 B 中任意转动。这是符合题意的。
再考虑一个稍微复杂点的例子：
A：一个正方形。
B：一个比正方形边长稍大的圆形。
在这种情况下：
正方形 A 的直径是 $ssqrt{2}$ (s为边长)。
圆形 B 的直径是 $D$。
题目的条件意味着 $ssqrt{2} le D$。
那么，A 可以通过平移在任何角度下被 B 覆盖。
然而，当正方形 A 旋转到其对角线方向与圆形 B 的直径方向重合时，它的四个顶点刚好在圆周上。如果正方形 A 稍微再旋转一点点，它的顶点就会“突出”圆 B 的范围。
因此，A 不能在 B 中任意转动。
总结一下：
“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”这个前提条件，确实保证了 A 的尺寸（特别是其最大宽度）是可以被 B 的“最小宽度”所容纳的。它排除了 A 的“最宽”状态超出 B 的“最窄”容纳能力的情况。
但是，“在 B 中任意转动”意味着 A 在 B 内部 始终 都能找到一个合适的位置被覆盖，无论 A 怎么旋转。这个“始终”是关键。
尽管 A 的最大宽度可以被 B 的最小宽度容纳，但 A 的所有方向上的宽度都需要满足一个条件，才能在 B 中任意转动。这个条件比“最大宽度 $le$ 最小宽度”要更严格。
如果 A 是一个圆盘，那么它在 B 中可以任意转动，因为圆盘在所有方向上的宽度都是相等的，并且它的“直径”小于或等于 B 的最小宽度。
但是，如果 A 不是一个圆盘（即 A 在不同方向上的宽度不相等），那么即使 A 的最大宽度可以被 B 的最小宽度容纳，A 在 B 中转动时，它的宽度会随着角度变化。当 A 旋转到它变得“最宽”的时候，它的宽度不能超过 B 在 某个方向 上的宽度。而题目给出的条件是，A 的任意角度都可以被 B 覆盖，这限制了 A 的最大宽度。
但问题的关键在于，A 的“最窄”状态（A 的最小宽度）也要能够被 B 的某种“容纳方式”所允许。
所以，尽管 A 可以被 B 覆盖，它在 B 中的转动自由度是受到限制的。并不是所有的凸形 A 都能在 B 中任意转动。
最终结论：
不能。
即使 A 可以通过平移在任何角度下被 B 完全覆盖，这并不等同于 A 可以在 B 的内部自由地改变其角度而不移出 B 的范围。这个问题涉及到凸体在另一个凸体内部的运动学约束，即“kradius”和“width”等几何概念。简单来说，A 的形状如果不是“圆”形的，或者 B 的形状不是“足够圆”的，那么 A 在 B 中的转动就会受到限制。题目给的条件保证了 A 的“最宽”部分能被 B 的“最窄”部分容纳，但这并不代表 A 的所有方向上的“宽度”都能被 B 灵活地容纳。
前提：
A 和 B 都是凸形。 这是关键。凸形有一个很重要的性质，就是它的任意部分都位于它自身的“内部”或者边界上。打个比方，你把一个凸形的边往里拗一下，它就不再是凸形了。
A 可以通过平移，在任何初始角度下都被 B 完全覆盖。 这意味着，A 的“尺寸”和“形状”是满足一个基本条件的：无论 A 是怎么个朝向，只要我们找对了 B 的一个位置，就能让 A 完全“塞”进 B 的空间里。这里的“塞进”不仅仅是指 A 的所有点都在 B 的内部或边界上，还包括 A 和 B 之间没有重叠的部分。
核心问题：
A 能否在 B 中任意转动？换句话说，如果 A 在 B 中被固定（也就是 A 的所有点都在 B 的内部或边界上），那么我们是否可以带着 A 在 B 的内部自由地改变它的角度，而它始终都能保持在 B 的覆盖范围内？
思考过程：
1. 理解“覆盖”的含义： 当说 A 被 B 覆盖时，意味着 A 的所有点都落在 B 的区域内。如果把 A 看作一个“物体”，B 看作一个“容器”，那么这个物体可以完整地放进这个容器里。
