平面上溅落的液体是否服从什么空间分布？
首先，要明白一点，液体的溅落并非一个简单的点状堆积，而是一个动态的、受力复杂的扩散过程。刚接触平面时，液体并不是瞬间“瘫软”下来，而是会先形成一个凸起的液体团，然后因为表面张力和动量守恒，这个团会向四周扩展，并可能形成几个向外飞溅的细小液滴，也就是所谓的“飞溅滴”（ejected droplets）。
核心的分布形态：冠状结构与飞溅滴
绝大多数情况下，你会在平面上看到一个类似“王冠”的结构。这个“冠”是由液体向外扩展形成的薄层，在最外缘会有一个或多个细小的液滴被抛射出去。这个冠状结构的形成，可以想象成液体团在接触平面后，由于惯性，它会继续向下运动，但同时接触面又提供了向上的支撑力。这种力的冲突导致液体向四周“挤”开，形成一个圆形的薄层。
冠状结构 (Crown): 这个薄层的厚度并非均匀。通常情况下，它在靠近中心的位置会更厚一些，然后随着半径的增大而逐渐变薄，直到最外缘形成一个非常非常薄的边缘。这个边缘的厚度甚至可能达到分子级别。它的整体形态不是一个完美的圆形，更像是一个略微凹凸不平的环。
飞溅滴 (Ejected Droplets): 这些是溅落过程中最引人注目的部分，它们是独立的、被抛射出去的小液滴。它们不会紧贴着主体液团分布，而是会飞散开来。这些飞溅滴的分布情况，是影响整体空间分布的关键因素。
数量: 一个液体溅落通常不会只产生一个飞溅滴，而是会形成数个，最常见的是2到6个左右。
位置: 它们并非均匀地分布在主体液团周围。通常，飞溅滴会沿着一个大致的圆形轨迹飞出，但它们的角度和距离会有所不同。它们往往出现在主体液团扩张到一定程度后，液体表面张力克服了动量时形成的“破裂点”。想象一下，当液体向外扩张变薄到一定程度，就像一根拉伸到极限的橡皮筋，容易断裂形成小块。
大小: 飞溅滴的大小也并非均一，会有一些稍大的，也有一些非常细小的。
影响分布的物理因素 (让这个分布变得“不那么简单”)
是什么决定了这些“花瓣”具体长什么样，以及飞溅滴会飞到哪里去呢？这就要看下面这些物理因素的“脸色”了：
1. 液体的性质：
表面张力 (Surface Tension): 这是最最核心的因素之一。高表面张力的液体（比如肥皂水）倾向于保持球形，所以它们溅落时会形成更圆整、更小的飞溅滴，整体扩散范围可能也相对较小。低表面张力的液体（比如酒精）则更容易扩散，飞溅滴可能更多、更细小，扩散得也更远。
粘度 (Viscosity): 粘度高的液体（比如蜂蜜）在溅落时“流动性”差，扩展速度会慢很多，也更容易形成一个较厚的中心区域，飞溅滴的产生会受到抑制，或者飞溅滴的轨迹会更短。粘度低的液体（比如水）则会更快地扩散，更容易形成更多的飞溅滴。
密度 (Density): 密度会影响液体团的惯性。密度更大的液体，在相同的跌落高度下，会携带更大的动量，可能会导致更剧烈的扩散和更多的飞溅滴。
2. 跌落高度 (Height of Fall): 高度决定了液体团到达平面时的速度和动能。
低高度: 液体团接触平面时速度不高，动能不足以克服表面张力的束缚，可能只会形成一个简单的圆形薄层，甚至不产生明显的飞溅滴。
中等高度: 此时动能恰好能使液体团向外扩张，形成一个清晰的冠状结构，并伴随有几个飞溅滴被抛出。这是最常见的溅落形态。
高高度: 液体团速度非常快，撞击时会产生更剧烈的形变，可能会导致主体液团破裂成多个更大的液滴，形成更复杂的图案，飞溅滴也可能分布得更广、数量更多，甚至可能出现多个“冠”。
3. 接触平面的性质 (Nature of the Surface):
粗糙度 (Roughness): 一个光滑的平面会允许液体更均匀地向四周扩散，形成更规则的图案。一个粗糙的平面，则会“阻碍”液体的流动，导致液体在接触点附近聚集，可能形成不对称的图案，飞溅滴的分布也会更随机。
润湿性 (Wettability): 平面是否容易被液体润湿（即液体在表面铺展的程度）也会影响扩散。易润湿的表面会使液体薄层铺展得更远，形成更大的“冠”。
弹性/硬度 (Elasticity/Hardness): 某些特殊情况下，如果平面具有一定的弹性，液体撞击时可能导致平面发生微小的形变，这种形变又会反过来影响液体的扩散方向和速度，创造出更复杂的分布。
4. 环境因素 (Environmental Factors):
空气阻力 (Air Resistance): 对于非常小的液滴，空气阻力会影响它们的飞行轨迹，让它们在空中更快地减速和下落，从而影响最终的分布。
气流 (Airflow): 如果有外部气流，例如微风，也会显著改变飞溅滴的飞行方向，使得分布变得不对称和随机。
更深层次的数学描述 (如果你想更“硬核”一点)
从数学上讲，液体的溅落是一个复杂的流体力学问题，涉及到NavierStokes方程的求解，以及表面张力和粘度等边界条件的耦合。
初始条件: 液体团下落的速度和形态。
边界条件: 液体与平面接触时的作用力，包括压力、粘性剪切力和表面张力。
飞溅滴的形成: 通常与RayleighTaylor不稳定性（当密度大的流体在下方，密度小的流体在上方，且界面受到向上的加速度时，界面会变得不稳定，容易破碎成小滴）或一些与表面张力相关的破碎机制有关。飞溅滴的轨迹可以用抛物线运动（忽略空气阻力）或更复杂的空气动力学模型来描述。