2. 理解“通过平移被固定位置的 B 覆盖”： 这个说法有点绕，我们换个角度理解。它的意思是：无论 A 是什么角度，我们总能找到一个平移向量，使得平移后的 A 完全落在 B 的内部。这意味着 A 的“外包围盒”（最小能包住 A 的矩形或者圆）的尺寸和方向，总能被 B 的区域所容纳。
3. 关键点：凸形的性质与容纳能力
凸形的“最小包围圆”： 对于任何一个图形，都可以找到一个最小的圆能够包住它。对于凸形来说，这个最小包围圆有一个非常重要的性质：它能够以“支撑线”的方式和凸形接触。支撑线就是一条与凸形边界相切并且使得凸形的所有点都位于这条线的一侧或在这条线上的直线。
A 的容纳性与 B 的容纳性： 问题说“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”。这其实是在说 B 的“内切圆”（能塞进 B 且最大的圆）要足够大，能够包住 A 在任何角度下的“最小包围圆”。更准确地说，是 B 的“宽”（B 在任意方向上的最小宽度）要大于等于 A 的“直径”（A 在任意方向上的最大宽度）。
4. 引入“宽度”的概念： 对于一个凸形 K，我们定义它在方向 $u$ 上的宽度 $w(K, u)$ 是它在方向 $u$ 上的投影的长度。所谓投影，就是把 K 沿着与 $u$ 垂直的方向“压扁”。凸形在某个方向上的宽度，实际上是穿过该凸形的、在该方向上最远的两个平行支撑线之间的距离。
B 覆盖 A 的条件： 如果 A 可以在 B 中通过平移被覆盖，那么这意味着 A 在任何方向上的宽度，都不能超过 B 在某个特定方向上的宽度。更严谨地说，对于 A 的每一个方向 $u$，存在一个方向 $v$（或者说，存在一个 B 的方向），使得 A 在 $u$ 方向上的宽度 $w(A, u)$ 小于等于 B 在 $v$ 方向上的宽度 $w(B, v)$。
更强的条件： 问题中“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”这个表述，可以理解为：A 的最大宽度（也就是 A 的直径）小于或等于 B 的最小宽度。这里的“直径”指的是凸形 A 在所有方向上的宽度的最大值。
5. 思考“任意转动”的可能性：
如果 A 可以在 B 中任意转动，那么这意味着，无论 A 转到什么角度，它都能够被 B 的“某个位置”完全包含。
我们知道，一个凸形 K 在所有方向上的宽度的最小值，叫做 K 的“最小宽度”。而题目说“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”，这是在说，A 的最大宽度（也就是 A 的直径）小于等于 B 的最小宽度。如果 A 的最大宽度大于 B 的最小宽度，那么 A 在某个方向上的宽度就会超过 B 在任何方向上的宽度，这样 A 就无法被 B 覆盖了。
结论的推导：
让我们来分析一下关键的限制条件：“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”。
这句话的隐含意思是，A 的尺寸（特别是其“最宽”的尺寸） 必须能够被 B 所容纳。如果 A 是一个直径比 B 的“通道”（B 的最小宽度）还要宽的图形，那么无论 A 怎么摆放，它总有某个方向的宽度会超过 B 的最小宽度，也就无法被 B 覆盖了。
因此，如果 A 可以在 B 中任意转动而不被“卡住”，那么 A 的最大宽度必须小于或等于 B 的最小宽度。
但是，反过来看： 如果 A 的最大宽度 等于 B 的最小宽度，并且 A 的形状是一个“细长”的形状（比如一个非常细长的矩形），而 B 是一个“胖”的形状（比如一个圆），那么 A 可以在 B 中自由转动。
然而，如果 A 是一个“宽”的形状（比如一个正方形），而 B 是一个“窄”的形状（比如一个细长的矩形），并且 A 的直径大于 B 的最小宽度，那么 A 就无法在 B 中被完全覆盖了。
所以，这个问题的答案是：A 不能在 B 中任意转动。
为什么不能任意转动？
即使 A 可以通过平移在任何角度下被 B 覆盖，这并不意味着 A 就可以在 B 内部随意旋转。
考虑一个例子：
A：一个正方形。
B：一个比正方形边长稍长，但对角线长度小于正方形对角线的圆形。
在这种情况下：
无论正方形 A 怎么转，它的“对角线”方向总是它最宽的距离。
如果这个正方形的对角线长度（A 的最大宽度）小于或等于圆 B 的直径（B 的最大宽度），那么 A 就可以通过平移被 B 覆盖。
但是，如果正方形 A 的对角线长度正好等于圆 B 的直径，那么当正方形 A 的对角线方向与圆 B 的直径方向重合时，它刚好被覆盖。但如果正方形 A 稍微旋转一点点，它的边就会“顶”出圆 B 的边界。
更通用的解释是基于“支撑线”：
一个凸形 K 在任意方向上的宽度是它在那个方向上的支撑线之间的距离。
问题给出的条件“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”，实际上是在说，A 的最大宽度（它的“直径”）必须小于或等于 B 的最小宽度。如果 A 的最大宽度大于 B 的最小宽度，那么总会有 A 的某个方向上的宽度比 B 的最小宽度还要大，从而无法被 B 覆盖。
但是，即使 A 的最大宽度小于或等于 B 的最小宽度，A 也未必能在 B 中任意转动。
为了让 A 能在 B 中任意转动，需要满足一个更强的条件：A 的最小宽度必须大于或等于 B 的最大宽度（如果 B 是一个包含 A 的容器的话，这里是反过来的意思）。或者换个角度理解，是 A 的所有方向上的宽度都小于或等于 B 在某个特定方向上的宽度，并且这个特定方向可以随着 A 的旋转而变化。
问题的核心在于： 即使 A 可以被 B 覆盖，A 的“形状”与 B 的“形状”之间的匹配程度，也限制了 A 的转动自由度。
举个具体的例子来反驳“可以任意转动”：
A：一个细长的矩形。
B：一个比 A 的细长边略宽，但比 A 的长边窄的圆形。
在这种情况下，A 可以在某个角度下被 B 覆盖（比如，将 A 的长边平行于圆形直径的方向放置）。但是，如果我们将 A 旋转 90 度，让它的细长边成为最宽的部分，而这个细长边的长度又大于圆形的直径，那么 A 就无法被 B 覆盖了。
然而，题目明确说了“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”。这意味着 A 的最大宽度（直径）一定小于或等于 B 的最小宽度。
现在，我们来重新审视一下“任意转动”的含义。
如果 A 可以在 B 中任意转动，意味着我们可以在 B 的内部将 A 旋转任意角度，并且 A 的所有点始终保持在 B 的内部。
结论：A 不能在 B 中任意转动。
详细解释原因：
假设 A 可以任意转动。这意味着，对于 A 的任意一个角度 $ heta$，我们都可以找到一个位置（平移向量），使得 A 在角度 $ heta$ 下被 B 完全覆盖。
现在考虑一个反例。
A 是一个“瘦长”的矩形。
B 是一个正方形。
假设矩形 A 的长是 $l$，宽是 $w$，且 $l > w$。
正方形 B 的边长是 $s$。
根据题意，“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”。这意味着，无论矩形 A 如何旋转，它都能被 B 覆盖。
如果 A 是一个非常细长的矩形，例如 $l=10$, $w=1$，而 B 是一个边长为 $s=5$ 的正方形。
当矩形 A 的长边与正方形 B 的某个边平行时，它刚好被覆盖。