总结一下，平面上溅落的液体并不是服从一个单一、简单的空间分布模型，它更像是一个“受多种物理定律共同作用下的艺术品”。 最常见的视觉特征是中心的薄层状“冠”和围绕它的数个飞溅滴。这个“艺术品”的细节，从冠的厚度、飞溅滴的数量、大小、以及它们相对于主体的空间位置，都深深地烙上了液体性质、跌落条件和接触介质的印记。下次当你看到液体溅落时，不妨多观察一下这些细节，你会发现背后隐藏着许多有趣的物理学原理。
网友意见
我来展开讲一下。
原问题可能存在一定的歧义，这里先重新描述一下问题，“当液滴撞击平板发生溅射后，会产生大小不同的液滴，那么这些液滴的直径服从什么分布”？这个问题即便抛开复杂的公式推导，也是很难讲清楚的，我尝试简单讲一下。
首先给出答案，液滴的直径服从一个伽马分布的叠加[7]。先了解一下这个伽马分布，记 为液滴直径， 为液滴的平均直径，那么这个伽马分布可以写为，
其中 为一表征液滴破裂前液滴表面波动的参数，实际应用中一般取 ~ 。 表示伽马函数。这个分布的图像长这样，
而这个伽马分布的叠加为
其中 表示 阶贝塞尔函数， 均为表示液面波动的参数。实际应用中一般采用拟合的方式获得。
下面我们来捋一捋这样一个复杂的分布是怎样得来的。由于我们关注的是溅射后产生的小液滴直径，所以得先知道小液滴的具体产生过程是怎么样的？这里就可以安排一个实验了，如图2所示，设计液滴撞击一个等直径的固壁，这样有利于高速摄像机观察。
如图3,4所示，当液滴撞击固壁后会形成薄液片，随后不断扩展，同时薄液片外圈由于失稳会产生突出的液带(liquid ligament)。当液带越伸越长后，最终会在表面张力的作用下断裂，形成大小不同的液滴。
所以问题的关键在于液带断裂后产生的不同液滴的直径该如何计算？这其实是一个异常复杂的问题。为此，法国学者Villermaux引入了一个非常巧妙的模型[1]，把液带看成由不同大小的液滴组合而成，液带的演化则是相邻液滴的融合过程，如图5所示。
如此一来，便可以借用统计物理中著名的斯莫卢霍夫斯基凝结方程[3,4]（Smoluchowski coagulation equation）。
结合图6解释一下这个方程，第一项表示体积为 的颗粒与体积为 聚集后密度将会减少，第二项表示体积为 的颗粒与体积为 聚集后导致体积为 的颗粒密度增加， 表示凝结核。
将此方程应用到液带断裂问题中，可以得到一个液带演化方程[2]，
其中 表示卷积符号， 。注意 与 的区别， 依然表示液面波动的参数。这个方程没有解析解，但存在一个渐进解，便是伽马分布，
其中 表示颗粒总数。至此我们的准备工作已经完成。
下面回到液滴撞击平板溅射后的液滴产生过程，给个更清晰的实验结果，如图7所示，撞击过程中，首先产生薄液片，薄液片外圈失稳产生液带，最终液带破裂产生不同直径的液滴。这里又有一个比较巧妙的思维过程，薄液片外圈其实可以看做一个环形液带，如此一来，环形液带产生普通液带，普通液带产生液滴，这实际上是一个迭代过程。
因此，最终液滴直径的分布是一个伽马分布的叠加[7]，用公式推导表示为，
其中 表示液带平均直径， ， 。
这个公式可以这么理解，环形液带产生平均直径为 的液带的概率为 ，而平均直径为 的液带产生直径为 的液滴的概率为 。因此，产生液滴 的概率为 的乘积对 进行积分后的结果，其形式为，
最后看一下实验结果，
如图8所示，理论结果与实验结果对比良好，参数区间也较大，是令人信服的。
从参考文献中可以看到，这个问题主要是由一位法国学者Villermaux做出来的。这位学者在液体的破碎与凝聚领域作出了杰出的贡献，写了三篇非常有影响力的综述[2,5,6]，所以我认为他值得有一个中文名，Villermaux翻译过来应该是维莱默吧。
【参考文献】
【1】Villermaux E, Marmottant P, Duplat J. Ligament-mediated spray formation[J]. Physical review letters, 2004, 92(7): 074501.
【2】Villermaux E. Fragmentation[J]. Annu. Rev. Fluid Mech., 2007, 39: 419-446.
【3】Smoluchowski M. Versuch einer mathematischen Theorie der Koagulationskinetik kolloider Lösungen[J]. 1917.
【4】Aerosols: Science and technology[M]. John Wiley & Sons, 2011.
【5】Eggers J, Villermaux E. Physics of liquid jets[J]. Reports on progress in physics, 2008, 71(3): 036601.
【6】Villermaux E. Fragmentation versus cohesion[J]. J. Fluid Mech, 2020, 898: P1.
【7】Villermaux E, Bossa B. Drop fragmentation on impact[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2011, 668: 412.
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