但是，如果我们将矩形 A 旋转 45 度，它的“宽度”就变成了它对角线方向上的投影长度。矩形 A 的对角线长度是 $sqrt{10^2 + 1^2} = sqrt{101} approx 10.05$。而正方形 B 的对角线长度是 $5sqrt{2} approx 7.07$。
在这种情况下，当矩形 A 旋转 45 度时，它的最宽处（对角线）就超过了正方形 B 的对角线，它就无法被 B 覆盖了。
这与题目的前提“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”矛盾。
那么，是不是我的例子不符合前提？
对的，我的例子不符合前提。 如果 A 的形状是那个细长矩形，而 B 是那个正方形，那么“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”这个条件就不会成立。
正确理解题意：
“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”这句话，实际上是在说：A 的“直径”（A 在所有方向上的宽度的最大值）小于或等于 B 的“最小宽度”。
如果 A 的直径大于 B 的最小宽度，那么总有 A 的某个方向上的宽度会超过 B 的最小宽度，从而 A 无法被 B 覆盖。
现在，再回到核心问题：“A 能否在 B 中任意转动？”
答案仍然是：A 不能在 B 中任意转动。
原因分析：
即使 A 的最大宽度 $le$ B 的最小宽度，也存在 A 在 B 中转动受限的情况。
我们引入一个概念叫做“外接圆”（最小圆 C_A 包围 A）和“内切圆”（最大圆 C_B 包含在 B 内）。
题目条件意味着 B 的“容纳能力”足够大，可以包住 A 在任何方向上的投影。
让我们考虑“A 能在 B 中任意转动”的充分必要条件。
这个条件等价于：对于 A 的任何一个角度 $alpha$，存在一个平移向量 $t$，使得 A 经过旋转 $alpha$ 并平移 $t$ 后，仍然被 B 完全覆盖。
但是，我们可以找到反例说明这一点不成立。
假设 A 是一个非常扁的椭圆，B 是一个圆形。
如果椭圆 A 的长轴比圆 B 的直径短，那么 A 可以在 B 中任意转动。这是符合题意的。
再考虑一个稍微复杂点的例子：
A：一个正方形。
B：一个比正方形边长稍大的圆形。
在这种情况下：
正方形 A 的直径是 $ssqrt{2}$ (s为边长)。
圆形 B 的直径是 $D$。
题目的条件意味着 $ssqrt{2} le D$。
那么，A 可以通过平移在任何角度下被 B 覆盖。
然而，当正方形 A 旋转到其对角线方向与圆形 B 的直径方向重合时，它的四个顶点刚好在圆周上。如果正方形 A 稍微再旋转一点点，它的顶点就会“突出”圆 B 的范围。
因此，A 不能在 B 中任意转动。
总结一下：
“A 任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的 B 覆盖”这个前提条件，确实保证了 A 的尺寸（特别是其最大宽度）是可以被 B 的“最小宽度”所容纳的。它排除了 A 的“最宽”状态超出 B 的“最窄”容纳能力的情况。
但是，“在 B 中任意转动”意味着 A 在 B 内部 始终 都能找到一个合适的位置被覆盖，无论 A 怎么旋转。这个“始终”是关键。
尽管 A 的最大宽度可以被 B 的最小宽度容纳，但 A 的所有方向上的宽度都需要满足一个条件，才能在 B 中任意转动。这个条件比“最大宽度 $le$ 最小宽度”要更严格。
如果 A 是一个圆盘，那么它在 B 中可以任意转动，因为圆盘在所有方向上的宽度都是相等的，并且它的“直径”小于或等于 B 的最小宽度。
但是，如果 A 不是一个圆盘（即 A 在不同方向上的宽度不相等），那么即使 A 的最大宽度可以被 B 的最小宽度容纳，A 在 B 中转动时，它的宽度会随着角度变化。当 A 旋转到它变得“最宽”的时候，它的宽度不能超过 B 在 某个方向 上的宽度。而题目给出的条件是，A 的任意角度都可以被 B 覆盖，这限制了 A 的最大宽度。
但问题的关键在于，A 的“最窄”状态（A 的最小宽度）也要能够被 B 的某种“容纳方式”所允许。
所以，尽管 A 可以被 B 覆盖，它在 B 中的转动自由度是受到限制的。并不是所有的凸形 A 都能在 B 中任意转动。
最终结论：
不能。
即使 A 可以通过平移在任何角度下被 B 完全覆盖，这并不等同于 A 可以在 B 的内部自由地改变其角度而不移出 B 的范围。这个问题涉及到凸体在另一个凸体内部的运动学约束，即“kradius”和“width”等几何概念。简单来说，A 的形状如果不是“圆”形的，或者 B 的形状不是“足够圆”的，那么 A 在 B 中的转动就会受到限制。题目给的条件保证了 A 的“最宽”部分能被 B 的“最窄”部分容纳，但这并不代表 A 的所有方向上的“宽度”都能被 B 灵活地容纳。
网友意见
如果严格根据问题要求，仅通过有限次旋转，那么有如下的反例：
考虑平面上的正三角形 （），将 向 轴负方向移动，同时将 沿 向 移动，使得 旋转一个小角度过程中扫过的区域 （如下图，仅示意， 的轨迹是一条曲线）：
由于 是区域 在 方向上的唯一宽度， 中初始角度的正三角形只可能放置在 的初始位置。此时关于任意定点的任意非零角度旋转都会使其超出区域 的范围。
如果将任意转动理解成“连续的刚体变换”，那么答案是肯定的，下面是严格的定义。对于 中的紧集 和凸紧集 ，定义 为所有 ，满足：当 的质心在点 并关于 按 旋转时完全包含在 中。题目的条件即为对任意 ， 非空。求证 连通。
证明只需要注意到两点：（1） 是闭集（从而是紧集），因为对于 中任何收敛点列，对应的 保距地收敛到一个 的复制，而 是紧的所以这个复制也在 里；（2） 是凸集（从而是连通的），因为 是凸的，其中两个 的平移复制一定可以沿直线平移过去。剩下的部分就是基础的点集拓扑，留作习题。
以上证明不要求 是凸集，甚至不要求 连通。这也容易理解，因为 的凸包和 在这里是等效的。
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在曲率有下界的限制下，我们想找到一个封闭曲线，它所围住的平面区域面积是最大的。这个问题听起来有些抽象，但我们可以一步步地来剥开它的层层含义。首先，什么是“曲率”？想象一下你在开车，沿着一条曲线行驶。曲率就是衡量这条曲线在某个点弯曲程度的指标。一个直的直线，曲率是零。而一个非常尖锐的圆角，曲率就会很大.............
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你这个问题问得很有意思，其实不是球“想”往回滚，而是它在停止的那一瞬间，惯性还在作祟。想象一下，当球在平面上滚动的时候，它带着一个向前的速度。即使有阻力，比如地面的摩擦力或者空气的阻碍，这些阻力虽然在消耗球的动能，让它减速，但它们的“作用”并不是瞬时的。就好比你开着车，想要刹车停下来。你踩下刹车踏板.............
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要理解如何在平面上投射网格光线，我们首先需要拆解这个概念：“网格” 和 “投射光线”。“网格” 并不是指你脑海中可能浮现的那种由粗线条构成的物理网格，更不是你可能在某些设计软件中看到的辅助线。在这里，“网格”是一个数学和几何学的概念。想象一下，我们用一系列平行的直线去“切过”一个空间，然后再用另一组.............
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这个问题很有意思，让我们来好好捋一捋。直观感受：想象一下，我们有一个圆，圆心在原点(0,0)。当圆的半径越来越大，它覆盖的平面区域也越来越大。我们知道，平面上均匀分布着无数个整点（就是坐标都是整数的点，比如(1,2), (3,0)等等）。随着圆的半径增大，理论上它会“扫过”越来越多的整点。那么，是不.............
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这是一个非常有趣且引人深思的问题，它触及到了我们对“接触”和“面积”这两个概念的理解，也牵扯到物理学中关于理想状态和实际情况的界限。咱们这么想：从理想化的、数学的角度来看，答案是“是”，接触面积为零。这是因为我们设想的是一个“完美球”。在数学里，完美的球体是一个由所有到其中心的距离都相等的点的集合。.............
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你有没有想过，为什么有时候走在湿漉漉的地砖上，或者那种特意打磨得光亮的名贵地板上，就感觉脚底不稳，随时可能表演一个“空中芭蕾”？这背后其实藏着一些很有意思的物理原理。咱们平时走路，能稳稳地前进，靠的是什么？最关键的一个字，就是“摩擦”。你想想，如果你站在一个什么东西都没有的绝对光滑表面上，比如科幻电.............
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这个问题触及了太阳系结构形成的一个核心，也是一个非常有趣的点。你提到了一个很关键的观察：太阳系的行星似乎都“躺在”一个相对平坦的盘面上，而不是像摩天轮那样垂直于这个盘面。你说得没错，宇宙中确实没有绝对的“上下左右”，那为什么我们会观察到太阳系呈现出这样一种“扁平”的结构呢？这其实是太阳系诞生的那一刻.............
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如果要把地球上所有的水，无论是以液态、固态还是气态存在，一股脑儿地倒在一个无限大的平面上，这画面光是想想就足够震撼。那么，这摊水最终摊开来，会占据多大的面积呢？这可不是一个简单的“多少升”就能回答的问题，我们需要一点点来捋清楚。首先，我们要知道地球上到底有多少水。大家听到“地球的水”，可能首先想到的.............
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关于太阳系行星的球心是否都在同一平面上，这是一个非常有趣的问题，也是理解我们所处宇宙结构的关键点之一。答案是：绝大多数行星的球心都非常接近于一个共同的平面，但严格来说，并不是完全精确地在同一个平面上。要详细解释这一点，我们需要从太阳系的形成说起。太阳系的形成：一个旋转的尘埃和气体盘大约在46亿年前，.............
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好的，让我们来聊聊这个有趣的问题：在一个平面上的有界凸集里，点到其重心的最大距离，与这个集合的直径（也就是集合中任意两点之间最大距离）之间，究竟存在着怎样的比例关系？首先，我们得明确几个概念。 平面有界凸集 (Planar Bounded Convex Set)： 凸集：一个集合是凸.............
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好的，我们来详细地证明这个命题：已知一平面封闭图形内有一点P，图形上任意一点点A的切线垂直PA，如何证明该图形是中心对称图形？核心思想：要证明一个图形是中心对称图形，我们需要证明存在一个对称中心，使得图形上任意一点都可以通过这个中心找到一个对称点，并且这两个点关于对称中心对称。在这个问题中，点P是关.............
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光的反射定律，我们都知道，它描述了光线如何从一个表面弹开。最常见的表述是：入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且入射角等于反射角。但这个“同一平面”的说法，在面对曲面反射时，情况就变得微妙起来。想象一下，你对着一面哈哈镜照镜子。镜面是弯曲的，凹进去或者凸出来的。这时候，你可能就已经隐约感觉到，.............
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在线教育平台上的“相见恨晚”课程，往往是因为它们以一种独特的方式打开了新的视野，或者以一种高效、深入浅出的方式解决了你长期以来对某个技术领域的困惑。对我而言，这样的课程通常具备以下几个特点： 解决了实际痛点，且提供的是“怎么做”的思维和方法，而非简单的“知道”知识。 老师的讲解深入浅出，逻辑.............
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